本文规定, $ R $恒指有单位元的交换环.对$ R $ -模$ N $, $ {{{\rm{fd}}}}_{R}N $ (resp. $ {{{\rm{pd}}}}_RN $)代表$ N $的平坦(resp.投射)维数.用$ \mathcal{F}_n $表示平坦维数不超过$ n $的$ R $ -模簇, 用$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) $表示$ R $的弱整体维数.对于未解释的概念和符号, 参考文献[1, 2].

文献[3]引入的$ {{{\rm{FFD}}}}(R) $维数受到了广泛关注.例如, 文献[4, 推论5.3]表明, 一个Noether环$ R $, 总有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq {{{\rm{dim}}}}(R)\leq {{{\rm{FFD}}}}(R)+1 $成立, 这里$ {{{\rm{dim}}}}(R) $是$ R $的Krull维数; 特别地, 如果$ R $是局部环, 则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = {{{\rm{dim}}}}(R) $当且仅当$ R $是Cohen-Macaulay环.

称$ R $是chain环是指其理想按包含关系所构成的格是全序的, $ R $称为arithmetical是指对$ R $的每个极大理想$ {{\mathfrak m}} $, $ R_{{{\mathfrak m}}} $是chain环. $ R $称为半凝聚环是指对任何一对内射模$ E,F $, $ {{{\rm{Hom}}}}_{R}(E,F) $是某个平坦模的子模.文献[5, 定理1]证明了对每个交换的arithmetical环$ R $, 总有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $成立.更确切地说, 当$ R $为局部IF (locally IF)环时, $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $成立; 当$ R $是局部半凝聚(locally semicoherent)环但不是局部IF环时, 都有$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 1 $, 这里环$ R $称为IF环是指每个内射$ R $ -模是平坦模, (见文献[6]).文献[5, 定理2]证明了当$ R $既是IF环又是chain环时, 则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $; 当$ R $是非半凝聚的chain环时, 都有$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 2 $.

在经典同调理论中, 环$ R $的整体维数是所有模的投射维数(或者内射维数)的上确界; 弱整体维数$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) $是模的平坦维数的上确界.在相对同调理论中, 环$ R $的Gorenstein整体维数也是所有模的Gorenstein投射维数的上确界, 或者Gorenstein内射维数的上确界; Gorenstein弱整体维数是所有模的Gorenstein平坦维数的上确界.

然而, 环的有穷平坦维数$ {{{\rm{FFD}}}}(R) $不是像经典同调理论和相对同调理论那样, 建立在整个$ R $ -模范畴上, 而是建立在平坦维数有限的子范畴上.对任给一个模$ M $, 在判定其平坦维数是否有限时, 存在技术上的困难.本文借助文献[7]中提出的$ n $ -无挠模, 建立了整个$ R $ -模范畴上的$ n $ -无挠分解, 任何模的$ n $ -无挠维数, 以及环$ R $的$ n $ -无挠弱整体维数$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $.证明了环$ R $有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq n $当且仅当$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq n $, 通过这个结果, 将对$ {{{\rm{FFD}}}}(R) $的计算转换成了对$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $的计算.

定义2.1 对$ R $ -模$ M $, 用$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M $表示这样的最小整数$ m\geq 0 $, 存在正合列$ 0\rightarrow D_{m} \rightarrow D_{m-1} \rightarrow \cdots \rightarrow D_{1}\rightarrow D_{0} \rightarrow M \rightarrow 0 $, 这里每个$ D_{i} $是$ n $ -无挠模.如果这样的整数$ m $不存在, 则记$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M = \infty $.相应地, 环$ R $的$ n $ -无挠弱整体维数$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $定义为$ \sup\{tf_n{\rm d}_{R}M\,| M是R -模\} $.

作为余挠模的深层次发展, 文献[8]在整环上引入Warfield -余挠模的概念.设$ R $是整环, $ R $ -模$ U $称为Warfield -余挠模是指对任何无挠$ R $ -模$ D $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(D,U) = 0 $.文献[9]证明了整环上每个挠的Warfield -余挠模, 简称UT -模, 内射维数不超过1.对非负整数$ n $, 本文在任意环上引入$ n $ -Warfield余挠模. $ R $ -模$ U $称为$ n $-Warfield余挠模是指对任何$ n $ -无挠$ R $ -模$ D $, 恒有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(D,U) = 0 $成立.显然, $ 0 $ -Warfield余挠模就是内射模.由文献[8, 引理2.3]可知, 整环上的无挠模是$ 1 $ -无挠模, 从而整环上的Warfield余挠模就是$ 1 $-Warfield余挠模.

下文中, 对$ R $ -模$ M $, 其特征模$ {{{\rm{Hom}}}}_{{\Bbb Z}}(M, {\Bbb Q}/{\Bbb Z}) $记为$ M^{+} $.现在来刻画模的$ n $ -无挠维数.

定理2.2  对$ R $ -模$ M $及非负整数$ m $, 以下陈述等价

(1) $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq m $;

(2) 对任何$ R $ -模$ N\in \mathcal{F}_{n} $, $ {{{\rm{Tor}}}}_{m+1}^{R}(M,N) = 0 $;

(3) 对任何$ n $ -Warfield余挠$ R $ -模$ U $, 恒有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{m+1}(M,U) = 0 $成立.

进而, 对任何$ n\geq 0 $, 任何$ R $ -模$ M $, 恒有$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq n $成立.从而, $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq n $对任何环$ R $都成立.

证 (2)$ {\Leftrightarrow} $(1)$ {\Rightarrow} $(3).显然.

