距离型空间的概念最初是由Bakhtin^[1]提出的, 后来又被Czerwick^[2]命名为$ b $-距离空间. $ b $-距离空间是比距离空间更一般的空间框架, 在$ b $-距离空间中建立的结果明显比距离空间中的结果具有更广泛的应用, 例如见[3–8].

另一方面, 耦合不动点理论是非线性泛函分析中求解非线性方程最有用的工具之一. 其主要思想是将方程解的存在唯一性, 转化为算子（公共）耦合不动点的存在唯一性. $ 1975 $年, Opoitsev^{[9, 10]}提出了耦合不动点的概念. $ 1987 $年, Guo和Lakshmikantham^[11]结合常微分方程初值问题的耦合准解引入了耦合不动点的概念. 之后, 许多学者通过Lipschitz条件, 半序方法, 序列逼近等不同方法, 给出了不同类型算子的耦合不动点的各种存在性结果, 例如见[12–22]. 最近, Jleli等人^[12]给出了Banach空间中有限个等式约束下的非线性压缩耦合不动点定理, 其中的非线性函数是强比较函数.

本文在$ b $-距离空间中建立了有限个等式约束下的非线性压缩耦合不动点定理, 将Jleli等人^[12]的结果推广到$ b $-距离空间, 非线性函数弱化为比较函数且压缩条件与空间系数无关. 作为推论, 得到了对称等式约束下的不动点定理, 公共耦合不动点定理以及$ b $-距离空间中非线性压缩不动点定理.

下面先回顾一些基本概念.

定义1.1 ^{[1, 2]}   设$ X $是非空集合且$ s\geq 1. $如果映射$ d: {X\times X} \rightarrow \mathbb{R^+} $满足对于所有的$ x,y,z\in X, $

(1) $ d(x,y)=0 $当且仅当$ x=y $;

(2) $ d(x,y)=d(y,x) $;

(3) $ d(x,y)\leq s[d(x,z)+d(z,y)]. $

则称$ (X,d) $是系数为$ s $的$ b $-距离空间.

定义1.2 ^{[1, 2]}   设$ (X,d) $是$ b $-距离空间, $ \{x_n\}\subseteq X $且$ x\in X $.

(1) 如果$ n\rightarrow \infty $时, $ d(x_n,x)\rightarrow 0 $, 则称序列$ \{x_n\}\subseteq X $是收敛于$ x $, 记为$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=x $;

(2) 如果$ n,m\rightarrow \infty $时, $ d(x_n,x_m)\rightarrow0, $则称$ \{x_n\} $是Cauchy列;

(3) 如果$ X $中每个Cauchy列是收敛的, 则称$ (X,d) $是完备的.

定义1.3 ^[13]   设$ X $是非空集合, $ F:{X\times X} \rightarrow {X} $是给定映射. 如果存在$ (x,y)\in X\times X $, 使得

$ F(x,y)=x,\ F(y,x)=y, $

则称$ (x,y) $是$ F $的耦合不动点.

定义1.4 ^[12]   设$ (X, \preceq) $是偏序集, $ \varphi: {X\times X} \rightarrow {X} $是一个给定映射. 如果对于所有的$ e\in X, $集合

$ {\rm lev}\varphi_\preceq(e):=\{(x,y)\in {X\times X}:\varphi(x,y)\preceq e\} $

是闭集, 则称$ \varphi $是从右侧水平闭的.

定义1.5 ^[12]   设$ (X, \preceq) $是偏序集, $ \varphi: {X\times X} \rightarrow {X} $是一个给定映射. 如果对于所有的$ e\in X, $集合

$ {\rm lev}\varphi_\succeq(e):=\{(x,y)\in {X\times X}:e \preceq \varphi(x,y)\} $

是闭集, 则称$ \varphi $是从左侧水平闭的.

如果函数$ \psi:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty) $满足

($ \Psi_1 $) $ \psi $是非减函数;

($ \Psi_2 $) $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\psi^n(t)=0 (\forall t>0) $.

