当常微分方程$\frac{dx}{dt}=f(x, t)$所描述的系统受到扰动时, 对受到扰动的系统导出的常微分方程形式如下

$ \frac{dx}{dt}=f(x, t)+g(x, t). $

如果扰动项$g(x, t)$是连续可积的, 那么受扰动之后的系统仍旧是常微分方程, 它的解仍旧是连续的, 如果扰动项是脉冲型的, 那么扰动之后系统的状态就不会随着时间连续变化而变化, 而是呈现出一种瞬时状态.为了研究这类问题, 我们对上述方程加上一种脉冲型的扰动, 这就给出如下形式的方程

$ Dx=f(x, t)+g(x, t)Du, $

(1.1)

其中$Dx$和$Du$分别表示函数$x$和$u$的分布导数.形如(1.1)的方程叫做测度微分方程.由于测度微分方程的解没有连续性, 又没有随机系统那么复杂, 因此, 我们可以说测度微分方程是一种不同于经典不连续系统的新的不连续系统.测度微分方程已经被很多学者研究(见文献[1-4]).

在文[5]中Dannan和Elaydi研究了常微分方程的Lipschitz稳定性; 文[6]中作者讨论了一类脉冲微分系统的Lipschitz稳定性; 文[7]中作者给出了脉冲泛函微分方程的Lipschitz稳定性; 文[8]中作者建立了广义常微分方程的变差一致Lipschitz稳定性, 一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性, 并通过滞后型脉冲微分方程在一定条件下与广义常微分方程的等价关系, 讨论了滞后型脉冲微分方程的Lipschitz稳定性.本文是在文[8]的基础上, 通过测度微分方程与广义常微分方程的等价关系, 定义了测度微分方程

$ Dx=f(x, t)Dg(t) $

(1.2)

和扰动后的测度微分方程

$ Dx=f(x, t)Dg(t)+p(t) $

(1.3)

的变差一致Lipschitz稳定性, 一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性, 并建立了测度微分方程和扰动后的测度微分方程的Lipschitz稳定性定理.方程(1.2)和方程(1.3)的等价方程为

$ x(t)=x(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}f(x(s), s)dg(s), ~t\in[t_{0}, +\infty) $

(1.4)

和

$ x(t)=x(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}f(x(s), s)dg(s)+\int_{t_{0}}^{t}p(s)ds, ~t\in[t_{0}, +\infty), $

(1.5)

其中$f:B_{c}\times[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}, B_{c}=\{y\in R^{n}, \|y\|<c\}, g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R, p:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$是比Lebesgue-Stieltjes可积更广泛的Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数和Kurzweil-Henstock可积函数(见文[10]).

函数$x:[a, b]\rightarrow R^{n}$为$[a, b]$上的正则函数是指若函数$x$的左右极限

$ x(t+)=\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^{+}}x(t+\sigma), ~t\in[a, b), ~x(t-)=\lim\limits_{\sigma\rightarrow 0^{-}}x(t+\sigma), ~t\in(a, b] $

分别存在且有限(正则函数在有限区间上有界, 在无穷区间上不一定有界).记$G^{*}([a, b], R^{n}), [a, b] \subset[t_{0}, +\infty)$是定义在$[a, b]$上的正则函数全体, 并且是左连续的.$G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n})$为关于函数$ x:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$的一个向量空间, 使得对所有$[a, b]\subset[t_{0}, +\infty), x|_{[a, b]}$属于空间$G^{*}([a, b], R^{n}).~G_{0}^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n})$是关于所有$x\in G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n})$的一个向量空间, 使得

$ \sup\limits_{s\in[t_{0}, +\infty)}e^{-(s-t_{0})}\|x(s)\|<+\infty. $

在$G_{0}^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n})$上定义范数

$ \|x\|_{[t_{0}, +\infty)}=\sup\limits_{s\in[t_{0}, +\infty)}e^{-(s-t_{0})}\|x(s)\|, ~x\in G_{0}^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), $

$G_{0}^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n})$为Banach空间.

