常微分方程解的有界性问题是在研究生物学、生态学、物理学以及神经网络问题中提出的, 是常微分方程研究中一个十分重要的领域. 近年来, 关于常微分方程解的有界性已经引起了许多学者的研究^[1-3]. 文献[4]中, Federson M等在Lyapunov泛函中没有Lipschitz条件的情况下, 研究了广义常微分方程解的有界性, 并且利用测度微分方程和广义常微分方程的等价关系建立了测度微分方程解的有界性, 随后又利用测度微分方程和时间尺度上的动力方程的等价关系, 获得了时间尺度上的动力方程解的有界性. 文献[5]建立了滞后型测度泛函微分方程在一定条件下与广义常微分方程的等价关系. 文献[6]研究了滞后型测度泛函微分方程解的存在性、唯一性和对参数的连续依赖性.

本文考虑滞后型测度泛函微分方程

$ \begin{align} Dy = f(y_{t}, t)Dg\; \; \; \; \end{align} $

(1)

解的有界性, 其中$ Dy $, $ Dg $分别表示函数$ y $, $ g $的分布导数. $ f:S\times[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $, $ g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $, $ y:[t_{0}-r, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $, $ y_{t}(\theta) = y(t+\theta) $, $ \theta\in[-r, 0] $, $ r>0 $, 其中

$ S = \{y_t:y\in G_{1}, t\in[t_0, +\infty)\}\subset G([-r, 0], \mathrm{R}^{n}), $

$ G_{1}\subset G([t_{0}-r, +\infty), \mathrm{R}^{n}), $

上述的$ G_{1} $为开集, $ G([t_{0}-r, +\infty), \mathrm{R}^{n}) $表示所有正则函数$ y:[t_{0}-r, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $构成的空间, 定义范数$ \|y\|_{\infty} = \sup_{t\in[t_{0}, +\infty)}\parallel y(t)\parallel $, 则$ G([t_{0}-r, +\infty), \mathrm{R}^{n}) $为Banach空间. 由文献[5]知, 方程(1) 等价于积分方程

$ \begin{align} y(t) = y(t_{0})+\int^{t}_{t_{0}}f(y_{s}, s)\mathrm{d}g(s), \; \; \; t\in[t_{0}, +\infty), \; \; \end{align} $

(2)

方程(2) 右端的积分是关于不减函数$ \; g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $的Kurzweil-Stieltjes积分, 而且$ f $满足如下条件:

$ (\mathrm{H_{1}}) $对任意的$ y\in G_{1} $, $ t\in[t_{0}, +\infty) $, 使得$ \int^{t}_{t_{0}}f(y_{s}, s)\mathrm{d}g(s) $存在.

$ (\mathrm{H_{2}}) $对任意的$ y\in G_{1} $, $ s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty) $, 存在常数$ M>0 $, 使得

$ \Big|\Big|\int^{s_{2}}_{s_{1}}f(y_{s}, s)\mathrm{d}g(s)\Big|\Big| \leq M[g(s_{2})-g(s_{1})]. $

$ (\mathrm{H_{3}}) $对任意的$ y, z\in G_{1} $, $ s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty) $, 存在常数$ N>0 $, 使得

$ \Big|\Big| \int^{s_{2}}_{s_{1}}[f(y_{s}, s)-f(z_{s}, s)]\mathrm{d}g(s)\Big|\Big|\leq N\int^{t}_{t_{0}} \|y_{s}-z_{s} \|_{\infty}\mathrm{d}g(s). $

本文利用广义常微分方程解的有界性, 研究滞后型测度泛函微分方程解的有界性.

本节介绍广义常微分方程与滞后型测度泛函微分方程的概念与结论.

设$ X $是Banach空间, $ O \subset X $是开子集.