则称$ \psi $是比较函数. 记此类$ \psi $函数的全体为$ \Psi $.

评注1.1    如果将($ \Psi_2 $) 换为$ \sum_{n=0}^{\infty}\psi^n(t)<\infty (\forall t>0) $, 则称$ \psi $是强比较函数. 显然, 强比较函数是强于比较函数的. 本文将Jleli等人^[12]结果中的强比较函数弱化为比较函数.

引理1.1 ^[23]   设$ \psi\in\Psi, $则

(1) $ \psi(t)<t, t>0 $;

(2) $ \psi(0)=0 $;

(3) $ \psi $在$ t=0 $处连续.

考虑以下方程组解的存在唯一性,

$ \begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} F(x,y)=x, \\ F(y,x)=y, \\ \varphi(x,y)=0. \end{array} \end{cases} \end{equation} $

(2.1)

其中$ F $, $ \varphi: {X\times X} \rightarrow {X} $是两个给定映射.

定理2.1   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi: {X\times X} \rightarrow {X} $是两个给定映射, 满足

(1) $ \varphi $是从右侧水平闭的;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi(x_0,y_0)\preceq 0 $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi(x,y)\preceq 0\Rightarrow 0\preceq \varphi(F(x,y),F(y,x)); $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi(x,y)\Rightarrow \varphi(F(x,y),F(y,x))\preceq 0; $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得

$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi(u,v) $.

则(2.1) 存在唯一解.

证   第1步, 构造$ \{x_m\},\ \{y_m\} $满足$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m))=0. $

由条件$ (2) $知, 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi(x_0,y_0)\preceq 0 $, 从而

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi(F(x_0,y_0),F(y_0,x_0))&\Rightarrow \varphi(F^2(x_0,y_0),F^2(y_0,x_0))\preceq 0 \\ &\Rightarrow0\preceq \varphi(F^3(x_0,y_0),F^3(y_0,x_0)). \end{align*} $

继续下去, 归纳得

$ \varphi(F^{2n}(x_0,y_0),F^{2n}(y_0,x_0))\preceq 0,\ 0\preceq \varphi(F^{2n+1}(x_0,y_0),F^{2n+1}(y_0,x_0)), \quad n=0, 1, 2\dots $

对于$ \epsilon=1 $, 存在奇数$ n_0\in \mathbb{N} $, 使得

$ \varphi^{n_0}(1)< \dfrac{1}{2s}. $

令$ x_{m+1}=g(x_m, y_m)=F^{n_0}(x_m, y_m),\ y_{m+1}=g(y_m, x_m)=F^{n_0}(y_m, x_m), \quad m=0, 1, 2\dots $由$ n_0 $为奇数可得

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi(x_1,y_1)=\varphi(g(x_0,y_0),g(y_0,x_0)) &\Rightarrow \varphi(x_2,y_2)=\varphi(g^2(x_0,y_0),g^2(y_0,x_0))\preceq 0\\ &\Rightarrow 0\preceq \varphi(x_3,y_3)=\varphi(g^3(x_0,y_0),g^3(y_0,x_0)). \end{align*} $

归纳得

$ \begin{equation} \varphi(x_{2m},y_{2m})\preceq 0,\ 0\preceq \varphi(x_{2m+1},y_{2m+1}), \quad m=0, 1, 2\dots \end{equation} $

(2.2)

由压缩条件可得

$ \begin{align*} & d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m)\\ = & d(g^m(g(x_0,y_0),g(y_0,x_0)),g^m(x_0,y_0))+d(g^m(g(y_0,x_0),g(x_0,y_0)),g^m(y_0,x_0))\\ \leq&\psi^{n_0m}(d(g(x_0,y_0),x_0)+d(g(y_0,x_0),y_0)). \end{align*} $

因此$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m))=0. $

第2步, 证明$ \{x_m\},\ \{y_m\} $是Cauchy列.