记$\Omega=B_{c}\times[t_{0}, +\infty)$, 本文假定函数$f:\Omega \rightarrow R^{n}, g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R, p:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$满足下列条件

(H$_{1})$函数$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$在$[t_{0}, +\infty)$上是不减的左连续函数.

(H$_{2})$对每一个$x\in G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty)$, Kurzweil-Henstock-Stieltjes积分$\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x(t), t)dg(t)$存在.

(H$_{3})$存在一个关于$g$的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数$M:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$, 使得对任意的$x\in G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty), s_{1}<s_{2}$,

$ \bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x(s), s)dg(s)\bigg\|\leq\int_{s_{1}}^{s_{2}}M(s)dg(s). $

(H$_{4})$存在一个关于$g$的局部Kurzweil-Henstock-Stieltjes可积函数$L:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$, 使得对任意的$x, z\in G_{0}^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty), s_{1}<s_{2}$,

$ \bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}[f(x(s), s)-f(z(s), s)]dg(s)\bigg\|\leq\|x-z\|_{[t_{0}, +\infty)}\int_{s_{1}}^{s_{2}}L(s)dg(s). $

(H$_{5})$对每一个$x\in G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty)$, Kurzweil-Henstock积分$\int_{s_{1}}^{s_{2}}p(t)dt$存在.

(H$_{6})$存在一个局部Kurzweil-Henstock可积函数$N:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$, 使得对任意的$x\in G^{*}([t_{0}, +\infty), R^{n}), s_{1}, s_{2}\in[t_{0}, +\infty), s_{1}<s_{2}$,

$ \bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}p(s)ds\bigg\|\leq\int_{s_{1}}^{s_{2}}N(s)ds. $

本文主要分为三个部分.第二部分给出了本文所需要的一些定义和引理, 第三部分定义了测度微分方程和扰动后的测度微分方程的变差一致Lipschitz稳定性, 一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性, 并建立了测度微分方程和扰动后的测度微分方程的Lipschitz稳定性定理.

本节介绍了广义常微分方程的相关定义和引理及测度微分方程与广义常微分方程的等价关系.

定义2.1^[9] 称函数$U:[a, b]\times[a, b]\rightarrow R^{n}$在区间$[a, b]$上Kurzweil可积, 如果存在$I\in R^{n}$, 使得对任意的$\varepsilon>0$, 存在正值函数$\delta:[a, b]\rightarrow(0, +\infty)$, 使得对$[a, b]$上的任何$\delta(\tau)$-精细分划$D=\{(\tau_j, [\alpha_{j-1}, \alpha_j]), j=1, 2, \cdots, k\}$, 其中$\tau_j\in[\alpha_{j-1}, \alpha_j]\subset[\tau_j-\delta(\tau_j), \tau_j+\delta(\tau_j)]$, 有

$ \bigg\|\sum\limits_{j=1}^{k}[U(\tau_j, \alpha_j)-U(\tau_j, \alpha_{j-1})]-I\bigg\|<\varepsilon, $

称$I$为$U$在$[a, b]$上的Kurzweil积分, 记作$I=\int_{a}^{b}DU(\tau, t)$.特别地, 当$U(\tau, t)=f(\tau)g(t)$时, $\int_{a}^{b}DU(\tau, t)=\int_{a}^{b}f(s)dg(s)$.

定义2.2^[9] 设函数$F:\Omega\rightarrow R^{n}$, 如果对所有的$t\in [\alpha, \beta], ~(x(t), t)\in\Omega$, 且对任意的$s_{1}, s_{2}\in[\alpha, \beta]$, 有等式$x(s_{2})-x(s_{1})=\int_{s_{1}}^{s_{2}}DF(x, t)$成立, 则称$x:[\alpha, \beta]\rightarrow R^{n}$是广义常微分方程

$ \frac{dx}{d\tau}=DF(x, t) $

(2.1)

在区间$[\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$上的解.

