自上世纪70年代以来, Bousfield类及其结构问题已经发展成为拓扑学、代数几何、群与代数的表示论等领域的共同研究课题^[1-5], Bousfield类是研究稳定同伦范畴、交换环上的导出范畴、稳定模范畴等张量三角范畴的局部化子范畴及其分类问题的重要途径, 特别地, 有限群的稳定模范畴的局部化子范畴就是它的Bousfield类^[4].

有限群$ G $的稳定模范畴StMod($ kG $)及其满子范畴Stmod($ kG $)(全体有限生成的$ kG $-模的稳定范畴)是有限群表示论中十分重要的表示范畴. 基于相对稳定范畴Stmod$ _H $($ kG $), Okuyama、Carlson和Peng等将有限群表示论中经典的相对子群$ H $的投射推广为相对模$ V $的投射, 利用Happel的方法相应地建立了更加广义的相对稳定范畴Stmod$ _V $($ kG $), 并研究其中的相对同调问题和上同调问题^[6-10]. 本文研究相对稳定范畴Stmod$ _V $($ kG $)的Bousfield类问题.

本文提出的相对$ V $-Bousfield类融合了相对模$ V $-投射问题和经典Bousfield类问题, 事实上, 它既是相对模$ V $-投射的推广, 又是相对稳定范畴Stmod($ kG $)上经典Bousfield类的推广(注1.4). 而且, 从结构上看, 相对$ V $-Bousfield类还与群代数的模上的张量积及其直和分解问题紧密相关, 而张量积的直和分解方法已经广泛运用到Green环的幂零元素、几乎可裂序列、内平凡模、Dade群的结构、广义迹映射等问题的研究中去^[11-14].

作者着重研究了相对$ V $-Bousfield类在模上的限制、诱导、张量诱导等运算下的包含关系问题(定理1.14、定理1.15、定理1.16、定理1.19), 以及利用相对$ V $-Bousfield类定义了模上的相对$ V $-Bousfield等价关系和相对$ V $-Bousfield等价类, 证明了在模上的限制和诱导运算下仍保持相对$ V $-Bousfield等价关系问题(定理2.8、定理2.11、定理2.12), 并在子群是强$ p $-嵌入的情形下建立了群与子群的相对$ V $-Bousfield等价类之间的一一对应(定理2.14、推论2.15). 这些结论综合、统一和推广了相对模$ V $-投射和经典Bousfield类的若干结论^{[4, 5, 6-10, 17]}.

本文中, 我们设定, $ p $是一个素数, $ G $是阶含有因子$ p $的有限群, $ k $是特征为$ p $的域, 所有的模均是有限生成的. 本文的记号和术语, 可参见文献[8], [15].

定义 1.1^[8]  设V是(有限生成的)kG-模, 对于(有限生成的)kG-模M, 若存在(有限生成的)kG-模X, 使得M是张量kG-模$ V \otimes X $的(在模同构意义下的)直因子, 则称M是相对V-投射kG-模, 或称M是V-投射的, 记为$ M \in {\mathcal{P}}(V) $, 其中, $ {\mathcal{P}}(V) $是全体相对V-投射kG-模的类.

注 1.2 (1) 对于G的子群H, 若$ V = \operatorname{Ind}_{H}^{G}k $, 由[15, Corollary4.3.8]知, $ {\mathcal{P}}(V) = {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}k) $是全体相对H-投射kG-模的类; 特别地, $ V = kG $时, $ {\mathcal{P}}(V) = {\mathcal{P}}(kG) = {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{1}^{G}k) $是全体投射kG-模的类;

(2) 对于任意$ kG $-模$ V $, 每个投射$ kG $-模$ P \in {\mathcal{P}}(V) $, 也即全体投射$ kG $-模都是$ V $-投射的;

(3) 若$ p \nmid \operatorname{dim}_{k}(V) $, 由[12, Corollary4.7] 知, $ k | V \otimes V^{*} $, 此时, $ {\mathcal{P}}(V) = \operatorname{mod} (k G) $.

定义 1.3   设$ M $是(有限生成的)$ kG $-模, 记

$ < {\mathit{M}} >_{V}: = \{({\rm{有限生成的}})kG{\rm{-模}}X|M\otimes X\in {\mathcal{P}}(V)\} $

称$ < {\mathit{M}} >_V $为有限群$ G $上的$ kG $-模$ M $的相对$ V $-Bousfield类.