(3) $ {\Rightarrow} $(2).设$ 0\rightarrow D_{m} \rightarrow D_{m-1} \rightarrow \cdots \rightarrow D_{1} \rightarrow D_{0} \rightarrow M \rightarrow 0 $正合列, 这里$ D_{0}, D_{1}, \cdots, D_{m-1} $是$ n $ -无挠模.设$ N\in \mathcal{F}_n $是任何$ R $ -模, $ X $是任何$ n $ -无挠$ R $ -模.取正合列$ 0{\rightarrow} A{\rightarrow} P{\rightarrow} X{\rightarrow} 0 $, 这里$ P $是投射模.则序列$ 0{\rightarrow} A{\bigotimes}_RN{\rightarrow} P{\bigotimes}_RN{\rightarrow} X{\bigotimes}_RN{\rightarrow} 0 $是正合列.其诱导序列$ 0{\rightarrow} (X{\bigotimes}_RN)^{+}\cong{{{\rm{Hom}}}}_{R}(X, N^{+}){\rightarrow} (P{\bigotimes}_RN)^{+}\cong{{{\rm{Hom}}}}_{R}(P, N^{+}){\rightarrow} (A{\bigotimes}_RN)^{+}\cong{{{\rm{Hom}}}}_{R}(A, N^{+}){\rightarrow} 0 $也是正合列.由正合列$ {{{\rm{Hom}}}}_{R}(P,N^{+}){\rightarrow}{{{\rm{Hom}}}}_{R}(A,N^{+}){\rightarrow}{{{\rm{Ext}}}}_R^1(X,N^{+}){\rightarrow}{{{\rm{Ext}}}}_R^1(P,N^{+}) = 0 $, 可得$ {{{\rm{Ext}}}}_R^1(X,N^{+}) = 0 $.从而$ N^{+} $是$ n $ -Warfield余挠模.由假设$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(D_{m},N^{+})\cong {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{m+1}(M,N^{+}) = 0 $成立.由正合列$ 0{\rightarrow} K{\rightarrow} F{\rightarrow} D_{m}{\rightarrow} 0 $, 这里$ F $是平坦模, 得到正合列$ 0\rightarrow {{{\rm{Hom}}}}_{R}(D_{m},N^{+})\cong (D_{m}{\bigotimes}_RN)^{+}\rightarrow {{{\rm{Hom}}}}_{R}(F,N^{+})\cong (F{\bigotimes}_RN)^{+}\rightarrow {{{\rm{Hom}}}}_{R}(K,N^{+})\cong (K{\bigotimes}_RN)^{+}\rightarrow 0 $.再由其诱导序列$ 0 = {{{\rm{Tor}}}}_{1}^{R}(F,N){\rightarrow} {{{\rm{Tor}}}}_{1}^{R}(D_{m},N)\rightarrow K{\bigotimes}_R N\rightarrow F{\bigotimes}_R N\rightarrow D{\bigotimes}_R N\rightarrow 0 $, 可得$ {{{\rm{Tor}}}}_{m+1}^{R}(M,N)\cong {{{\rm{Tor}}}}_{1}^{R}(D_{m},N) = 0 $, 即$ {{{\rm{Tor}}}}_{m+1}^{R}(M,N) = 0 $.

现在来刻画环的$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $维数.

定理2.3 对环$ R $及非负整数$ m\leq n $, 以下陈述等价

(1) $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq m $;

(2) $ \mathcal{F}_{m} = \mathcal{F}_{n} $;

(3) 对$ R $的任何理想$ I $, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RR/I\leq m $成立.换言之, 如果$ M $是循环$ R $ -模, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq m $成立;

(4) 对$ R $的任何有限生成理想$ I $, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RR/I\leq m $;

(5) 如果$ M $是有限生成$ R $ -模, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq m $成立;

(6) 如果$ M $是有限表现$ R $ -模, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq m $成立;

(7) 如果$ U $是$ n $ -Warfield余挠$ R $ -模, $ {{{\rm{id}}}}_{R}U\leq m $成立.

证 由定理2.2可得(7)$ {\Rightarrow} $(1)$ {\Leftrightarrow} $(2), 而(1)$ {\Rightarrow} $(5)$ {\Rightarrow} $(3)$ {\Rightarrow} $(4)与(5)$ {\Rightarrow} $(6)$ {\Rightarrow} $(4)是显然的.

(4) $ {\Rightarrow} $(1)设$ m_1 = {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $.则存在$ R $ -模$ M $满足$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RM = m_1 $, 同时存在模$ N\in \mathcal{F}_n $满足$ {{{\rm{Tor}}}}_{m_1+1}^R(M,N)\not = 0 $.记$ s = {{{\rm{fd}}}}_RN $.则$ m_1\leq s{{{{\rm{\leq}}}}} n $.从而存在$ R $的有限生成理想$ I $满足$ {{{\rm{Tor}}}}_s^R(R/I,N)\not = 0 $.因此$ m\geq {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RR/I\geq s\geq m_1 $.

(3) $ {\Rightarrow} $(7)设$ I $是$ R $的理想.则由假设, $ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}R/I\leq m $成立.由定理2.2可得$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{m+1}(R/I,U) = 0 $.因此$ {{{\rm{id}}}}_{R}U\leq m $.

现在借助$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $, 来刻画$ {{{\rm{FFD}}}}(R) $.

定理2.4 对环$ R $, 以下各条等价

(1) $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq n $;

(2) $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq n $;

(3) $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) $.

证 $ (1){\Rightarrow}(2) $设$ N\in \mathcal{F}_{n+1} $是任意$ R $ -模.由假设, $ {{{\rm{fd}}}}_RN\leq n $成立.因此由定理2.3可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq n $.

(2) $ {\Rightarrow} $(1)设$ N $是$ R $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_RN = s<\infty $.不失一般性, 可设$ s = n+1 $.则由定理2.3, $ {{{\rm{fd}}}}_RN\leq n $成立.从而$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq n $.

$ (3){\Rightarrow}(1) $运用定理2.3即可.