定义2.3^[9] 设不减函数$h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$, 函数$F:\Omega\rightarrow R^{n}$属于函数族$\mathcal{F}(\Omega, h)$, 是指$F$满足以下条件:对任意的$(x, s_{1}), (x, s_{2})\in \Omega$, 有

$ \|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})\|\leq|h(s_{2})-h(s_{1})|, $

(2.2)

且对任意的$(x, s_{1}), (x, s_{2}), (y, s_{1}), (y, s_{2})\in \Omega$, 有

$ \|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})-F(y, s_{2})+F(y, s_{1})\|\leq\|x-y\||h(s_{2})-h(s_{1})|. $

(2.3)

引理2.1^[9] 设$F:\Omega\rightarrow R^{n}$满足(2.2)式, 如果$x:[\alpha, \beta]\rightarrow R^{n}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$是方程(2.1)的一个解, 则$x$在$[\alpha, \beta]$上有界变差, 且var$_{\alpha}^{\beta}x\leq h(\beta)-h(\alpha)<+\infty, $并且在$[\alpha, \beta]$上$x$与函数$h$具有相同的连续性, 其中var$_{\alpha}^{\beta}x$表示$x$在$[\alpha, \beta]$上的全变差.

引理2.2^[10] 假设$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}$), (H$_{3}$), (H$_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, 对任意的$\tau_{0}\in[t_{0}, +\infty)$, 并且定义函数$F:\Omega\rightarrow R^{n}$为

$ F(x, t)=\int_{\tau_{0}}^{t}f(x(s), s)dg(s), ~(x, t)\in \Omega, $

(2.4)

则$F\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 其中$h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$是不减的左连续函数, 且

$ h(t)=\int_{\tau_{0}}^{t}(M(s)+L(s))dg(s), ~t\in[t_{0}, +\infty). $

引理2.3^[11] 假设$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}$), (H$_{3}$), (H$_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, 且$p:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{5})$和(H$_{6})$, 对任意的$\tau_{0}\in[t_{0}, +\infty)$, 并且定义函数$G:\Omega\rightarrow R^{n}$为

$ G(x, t)=\int_{\tau_{0}}^{t}f(x(s), s)dg(s)+\int_{\tau_{0}}^{t}p(s)ds, ~(x, t)\in \Omega, $

(2.5)

则$G\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 其中$h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$是不减的左连续函数, 且

$ h(t)=\int_{\tau_{0}}^{t}(M(s)+L(s))dg(s)+\int_{\tau_{0}}^{t}N(s)ds, ~t\in[t_{0}, +\infty). $

引理2.4^[10] 假设$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}), (H_{3}), (H_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, 如果函数$x:[a, b]\rightarrow R^{n}, [a, b]\subset[t_{0}, +\infty)$是测度微分方程(1.2)的解, 当且仅当$x$是广义常微分方程

$ \frac{dx}{d\tau}=DF(x, t) $

(2.6)

在$[a, b]$上的解, 其中函数$F$由(2.4)式给定.

引理2.5^[11] 假设$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}$), (H$_{3}$), (H$_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, 且$p:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{5})$和(H$_{6})$, 如果函数$x:[a, b]\rightarrow R^{n}, [a, b]\subset[t_{0}, +\infty)$是测度微分方程(1.3)的解, 当且仅当$x$是广义常微分方程

$ \frac{dx}{d\tau}=DG(x, t) $

(2.7)

在$[a, b]$上的解, 其中函数$G$由(2.5)式给定.

引理2.6^[9] 设$F\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 假设$x:[\alpha, \beta]\rightarrow R^{n}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$在$[\alpha, \beta]$上是有界变差函数, 使得对每一个$s\in[\alpha, \beta], (x(s), s)\in\Omega$, 则积分$\int_{\alpha}^{\beta}DF(x(\tau), t)$存在.