取$ m_0\in \mathbb{N} $, 使得$ d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1})<\dfrac{1}{2s}<1, $从而

$ \begin{align*} & d(x_{m_0}, x_{{m_0}+2})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+2})\\ \leq & s[d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(x_{{m_0}+1}, x_{{m_0}+2})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1})+d(y_{{m_0}+1}, y_{{m_0}+2})]\\ \leq & s[d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1})+\psi^{n_0}(d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1}))]\\ < & s[\dfrac{1}{2s}+\psi^{n_0}(1)]\\ < & s[\dfrac{1}{2s}+\dfrac{1}{2s}]=1. \end{align*} $

假设$ d(x_{m_0}, x_{{m_0}+k-1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+k-1})<1 $成立, 则

$ \begin{align*} & d(x_{m_0}, x_{{m_0}+k})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+k})\\ \leq & s[d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(x_{{m_0}+1}, x_{{m_0}+k})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1})+d(y_{{m_0}+1}, y_{{m_0}+k})]\\ \leq & s[d(x_{m_0}, x_{{m_0}+1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+1})+\psi^{n_0}(d(x_{m_0}, x_{{m_0}+k-1})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+k-1}))]\\ < & s[\dfrac{1}{2s}+\psi^{n_0}(1)]\\ < & s[\dfrac{1}{2s}+\dfrac{1}{2s}]=1. \end{align*} $

归纳得

$ d(x_{m_0}, x_{{m_0}+k})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+k})<1, \forall k\in \mathbb{N}. $

再由压缩条件可得, 对于任意的$ m\in \mathbb{N}, k\in \mathbb{N}, $

$ \begin{align*} & d(x_m, x_{m+k})+d(y_m, y_{m+k})\\ =& d(g^{m-m_0}(x_{m_0}, y_{m_0}), g^{m-m_0}(x_{{m_0}+k}, y_{{m_0}+k}))+d(g^{m-m_0}(y_{m_0}, x_{m_0}), g^{m-m_0}(y_{{m_0}+k}, x_{{m_0}+k}))\\ \leq&\psi^{{(m-m_0)}{n_0}}(d(x_{m_0}, x_{{m_0}+k})+d(y_{m_0}, y_{{m_0}+k}))\\ <&\psi^{{(m-m_0)}{n_0}}(1)\rightarrow 0 (m\rightarrow \infty). \end{align*} $

因此$ \{x_m\},\ \{y_m\} $是Cauchy列.

第3步, 证明$ g $存在唯一的耦合不动点.

由$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间可知, 存在$ (x^*,y^*)\in {X\times X} $, 使得

$ \begin{equation} \lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_m=x^*,\ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_m=y^*. \end{equation} $

(2.3)

由$ \psi $的性质$ \lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\psi(t)=0 $可得, $ F $是连续的, 进而$ g $是连续的, 则

$ x^*=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_m=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_{m+1}=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}g(x_m,y_m)=g(x^*,y^*), $

$ y^*=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_m=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_{m+1}=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}g(y_m,x_m)=g(y^*,x^*). $

因此$ (x^*,y^*) $是$ g $的一个耦合不动点. 由(2.2) 可得$ (x_{2m},y_{2m})\in {\rm lev}\varphi_\preceq (0), \quad m=0, 1, 2\dots $对上式令$ m\rightarrow \infty $取极限, 由$ \varphi $是从右侧水平闭的以及(2.3) 可得$ (x^*,y^*)\in {\rm lev}\varphi_\preceq (0), $即$ \varphi (x^*,y^*)\preceq 0. $再由条件$ (3) $可得

$ \begin{align*} \varphi(x^*,y^*)\preceq 0&\Rightarrow0\preceq \varphi(F(x^*,y^*),F(y^*,x^*)) \\ &\Rightarrow \varphi(F^2(x^*,y^*),F^2(y^*,x^*))\preceq 0 \\ &\Rightarrow0\preceq \varphi(F^3(x^*,y^*),F^3(y^*,x^*)), \end{align*} $