定义2.1^[4]   函数$ U:[a, b]\times [a, b]\rightarrow X $在区间$ [a, b] $上称为Kurzweil可积的, 如果存在$ I\in X $, 使得对任意的$ \varepsilon>0 $, 存在正值函数$ \delta:[a, b]\rightarrow (0, +\infty) $, 对$ [a, b] $的任何$ \delta $-精细分划$ D:a = \alpha_{0}<\alpha_{1}<\cdots<\alpha_{k} = b $及$ \{\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{k}\} $, 有

$ \Big\|\sum\limits_{i = 1}^{k}[U(\tau_{i}, \alpha_{i})-U(\tau_{i}, \alpha_{i-1})]-I\Big\|<\varepsilon, $

其中$ \tau_{i}\in[\alpha_{i-1}, \alpha_{i}]\subset[\tau_{i}-\delta(\tau_{i}), \tau_{i}+\delta(\tau_{i})] $, $ i = 1, 2, \cdots, k $. 则$ I\in X $称为$ U $在区间$ [a, b] $上的Kurzweil积分, 记作$ \int_{a}^{b}DU(\tau, t) = I. $

特别地, 当$ f:[a, b]\rightarrow X $, $ g:[a, b]\rightarrow \mathrm{R}, \; U(\tau, t) = f(\tau)g(t) $时, 上面定义的积分称为Kurzweil-Stieltjes积分, 记作$ \int_{a}^{b}f(s)\mathrm{d}g(s). $

设$ F:\Omega \rightarrow X $, 其中$ \Omega = O\times [t_0, +\infty) $.

定义2.2^[4]  称函数$ x:[\alpha, \beta]\rightarrow X $为广义常微分方程

$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau} = DF(x, t) \end{align} $

(3)

在区间$ [\alpha, \beta] \subset [t_0, +\infty) $上的一个解, 是指对所有的$ t\in [\alpha, \beta] $, $ (x(t), t) \in \Omega $, 且对每个$ s_{1}, s_{2}\in[\alpha, \beta] $, 有

$ x(s_2)-x(s_1) = \int_{s_1}^{s_2}DF(x(\tau), t) $

定义2.3^[4]   设函数$ F:\Omega \rightarrow X $属于函数族$ \mathcal{F}( $$ {\Omega, h}) $, 是指$ F $满足以下条件: 对任意的$ (x, s_{1}), (x, s_{2})\in\Omega $, 有

$ \begin{align} \|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})\|\leq |h(s_{2})-h(s_{1})|, \end{align} $

(4)

对任意的$ (x, s_{1}), (x, s_{2}), (y, s_{1}), (y, s_{2})\in\Omega $, 有

$ \|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})-F(y, s_{2})+F(y, s_{1})\|\leq \|x-y \||h(s_{2})-h(s_{1})|, $

其中$ h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $为不减函数.

定义2.4^[4]   函数$ x:[\alpha, \beta]\rightarrow X $是广义常微分方程(3) 关于初值条件$ x(s_0) = z_0 $在区间$ [\alpha, \beta] \subset [t_0, +\infty) $上的一个解, 是指如果$ s_0 \in [\alpha, \beta], \; (x(t), t) \in \Omega $对每个$ t, s\in [\alpha, \beta] $, 有

$ x(s)-z_0 = \int^{s}_{s_{0}}DF(x(\tau), t). $

引理2.1^[4]    如果$ \Omega = O\times [t_0, +\infty) $, $ F\in\mathcal{F}({\Omega, h}), $其中函数$ h $是不减且左连续的. 则对每个$ (z_0, s_0) \in \Omega $, 广义常微分方程(3) 在$ [s_0, +\infty) $上存在饱和解并且$ x(s_0) = z_0. $

注  对每个$ (z_0, s_0)\in\Omega, $把广义常微分方程的饱和解记为$ x(s, s_0, z_0) $且 $ x(s_0) = z_0. $

定义2.5^[4]   广义常微分方程(3)是

1) 一致有界: 如果对每个$ \alpha>0 $, 存在$ M = M(\alpha)>0 $, 使得对每个$ s_0\in [t_0, +\infty) $及所有的$ z_0\in X $, $ \|z_0\|<\alpha $, 有