引理2.7^[9] 设$F\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 假设$V:[t_{0}, +\infty)\times R^{n}\rightarrow R^{+}$是使得对任意的$y\in R^{n}$, 函数$V(\cdot, y):[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$在$(t_{0}, +\infty)$上是左连续的, 假设以下条件成立

(ⅰ)对任意的$(t, x), (t, y)\in[t_{0}, +\infty)\times R^{n}$, 常数$L>0$, 有$|V(t, x)-V(t, y)|\leq L\|x-y\|.$

(ⅱ)存在一个实函数$\Phi:R^{n}\rightarrow R$, 使得对于广义常微分方程(2.6)在区间$(a, b)\subset[t_{0}, +\infty)$上的每一个解$y:(a, b)\rightarrow R^{n}$, 对于$t\in(a, b)$, 有

$ \lim\limits_{\eta\rightarrow 0^{+}}\sup\frac{V(t+\eta, y(t+\eta))-V(t, y(t))}{\eta}\leq\Phi(y(t)). $

(2.8)

若$\overline{y}:[\alpha, \beta]\rightarrow R^{n}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是区间$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上是左连续的, 则不等式

$ V(\beta, \overline{y}(\beta))-V(\alpha, \overline{y}(\alpha))\leq \text{Lvar}_{\alpha}^{\beta}[\overline{y}(s)-\int_{\alpha}^{s}DF(\overline{y}(\tau), t)]+B(\beta-\alpha) $

成立, 其中$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{y}(t)), F$由(2.4)式给定.

引理2.8^[9] 设$G\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 假设$V:[t_{0}, +\infty)\times R^{n}\rightarrow R^{+}$是使得对任意的$y\in R^{n}$, 函数$V(\cdot, y):[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$在$(t_{0}, +\infty)$上是左连续的, 假设以下条件成立:

(ⅰ)对任意的$(t, x), (t, y)\in[t_{0}, +\infty)\times R^{n}$, 常数$L>0$, 有$|V(t, x)-V(t, y)|\leq L\|x-y\|.$

(ⅱ)存在一个实函数$\Phi:R^{n}\rightarrow R$, 使得对于广义常微分方程(2.7)在区间$(a, b)\subset[t_{0}, +\infty)$上的每一个解$y:(a, b)\rightarrow R^{n}$, 对于$t\in(a, b)$, 有

$ \lim\limits_{\eta\rightarrow 0^{+}}\sup\frac{V(t+\eta, y(t+\eta))-V(t, y(t))}{\eta}\leq\Phi(y(t)). $

(2.9)

若$\overline{y}:[\alpha, \beta]\rightarrow R^{n}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是区间$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上是左连续的, 则不等式

$ V(\beta, \overline{y}(\beta))-V(\alpha, \overline{y}(\alpha))\leq \text{Lvar}_{\alpha}^{\beta}[\overline{y}(s)-\int_{\alpha}^{s}DG(\overline{y}(\tau), t)]+B(\beta-\alpha) $

成立, 其中$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{y}(t)), G$由(2.5)式给定.

本节定义了测度微分方程(1.2)及扰动后的测度微分方程(1.3)的变差一致Lipschitz稳定性, 一致Lipschitz稳定性和一致整体Lipschitz稳定性.利用广义常微分方程的Lipschitz稳定性结果给出了测度微分方程的变差一致Lipschitz稳定性, 一致整体Lipschitz稳定性定理及其证明.

定义3.1 测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv 0$是变差一致Lipschitz稳定的, 若存在$A>0$, 以及$\delta>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上左连续, 当$\|\overline{x}(\alpha)\|<\delta$和

$ \text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(t), t)dg(t)]<\delta $

(3.1)

时, 则有

$ \|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta]. $

定义3.2 测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是

(ⅰ)一致Lipschitz稳定的, 若存在$A>0, \delta>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是测度微分方程(1.2)在$[\alpha, \beta]$上的一个解, 当$\|\overline{x}(\alpha)\|<\delta$时, 则$\|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta].$

(ⅱ)一致整体Lipschitz稳定的, 若存在$A>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是测度微分方程(1.2)在$[\alpha, \beta]$上的一个解, 则$\|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta].$

注 若测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的, 则它是一致Lipschitz稳定的.