$ (1){\Rightarrow}(3) $设$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = k<\infty $.对任何模$ N\in \mathcal{F}_{n} $, 则$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq k $.因此对任何$ R $ -模$ M $, 都有$ {{{\rm{Tor}}}}^{R}_{k+1}(M,N) = 0 $成立.故由定理2.3, $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq {{{\rm{FFD}}}}(R) $成立.现在仍设$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) = k $, $ N $是$ R $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N<\infty $.则由假设$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq n $成立.故对任何$ R $ -模$ M $, 由定理2.3可得$ {{{\rm{Tor}}}}_{k+1}^R(M,N) = 0 $.因此$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq k $.从而$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq k $.

对$ R $ -模$ M $, 记满足对任何有限表现模$ F $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(F,M) = 0 $成立的最小非负整数$ n $为FP-$ {{{\rm{id}}}}_{R}M $.如果这样的$ n $不存在, 则记FP-$ {{{\rm{id}}}}_{R}M = \infty $.一个凝聚环$ R $称为$ n $ -FC环是指FP-$ {{{\rm{id}}}}_{R}R\leq n $.由文献[10, 命题4.2.4], 有

命题2.5 设$ R $是$ n $ -FC环, 则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = n $.

推论2.6 对环$ R $, 以下陈述等价

(1) $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $;

(2) $ 2 $ -无挠$ R $ -模的子模是$ 2 $ -无挠模;

(3) 平坦$ R $ -模的子模是$ 2 $ -无挠模;

(4) 对任何$ R $ -模$ N \in \mathcal{F}_{2} $, 都有$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq 1 $;

(5) $ R $的每个(有限生成)理想$ I $是$ 2 $ -无挠模.

推论2.7 $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $当且仅当$ \mathcal{F}_1 = \mathcal{F}_0 $, 当且仅当每个$ R $ -模是$ 1 $ -无挠模.

文献[5, 定理1 & 定理2]表明, 对局部IF环或者chain IF环$ R $, 恒有$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $.事实上, 可以将这个结果推广到任意IF环上.

命题2.8 设$ R $是IF环, 则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $成立.因此一个IF环$ R $或者是VN正则环, 或者$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) = \infty $.

证 设$ M\in \mathcal{F}_1 $是任意$ R $ -模, 且设$ 0\rightarrow F_{1}\rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0 $是正合列, 这里$ F_{0}, F_{1} $是平坦模.则$ 0\rightarrow M^{+}\rightarrow F_{0}^{+}\rightarrow F_{1}^{+}\rightarrow 0 $也是正合的, 且$ F_{0}^{+}, F_{1}^{+} $是内射模.由假设, $ R $是IF环, 故$ F_{0}^{+}, F_{1}^{+} $是平坦模.从而$ M^{+} $是平坦模.如此则$ M^{++} $也是平坦的.注意$ R $是凝聚环, 可由文献[11]推出$ M $是平坦模.从而由推论2.7有$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $.

对于一个完全环$ R $, 由文献[12]及文献[13, 定理2.2]可知, $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $成立.但是满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $的环, 却未必是IF环, 也未必是完全环.现在给出一个满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $, 但它既不是完全环, 也不是IF环的例子.

例2.9 设$ x_i $是有理数域$ {\Bbb Q} $的未定元.取$ T = {\Bbb Q}[x_1,\cdots,x_n,\cdots] $, $ {{\mathfrak m}} = (x_1,\cdots,x_n,\cdots) $.则$ R_{1} = T/{{\mathfrak m}} ^{2} $是以$ {{\mathfrak m}}/{{\mathfrak m}}^2 $为唯一极大理想的局部环.由于对任何$ {\overline x}_1\in R_1 $, 其零化子$ {\rm{ann}}({\overline x}_1) = {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 $.因此$ R_{1} $不是凝聚环, 从而也就不是IF环.设$ R_{2} $是非Neother的IF环.则由文献[6,定理3.2], $ R_{2} $不是完全环.构造环$ R = R_{1}\times R_{2} $.显然, $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $成立.但$ R $既不是完全环, 也不是IF环.

文献[7]中称$ R $ -模$ C $是$ n $ -余挠模是指对任何$ R $ -模$ N\in \mathcal{F}_n $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(N,C) = 0 $.下文中, 用$ \mathcal{C}_n $与$ \mathcal{TF}_{n} $分别表示$ n $ -余挠$ R $ -模簇与$ n $ -无挠$ R $ -模簇.现设$ \mathcal{A} $是一个$ R $ -模簇.其左, 右正交类分别是$ \mathcal{A}^{\bot} = \{ \left. B \right|对所有A \in A,都有{\rm Ext}_R^1(A,B) = 0\}$和$ ^{\bot}\mathcal{A} = \{ \left. B \right|对所有A \in A,都有{\rm Ext}_R^1(A,B) = 0\}$.对两个$ R $ -模簇$ \mathcal{A} $和$ \mathcal{B} $, 模簇对$ (\mathcal{A,B}) $称为一个余挠理论, 或者余挠对文献[1]是指$ \mathcal{A}^{\bot} = \mathcal{B} $和$ \mathcal{A} = ^{\bot}\mathcal{B} $同时满足.文献[14]表明$ (\mathcal{F}_n,\mathcal{C}_n) $是余挠理论.

定理3.1 对任意$ R $ -模$ M $和$ N $, 存在正合列$ 0{\rightarrow} A{\rightarrow} F{\rightarrow} M{\rightarrow} 0 $与$ 0{\rightarrow} N{\rightarrow} W{\rightarrow} B{\rightarrow} 0 $, 这里$ F,B\in\mathcal{F}_n $, $ A,W\in\mathcal{C}_n $.

证 运用文献[14, 引理1.11 & 定理2.8]和文献[15, 引理2.1.1 & 引理2.1.2]即可.