$ \|x(s, s_0, z_0)\|<M, \; \; \; \; \; \; \; s\geq s_0. $

2) 拟一致最终有界: 如果存在$ B>0 $, 使得对每个$ \alpha>0 $, 存在$ T = T(\alpha)>0 $, 使得对所有的$ s_0\in [t_0, +\infty) $及所有的$ z_0\in X $, $ \|z_0\|<\alpha $, 有

$ \|x(s, s_0, z_0)\|<B, \; \; \; \; \; \; \; s\geq s_0+T. $

3) 一致最终有界: 广义常微分方程是一致有界且拟一致最终有界.

引理2.2^[4]   设函数$ V:[t_0, +\infty)\times X\rightarrow \mathrm{R} $, 使得对每个在$ (\alpha, \beta] $上左连续的函数$ z:[\alpha, \beta]\rightarrow X, \; [\alpha, \beta]\subset[t_0, +\infty) $, 函数$ t\mapsto V(t, z(t)), \; t\in[\alpha, \beta] $在区间$ (\alpha, \beta] $上是左连续的. 而且, 假设$ V $满足下列条件:

(i) 存在两个单调递增的函数$ p, \; b:\mathrm{R}^{+}\rightarrow \mathrm{R}^{+} $, 使得$ p(0) = b(0) = 0 $，$ \lim\limits_{s\rightarrow +\infty}b(s) = +\infty, $且对每一对$ (t, z)\in [t_0, +\infty)\times X $, 有

$ b(\|z\|)\leq V(t, z)\leq p(\|z\|). $

(ii) 对广义常微分方程(3) 的每个解$ z:[s_0, +\infty)\rightarrow X, \; s_0\geq t_0 $及每个$ s_0\leq t<s<+\infty $, 有

$ V(s, z(s))-V(t, z(t))\leq0. $

则广义常微分方程(3) 是一致有界的.

引理2.3^[4]   设函数$ V:[t_0, +\infty)\times X\rightarrow \mathrm{R} $, 使得对每个在$ (\alpha, \beta] $上左连续的函数$ z:[\alpha, \beta]\rightarrow X $, 函数$ t\mapsto V(t, z(t)), \; t\in[\alpha, \beta] $在区间$ (\alpha, \beta] $上是左连续的且满足引理2.2的条件(i). 而且, 假设$ V $满足下列条件:

$ {\mathrm{(V1)}} $对每个$ x, y:[\alpha, \beta]\rightarrow X, \; [\alpha, \beta]\subset[t_0, +\infty) $在区间$ [\alpha, \beta] $上有界变差, 及每个$ \alpha\leq s<t\leq \beta $, 有

$ |V(t, x(t))-V(t, y(t))-V(s, x(s))+V(s, y(s))|\leq (h_1(t)-h_1(s)) \sup\limits_{\xi\in [\alpha, \beta]} \|x(\xi)-y(\xi)\| $

成立, 其中$ h_1:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $为不减和左连续的函数.

$ {\mathrm{(V2)}} $存在连续函数$ \Phi:X\rightarrow \mathrm{R} $, $ \Phi(0) = 0 $且$ \Phi(x)>0, \; x \neq 0 $, 使得对广义常微分方程(3) 的每个解$ z:[s_0, +\infty)\rightarrow X, \; s_0\geq t_0 $及每个$ s_0\leq t<s<+\infty $, 有

$ V(s, z(s))-V(t, z(t))\leq(s-t)(-\Phi(z(t))). $

则广义常微分方程(3) 是一致最终有界的.

引理2.4^[5]  如果$ y:[t_0-r, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $是一个正则函数, 则$ s\mapsto \|y_{s}\|_{\infty} $在$ [t_0, +\infty) $上是正则的.