定义3.3 测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv 0$是变差一致Lipschitz稳定的, 若存在$A>0$, 以及$\delta>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上左连续, 当$\|\overline{x}(\alpha)\|<\delta$和

$ \text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(t), t)dg(t)+\int_{\alpha}^{s}p(t)dt)]<\delta $

(3.2)

时, 则有

$ \|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta]. $

定义3.4 测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是

(ⅰ)一致Lipschitz稳定的, 若存在$A>0, \delta>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是测度微分方程(1.3)在$[\alpha, \beta]$上的一个解, 当$\|\overline{x}(\alpha)\|<\delta$时, 则

$ \|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta]. $

(ⅱ)一致整体Lipschitz稳定的, 若存在$A>0$, 使得若$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow B_{c}, t_{0}\leq\alpha<\beta<+\infty$是测度微分方程(1.3)在$[\alpha, \beta]$上的一个解, 则

$ \|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|, ~t\in[\alpha, \beta]. $

注 若测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的, 则它是一致Lipschitz稳定的.

定理3.1 设$V:[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}\rightarrow R^{+}$, 其中$\overline{B}_{\rho}=\{y\in R^{n}, \|y\|\leq\rho\}, 0<\rho<c$, 假设$V$满足以下条件

(ⅰ)对所有的$t\in[t_{0}, +\infty)$, 有$V(t, 0)=0$.

(ⅱ)对所有的$x\in\overline{B}_{\rho}$, 有$V(\cdot, x):[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$在$(t_{0}, +\infty)$上是左连续的.

(ⅲ)存在一个常数$K>0$, 使得

$ |V(t, z)-V(t, y)|\leq K\|z-y\|, ~t\in[t_{0}, +\infty), ~z, y\in\overline{B}_{\rho}. $

(ⅳ)存在一个单调递增函数$b:[0, +\infty)\rightarrow[0, +\infty)$满足$b(0)=0$, 使得对所有的$t\in[t_{0}, +\infty), ~x\in\overline{B}_{\rho}$, 有$V(t, x)\geq b(\|x\|)$.

(ⅴ)对于方程(1.2)的所有解$x:[\alpha, \beta]\rightarrow\overline{B}_{\rho}$, 有

$ D^{+}V(t, x(t))=\lim\limits_{\eta\rightarrow0^{+}}\sup\frac{V(t+\eta, x(t+\eta))-V(t, x(t))}{\eta}\leq0, ~t\in[\alpha, \beta]. $

则方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

证 根据引理2.2, 需验证$F\in\mathcal{F}(\Omega, h), F$由(2.4)式给定, $\Omega=B_{c}\times[t_{0}, +\infty)$.因为$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}$), (H$_{3}$), (H$_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, 使得对任意的$(x, s_{2}), (x, s_{1})\in\Omega$, 有

$ \begin{aligned} \|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})\| &=\bigg\|\int_{\tau_{0}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)-\int_{\tau_{0}}^{s_{1}}f(x, s)dg(s)\bigg\| =\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)\bigg\|\\ &\leq\int_{s_{1}}^{s_{2}}M(s)dg(s) \leq h(s_{2})-h(s_{1}), \end{aligned} $

且对任意的$(x, s_{2}), (x, s_{1}), (z, s_{2}), (z, s_{1})\in\Omega$, 由条件(H$_{4})$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|F(x, s_{2})-F(x, s_{1})-F(z, s_{2})+F(z, s_{1})\|\\ &=&\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)-\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(z, s)dg(s)\bigg\| =\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}[f(x, s)-f(z, s)]dg(s)\bigg\|\\ &\leq&\|x-z\|_{[t_{0}, +\infty)}\int_{s_{1}}^{s_{2}}L(s)dg(s) \leq\|x-z\|_{[t_{0}, +\infty)}[h(s_{2})-h(s_{1})]. \end{eqnarray*} $

所以$F\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 其中$h(t)=\int_{\tau_{0}}^{t}[M(s)+L(s)]dg(s), ~\tau_{0}\in[t_{0}, +\infty)$, 且$h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$是不减的左连续函数.

由引理2.4可知, 测度微分方程(1.2)的解也是广义常微分方程(2.6)的解, 因此它们的解都是有界变差函数.