注 1.4   (1) 显然, $ < {\mathit{M}} >_{V} = \{({\rm{有限生成的}})kG{\rm{-模}}X| $在Stmod$ _V $($ kG $)中$ M\otimes X = 0 \} $, 并且, $ < {\mathit{M}} >_{V} $是Stmod$ _V $($ kG $)的局部化满子范畴;

(2) $ < 0>_{V} = \operatorname{mod} (k G) $, 并且对于任意$ kG $-模$ M $, 若$ p \nmid \operatorname{dim}_{k}(V) $, 则$ < {\mathit{M}} >_{V} = \operatorname{mod} (k G) $;

(3) $ < k>_{V} = {\mathcal{P}}(V) $, 所以$ < k>_V $恰是全体相对$ V $-投射$ kG $-模的类, 这表明本文中关于相对Bousfield类$ < {\mathit{M}} >_V $的结论在相对投射类$ {\mathcal{P}}(V) $情形都成立, 从而本节结论涵盖了文献[6-10]中关于相对投射的若干相应结论;

(4) $ < {\mathit{M}} >_{k G} = < {\mathit{M}} >_{\operatorname{Ind}_{1}^{G}k} $, 此时, $ < {\mathit{M}} >_{kG} $简记为$ < {\mathit{M}} > $, 并且$ < {\mathit{M}} >_{kG} $恰是稳定模范畴Stmod($ kG $)的局部化满子范畴^[4], 这表明本文中关于相对$ V $-Bousfield类$ < {\mathit{M}} >_V $的结论在Bousfield类$ < {\mathit{M}} > $情形都成立[4, 5, 17].

容易验证下面的性质1.5, 证明此略.

性质 1.5   设$ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M \cong N $, $ U \cong V $, 以及$ N $是相对$ V $-投射$ kG $-模, 则

(1) $ < k>_{V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} \subseteq< 0>_{V} $;

(2) $ < V>_{V} = \operatorname{mod} (k G) $;

(3) $ < N>_{V} = \operatorname{mod} (k G) $;

(4) $ < {\mathit{M}} >_{V} = < N>_{V} $.

性质 1.6   设$ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模, 则

(1) $ < M \oplus N>_{V} = < {\mathit{M}} >_{V} \cap < N>_{V} $;

(2) $ < M \otimes N>_{V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{V} \cup< N>_{V} $;

(3) $ < M \otimes M>_{V} = < {\mathit{M}} >_{V} $;

(4) $ < M^{*}\otimes M>_{V} = < {\mathit{M}} >_{V} $.

证  容易验证(1)、(2), 下面证明(3)、(4).

首先, 由(2)知,

$ < M^{*} \otimes M \otimes M>_{V} \supseteq< M \otimes M>_{V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{V}. $

其次, 注意到,

$ 0 \rightarrow M \stackrel{s}\rightarrow \mathrm{Hom}(M, M) \otimes M \stackrel{t}\rightarrow M \rightarrow 0 $

是关于$ kG $-模典范态射的可裂短正合列, 这里, $ s: m \rightarrow 1 \otimes m $; $ t: \sum f_{i} \otimes m_{i} \rightarrow \Sigma f_{i}(m_{i}) $. 所以, $ M | \operatorname{Hom}(M, M) \otimes M $, 由此, $ M | M^{*} \otimes M \otimes M $.

最后, 再结合(1)知, $ < {\mathit{M}} >_{V} \supseteq< M^{*} \otimes M \otimes M>_{V} $. 综合上述, (3)得证.

类似地, 用(3)的证明方法可证明(4).

性质 1.7   设$ M $和$ V $是$ kG $-模, $ \Omega_{V}(M) $是$ M $的相对Heller算子模^[8], 则

$ < {\mathit{M}} >_{V} = < M^{*}>_{V} = < \Omega(M)>_{V} = <\Omega_{V}(M)>_{V}. $

证  首先, 注意到$ M \cong(M^{*})^{*} $, 再结合性质1.5(4)、性质1.6(4), 容易验证$ < {\mathit{M}} >_V = < M^*>_V $.

其次, 一方面, 由[8, Section 2]知, $ \Omega(M) | M \otimes \Omega(k) $, 再结合性质1.6的(1)和(2)知, $ <\Omega(M)>_{V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{V} $; 另一方面, 若$ kG $-模$ X \in<\Omega(M)>_{V} $, 则$ \Omega(M) \otimes X \in {\mathcal{P}}(V) $, 由[8, Section 2] 知,

$ \Omega(M \otimes X) | \Omega(M) \otimes X, $

所以, $ \Omega(M \otimes X) \in {\mathcal{P}}(V) $, 又由[8, Section 2]知, $ M \otimes X |(\Omega(M \otimes X) \otimes \Omega^{-1}(M \otimes X)) \oplus S $, 这里, $ S $是一个投射$ kG $-模, 由注1.2(2)知, $ S\in{\mathcal{P}}(V) $, 由此, $ M \otimes X \in {\mathcal{P}}(V) $, $ X \in< {\mathit{M}} >_{V} $, 以及$ <\Omega(M)>_{V}\subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $; $ < {\mathit{M}} >_{V} = <\Omega(M)>_{V} $得证.