引理2.5^[5]   设$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty) \rightarrow \mathrm{R} $是不减函数, 定义$ F:G_{1}\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $如下

$F(x, t)(\vartheta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0, }&{{t_0} - r < \vartheta \le {t_0}, }\\ {\int_{{t_0}}^\vartheta f \left( {{x_s}, s} \right){\rm{d}}g(s), }&{{t_0} \le \vartheta \le t < + \infty , }\\ {\int_{{t_0}}^t f \left( {{x_s}, s} \right){\rm{d}}g(s), }&{t \le \vartheta < + \infty , } \end{array}} \right.$

(5)

则$ F\in \mathcal{F} $$ {(G_{1}\times[t_0, +\infty), h}) $, 其中$ h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $,

$ h(t) = (M+N)[g(t)-g(t_{0})], \; t\in[t_{0}, +\infty), $

由$ h $的定义可知$ h $为$ [t_{0}, +\infty) $上不减的左连续函数.

引理2.6^[5]   设$ G_{1} $是$ G([t_{0}-r, +\infty), \mathrm{R}^{n}) $的开子集, 且$ t\in[t_{0}, +\infty) $时, 具有延拓性质, $ S = \{y_t:y\in G_{1}, \; t\in[t_{0}, +\infty)\}, \; \phi\in S, \; g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是不减函数, $ f:S\times[t_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}). $

(i) 如果$ y \in G_{1} $是滞后型测度泛函微分方程

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {Dy = f\left( {{y_t}, t} \right)Dg, \;\;\;{\kern 1pt} t \in \left[ {{t_0}, + \infty } \right), }\\ {{y_{{t_o}}} = \phi } \end{array}} \right.$

的解. 对任意的$ t\in [t_{0}-r, +\infty) $, 令

$ x(t)(\vartheta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y(\vartheta ), }&{\vartheta \in \left[ {{t_0} - r, t} \right], }\\ {y(t), }&{\vartheta \in [t, + \infty ), } \end{array}} \right. $

则函数$ x:[t_0, +\infty)\rightarrow G_{1} $是广义常微分方程

$ \; \; \; \; \frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}\tau} = DF(x, t) $

在初值条件

$ \; \; \; \; {x(t_{0})}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll}\phi(\vartheta-t_{0}), \vartheta \in[t_{0}-r, t_{0}], \\ x(t_{0})(t_{0}), \; \; \; \; \; \vartheta \in[t_{0}, +\infty) \end{array} \right. $

下的解, 其中$ F $由(5) 式给定.

(ii) 相反地, $ F $由(5) 式给定, 如果$ x:[t_{0}, +\infty)\rightarrow G_{1} $是广义常微分方程

$ \; \; \; \; \frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}\tau} = DF(x, t), \; \; \; \; t\in [t_{0}, +\infty) $

的解, 且满足初值条件

$ \; \; \; \; {x(t_0)}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll}\;\phi(\vartheta-t_0), \vartheta\in [t_{0}-r, t_0], \\ x(t_0)(t_{0}), \vartheta\in [t_{0}, +\infty) \\ \end{array} \right. $

定义

$ \; \; \; \; {y}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll} x(t_0)(\vartheta), \vartheta\in [t_{0}-r, t_0], \\ x(\vartheta)(\vartheta), \; \; \; \; \vartheta\in [t_{0}, +\infty), \end{array} \right. $

则函数$ y\in G_{1} $是滞后型测度泛函微分方程

$ \left\{ \begin{array}{ll} Dy = f(y_{t}, t)Dg, t\in [t_0, +\infty), \\ y_{t_0} = \phi \end{array} \right. $

的解.

本节建立滞后型测度泛函微分方程解的有界性.