以下证明测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

设$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow \overline{B}_{\rho}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$是$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上是左连续的.由条件(ⅲ), (ⅴ)及引理2.4和引理2.7, 其中$\Phi\equiv0$.对任意的$t\in[\alpha, \beta]$, 有

$ \begin{aligned} V(t, \overline{x}(t))-V(\alpha, \overline{x}(\alpha)) &\leq K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}DF(\overline{x}(\tau), r)]+B(t-\alpha)\\ &=K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]+B(t-\alpha)\\ &=K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]\\ &\leq K\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)], \end{aligned} $

(3.3)

因为$\Phi\equiv0$, 所以$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{x}(t))=0.$且由条件(ⅰ)和(ⅲ), 有$|V(\alpha, \overline{x}(\alpha))-V(\alpha, 0)|\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|, $即

$ V(\alpha, \overline{x}(\alpha))\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|. $

(3.4)

对于$\varepsilon>0$, 使得不等式$0<b(\varepsilon)\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon)$成立.设$\delta>0$, 使得$2K\delta<b(\varepsilon)$.若

$ \|\overline{x}(\alpha)\|<\delta, ~\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]<\delta. $

因此由(3.3)和(3.4)式, 有

$ \begin{aligned} V(t, \overline{x}(t)) \leq V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+K\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)] \leq K\|\overline{x}(\alpha)\|+K\delta \leq2K\delta. \end{aligned} $

由于$2K\delta<b(\varepsilon)$, 则有

$ V(t, \overline{x}(t))\leq2K\delta<b(\varepsilon)\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon), ~t\in[\alpha, \beta]. $

(3.5)

另外, 由条件(ⅳ), 有

$ b(\|\overline{x}(t)\|)\leq V(t, \overline{x}(t)), ~t\in[\alpha, \beta]. $

(3.6)

则由(3.5)和(3.6)式, 有$b(\|\overline{x}(t)\|)\leq V(t, \overline{x}(t))\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon).$由于$b$是增函数, 则

$ \|\overline{x}(t)\|\leq\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon, ~t\in[\alpha, \beta]. $

由定义3.1, 取$A=1$, 并且由$\varepsilon$的任意性, 则$\|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|$满足, 则测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

定理3.2 设$V[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}\rightarrow R^{+}$满足定理3.1中的条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)和(ⅴ), 并且满足条件

(ⅳ$^{'})$对所有的$(t, x)\in[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}$, 有$V(t, x)\geq\|x\|$.

则方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是一致整体Lipschitz稳定的.

证 设$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow\overline{B}_{\rho}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$是测度微分方程(1.2)在$[\alpha, \beta]$上的解.由条件(ⅲ), (ⅴ)及引理2.4和引理2.7, 其中$\Phi\equiv0$, 所以$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{x}(t))=0$, 对任意的$t\in[\alpha, \beta]$, 有

$ \begin{aligned} \|\overline{x}(t)\|\leq V(t, \overline{x}(t)) &\leq V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+Kvar_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}DF(\overline{x}(\tau), r)]+B(t-\alpha)\\ &=V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+Kvar_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]+B(t-\alpha)\\ &=V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+Kvar_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]\\ &\leq V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+Kvar_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]\\ &\leq V(\alpha, \overline{x}(\alpha))\\ &\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|. \end{aligned} $

因为var$_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)]=0$, 并且$V(\alpha, \overline{x}(\alpha))\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|$(见(3.4)式), 则$\|\overline{x}(t)\|\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|$满足定义3.2中的(ⅱ), 则测度微分方程(1.2)的平凡解$x\equiv0$是一致整体Lipschitz稳定的.

定理3.3 设$V:[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}\rightarrow R^{+}$, 其中$\overline{B}_{\rho}=\{y\in R^{n}, \|y\|\leq\rho\}, 0<\rho<c$, 假设$V$满足以下条件

(ⅰ)对所有的$t\in[t_{0}, +\infty)$, 有$V(t, 0)=0$.