最后, 类似地, 结合[8, Proposition 3.6], 用上述$ < {\mathit{M}} >_{V} = <\Omega(M)>_{V} $的证明方法可以证明$ < {\mathit{M}} >_{V} = <\Omega_V(M)>_{V} $.

性质 1.8   设$ M $、$ U $和$ V $是$ kG $-模; 若$ U\in{\mathcal{P}}(V) $, 则$ < {\mathit{M}} >_{U}\subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $; 特别地, 若$ U |V $, 则$ < {\mathit{M}} >_{U}\subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $.

证   一方面, 若$ kG $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_U $, 则存在$ kG $-模$ Y $, 使得$ M \otimes X | U \otimes Y $; 另一方面, 因为$ U\in{\mathcal{P}}(V) $, 所以存在$ kG $-模$ Z $, 使得$ U|V\otimes Z $; 综合上述, $ M \otimes X | V \otimes Z \otimes Y $, 也即$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 由此证得, $ < {\mathit{M}} >_{U} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $.

特别地, 若$ U|V $, 显然$ U \in {\mathcal{P}}(V) $, $ < {\mathit{M}} >_{U} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $也成立.

性质 1.9   设$ M $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 则

(1) $ < {\mathit{M}} >_{U \oplus V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{U} \cup< {\mathit{M}} >_{V} $;

(2) $ < {\mathit{M}} >_{U \otimes V} = < {\mathit{M}} >_{U} \cap< {\mathit{M}} >_{V} $.

证  (1) 由性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_{U} \subseteq< {\mathit{M}} >_{U \oplus V} $, 以及, $ < {\mathit{M}} >_{V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{U \oplus V} $, 所以, $ < {\mathit{M}} >_{U \oplus V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{U} \cup< {\mathit{M}} >_{V} $; (1) 得证.

(2) 一方面, 若$ X \in< {\mathit{M}} >_{U} \cap< {\mathit{M}} >_{V} $, 则有$ kG $-模$ Y $和$ Z $, 使得$ M\otimes X|U\otimes Y $, $ M\otimes X|V\otimes Z $, 又因为,

$ (M \otimes X) |(M \otimes X)^{*} \otimes(M \otimes X) \otimes(M \otimes X), $

所以,

$ (M \otimes X) |(U \otimes V) \otimes(Y \otimes Z) \otimes(M \otimes X)^{*}, $

也即, $ X \in< {\mathit{M}} >_{U \otimes V} $, 这表明, $ < {\mathit{M}} >_{U \otimes V} \supseteq< {\mathit{M}} >_{U} \cap< {\mathit{M}} >_{V} $, 另一方面, 显然$ U\otimes V\in{\mathcal{P}}(U) $, 由性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_{U \otimes V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{U} $, 同理, $ < {\mathit{M}} >_{U \otimes V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $, 所以, $ < {\mathit{M}} >_{U \otimes V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{U}\cap< {\mathit{M}} >_V $; 综合得知(2)成立.

性质 1.10   设$ M $和$ V $是$ kG $-模, 则

$ < {\mathit{M}} >_{V} = < {\mathit{M}} >_{V^{*}} = < {\mathit{M}} >_{V^{*} \otimes V} = < {\mathit{M}} >_{\Omega(V)} = < {\mathit{M}} >_{\Omega_{V}(M)}. $

证  首先, 因为$ V|V^*\otimes V\otimes V $, 所以, $ V\in{\mathcal{P}}(V^*) $, 结合性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_V\subseteq< {\mathit{M}} >_{V^*} $, 对称地, 可以证明, $ < {\mathit{M}} >_V\supseteq< {\mathit{M}} >_{V^*} $, 综上, $ < {\mathit{M}} >_V = < {\mathit{M}} >_{V^*} $得证.

其次, 一方面, 若$ kG $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 则存在$ kG $-模$ Y $, 使得$ M\otimes X|V\otimes Y $, 又因为$ V|V^*\otimes V\otimes V $, 所以$ M \otimes X |(V^{*} \otimes V) \otimes(V \otimes Y) $, 这说明, $ X \in< {\mathit{M}} >_{V^{*} \otimes V} $, 由此, $ < {\mathit{M}} >_V\subseteq < {\mathit{M}} >_{V^*\otimes V} $; 另一方面, 注意到$ V^*\otimes V\in P(V) $, 由性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_{V^{*} \otimes V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $; 综上, $ < {\mathit{M}} >_{V} = < {\mathit{M}} >_{V^{*} \otimes V} $得证.