定理3.1  设$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是不减和左连续函数, 则对每个$ (z_0, s_0) \in S\times[t_0, +\infty) $, 滞后型测度泛函微分方程(2) 在$ [s_0, +\infty) $上存在饱和解并且$ y(s_0) = z_0. $

证  考虑滞后型测度泛函微分方程(2)

$ y(t) = y(t_0)+\int_{t_0}^tf(y_s, s)\mathrm{d}g(s), \; \; \; \; t\in [t_0, +\infty). $

根据假设, 函数$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是不减和左连续函数, 则滞后型测度泛函微分方程(2) 等价于广义常微分方程

$ \begin{align} \frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}\tau} = DF(x, t), \; \; \; \; t\in [t_0, +\infty), \end{align} $

(6)

其中$ F $由(5) 式给出.

根据引理2.1得, 对每个$ (z_0, s_0) \in O\times[t_0, +\infty) $, 广义常微分方程(6) 在$ [s_0, +\infty) $上存在饱和解并且$ x(s_0) = z_0, $而且根据引理2.6的(ii) 有

$ \; \; \; \; {y}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll} x(t_0)(\vartheta), \vartheta\in [t_{0}-r, t_0], \\ x(\vartheta)(\vartheta), \; \; \; \; \vartheta\in [t_0, +\infty), \end{array} \right. $

是滞后型测度泛函微分方程

$ \left\{ \begin{array}{ll} y(t) = y(t_0)+\int_{t_0}^tf(y_s, s)\mathrm{d}g(s), t\in [t_0, +\infty), \\ y_{t_0} = \phi \end{array} \right. $

的解. 因此, 对每个$ (z_0, s_0) \in S\times[t_0, +\infty) $, 滞后型测度泛函微分方程(2) 在$ [s_0, +\infty) $上存在饱和解并且$ y(s_0) = z_0 $.

注  同样地, 对每个$ (z_0, s_0) \in S\times[t_0, +\infty) $, 把滞后型测度泛函微分方程(2) 的饱和解记为$ y(s, s_0, z_0) $且$ y(s_0) = z_0 $.

定义3.1  滞后型测度泛函微分方程(2) 是

1) 一致有界: 如果对每个$ \alpha>0 $, 存在$ M = M(\alpha)>0 $, 使得对每个$ s_0\in [t_0, +\infty) $及所有的$ z_0\in \mathrm{R}^{n} $, $ \|z_0\|<\alpha $, 有

$ \|y(s, s_0, z_0)\|<M, \; \; \; \; \; \; \; s\geq s_0. $

2) 拟一致最终有界: 如果存在$ B>0 $, 使得对每个$ \alpha>0 $, 存在$ T = T(\alpha)>0 $, 使得对所有的$ s_0\in [t_0, +\infty) $及所有的$ z_0\in \mathrm{R}^{n} $, $ \|z_0\|<\alpha $, 有

$ \|y(s, s_0, z_0)\|<B, \; \; \; \; \; \; \; s\geq s_0+T. $

3) 一致最终有界: 滞后型测度泛函微分方程是一致有界且拟一致最终有界.

定理3.2    设$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $在$ [t_0, +\infty) $上是不减和左连续的. 设函数$ U:[t_0, +\infty)\times \mathrm{R}^{n}\rightarrow \mathrm{R} $, 使得对每个在$ (\alpha, \beta] $上左连续的函数$ z:[\alpha, \beta]\rightarrow \mathrm{R}^{n} $, $ [\alpha, \beta]\subset [t_0, +\infty) $, 函数$ t\mapsto U(t, z(t)), \; t\in[\alpha, \beta] $在区间$ (\alpha, \beta] $上是左连续的. 而且, 假设$ U $满足下列条件:

(i) 存在两个单调递增的函数$ p, \; b:\mathrm{R}^{+}\rightarrow \mathrm{R}^{+} $, 使得$ p(0) = b(0) = 0 $,

$ \begin{align} \lim\limits_{s\rightarrow +\infty}b(s) = +\infty, \end{align} $

(7)

且对每一对$ (t, z)\in [t_0, +\infty)\times \mathrm{R}^{n} $, 有

$ \begin{align} b(\|z\|)\leq U(t, z)\leq p(\|z\|). \end{align} $

(8)

(ii) 对滞后型测度泛函微分方程(2) 的每个解$ z:[s_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n}, \; s_0\geq t_0 $及每个$ s_0\leq t<s<+\infty $, 有

$ U(s, z(s))-U(t, z(t))\leq0. $

则滞后型测度泛函微分方程(2) 是一致有界的.