结合$ n_0 $为奇数, 归纳得

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi(F^{n_0}(x^*,y^*),F^{n_0}(y^*,x^*))=\varphi(g(x^*,y^*),g(y^*,x^*))=\varphi(x^*,y^*), \end{align*} $

因此

$ \begin{equation} \varphi(x^*,y^*)=0. \end{equation} $

(2.4)

假设$ (u^*,v^*)\in {X\times X} $是$ g $的另一个耦合不动点. 由(2.4) 可知, $ (x^*,y^*) $和任意的$ (u,v)\in {X\times X} $满足压缩条件,

$ \begin{align*} d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*)&=d(g(x^*, y^*),g(u^*, v^*))+d(g(y^*, x^*),g(v^*, u^*))\\ &\leq \psi^{n_0}(d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*))\\ &<d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*). \end{align*} $

从而矛盾, 因此$ (x^*,y^*) $是$ g $的唯一的耦合不动点.

第4步, 证明(2.1) 存在唯一解.

由$ g $的定义可得

$ \begin{align*} g(F(x^*, y^*),F(y^*, x^*))&=F^{{n_0}+1}(x^*, y^*)\\ &=F(g(x^*, y^*),g(y^*, x^*))\\ &=F(x^*, y^*).\\ g(F(y^*, x^*),F(x^*, y^*))&=F^{{n_0}+1}(y^*, x^*)\\ &=F(g(y^*, x^*),g(x^*, y^*))\\ &=F(y^*, x^*). \end{align*} $

从而$ (F(x^*, y^*),\ F(y^*, x^*)) $是$ g $的一个耦合不动点. 由$ g $的耦合不动点的唯一性得

$ F(x^*, y^*)=x^*,\ F(y^*, x^*)=y^*. $

再由(2.4) 可知, $ (x^*, y^*) $是(2.1) 的一个解. 假设$ (u^\prime,v^\prime)\in {X\times X} $是(2.1) 的另一个解, 则

$ \begin{align*} d(x^*, u^\prime)+d(y^*, v^\prime)&=d(F(x^*, y^*),F(u^\prime, v^\prime))+d(F(y^*, x^*),F(v^\prime, u^\prime))\\ &\leq \psi(d(x^*, u^\prime)+d(y^*, v^\prime))\\ &<d(x^*, u^\prime)+d(y^*, v^\prime). \end{align*} $

从而矛盾, 因此$ (x^*,y^*) $是(2.1) 唯一的解.

评注2.1   如果将定理$ 2.1 $中的条件$ (1) $换为$ \varphi $是从左侧水平闭的, 结论仍然成立.

评注2.2   文献[12] 中Jleli等人给出了Banach空间锥序下的一个等式约束下的耦合不动点定理. 当定理$ 2.1 $中的$ b $-距离取为范数生成的距离且$ \preceq $取为锥序时, 就可以得到[12] 中的定理$ 2.1 $. 因此我们的结果是Jleli等人结果在$ b $-距离空间的推广形式.

评注2.3   如果将定理$ 2.1 $中压缩条件换为

$ {\rm max}(d(F(x,y),F(u,v)),d(F(y,x),F(v,u)))\leq \psi({\rm max}(d(x,u),d(y,v))), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi(u,v) $, 结论仍然成立.

考虑以下方程组解的存在唯一性,

$ \begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} F(x,y)=x, \\ F(y,x)=y, \\ \varphi_i(x,y)=0, i=1,2,\ldots, r \end{array} \end{cases} \end{equation} $

(2.5)

其中$ F $, $ \varphi_i: {X\times X} \rightarrow {X} (i=1, 2,\ldots, r) $是$ r+1 $个给定映射.

定理2.2   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi_i:{X\times X}\rightarrow {X} (i=1, 2,\ldots, r) $是$ r+1 $个给定映射, 满足

(1) $ \varphi_i(i=1, 2, \ldots, r) $是从右侧水平闭的;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi_i(x_0,y_0)\preceq 0 (i=1, 2, \ldots, r) $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi_i(x,y)\preceq 0, i=1, 2, \ldots, r\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F(x,y),F(y,x)), i=1, 2, \ldots, r; $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi_i(x,y), i=1, 2, \ldots, r\Rightarrow \varphi_i(F(x,y),F(y,x))\preceq 0, i=1, 2, \ldots, r; $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_i(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(u,v), i=1, 2, \ldots, r $.