对任何$ n{\geqslant} 1 $及任何环, 总有$ \mathcal{TF}_{n-1}\supseteq \mathcal{TF}_{n} $.但一般情况下, 却未必有$ \mathcal{TF}_{n-1} = \mathcal{TF}_{n} $.现在举一个环的例子, 满足对任何$ n{\geqslant} 1 $, 都有$ \mathcal{TF}_{n-1}\supset \mathcal{TF}_{n} $.

例3.2 设$ F $是域, $ x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots $是$ F $上的未定元.设$ C $是$ R = F[x_1,x_2,\cdots,x_n,\cdots] $的$ (n-1) $阶上合冲.则存在正合列$ 0{\rightarrow} C{\rightarrow} C_{n-1}(C){\rightarrow} B{\rightarrow} 0 $, 这里$ C_{n-1}(C)\in \mathcal{C}_{n-1} $.对任何$ n\geq 1 $, 记$ J = (x_1,x_2,\cdots,x_n) $.由于$ R $是凝聚整环, 则$ {{{\rm{pd}}}}_{R}R/J\leq n $.从而存在一个投射分解$ 0{\rightarrow} P_n{\rightarrow} P_{n-1}{\rightarrow}\cdots {\rightarrow} P_1{\rightarrow} R{\rightarrow} R/J{\rightarrow} 0 $, 这里每个$ P_i $是有限生成投射模.取对偶, 可得正合列$ 0{\rightarrow} R^*{\rightarrow} P_1^*{\rightarrow}\cdots{\rightarrow} P_{n-1}^*{\rightarrow} P_n^*{\rightarrow} {{{\rm{Ext}}}}_R^n(R/J,R){\rightarrow} 0 $.记$ T = {{{\rm{Ext}}}}_R^n(R/J,R) $.再取对偶. $ 0{\rightarrow} P_n^{**}{\rightarrow} P_{n-1}^{**}{\rightarrow}\cdots{\rightarrow} P_1^{**}{\rightarrow} R^{**}{\rightarrow} {{{\rm{Ext}}}}_R^n(T,R){\rightarrow} 0 $也是正合列.由于对每个$ 1\leq i\leq n $, 都有$ P_i\cong P_i^{**} $, 从而$ {{{\rm{Ext}}}}_R^n(T,R)\cong R/J\neq 0 $.构造商环$ R_1 = R/(x_1) $.则$ {\overline x}_2,\cdots,{\overline x}_n $是$ R_1 $的正则序列.由于$ R/J $是挠模, 由Ress定理可得$ {{{\rm{Ext}}}}_R^1(R/J,R) = {{{\rm{Hom}}}}_{R_1}(R/J,R_1) = 0 $.当$ 1<k<n $时, 对$ k $用归纳法, 得到$ {{{\rm{Ext}}}}_R^{k}(R/J,R) = {{{\rm{Ext}}}}^{k-1}_{R_1}(R/J,R_1) = 0 $.从而$ k<n $时, $ {{{\rm{Ext}}}}_R^k(R/J,R) = 0 $成立.注意$ T $也是$ R/J $ -模.设$ 0{\rightarrow} A{\rightarrow} \bigoplus R/J{\rightarrow} T{\rightarrow} 0 $是正合列.从而由正合列$ 0 = \prod{{{\rm{Ext}}}}_R^{k-1}(R/J,R){\rightarrow} {{{\rm{Ext}}}}_R^{k-1}(A,R){\rightarrow} {{{\rm{Ext}}}}_R^k(T,R){\rightarrow} \prod{{{\rm{Ext}}}}_R^k(R/J,R) = 0 $有$ {{{\rm{Ext}}}}_R^k(T,R)\cong {{{\rm{Ext}}}}_R^{k-1}(A,R) $.下面证明, 对任何$ R/J $ -模$ A $及$ s\leq n-1 $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_R^{s}(A,R) = 0 $.对$ s $用归纳法, 假设对任何$ R/J $ -模$ A $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_R^{s-1}(A,R) = 0 $.考虑正合列$ 0{\rightarrow} K{\rightarrow} \bigoplus R/J{\rightarrow} A{\rightarrow} 0 $, 由上述方法, 可得$ {{{\rm{Ext}}}}_R^s(A,R)\cong {{{\rm{Ext}}}}_R^{s-1}(K,R) = 0 $.因此对任何$ k\leq n-1 $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_R^k(T,R) = 0 $成立.从而$ T\neq 0 $.设$ K $是$ R/J $的$ (n-1) $阶合冲.由于$ K\in \mathcal{F}_{n} $, 故可由正合列$ {{{\rm{Ext}}}}_R^n(R/J,C_{n-1}(C)){\rightarrow} T\cong{{{\rm{Ext}}}}_R^n(R/J,C){\rightarrow} {{{\rm{Ext}}}}_R^{n+1}(R/J,B) = 0 $得到$ {{{\rm{Ext}}}}_R^n(K,C_{n-1}(C))\cong{{{\rm{Ext}}}}_R^n(R/J,C_{n-1}(C))\not = 0 $.从而$ C_{n-1}(C)\notin \mathcal{C}_{n} $, 即是说$ \mathcal{C}_{n-1}\supset \mathcal{C}_{n} $.由文献[14, 引理1.11 & 定理2.8], $ (\mathcal{F}_n,\mathcal{C}_n) $是余挠理论, 故$ \mathcal{F}_{n-1}\subset \mathcal{F}_{n} $.从而$ \mathcal{TF}_{n-1}\supset \mathcal{TF}_{n} $.序列$ \mathcal{TF}_1\supset \mathcal{TF}_2\supset \cdots \supset \mathcal{TF}_n\supset\cdots $是严格递减的模簇序列.

现在给出有穷平坦维数的换环定理.

定理3.3 设$ u\in R $既不是零因子也不是单位, 记$ {\overline R} = R/(u) $.则

(1) $ w.{\mathcal T}{\mathcal F}{\rm{_{n+1}.D}}(R)\geqslant {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{\rm{_{n-1}.D}}({\overline R})+1} $;

(2) $ {\rm FFD}(R)\geq {\rm FFD}({\overline R})+1 $.