证   令固定的$ \alpha>0 $. 根据条件(i) 知$ p(\alpha)>0 $, 由(7) 式, 存在$ M = M(\alpha)>0 $使得对所有的$ s\geq M $, $ p(\alpha)<b(s). $特别地, 对$ s = M $, 得

$ \begin{align} p(\alpha)<b(M). \end{align} $

(9)

令$ s_{0}\in [t_0, +\infty) $, $ z_{0}\in \mathrm{R}^{n}, $且$ y(\cdot) = y(\cdot, s_{0}, z_{0}):[s_{0}, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $是滞后型测度泛函微分方程(2) 在初值条件$ y(s_{0}) = z_{0} $下的解, 其中$ \|z_{0}\|<\alpha $. 由定义3.1中1) 可知, 需证明:

$ \|y(s)\|<M, \; \; \; \; s\geq s_{0}. $

事实上, 由条件(ii) 和条件(8), 对每个$ s\geq s_{0} $, 有

$ \begin{align*} U(s, y(s))&\leq U(s_{0}, y(s_{0})) = U(s_{0}, z_{0}) \leq p(\|z_{0}\|) \leq p(\alpha) <b(M), \end{align*} $

即对所有的$ s\geq s_{0} $,

$ \begin{align} U(s, y(s))< b(M). \end{align} $

(10)

最后, 对所有的$ s\geq s_{0} $, 证明$ \|y(s, s_{0}, z_{0})\| = \|y(s)\|< M. $运用反证法, 即假定存在$ \bar{s}\in[s_0, +\infty) $使得$ \|y(\bar{s})\|\geq M. $则由条件(8) 和$ b $是一个不减函数, 有

$ U(\bar{s}, y(\bar{s}))\geq b(\|y(\bar{s})\|)\geq b(M), $

与(10) 式相矛盾. 因此, 对所有的$ s\geq s_{0} $, $ \|y(s)\|< M, $且由定义3.1的1) 知滞后型测度泛函微分方程(2) 是一致有界的.

定理3.3   设$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $在$ [t_0, +\infty) $上是不减和左连续的. 设函数$ U:[t_0, +\infty)\times \mathrm{R}^{n}\rightarrow \mathrm{R} $, 使得对每个在$ (\alpha, \beta] $上左连续的函数$ z:[\alpha, \beta]\rightarrow \mathrm{R}^{n} $, 函数$ t\mapsto U(t, z(t)), \; t\in[\alpha, \beta] $在区间$ (\alpha, \beta] $上是左连续的且满足定理3.2的条件(i). 而且, 假设$ U $满足下列条件:

$ {\mathrm{(U1)}} $对每个$ x, \; y:[\alpha, \beta]\rightarrow \mathrm{R}^{n} $在区间$ [\alpha, \beta]\subset[t_0, +\infty) $上有界变差及每个$ \alpha\leq s<t\leq \beta $, 有

$ \|U(t, x(t))-U(t, y(t))-U(s, x(s))+U(s, y(s))\|\leq (\int_{s}^{t}K(\tau)\mathrm{d}u(\tau))\sup\limits_{\xi\in [\alpha, \beta]}\|x(\xi)-y(\xi)\| $

成立, 其中$ u:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是不减和左连续函数, $ K:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是关于$ u $局部Kurzweil-Stietijes可积的函数.