则(2.5) 存在唯一解.

证   第1步, 构造$ \{x_m\},\ \{y_m\} $满足$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m))=0. $

由条件$ (2) $知, 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得对于$ i=1, 2, \ldots, r,\ \varphi_i(x_0,y_0)\preceq 0 $, 从而

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi_i(F(x_0,y_0),F(y_0,x_0))&\Rightarrow \varphi_i(F^2(x_0,y_0),F^2(y_0,x_0))\preceq 0\\ &\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F^3(x_0,y_0),F^3(y_0,x_0)). \end{align*} $

继续下去, 归纳得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \varphi_i(F^{2n}(x_0,y_0),F^{2n}(y_0,x_0))\preceq 0, 0\preceq \varphi_i(F^{2n+1}(x_0,y_0),F^{2n+1}(y_0,x_0)) $

对于$ \epsilon=1 $, 存在奇数$ n_0\in \mathbb{N} $, 使得

$ {\varphi_i}^{n_0}(1)< \dfrac{1}{2s} (i=1, 2, \ldots, r). $

令$ x_{m+1}=g(x_m, y_m)=F^{n_0}(x_m, y_m), y_{m+1}=g(y_m, x_m)=F^{n_0}(y_m, x_m), m=0, 1, 2\dots $由$ n_0 $为奇数可得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi_i(x_1,y_1)=\varphi_i(g(x_0,y_0),g(y_0,x_0)) &\Rightarrow \varphi_i(x_2,y_2)=\varphi_i(g^2(x_0,y_0),g^2(y_0,x_0))\preceq 0\\ &\Rightarrow0\preceq \varphi_i(x_3,y_3)=\varphi_i(g^3(x_0,y_0),g^3(y_0,x_0)). \end{align*} $

归纳得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \begin{equation} \varphi_i(x_{2m},y_{2m})\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(x_{2m+1},y_{2m+1}), m=0, 1, 2\dots \end{equation} $

(2.6)

由压缩条件可得

$ \begin{align*} & d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m)\\ =& d(g^m(g(x_0,y_0),g(y_0,x_0)),g^m(x_0,y_0))+d(g^m(g(y_0,x_0),g(x_0,y_0)),g^m(y_0,x_0))\\ \leq&\psi^{n_0m}(d(g(x_0,y_0),x_0)+d(g(y_0,x_0),y_0)). \end{align*} $

因此$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(d(x_{m+1}, x_m)+d(y_{m+1}, y_m))=0. $

第2步, 由定理$ 2.1 $中Cauchy列的证明, 类似可得$ \{x_m\},\ \{y_m\} $是Cauchy列.

第3步, 证明$ g $存在唯一的耦合不动点.

由$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间可知, 存在$ (x^*,y^*)\in {X\times X} $, 使得

$ \begin{equation} \lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_m=x^*,\ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_m=y^*. \end{equation} $

(2.7)

由$ \psi $的性质$ \lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\psi(t)=0 $可得, $ F $是连续的, 进而$ g $是连续的, 则

$ x^*=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_m=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}x_{m+1}=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}g(x_m,y_m)=g(x^*,y^*), $

$ y^*=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_m=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}y_{m+1}=\lim\limits_{m\rightarrow \infty}g(y_m,x_m)=g(y^*,x^*). $

因此$ (x^*,y^*) $是$ g $的一个耦合不动点. 由(2.6) 可得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ (x_{2m},y_{2m})\in {\rm lev}{\varphi_i}_\preceq (0), \quad m=0, 1, 2\dots $

对上式令$ m\rightarrow \infty $取极限, 由$ \varphi_i(i=1, 2, \ldots, r) $是从右侧水平闭的以及(2.7) 可得