证 (1)设$ m = w.{\mathcal T}{\mathcal F}{\rm{_{n-1}.D}}({\overline R}) $.则存在$ {{\overline R}} $ -模$ A\neq 0 $满足$ tf_{n-1}{\rm d}_{{\overline R}}A = m $.由定理2.2, 存在$ {\overline R} $ -模$ B $满足$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}B\leq n-1 $及$ {{{\rm{Tor}}}}_m^{{\overline R}}(A,B)\not = 0 $.运用定理3.1可得到两个正合列$ 0{\rightarrow} B{\rightarrow} C{\rightarrow} C/B{\rightarrow} 0 $满足$ C $是$ (n-1) $ -余挠$ {\overline R} $ -模, 且$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}C/B\leq n-1 $, 以及$ 0 = {{{\rm{Tor}}}}_{m+1}^{{\overline R}}(A,C/B){\rightarrow} {{{\rm{Tor}}}}_m^{{\overline R}}(A,B){\rightarrow} {{{\rm{Tor}}}}_m^{{\overline R}}(A,C) $.从而有$ {{{\rm{Tor}}}}_m^{{\overline R}}(A,C)\not = 0 $及$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}C\leq n-1 $.因此$ {{{\rm{fd}}}}_RC\leq n $.再由定理3.1可得正合列$ 0{\rightarrow} C{\rightarrow} E{\rightarrow} E/C{\rightarrow} 0 $满足$ E $是$ n $ -余挠$ R $ -模, 且$ {{{\rm{fd}}}}_RE/C\leq n $.从而$ {{{\rm{fd}}}}_RE\leq n $.因为$ aC = 0 $, 所以$ C{\subseteq} E_u = \{x\in E\,|\,ux = 0\} $成立.由此可得行是正合列的交换图

如果$ {{{\rm{cok}}}}(\phi)\neq 0 $, 则可由$ 0 = {\rm Tor}_{n+2}^R(E,Y){\rightarrow} {{{\rm{Tor}}}}_{n+1}^R({{{\rm{cok}}}}(\phi),Y){\rightarrow}{{{\rm{Tor}}}}_{n+1}^R(E/C,Y) = 0 $得到$ {{{\rm{fd}}}}_R{{{\rm{cok}}}}(\phi)\leq n $, 这里$ Y $是任意$ R $ -模.对任意$ {\overline R} $ -模$ X $, 由于$ E = uE $, 则$ X{\bigotimes}_RE = 0 $成立, 且$ 0{\rightarrow} E_u{\rightarrow} E\mathop \to \limits^u E{\rightarrow} 0 $是正合列.从而自然有正合列$ {\rm{Tor}}_1^R(X,E)\mathop \to \limits^u {\rm{Tor}}_1^R(X,E){\rightarrow} X{\bigotimes}_RE_u{\rightarrow} 0 $.由于$ {\rm{Tor}}_1^R(X,E)\mathop \to \limits^u {\rm{Tor}}_1^R(X,E) $是零同态, 从而序列$ 0{\rightarrow} {{{\rm{Tor}}}}_1^R(X,E){\rightarrow} X{\bigotimes}_RE_u{\rightarrow} 0 $是正合列.故有$ X{\bigotimes}_{{\overline R}}E_u = X{\bigotimes}_RE_u\cong {{{\rm{Tor}}}}^R_1(X,E) $.现在设$ F $是平坦$ R $ -模.则它自然是$ u $ -无挠模且$ {{{\rm{fd}}}}_RF/uF = 1 $.从而对任何$ n{\geqslant} 2 $, 恒有$ {{{\rm{Tor}}}}^R_n(F/uF,E) = 0 $.设$ 0{\rightarrow} B{\rightarrow} P{\rightarrow} X{\rightarrow} 0 $是$ {\overline R} $ -模正合列, 这里$ P $是自由$ {\overline R} $ -模.以下是行是正合列的交换图

从而$ {{{\rm{Tor}}}}^R_2(X,E)\cong {{{\rm{Tor}}}}^{{\overline R}}_1(X,E_u) $.当$ m>1 $时, 对$ n $用归纳法及同构关系$ {{{\rm{Tor}}}}^{{\overline R}}_{n}(X,E_u)\cong {{{\rm{Tor}}}}^R_{n+1}(X,E) = 0 $, 可得$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}E_u\leq n-1 $.因此$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}{{{\rm{cok}}}}(\phi)<\infty $.因此$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}{{{\rm{cok}}}}(\phi) = {{{\rm{fd}}}}_R{{{\rm{cok}}}}(\phi)-1\leq n-1 $.则有$ {{{\rm{Ext}}}}_{{\overline R}}^{1}({{{\rm{cok}}}}(\phi),C) = 0 $.存在$ E_u $的子模$ A^{'} $满足$ A^{'}\cong {{{\rm{cok}}}}(\phi) $, 且$ E_u\cong A^{'}\bigoplus C $.由定理3.1, $ E/E_u\cong E $, 且$ {{{\rm{fd}}}}_RE/E_u\leq n $.设$ \pi:E_u{\rightarrow} E_u/A^{'} $是自然同态, 则$ \pi\phi: C{\rightarrow} E_u/A^{'} $是单的, 且$ {{{\rm{cok}}}}(\pi\phi) = E_u/(A^{'}\bigoplus C) = 0 $.从而$ C\cong E_u/A^{'} $.再由定理3.1, 存在正合列$ 0{\rightarrow} E_u/A'\mathop \to \limits^{\phi {\rm{'}}} B{\rightarrow} {\rm{cok}}(\phi^{'}){\rightarrow} 0 $, 这里$ B $是$ n $ -余挠模, 且$ {{{\rm{fd}}}}_R{{{\rm{cok}}}}(\phi^{'}){{{{\rm{\leq}}}}} n $.则可得如下行是正合列的交换图