再次, 一方面, 设$ V = \Omega^{0}(V) \oplus W $, 这里$ W $是一个投射$ kG $-模, 由注1.2(2) 知, $ W\in{\mathcal{P}}(\Omega^{0}(V)) $, 由此, $ V\in{\mathcal{P}}(\Omega^{0}(V)) $, 再由[8, Section 2]得知, $ \Omega^{0}(V)|\Omega(V)\otimes \Omega^{-1}(V) $, 也即, $ \Omega^{0}(V)\in{\mathcal{P}}(\Omega(V)) $, 结合性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_{V} \subseteq< {\mathit{M}} >_{\Omega(V)} $; 另一方面, 由[8, Section 2] 得知, $ \Omega(V)|V\otimes \Omega(k) $, 由此, $ \Omega(V)\in{\mathcal{P}}(V) $, 再结合性质1.8得知, $ < {\mathit{M}} >_{\Omega(V)} \subseteq< {\mathit{M}} >_{V} $, 综合上述, $ < {\mathit{M}} >_{V} = < {\mathit{M}} >_{\Omega(V)} $得证.

最后, 类似地, 结合[8, Proposition 3.6], 用上述证明$ < {\mathit{M}} >_V = < {\mathit{M}} >_{\Omega(V)} $的方法还可以证明$ < {\mathit{M}} >_V = < {\mathit{M}} >_{\Omega_V(M)} $.

设$ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 记：

$ < {\mathit{M}} >_{U} \otimes< N>_{V}: = \{X \otimes Y | X \in< {\mathit{M}} >_{U}, Y \in< N>_{V}\}. $

性质 1.11   设$ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 则

$ < {\mathit{M}} >_{U}\otimes< N>_{V}\subseteq< M \otimes N>_{U \otimes V}. $

证  设$ X\in< {\mathit{M}} >_U $, $ Y\in< N>_V $, 则$ M\otimes X\in{\mathcal{P}}(U) $, $ N\otimes Y\in{\mathcal{P}}(V) $, 也即, 存在$ kG $-模$ W_1 $, $ W_2 $, 使得

$ M \otimes X|U \otimes W_{1}, N \otimes Y| V \otimes W_{2}. $

所以,

$ (M \otimes N) \otimes(X \otimes Y) |(U \otimes V) \otimes(W_{1} \otimes W_{2}). $

也即, $ X\otimes Y\in< M\otimes N>_{U\otimes V} $, 性质1.11得证.

设$ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 记：

$ \operatorname{Hom}(< {\mathit{M}} >_{U}, \, < N>_{V}): = \{\operatorname{Hom}(X, Y) | X \in< {\mathit{M}} >_{U}, Y \in< N>_{V}\}. $

性质 1.12   设$ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 则

$ \operatorname{Hom}(< {\mathit{M}} >_{V}, \, < N>_{V}) \subseteq<\operatorname{Hom}(M, N)>_{\operatorname{Hom}(U, V)}. $

证  设$ X\in< {\mathit{M}} >_U $, $ Y\in< N>_V $, 则$ M\otimes X\in{\mathcal{P}}(U) $, $ N\otimes Y\in{\mathcal{P}}(V) $, 也即, 存在$ kG $-模$ W_1 $, $ W_2 $, 使得

$ M \otimes X|U \otimes W_{1}, N \otimes Y| V \otimes W_{2}. $

那么, $ (M^*\otimes X)|(U\otimes W_1)^* $, 也即, $ M^*\otimes X^*|U^*\otimes W_1^* $, 由此,

$ (M \otimes N)^* \otimes(X^* \otimes Y) |(U^* \otimes V) \otimes(W_{1}^* \otimes W_{2}). $

所以,

$ \operatorname{Hom}(M, N)\otimes\operatorname{Hom}(X, Y)|\operatorname{Hom}(U, V)\otimes\operatorname{Hom}(W_1, W_2). $

也即

$ \operatorname{Hom}(X, Y)\in<\operatorname{Hom}(M, N)>_{\operatorname{Hom}(U, V)}, $

所以

$ \operatorname{Hom}(< {\mathit{M}} >_{V}, \, < N>_{V}) \subseteq<\operatorname{Hom}(M, N)>_{\operatorname{Hom}(U, V)}, $

性质1.12得证.

推论 1.13   设$ M $和$ V $是$ kG $-模, 则$ \operatorname{End}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{End}(M)>_{\operatorname{End }(V)} = < {\mathit{M}} >_{V} $.

证  由性质1.12、性质1.5(4)、性质1.6(4)和性质1.10可知推论1.13成立.

设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kG $-模, 记：

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}): = \{\operatorname{Res}_{H}^{G}(X) | X \in< {\mathit{M}} >_{V}\}. $

定理 1.14   设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kG $-模, 则

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}. $

证  设$ kG $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 则$ M\otimes X\in {\mathcal{P}}(V) $, 也即, 存在$ kG $-模$ Y $, 使得$ M\otimes X|V\otimes Y $, 从而,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(X) | \operatorname{Res}_{H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(Y), $

这说明, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 由此, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $得证.