$ {\mathrm{(U2)}} $存在连续函数$ \phi:\mathrm{R}^{n}\rightarrow \mathrm{R} $, $ \phi(0) = 0 $且$ \phi(x)>0, \; x \neq 0 $, 使得对滞后型测度泛函微分方程(2)的每个解$ z:[s_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n}, \; s_0\geq t_0 $及每个$ s_0\leq t<s<+\infty $, 有

$ U(s, z(s))-U(t, z(t))\leq (s-t)(-\phi(z(t))). $

则滞后型测度泛函微分方程(2) 是一致最终有界的.

证  对所有的$ (x, t)\in G_{1}\times [t_0, +\infty) $, 定义函数$ F:G_{1}\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $如下

$F(x, t)(\vartheta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0, }&{{t_0} - r < \vartheta \le {t_0}, }\\ {\int_{{t_0}}^\vartheta f \left( {{x_s}, s} \right){\rm{d}}g(s), }&{{t_0} \le \vartheta \le t < + \infty , }\\ {\int_{{t_0}}^t f \left( {{x_s}, s} \right){\rm{d}}g(s), }&{t \le \vartheta < + \infty .} \end{array}} \right.$

(11)

根据假设, 函数$ f:S\times[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R}^{n} $满足条件$ (\mathrm{H_{1}})-(\mathrm{H_{3}}) $, $ g:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $是不减和左连续的. 由假设存在常数$ M, N $, 对任意的$ x, z\in G_{1} $, 由(11) 式得

$ {F(x, s_{2})}(\vartheta)-{F(x, s_{1})}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll} \; 0, t_{0}-r<\vartheta\leq s_{1}, \\ \int_{s_{1}}^{\vartheta}f(x_s, s)\mathrm{d}g(s), \; \; s_{1}\leq \vartheta \leq s_{2}, \\ \int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x_s, s)\mathrm{d}g(s), \; \; s_{2}\leq \vartheta <+\infty, \end{array} \right. $

则由条件$ (H_{2}) $知

$ \begin{align*} &\parallel {F(x, s_{2})}-{F(x, s_{1})}\parallel_{\infty} = \sup\limits_{t_{0}-r\leq \vartheta< +\infty}\parallel {F(x, s_{2})}(\vartheta)-{F(x, s_{1})}(\vartheta)\parallel\\ = &\sup\limits_{s_{1}\leq \vartheta\leq s_{2}}\parallel {F(x, s_{2})}(\vartheta)-{F(x, s_{1})}(\vartheta)\parallel = \sup\limits_{s_{1}\leq \vartheta\leq s_{2}}\Big|\Big| \int^{\vartheta}_{s_{1}}f(x_{s}, s)\mathrm{d}g(s)\Big|\Big|\\ \leq&\int^{s_{2}}_{s_{1}}M\mathrm{d}g(s) = M[g(s_{2})-g(s_{1})]\leq h(s_{2})- h(s_{1}), \end{align*} $

由条件$ (H_{3}) $知

$ \begin{align*} &\parallel{F(x, s_{2})}-{F(x, s_{1})}-{F(z, s_{2})}+{F(z, s_{1})}\parallel_{\infty}\\ = &\sup\limits_{s_{1}\leq \vartheta\leq s_{2}}\Big|\Big| \int^{\vartheta}_{s_{1}}[f(x_{s}, s)-f(z_{s}, s)]\mathrm{d}g(s)\Big|\Big| \leq\sup\limits_{s_{1}\leq \vartheta\leq s_{2}} \int^{\vartheta}_{s_{1}}N\|x_{s}-z_{s}\parallel_{\infty} \mathrm{d}g(s)\\ \leq&\|x-z\parallel_{\infty} \int^{s_{2}}_{s_{1}}N\mathrm{d}g(s)\leq\|x-z\parallel_{\infty}[ h(s_{2})- h(s_{1})], \end{align*} $