从而$ {{{\rm{cok}}}}(\phi^{'}\pi\phi)\cong {{{\rm{cok}}}}(\phi^{'}) $, 且$ {{{\rm{fd}}}}_R{{{\rm{cok}}}}(\phi^{'}\pi\phi){{{{\rm{\leq}}}}} n $.设$ B $是$ {\overline R} $ -模, 且$ A $是$ B $的子模, 满足$ {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}B/A{{{{\rm{\leq}}}}} n-1 $.则由平坦维数的换环定理, 有$ {{{\rm{fd}}}}_RB/A{{{{\rm{\leq}}}}} n $.对任何同态$ f:A{\rightarrow} E_u $, 考察如下交换图

注意, $ E $是$ n $ -余挠$ R $ -模, 则存在同态$ g:B{\rightarrow} E $满足$ f = gh $.由于对任何$ x\in B $, 均有$ ux = 0 $, 则$ g(ux) = ug(x) = 0 $且$ {\rm{Im}}(g){\subseteq} E_u $.所以$ E_u $是$ (n-1) $ -余挠$ {\overline R} $ -模.注意到$ {{{\rm{fd}}}}_RE_u = {{{\rm{fd}}}}_{{\overline R}}E_u+1\leq n $, 则存在同态$ g: B{\rightarrow} E_u $满足$ g\phi^{'}\pi\phi = \phi $.因此$ g\phi^{'}\pi $是同构, $ \pi $是单同态.故$ A^{'} = 0 $, 即$ C = E_u $.从而$ {{{\rm{Tor}}}}^R_{m+1}(A,E)\cong{{{\rm{Tor}}}}^{{\overline R}}_m(A,E_u) = {{{\rm{Tor}}}}^{{\overline R}}_m(A,C)\not = 0 $.由定理2.2, $ k: = {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RA{\geqslant} m+1 $成立.假如$ k>m+1 $, 由上面的证明过程可知, 存在$ n $ -余挠模$ E $且$ {{{\rm{fd}}}}_RE{{{{\rm{\leq}}}}} n $保证$ {{{\rm{Tor}}}}^R_k(A,E)\cong {{{\rm{Tor}}}}^{{\overline R}}_{k-1}(A,E_u)\not = 0 $成立.这与$ tf{n-1}{\rm d}_{\overline R}A = m $的事实是矛盾的.这说明$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_RA = m+1 $.从而$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R){\geqslant} m+1 $成立.

(2) 记$ n = {{{\rm{FFD}}}}(R) $.由定理2.4, $ w.{\mathcal T}{\mathcal F}{\rm{_{n+1}.D}}(R)\leq n $成立.由$ (1) $, $ w.{\mathcal T}{\mathcal F}_{\rm n+1}{\rm .D}({\overline R})\leq n-1 $成立.从而再由定理2.4可得$ {{{\rm{FFD}}}}({\overline R})\leq n-1 $.

定理3.4 设$ R $是整环, 则$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $当且仅当对每个非单位元$ 0\neq u\in R $, 都有$ {{{\rm{FFD}}}}(R/(u)) = 0 $.

证 设$ I\neq 0 $是$ R $的任何理想, 记$ M = R/I $.任取$ 0 \not = u\in I $, 由于$ uM = 0 $, 则$ M $是$ {\overline R} $ -模.记$ {\overline R} = R/(u) $.由假设, $ {{{\rm{FFD}}}}(R/(u)) = 0 $成立.运用定理2.4, 可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F_1}.{\rm D}}(R/(u)) = {{{\rm{FFD}}}}(R/(u)) = 0 $.则$ {{tf_1{{\rm{d}}}}}_{{\overline R}}M = 0 $也成立.由定理3.3, $ {{tf_2{{\rm{d}}}}}_RM{{{{\rm{\leq}}}}} 1 $.由定理2.3可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F_2}.{\rm D}}(R){{{{\rm{\leq}}}}} 1 $.再次运用定理2.4, $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $成立.运用定理3.3, 另一个方向是显然的.

命题3.5 设$ x_1,x_2,\cdots,x_m $是$ R $上的未定元, 这里$ m\geq 1 $.则$ {{{\rm{FFD}}}}(R[x_1,\cdots,x_m]) = {{{\rm{FFD}}}}(R)+m $.

证 只需证$ {{{\rm{FFD}}}}(R[x_1]) = {{{\rm{FFD}}}}(R)+1 $.设$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = s $, $ N $是$ R[x_1] $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R[x_1]}N\leq s+2 $.考察文献[2, 引理9.29]中出现过的正合列$ 0{\rightarrow} N[x_1]{\rightarrow} N[x_1]{\rightarrow} N{\rightarrow} 0 $, 有$ {{{\rm{fd}}}}_RN\leq {{{\rm{fd}}}}_{R[x_1]}N\leq 1+{{{\rm{fd}}}}_{R[x_1]}N[x_1] = 1+{{{\rm{fd}}}}_RN $, 从而$ {{{\rm{fd}}}}_RN\leq s+2<\infty $.因此$ {{{\rm{fd}}}}_{R[x_1]}N\leq s+1 $.则由定理2.3可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{\rm _s+2}.{\rm D}}(R[x_1])\leq s+1 $.运用定理2.4, $ {{{\rm{FFD}}}}(R[x_1])\leq s+1 $成立.另一方面, 由于$ R\cong R[x_1]/x_1R[x_1] = {\overline R[x_1]} $, 从而由定理3.3, $ {{{\rm{FFD}}}}(R[x_1])\geq {{{\rm{FFD}}}}({\overline R[x_1]})+1 = {{{\rm{FFD}}}}(R)+1 = s+1 $成立.至此, 有$ {{{\rm{FFD}}}}(R[x_1]) = {{{\rm{FFD}}}}(R)+1 $.