设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kH $-模, 记：

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}): = \{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) | X \in< {\mathit{M}} >_{V}\}. $

定理 1.15   设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kH $-模, 则

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}. $

证  设$ kH $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 则$ M\otimes X\in {\mathcal{P}}(V) $, 也即, 存在$ kH $-模$ Y $, 使得$ M\otimes X|V\otimes Y $, 从而$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M \otimes X) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V \otimes Y) $, 所以,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M \otimes X) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V \otimes Y) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k). $

又因为由[15, Corollary 4.3.8]得知,

$ k G \otimes_{k H}(M \otimes X) \cong(k G \otimes_{k H} M) \otimes X, $

进一步得到,

$ \begin{aligned} \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M \otimes X) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k)& = (k G \otimes_{k H}(M \otimes X)) \otimes(k G \otimes_{k H} k)\\ &\cong((k G \otimes_{k H} M) \otimes X) \otimes(k G \otimes_{k H} k) \\&\cong(k G \otimes_{k H} M) \otimes(k G \otimes_{k H}(k \otimes X)) \\&\cong \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X). \end{aligned} $

类似地,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V \otimes Y) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) \cong \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(Y), $

这说明,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(Y), $

也即, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $.

综合上述, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $得证.

定理 1.16   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模, 若$ < {\mathit{M}} >_U\subseteq< N>_V $, 则

$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)} \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}. $

证  首先, 设$ kH $-模$ X\in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)} $, 由定理1.15知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(U))}. $

由[15, Corollary 4.3.8]知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)) \cong U \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) $, 再结合性质1.5(4)和性质1.9(2)知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))>_{U \otimes\operatorname{Ind}_{H}^{G}(k)} \subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))>_{U}, $

所以,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in {\mathcal{P}}(U). $

其次, 一方面, 再由[15, Corollary 4.3.8]知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)) \cong M \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) $, 所以,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \cong M \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \cong M \otimes(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)); $

另一方面, 由[15, Theorem 5.2.1]知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k \otimes X) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) $, 综合得知,

$ M\otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)\in{\mathcal{P}}(U), \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)\in< {\mathit{M}} >_U\subseteq< N>_V. $

最后, 再由定理1.14知

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X))\in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}. $

然而, $ X|\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)) $, 所以, $ X\in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 也即,

$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)}\subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}\rm{\ 得证.} $

推论 1.17   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M $和$ N $是相对$ H $-投射$ kG $-模, 则$ < {\mathit{M}} >_U\subseteq < N>_V $, 当且仅当$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)} \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $.

证  由定理1.16知必要性成立, 下面证明充分性.

设$ X\in< {\mathit{M}} >_U $, 则由定理1.14知,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(X) \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)}, $

也即, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)} \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 再由定理1.15知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(X)) \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N))>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))}. $

由此,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(X)) \in{\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))). $

结合[15, Theorem 5.2.1]知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N) \otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(X)) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(X)). $

所以,

$ \begin{aligned} \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)) \otimes X \cong & \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N) \otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(X)) \in \mathcal{P}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))) \\ = &{\mathcal{P}}(V \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k)) \subseteq {\mathcal{P}}(V). \end{aligned}. $

然而, 因为$ N $是相对$ H $-投射$ kG $-模, 所以, $ N|\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)) $, 这意味着,

$ N \otimes X \in {\mathcal{P}}(V), X \in< N>_{V}, < {\mathit{M}} >_{U} \subseteq< N>_{V}. $

证毕.

推论 1.18   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $、$ U $和$ V $是$ kG $-模; 若$ H $包含$ G $的某个Sylow $ p $-子群, 则$ < {\mathit{M}} >_U\subseteq < N>_V $, 当且仅当$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(U)} \subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $.

证  由推论1.17和[15, Proposition 11.3.5]知推论1.18成立.

设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kH $-模, $ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M) $是$ M $的从$ H $到$ G $的张量诱导模, 记：

$ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}): = \{\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(X) | X \in< {\mathit{M}} >_{V}\} $

定理 1.19   设$ G\ge H $, $ M $和$ V $是$ kH $-模, 则

$ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V)}. $

证  设$ kH $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 则$ M\otimes X\in{\mathcal{P}}(V) $, 也即, 存在$ kH $-模$ Y $, 使得$ M\otimes X|V\otimes Y $.