$ (x^*,y^*)\in {\rm lev}{\varphi_i}_\preceq (0), i=1, 2, \ldots, r $

即

$ \varphi_i (x^*,y^*)\preceq 0, i=1, 2, \ldots, r. $

再由条件$ (3) $可得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \begin{align*} \varphi_i(x^*,y^*)\preceq 0&\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F(x^*,y^*),F(y^*,x^*))\\ &\Rightarrow \varphi_i(F^2(x^*,y^*),F^2(y^*,x^*))\preceq 0\\ &\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F^3(x^*,y^*),F^3(y^*,x^*)). \end{align*} $

结合$ n_0 $为奇数, 归纳得, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \begin{align*} 0\preceq \varphi_i(F^{n_0}(x^*,y^*),F^{n_0}(y^*,x^*))&=\varphi_i(g(x^*,y^*),g(y^*,x^*))\\&=\varphi_i(x^*,y^*). \end{align*} $

因此, 对于$ i=1, 2, \ldots, r $,

$ \begin{equation} \varphi_i(x^*,y^*)=0. \end{equation} $

(2.8)

假设$ (u^*,v^*)\in {X\times X} $是$ g $的另一个耦合不动点. 由(2.8) 可知, $ (x^*,y^*) $和任意的$ (u,v)\in {X\times X} $满足压缩条件,

$ \begin{align*} d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*)&=d(g(x^*, y^*),g(u^*, v^*))+d(g(y^*, x^*),g(v^*, u^*))\\ &\leq \psi^{n_0}(d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*))\\ &<d(x^*, u^*)+d(y^*, v^*). \end{align*} $

从而矛盾, 因此$ (x^*,y^*) $是$ g $的唯一的耦合不动点.

第4步, 由定理$ 2.1 $证明类似可得$ (x^*,y^*) $是(2.5) 唯一的解.

评注2.4   类似评注$ 2.2 $, 我们可以看到, 定理$ 2.2 $是[12] 中定理$ 2.6 $在$ b $-距离空间的推广形式.

评注2.5   类似评注$ 2.3 $, 将定理$ 2.2 $中压缩条件换为

$ {\rm max}(d(F(x,y),F(u,v)),d(F(y,x),F(v,u)))\leq \psi({\rm max}(d(x,u),d(y,v))), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_i(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(u,v), i=1, 2, \ldots, r $, 结论仍然成立.

定理$ 2.2 $中$ r=2 $时可以得到以下方程组解的存在唯一性,

$ \begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} F(x,y)=x, \\ F(y,x)=y, \\ \varphi_1(x,y)=0,\\ \varphi_2(x,y)=0. \end{array} \end{cases} \end{equation} $

(2.9)

其中$ F $, $ \varphi_1 $, $ \varphi_2: {X\times X} \rightarrow {X} $是三个给定映射.

推论2.1   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi_1 $, $ \varphi_2: {X\times X} \rightarrow {X} $是三个给定映射, 满足

(1) $ \varphi_i(i=1, 2) $是从右侧水平闭的;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi_i(x_0,y_0)\preceq 0 (i=1, 2) $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi_i(x,y)\preceq 0, i=1, 2\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F(x,y),F(y,x)), i=1, 2; $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi_i(x,y), i=1, 2\Rightarrow \varphi_i(F(x,y),F(y,x))\preceq 0, i=1, 2; $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_i(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(u,v), i=1, 2 $.

则(2.9) 存在唯一解.

将推论$ 2.1 $中的$ \varphi_2 $换为$ -\varphi_2 $, 得到以下结论.