定理3.6 设$ S $是$ R $的乘法封闭集.则$ {{{\rm{FFD}}}}(R_S){{{{\rm{\leq}}}}} {{{\rm{FFD}}}}(R) $.

证 不失一般性, 设$ m = {{{\rm{FFD}}}}(R)<\infty $.设$ N $是$ R_S $ -模, 且$ {{{\rm{fd}}}}_{R_S}N<\infty $, 从而$ {{{\rm{fd}}}}_RN = {{{\rm{fd}}}}_{R_S}N<\infty $, 有$ {{{\rm{fd}}}}_{R_S}N{{{{\rm{\leq}}}}} m $.从而有$ {{{\rm{FFD}}}}(R_S){{{{\rm{\leq}}}}} m $.

命题3.7 设$ R $是环, $ {{{\rm{Max}}}}(R) $ (resp. $ {{{\rm{Spec}}}}(R) $)是$ R $的极大(resp.素)理想的集合.则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = \sup\{{{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak m}})\,|\,{{\mathfrak m}}\in {{{\rm{Max}}}}(R)\} = \sup\{{{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak p}})\,|\,{{\mathfrak p}}\in {{{\rm{Spec}}}}(R)\} $

证 只需证$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = \sup\{{{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak m}})\,|\,{{\mathfrak m}}\in {{{\rm{Max}}}}(R)\} $, 另一个断语类似可得.不失一般性, 设$ t = {{{\rm{FFD}}}}(R)<\infty $, $ s = \sup\{{{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak m}})\,|\,{{\mathfrak m}}\in {{{\rm{Max}}}}(R)\}<\infty $.对任何$ {{\mathfrak m}} \in {{{\rm{Max}}}}(R) $, 由定理3.6, $ {{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak m}}){{{{\rm{\leq}}}}} t $成立.所以有$ s\leq t $.另一方面, 设$ N $是$ R $ -模满足$ k = {{{\rm{fd}}}}_RN<\infty $.则存在正合列$ 0{\rightarrow} F_k{\rightarrow} F_{k-1}{\rightarrow}\cdots{\rightarrow} F_1{\rightarrow} F_0{\rightarrow} N{\rightarrow} 0 $, 这里每个$ F_{i} $是平坦模.对任何$ {{\mathfrak m}}\in {{{\rm{Max}}}}(R) $, 序列$ 0{\rightarrow} (F_k)_{{\mathfrak m}}{\rightarrow} (F_{k-1})_{{\mathfrak m}}{\rightarrow}\cdots{\rightarrow} (F_1)_{{\mathfrak m}}{\rightarrow} (F_0)_{{\mathfrak m}}{\rightarrow} N_{{\mathfrak m}}{\rightarrow} 0 $是正合的, 且每个$ (F_{i})_{{\mathfrak m}} $是平坦$ R_{{\mathfrak m}} $ -模.则由假设, $ {{{\rm{fd}}}}_{R_{{\mathfrak m}}}N_{{\mathfrak m}}\leq s $成立.则$ {{{\rm{fd}}}}_RN = \sup\{{{{\rm{fd}}}}_{R_{{\mathfrak m}}}N_{{\mathfrak m}}\,|\,{{\mathfrak m}}\in {{{\rm{Max}}}}(R)\}\leq s $.故$ t = {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq s $.因此$ s = t $, 即$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = \sup\{{{{\rm{FFD}}}}(R_{{\mathfrak m}})\,|\,{{\mathfrak m}}\in{{{\rm{Max}}}}(R)\} $.

凝聚环$ R $的弱整体维数$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) $一直备受学者们关注.本节中, 将研究凝聚环的有穷平坦维数.

定义4.1 $ R $ -模$ Q $称为$ n $ -投射模是指对任何内射维数不超过$ n $的模$ H $, 都有$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(Q,H) = 0 $.

自然地, 任何$ R $ -模都是$ 0 $ -投射模; 投射$ R $ -模都是$ n $ -投射模, 这里$ n\geq 1 $.

引理4.2 (1)当$ n\geq 1 $时, 每个$ n $ -投射模是$ n $ -无挠模;

(2) 设$ R $是凝聚环.当$ n\geq 1 $时, 每个有限生成的$ n $ -无挠$ R $ -模是$ n $ -投射模.

证 (1)设$ M $是$ n $ -投射模, $ N $是$ R $ -模且满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq n $.则存在正合列$ 0{\rightarrow} F_{n}{\rightarrow} F_{n-1}{\rightarrow} \cdots{\rightarrow} F_{0}{\rightarrow} N{\rightarrow} 0 $, 这里$ F_{0} $, $ \cdots $, $ F_{n-1} $, $ F_{n} $是平坦$ R $ -模.从而$ 0{\rightarrow} N^{+}{\rightarrow} F_{0}^{+}{\rightarrow} \cdots{\rightarrow} F_{n-1}^{+}{\rightarrow} F_{n}^{+}{\rightarrow} 0 $也是正合列, 每个$ F_{i}^{+} $是内射模.从而$ {{{\rm{id}}}}_{R}N^{+}\leq n $.由文献[16, 定理4.6.9], $ {{{\rm{Tor}}}}_1^{R}(M,N)^{+}\cong{{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(M,N^{+}) = 0 $成立.从而$ {{{\rm{Tor}}}}_1^{R}(M,N) = 0 $.故$ M $是$ n $ -无挠模.