设$ V\otimes Y = (M\otimes X)\oplus Z $, $ Z $是一个$ kH $-模, 那么, 由[18, Proposition 3.15.2] 知, 存在$ kG $- 模$ W $, 使得,

$ \begin{aligned} \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V \otimes Y)& = \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M \otimes X) \oplus \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(Z) \oplus W \\&\cong(\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(X)) \oplus \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(Z) \oplus W\\ &\cong \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(Y). \end{aligned} $

所以,

$ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(X) | \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(Y), $

也即, $ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(X) \in<\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M)>\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V) $, 从而

$ \operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(< {\mathit{M}} >_{V}) \subseteq<\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{\otimes H}^{G}(V)}{\rm{\ 得证.}} $

定义 2.1   设$ V $是(有限生成的)$ kG $-模, 对于(有限生成的)$ kG $-模$ M $和$ N $, 若$ < {\mathit{M}} >_V = < N>_V $, 则称$ M $与$ N $是相对$ V $-Bousfield等价的, 记为$ M\, \widetilde{_V}\, N $.$ M $所在的相对$ V $-Bousfield等价类记为$ \ll M \gg_V $, (有限生成的) $ kG $-模上的全体相对$ V $-Bousfield等价类记为$ \mathbb{C}(kG)_V $.

注 2.2   (1) 可以验证, 相对$ V $-Bousfield等价关系$ \, \widetilde{_V}\, $是$ kG $- 模上的一种等价关系, 并且, 若$ M \cong N $, 则$ M\, \widetilde{_V}\, N $, 所以, 相对$ V $-Bousfield等价关系是$ kG $-模上的一种较模同构关系弱的等价关系;

(2) 设$ V = kG $, 则相对$ V $-Bousfield等价关系$ \, \widetilde{_V}\, $恰是Bousfield等价关系$ \, \sim $, 这表明本文中关于相对$ V $-Bousfield等价关系的结论在Bousfield等价关系情形都成立^{[4, 5, 17]};

(3) 每个相对$ V $-Bousfield类$ < {\mathit{M}} >_V $对应着一个唯一确定的相对$ V $-Bousfield等价类$ \ll M \gg_V $, 全体相对$ V $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_V $从类别上对相对稳定范畴Stmod$ _V(kG) $的局部化子范畴进行分类, 对局部化子范畴上的代数结构(例如, 格结构)进行刻画.

性质 2.3   设$ M $、$ N $、$ X $、$ Y $是$ kG $-模; 若$ M\, \widetilde{_V}\, N $、$ X\, \widetilde{_V}\, Y $, 则

(1) $ M\oplus X \, \widetilde{_V}\, N\oplus Y $;

(2) $ M\otimes X \, \widetilde{_V}\, N\otimes Y $.

证  由性质1.6(1)易知(1)成立; 容易证明(2)也成立.

性质 2.4   设$ X $、$ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M\, \widetilde{_V}\, N $, 则

(1) $ X \, \widetilde{_V}\, X\otimes X $;

(2) $ X\otimes M \, \widetilde{_V}\, X\otimes X\otimes N $.

证   由性质1.6(3)可知(1)成立, 再结合性质2.3(2) 可知(2)成立.

性质 2.5   设$ M $和$ V $是$ kG $-模, 则

$ M \, \widetilde{_V}\, M^* \, \widetilde{_V}\, \Omega(M) \, \widetilde{_V}\, \Omega_V(M). $

证  由性质1.7易知性质2.5成立.

推论 2.6   设$ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模, 则

(1) $ M\, \widetilde{_V}\, N $当且仅当$ M^*\, \widetilde{_V}\, N^* $;

(2) $ M\, \widetilde{_V}\, N $当且仅当$ \Omega(M)\, \widetilde{_V}\, \Omega(N) $;

(3) $ M\, \widetilde{_V}\, N $当且仅当$ \Omega_V(M)\, \widetilde{_V}\, \Omega_V(N) $.

证  由性质2.5可知推论2.6成立.

性质 2.7   设$ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M\, \widetilde{_V}\, N $, 则

(1) $ M\, \widetilde{_{V^*}}\, N $;

(2) $ M\, \widetilde{_{V^*\otimes V}}\, N $;

(3) $ M\, \widetilde{_{\Omega(V)}}\, N $;

(4) $ M\, \widetilde{_{\Omega_V(V)}}\, N $.

证  由性质1.10可知性质2.7成立.

定理 2.8   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M\, \widetilde{_V}\, N $, 则$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N) $.

证  显然, 定理2.8是定理1.16的直接推论, 可另证如下.

设$ X\in <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 那么, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\otimes X\in{\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)) $, 结合定理1.15知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \otimes X) \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))), $

一方面, 由[15, Corollary4.3.8]知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \otimes X) \cong M \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) $, 所以

$ M\otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}( X) \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))), $

另一方面, 再由[15, Corollary4.3.8]知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V) \otimes X)\cong V\otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k) $, 所以,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V) ) \in {\mathcal{P}}(V). $

由此,

$ M \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))) \subseteq {\mathcal{P}}(V); $

综合上述, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)\in< {\mathit{M}} >_V = < N>_V $.