(ⅱ)对所有的$x\in\overline{B}_{\rho}$, 有$V(\cdot, x):[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{+}$在$(t_{0}, +\infty)$上是左连续的.

(ⅲ)存在一个常数$K>0$, 使得

$ |V(t, z)-V(t, y)|\leq K\|z-y\|, ~t\in[t_{0}, +\infty), z, y\in\overline{B}_{\rho}. $

(ⅳ)存在一个单调递增函数$b:[0, +\infty)\rightarrow[0, +\infty)$满足$b(0)=0$, 使得对所有的$t\in[t_{0}, +\infty), ~x\in\overline{B}_{\rho}$, 有$V(t, x)\geq b(\|x\|)$.

(ⅴ)对于方程(1.3)的所有解$x:[\alpha, \beta]\rightarrow\overline{B}_{\rho}$, 有

$ D^{+}V(t, x(t))=\lim\limits_{\eta\rightarrow0^{+}}\sup\frac{V(t+\eta, x(t+\eta))-V(t, x(t))}{\eta}\leq0, ~t\in[\alpha, \beta]. $

则方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

证 根据引理2.3, 需验证$G\in\mathcal{F}(\Omega, h), G$由(2.5)式给定, $\Omega=B_{c}\times[t_{0}, +\infty)$.因为$f:\Omega\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{2}$), (H$_{3}$), (H$_{4})$, 并且$g:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$满足条件(H$_{1})$, $p:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R^{n}$满足条件(H$_{5})$和(H$_{6})$, 使得对任意的$(x, s_{2}), (x, s_{1})\in\Omega$, 有

$ \begin{aligned} \|G(x, s_{2})-G(x, s_{1})\| &=\bigg\|\int_{\tau_{0}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)+\int_{\tau_{0}}^{s_{2}}p(s)ds-\int_{\tau_{0}}^{s_{1}}f(x, s)dg(s)-\int_{\tau_{0}}^{s_{1}}p(s)ds\bigg\|\\ &=\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)+\int_{s_{1}}^{s_{2}}p(s)ds\bigg\|\\ &\leq\int_{s_{1}}^{s_{2}}M(s)dg(s)+\int_{s_{1}}^{s_{2}}N(s)ds\\ &\leq h(s_{2})-h(s_{1}), \end{aligned} $

且对任意的$(x, s_{2}), (x, s_{1}), (z, s_{2}), (z, s_{1})\in\Omega$, 由条件(H$_{4})$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|G(x, s_{2})-G(x, s_{1})-G(z, s_{2})+G(z, s_{1})\|\\ &=&\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(x, s)dg(s)-\int_{s_{1}}^{s_{2}}f(z, s)dg(s)\bigg\| =\bigg\|\int_{s_{1}}^{s_{2}}[f(x, s)-f(z, s)]dg(s)\bigg\|\\ &\leq&\|x-z\|_{[t_{0}, +\infty)}\int_{s_{1}}^{s_{2}}L(s)dg(s) \leq\|x-z\|_{[t_{0}, +\infty)}[h(s_{2})-h(s_{1})]. \end{eqnarray*} $

所以$G\in\mathcal{F}(\Omega, h)$, 其中$h(t)=\int_{\tau_{0}}^{t}[M(s)+L(s)]dg(s)+\int_{\tau_{0}}^{t}N(s)ds, ~\tau_{0}\in[t_{0}, +\infty)$, 且$h:[t_{0}, +\infty)\rightarrow R$是不减的左连续函数.

由引理2.5可知, 测度微分方程(1.3)的解也是广义常微分方程(2.7)的解, 因此它们的解都是有界变差函数.