根据引理2.4, 函数$ s\mapsto\|x_{s}-z_{s}\|_{\infty} $是正则的, 则积分$ \int^{\vartheta}_{s_{1}}N\|x_{s}-z_{s}\parallel_{\infty}\mathrm{d}g(s) $存在. 因此$ F\in\mathcal{F} $$ {(G_{1}\times[t_0, +\infty), h}) $, 其中函数$ h:[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $如下

$ h(t) = (M+N)[g(t)-g(t_{0})], \; t\in[t_{0}, +\infty). $

因为函数$ t\mapsto U(t, z(t)), \; t\in[\alpha, \beta] $在区间$ [\alpha, \beta] $上是左连续的且满足定理3.2的条件(i), 所以由引理2.6的(i) 可知, 函数$ t \mapsto U(t, z(t)), t\in [\alpha, \beta] $满足引理2.2的条件(i).

对每个$ t\in [t_0, +\infty) $, 定义函数$ h_1(t):[t_0, +\infty)\rightarrow \mathrm{R} $如下

$ h_1(t) = \int_{t_0}^{t}K(\tau)\mathrm{d}u(t), $

则函数$ h_1 $是不减且左连续的. 而且由条件$ {\mathrm{(U1)}} $, 对每个$ \alpha\leq s<t\leq \beta $及每个在$ [\alpha, \beta] $上有界变差的$ x, y:[\alpha, \beta]\rightarrow \mathrm{R}^{n}, \; [\alpha, \beta]\subset [t_0, +\infty] $, 函数$ U $满足下列条件

$ \begin{eqnarray*} &&\|U(t, x(t))-U(t, y(t))-U(s, x(s))+U(s, y(s))\|\leq(\int_{s}^{t}K(\tau)\mathrm{d}u(\tau))\sup\limits_{\xi\in [\alpha, \beta]}\|x(\xi)-y(\xi)\|\\ & = &(\int_{t_0}^{t}K(\tau)\mathrm{d}u(\tau)-\int_{t_0}^{s}K(\tau)\mathrm{d}u(\tau))\sup\limits_{\xi\in [\alpha, \beta]}\|x(\xi)-y(\xi)\|\\ & = &(h_1(t)-h_1(s))\sup\limits_{\xi\in [\alpha, \beta]}\|x(\xi)-y(\xi)\|, \end{eqnarray*} $

则函数$ t \mapsto U(t, z(t)), \; t\in [\alpha, \beta] $满足引理2.3的条件$ {\mathrm{(V1)}} $.

其次, 由条件$ {\mathrm{(U2)}} $知, $ z:[s_0, +\infty]\rightarrow \mathrm{R}^n, s_0\geq t_0 $是滞后型测度泛函微分方程

$ y(t) = y(t_0)+\int_{t_0}^tf(y_s, s)\mathrm{d}g(s), \; \; \; \; t\in [t_0, +\infty) $

的解. 则由引理2.6的(i)知,

$ \; \; \; \; {x(t)}(\vartheta) = \left\{ \begin{array}{ll} z(\vartheta), \vartheta\in (t_{0}-r, t], \\ z(t), \; \; \; \; \; \vartheta\in [t, +\infty) \end{array} \right. $

是广义常微分方程

$ \; \; \; \; \frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}\tau} = DF(x, t), \; \; \; \; t\in [t_0, +\infty) $

的解, 其中函数$ F $由(11) 式给出.

因此, 函数$ t\mapsto U(t, z(t)), t\in[\alpha, \beta] $满足引理2.3的条件$ {\mathrm{(V2)}} $.

综上可得, 函数$ t\mapsto U(t, z(t)), t\in[\alpha, \beta] $满足引理2.3的所有条件, 故广义常微分方程

$ \; \; \; \; \frac{{\mathrm{d}}x}{{\mathrm{d}}\tau} = DF(x, t), \; \; \; \; t\in [t_0, +\infty) $

是一致最终有界的, 其中函数$ F $由(11) 式给出.

最后, 根据引理2.6的(ii), 证明了滞后型测度泛函微分方程(2) 也是一致最终有界的.