进一步, 由定理1.14知, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X))\in <\operatorname{Rex}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 注意到$ X|\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)) $, 所以, $ X\in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 由此, 我们证明了,

$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}\subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}. $

对称地, 可以证明,

$ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}\subseteq<\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}, $

所以, $ <\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} = <\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}} \, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N) $得证.

推论 2.9   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 若$ M $和$ N $是相对$ H $-投射$ kG $-模, 则

$ M\, \widetilde{_V}\, N{\rm{当且仅当}}\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}} \, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N). $

证  由推论1.17知推论2.9成立.

推论 2.10   设$ G\ge H $, $ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 若$ H $包含$ G $的Sylow $ p $-子群, 则

$ M\, \widetilde{_V}\, N{\rm{当且仅当}}\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N). $

证  由推论1.18知推论2.10成立.

设$ G>H $, 若$ p|\, |H| $, 但对每个$ t\in G\backslash H $, 都有$ p \nmid|H \cap H^{t}| $, 则称$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群. 强$ p $-嵌入子群$ H $包含$ G $的Sylow$ p $-子群$ P $的任意子群$ Q $的正规化子$ N_G (Q) $; 强$ p $-嵌入子群在有限单群分类中有重要的应用^[16].

定理 2.11   设$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群, $ M $、$ N $和$ V $是$ kH $-模; 则$ M\, \widetilde{_V}\, N $当且仅当$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N). $

证  必要性. 设$ kG $-模$ Y \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $, 那么, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)\otimes Y \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)) $, 再由定理1.14知,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes Y) \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V))). $

注意到, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes Y) = \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) )\otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}( Y) , $以及, $ M|\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)) , $所以,

$ M\otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}( Y)\in {\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)) ) , $

由[15, Theorem 5.2.1]得知,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)) \cong \oplus_{g \in[H \backslash G / H]} \operatorname{Ind}_{H \cap\ ^{g}H}^G(\ ^{g}V) \cong V \oplus(\oplus_{1 \neq g \in[H \backslash G / H]} \operatorname{Ind}_{H \cap\ ^{g}H}^G(\ ^{g}V)). $

注意到, 在$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群, 以及$ 1 \neq g \in[H \backslash G / H] $时, $ \operatorname{Ind}_{H \cap\ ^{g}H}^G(\ ^{g}V) $都是投射$ kG $-模, 结合注1.2.(2) 得知, $ {\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V))) = {\mathcal{P}}(V) $, 所以, $ M\otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(Y)\in{\mathcal{P}}(V) $, 也即, $ \operatorname{Res}_{H}^{G}(Y)\in< {\mathit{M}} >_V = < N>_V $.

一方面, 由定理1.15得知, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(Y))\in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $, 另一方面,

$ Y|\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(Y)), $

所以, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)\otimes Y\in{\mathcal{P}}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)) $, $ Y\in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $, 也即, $ <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}\subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} $.

对称地, 可以证明,

$ <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}\subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}, $

综合上述, 得知

$ <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}\subseteq<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}, $

也即, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N) $得证.

充分性. 设$ kH $-模$ X\in< {\mathit{M}} >_V $, 则, $ M\otimes X\in{\mathcal{P}}(V) $, 那么, 存在$ kH $-模$ Y $, 使得, $ M\otimes X|V\otimes Y $.注意到, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \cong \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M \otimes X) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k), $以及, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(Y) \cong \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V \otimes Y) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(k), $所以,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(M) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) | \operatorname{Ind}_{H}^{G}(V) \otimes \operatorname{Ind}_{H}^{G}(Y) , $

也即,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(X) \in<\operatorname{Ind}_{H}^{G}(M)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)} = <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V)}. $

结合定理1.14知,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)) \in<\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N))>_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V))}, $

由此,

$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)) \otimes \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)) \in {\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V))), $

结合必要性证明细节得知$ N|\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)), X|\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(X)), {\mathcal{P}}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(V))) = {\mathcal{P}}(V), $所以, $ N\otimes X\in{\mathcal{P}}(V) $, 也即, $ X\in< N>_V $, $ < {\mathit{M}} >_V\subseteq< N>_V $.

对称地, 可证明, $ < N>_V\subseteq< {\mathit{M}} >_V $, 从而, $ < {\mathit{M}} >_V = < N>_V $, 则$ M\, \widetilde{_V}\, N $. 充分性得证.

定理 2.12   设$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群, $ M $、$ N $和$ V $是$ kG $-模; 则

$ M\, \widetilde{_V}\, N{\rm{当且仅当}}\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N). $

证  由定理2.8知必要性成立, 下面证明充分性.