以下证明测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

设$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow\overline{B}_{\rho}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$是$[\alpha, \beta]$上的有界变差函数, 并且在$(\alpha, \beta]$上是左连续的.由条件(ⅲ), (ⅴ)及引理2.5和引理2.8, 其中$\Phi\equiv0$, 对任意的$t\in[\alpha, \beta]$, 有

$ \begin{aligned} V(t, \overline{x}(t))-V(\alpha, \overline{x}(\alpha)) &\leq K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}DG(\overline{x}(\tau), r)]+B(t-\alpha)\\ &=K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]+B(t-\alpha)\\ &=K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]\\ &\leq K\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)], \end{aligned} $

(3.7)

因为$\Phi\equiv0$, 所以$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{x}(t))=0.$且由条件(ⅰ)和(ⅲ), 有$|V(\alpha, \overline{x}(\alpha))-V(\alpha, 0)|\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|, $即

$ V(\alpha, \overline{x}(\alpha))\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|. $

(3.8)

对于$\varepsilon>0$, 使得不等式$0<b(\varepsilon)\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon)$成立.设$\delta>0$, 使得$2K\delta<b(\varepsilon)$.若

$ \|\overline{x}(\alpha)\|<\delta, ~\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]<\delta. $

因此由(3.7)和(3.8)式, 有

$ \begin{aligned} V(t, \overline{x}(t)) &\leq V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+K\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]\\ &\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|+K\delta \leq2K\delta. \end{aligned} $

由于$2K\delta<b(\varepsilon)$, 则有

$ V(t, \overline{x}(t))\leq2K\delta<b(\varepsilon)\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon), ~t\in[\alpha, \beta]. $

(3.9)

另外, 由条件(ⅳ), 有

$ b(\|\overline{x}(t)\|)\leq V(t, \overline{x}(t)), ~t\in[\alpha, \beta]. $

(3.10)

则由(3.9)和(3.10)式, 有$b(\|\overline{x}(t)\|)\leq V(t, \overline{x}(t))\leq b(\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon).$由于$b$是增函数, 则

$ \|\overline{x}(t)\|\leq\|\overline{x}(\alpha)\|+\varepsilon, ~t\in[\alpha, \beta]. $

由定义3.3, 取$A=1$, 并且由$\varepsilon$的任意性, 则$\|\overline{x}(t)\|\leq A\|\overline{x}(\alpha)\|$满足, 则测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是变差一致Lipschitz稳定的.

定理3.4 设$V:[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}\rightarrow R^{+}$满足定理3.3中的条件(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)和(ⅴ), 并且满足条件:

(ⅳ$^{'})$对所有的$(t, x)\in[t_{0}, +\infty)\times\overline{B}_{\rho}$, 有$V(t, x)\geq\|x\|$.

则方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是一致整体Lipschitz稳定的.

证 设$\overline{x}:[\alpha, \beta]\rightarrow\overline{B}_{\rho}, [\alpha, \beta]\subset[t_{0}, +\infty)$是测度微分方程(1.3)在$[\alpha, \beta]$上的解.由条件(ⅲ), (ⅴ)及引理2.5和引理2.8, 其中$\Phi\equiv0$, 所以$B=\sup\limits_{t\in[\alpha, \beta]}\Phi(\overline{x}(t))=0$, 对任意的$t\in[\alpha, \beta]$, 有

$ \begin{aligned} &\|\overline{x}(t)\|\leq V(t, \overline{x}(t))\\ \leq& V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+ K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-\int_{\alpha}^{s}DG(\overline{x}(\tau), r)]+B(t-\alpha)\\ =&V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]+B(t-\alpha)\\ =&V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+K\text{var}_{\alpha}^{t}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]\\ \leq& V(\alpha, \overline{x}(\alpha))+K\text{var}_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]\\ \leq& V(\alpha, \overline{x}(\alpha)) \leq K\|\overline{x}(\alpha)\|. \end{aligned} $

因为var$_{\alpha}^{\beta}[\overline{x}(s)-(\int_{\alpha}^{s}f(\overline{x}(r), r)dg(r)+\int_{\alpha}^{s}p(r)dr)]=0$, 并且$V(\alpha, \overline{x}(\alpha))\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|$(见(3.8)式), 则$\|\overline{x}(t)\|\leq K\|\overline{x}(\alpha)\|$满足定义3.4中的(ⅱ), 则测度微分方程(1.3)的平凡解$x\equiv0$是一致整体Lipschitz稳定的.