推论2.2   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi_1 $, $ \varphi_2: {X\times X} \rightarrow {X} $是三个给定映射, 满足

(1) $ \varphi_1 $是从右侧水平闭的, $ \varphi_2 $是从左侧水平闭的;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi_1 (x_0,y_0)\preceq 0 $且$ 0\preceq \varphi_2 (x_0,y_0) $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi_1 (x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_2 (x,y)\Rightarrow0\preceq \varphi_1(F(x,y),F(y,x)),\ \varphi_2(F(x,y),F(y,x))\preceq 0; $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi_1 (x,y),\ \varphi_2 (x,y)\preceq 0\Rightarrow \varphi_1(F(x,y),F(y,x))\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_2(F(x,y),F(y,x)); $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得

$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_1(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_2(x,y),\ 0\preceq \varphi_1(u,v),\ \varphi_2(u,v)\preceq 0, $

则(2.9) 存在唯一解.

将推论$ 2.2 $中的$ \varphi_1 $换为$ -\varphi_1 $, 得到以下结论.

推论2.3   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi_1 $, $ \varphi_2: {X\times X} \rightarrow {X} $是三个给定映射, 满足

(1) $ \varphi_i(i=1, 2) $是从左侧水平闭的;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ 0\preceq \varphi_i(x_0,y_0),\ (i=1, 2) $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi_i(x,y)\preceq 0, i=1, 2\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F(x,y),F(y,x)),\ i=1, 2; $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi_i(x,y), i=1, 2\Rightarrow \varphi_i(F(x,y),F(y,x))\preceq 0,\ i=1, 2; $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得

$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_i(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(u,v),\ i=1, 2 $.

则(2.9) 存在唯一解.

考虑以下方程组解的存在唯一性,

$ \begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} F(x,x)=x, \\ \varphi_i(x,x)=0, i=1, 2,\ldots, r \end{array} \end{cases} \end{equation} $

(3.1)

其中$ F $, $ \varphi_i: {X\times X} \rightarrow {X} (i=1, 2,\ldots, r) $是$ r+1 $个给定映射.

推论3.1   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq1 $). 设$ F $, $ \varphi: {X\times X} \rightarrow {X} (i=1, 2,\ldots, r) $是$ r+1 $个给定映射, 满足

(1) $ \varphi_i (i=1, 2,\ldots, r) $是从右侧水平闭的;

(2) $ \varphi_i (i=1, 2,\ldots, r) $是对称的;

(3) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ \varphi_i(x_0,y_0)\preceq 0 (i=1, 2,\ldots, r) $;

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ \varphi_i(x,y)\preceq 0, i=1, 2,\ldots, r\Rightarrow0\preceq \varphi_i(F(x,y),F(y,x)),\ i=1, 2,\ldots, r; $

(5) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ 0\preceq \varphi_i(x,y), i=1, 2,\ldots, r\Rightarrow \varphi_i(F(x,y),F(y,x))\preceq 0,\ i=1, 2,\ldots, r; $

(6) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得

$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ \varphi_i(x,y)\preceq 0,\ 0\preceq \varphi_i(u,v),\ i=1, 2,\ldots, r $.

则(3.1) 存在唯一解.

证   由定理$ 2.2 $知(2.5) 有唯一的解$ (x^*,y^*)\in {X\times X} $. 因为$ \varphi_i (i=1, 2,\ldots, r) $是对称的, 所以$ (y^*,x^*) $也是(2.5) 的一个解. 由唯一性得, $ x^*=y^*. $因此$ x^*\in {X} $是(3.1) 的唯一解.

定义3.1 ^[12]   设$ X $是非空集合, $ F:{X\times X} \rightarrow {X},\ g:{X} \rightarrow {X} $是两个给定映射. 如果存在$ (x,y)\in {X\times X} $, 使得

$ x=gx=F(x,y),\ y=gy=F(y,x), $

则称$ (x,y) $是$ F $和$ g $的公共耦合不动点.