因为$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(M)\, \widetilde{_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}}\, \operatorname{Res}_{H}^{G}(N) $, 所以, 由定理2.11知,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))\, \widetilde{_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))}}\, \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N)). $

结合[15, Theorem 11.6.4]知, 考察$ M $的每个不可分解直因子的Green对应, 可以得到,

$ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))\cong M\otimes X, $

这里$ X $是投射$ kG $-模.类似地, 可以得到, $ \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))\cong V\otimes Y $, 这里$ Y $是投射$ kG $-模. 那么, 结合性质1.6(1)、性质1.9(1)、注1.2(2)知

$ <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M))>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))} = < M\oplus X>_{V\oplus Y} = < {\mathit{M}} >_V. $

同理可得,

$ <\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(N))>_{\operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(V))} = < N>_V. $

综合上述, $ < {\mathit{M}} >_V = < N>_V $, $ M\, \widetilde{_V}\, N $, 充分性得证.

定理 2.13   设$ G\ge H $, $ V $是$ kG $-模; 若$ H $包含$ G $的Sylow $ p $-子群，则模上的限制映射建立了从$ kG $-模上的全体相对$ V $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_V $到$ kH $-模上的全体相对Res$ _H^G(V) $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $的单射对应.

证  利用模上的限制映射建立从$ \mathbb{C}(kG)_V $到$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $的映射, 如下：

$ f: \mathbb{C}(k G)_{V} \rightarrow \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}:\ \ll M \gg_{V} \rightarrow \ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}, \ \ll M \gg_{V} \in \mathbb{C}(k G)_{V} $

由推论2.10知, 映射$ f $是合理定义的, 并且是从$ \mathbb{C}(kG)_V $到$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $的单射对应. 证毕.

定理 2.14   设$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群, $ V $是$ kG $-模; 则$ kG $-模上的全体相对$ V $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_V $与$ kH $-模上的全体相对$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(V) $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $一一对应, 并且

$ \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^G(V)} = \{\ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} | \ll M \gg_{V} \in \mathbb{C}(k G)_{V}\}; $

$ \mathbb{C}(k G)_{V} = \{\ll \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N) \gg_{V} | \ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} \in \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}\}. $

证  $ \mathbb{C}(kG)_V $与$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $之间的两个映射定义如下：

$ f: \mathbb{C}(k G)_{V} \rightarrow \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}:\ \ll M \gg_{V} \rightarrow \ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}, \ \ll M \gg_{V} \in \mathbb{C}(k G)_{V}, $

$ g:\mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} \rightarrow \mathbb{C}(k G)_{V}:\ \ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} \rightarrow \ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(N) \gg_{V}, \ \ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} \in \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}. $

一方面, 定理2.11和定理2.12说明, $ f $和$ g $是合理定义的; 另一方面, 结合定理2.12的证明细节, 可以得到,

$ g f(\ll M \gg_{V}) = g(\ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}) = \ll \operatorname{Ind}_{H}^{G}(\operatorname{Res}_{H}^{G}(M)) \gg_{V} = \ll M \gg_{V}; $

以及结合定理2.11的证明细节, 可以得到,

$ fg(\ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}) = f(\ll \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N) \gg_{V}) = \ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(\operatorname{Ind}_{H}^{G}(N)) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} = \ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}; $

综合上述, $ gf = 1 $, $ fg = 1 $, 这说明, $ \{\ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} | \ll M \gg_{V} \in \mathbb{C}(k G)_{V}\} $是$ kH $-模上的全体相对$ \operatorname{Res}_{H}^{G}(V) $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kH)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} $, 以及,

$ \{\ll \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N) \gg_{V} | \ll N \gg_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)} \in \mathbb{C}(k H)_{\operatorname{Res}_{H}^{G}(V)}\} $

是$ kG $-模上的全体相对$ V $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_V $, 并且它们之间是一一对应的. 证毕.

推论 2.15   设$ H $是$ G $的强$ p $-嵌入子群, $ U $是不可分解的$ kH $-模, $ V $是不可分解的$ kG $-模, 并且$ U $和$ V $互为Green对应; 则$ kG $-模上的全体相对$ V $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_V $与$ kH $-模上的全体相对$ U $-Bousfield等价类$ \mathbb{C}(kG)_{U} $一一对应, 并且

$ \mathbb{C}(k H)_{U} = \{\ll \operatorname{Res}_{H}^{G}(M) \gg_{U} | \ll M \gg_{V} \in \mathbb{C}(k G)_{V}\}; $

$ \mathbb{C}(k G)_{V} = \{\ll \operatorname{Ind}_{H}^{G}(N) \gg_{V} | \ll N \gg_{U} \in \mathbb{C}(k H)_{U}\}. $

证  由定理2.14, 再结合定理2.11和定理2.12的证明细节, 可知推论2.15成立.