推论3.2   设$ (X,\preceq) $是一个偏序集且$ (X,d) $是完备的$ b $-距离空间(系数$ s\geq 1 $). 设$ F: {X\times X} \rightarrow {X}, g: {X} \rightarrow {X} $是两个给定映射, 满足

(1) $ g $是一个连续映射;

(2) 存在$ (x_0,y_0)\in {X\times X} $, 使得$ g x_0\preceq x_0 $, 且$ g y_0\preceq y_0 $;

(3) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ gx\preceq x,\ gy\preceq y\Rightarrow F(x,y)\preceq gF(x,y),\ F(y,x)\preceq gF(y,x); $

(4) 对于所有的$ (x,y)\in {X\times X} $, 有

$ x\preceq gx,\ y\preceq gy\Rightarrow gF(x,y)\preceq F(x,y),\ gF(y,x)\preceq F(y,x); $

(5) 存在$ \psi\in \Psi $, 使得

$ d(F(x,y),F(u,v))+d(F(y,x),F(v,u))\leq \psi(d(x,u)+d(y,v)), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X},\ g x\preceq x,\ g y\preceq y $, 且$ u\preceq gu,\ v\preceq gv $.

则$ F $和$ g $存在唯一的公共耦合不动点.

证   令$ \varphi_1,\ \varphi_2: {X\times X} \rightarrow {X}: $

$ \varphi_1(x,y)=gx-x, \varphi_2(x,y)=gy-y, (x,y)\in {X\times X} $

则$ (x,y)\in {X\times X} $是$ F $和$ g $的一个公共耦合不动点当且仅当$ (x,y)\in {X\times X} $是(2.9)的一个解. 由$ g $是连续映射可得$ \varphi_i(i=1,2) $是从右侧水平闭的. 再由推论$ 2.1 $得$ F $和$ g $存在唯一的公共耦合不动点.

推论3.3   设$ T: {X} \rightarrow {X} $是一个给定映射, 如果存在$ \psi\in \Psi, $使得

$ \begin{equation} d(Tx,Tu)\leq\psi(d(x,u)),\ (x,u)\in {X\times X} \end{equation} $

(3.2)

则$ T $存在唯一的不动点.

证   令$ F:{X\times X}\rightarrow {X}, g:{X}\rightarrow {X}, $

$ F(x,y)=Tx,\ (x,y)\in {X\times X}; $

$ gx=x,\ x\in {X}. $

由(3.2)得, 对于所有的$ (x,y), (u,v)\in {X\times X} $,

$ d(Tx,Tu)\leq\psi(d(x,u)),\ d(Ty,Tv)\leq\psi(d(y,v)). $

从而

$ {\rm max}(d(Tx,Tu), d(Ty,Tv))\leq {\rm max}(\psi(d(x,u)), \psi(d(y,v))). $

由$ \psi $是非减的可得

$ {\rm max}(d(Tx,Tu),d(Ty,Tv))\leq\psi({\rm max}(d(x,u),d(y,v))),\ \ (x,y), (u,v)\in {X\times X}. $

由$ F $和$ g $的定义得

$ {\rm max}(d(F(x,y),F(u,v)),d(F(y,x),F(v,u)))\leq\psi({\rm max}(d(x,u),d(y,v))), $

其中$ (x,y), (u,v)\in {X\times X}, g x\preceq x, g y\preceq y, $且$ u\preceq gu, v\preceq gv $. 由推论$ 3.2 $及评注$ 2.5 $可知, 存在唯一$ (x^*,y^*)\in {X\times X} $, 使得$ x^*=F(x^*,y^*)=Tx^*,\ y^*=F(y^*,x^*)=Ty^*. $假设$ x^*\neq y^*, $由(3.2) 得$ d(x^*,y^*)=d(Tx^*,Ty^*)\leq \psi(d(x,y))<d(x^*,y^*). $从而矛盾. 因此$ x^*\in {X} $是$ T $的唯一不动点.

评注3.1   将推论$ 3.3 $中$ \psi $取为$ \psi(t)=kt,\ t\geq0 $其中$ k\in (0,1), $可以得到Banach压缩原理.

评注3.2   推论$ 3.3 $可以将[12] 中推论$ 3.8 $的次可加条件去掉.

评注3.3   定理$ 2.2 $可以推出推论$ 3.3 $, 而推论$ 3.3 $就是文献[24] 中的定理$ 12.2 $, 因此定理$ 2.2 $是文献[24] 中定理$ 12.2 $的推广.