(2) 设$ M $是有限生成的$ n $ -无挠模, $ N $是$ R $ -模且满足$ {{{\rm{id}}}}_{R}N\leq n $.则存在正合列$ 0{\rightarrow} N{\rightarrow} E_{0}{\rightarrow} \cdots{\rightarrow} E_{n-1}{\rightarrow} E_{n}{\rightarrow} 0 $, 这里每个$ E_{i} $是内射$ R $ -模.从而$ 0{\rightarrow} E_{n}^{+}{\rightarrow} E_{n-1}^{+}{\rightarrow} \cdots{\rightarrow} E_{0}^{+}{\rightarrow} N^{+}{\rightarrow} 0 $也是正合列, 且由文献[10, 定理2.2.13], 每个$ E_{i}^{+} $是平坦模.从而$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N^{+}\leq n $.再由文献[10, 定理2.2.13], $ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(M,N)^{+}\cong {{{\rm{Tor}}}}_1^{R}(M,N^{+}) = 0 $成立.从而$ {{{\rm{Ext}}}}_{R}^{1}(M,N) = 0 $.故$ M $是$ n $ -投射模.

为了刻画$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $的凝聚环, 先做如下定义.

定义4.3 设$ M $是$ R $ -模. $ M $的$ n $ -投射维数$ m\geq 0 $, 记为$ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_{R}M\leq m $, 是指存在这样的最小整数$ m $, 满足序列$ 0\rightarrow Q_{m} \rightarrow Q_{m-1} \rightarrow Q_{m-2} \rightarrow \cdots \rightarrow Q_{0} \rightarrow M \rightarrow 0 $是正合列, 这里每个$ Q_{i} $是$ n $ -投射模.如果这样的$ m $不存在, 则记$ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_{R}M = \infty $.

引理4.4 设$ R $是凝聚环.对任何整数$ n\geq 1 $, 都有

(1) 若$ M $是有限生成$ R $ -模, 则$ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM = {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M $;

(2) $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R) = \sup\{\,n - {\rm pd}_{R}M\,|\,\mbox{ M是有限表现模}\,\} $.

证 (1)设$ {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M = k $.从而有正合列$ 0{\rightarrow} F_k{\rightarrow} F_{k-1}{\rightarrow} \cdots {\rightarrow} F_1{\rightarrow} F_0{\rightarrow} M{\rightarrow} 0 $, 其中$ F_0,F_1,\cdots,F_{k-1} $是有限生成投射模.注意$ F_k $是$ M $的第$ k-1 $个合冲.则$ F_k $是$ n $ -无挠模.由于$ R $是凝聚环, 有$ F_k $是有限表现的.因此由引理4.2, $ F_k $是$ n $ -投射模.于是有$ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\leq {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M $.再由引理4.2, $ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\geq{{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M $成立.故$ n $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM = {{tf_n{{\rm{d}}}}}_{R}M $.

(2) 由(1)即得.

定理4.5 设$ R $是凝聚环.对任何整数$ n\geq 0 $, 以下等价

(1) $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq n $; (2)对每个有限生成$ R $ -模$ M $, 都有$ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\leq n $; (3)对$ R $的任何有限生成理想$ I $, 都有$ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RR/I\leq n $.

证 (1)$ {\Leftrightarrow} $(2)由定理2.4和引理4.4即可得证.

(2) $ {\Rightarrow} $(3)显然.

(3) $ {\Rightarrow} $(1)设$ I $是$ R $的有限生成理想.则$ R/I $是有限表现模.由条件, $ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RR/I\leq n $成立.运用引理4.4, $ {{tf_{n+1}{{\rm{d}}}}}_{R}R/I = (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RR/I\leq n $成立.由此运用定理2.3可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}{{\rm{_{n+1}.D}}}}(R)\leq n $.故由定理2.4, $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq n $成立.

命题4.6 设$ R $是凝聚环.对任何整数$ n\geq 0 $, 都有

(1) 如果$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = n $, 则对任何有限表现自反$ R $ -模$ M $都有$ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\leq n-2 $;

(2) 如果$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $, 则任何有限生成自反$ R $ -模$ M $都是$ 3 $ -投射模.

证 (1)运用文献[16, 定理5.1.4], $ M^* $是有限表现的.设$ F_1{\rightarrow} F_0{\rightarrow} M^*{\rightarrow} 0 $是正合列, 其中$ F_1,F_0 $是有限生成自由模.考虑正合列$ 0{\rightarrow} M^{**} = M{\rightarrow} F_0^*{\rightarrow} F_1^*{\rightarrow} X{\rightarrow} 0 $, 其中$ F_0^* $与$ F_1^* $也是有限生成自由模, $ X $是同态$ F_0^*{\rightarrow} F_1^* $的上核.注意, $ X $是也是有限表现模.由定理4.5可得$ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RX\leq n $, 有$ (n+1) $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\leq n-2 $.

(2) 由(1)即得.

定理4.7 设$ R $是凝聚环, 则以下各条等价

(1) $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $; (2)设$ M $是有限表现$ R $ -模, 则$ M^* $是有限生成$ 3 $ -投射模; (3)对投射模$ P $的任意有限生成子模$ M $, 则$ {{tf_3{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq 1 $; (4)对$ R $的任意有限生成理想$ I $, 则$ {{tf_3{{\rm{d}}}}}_{R}I\leq 1 $.

证 (1)$ {\Rightarrow} $(2)设$ M $是有限表现$ R $ -模.则存在正合列$ F_1{\rightarrow} F_0{\rightarrow} M{\rightarrow} 0 $, 这里$ F_0 $, $ F_1 $是有限生成自由$ R $ -模.则$ 0{\rightarrow} M^*{\rightarrow} F_0^*{\rightarrow} F_1^*{\rightarrow} C{\rightarrow} 0 $也是正合列, 这里$ C = {{{\rm{cok}}}}(F_0^*{\rightarrow} F_1^*) $.由条件, $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $成立, 则由定理2.4可得$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}_3.{\rm D}}(R)\leq 2 $.故$ {{tf_3{{\rm{d}}}}}_{R}C\leq 2 $.注意, $ F_0^* $, $ F_1^* $均是有限生成投射模, 故$ M^* $是$ 3 $ -无挠模.注意, $ R $是凝聚环, 从而$ M^* $是有限表现模.由引理4.2, $ M^* $是有限生成$ 3 $ -投射模.

(2) $ {\Rightarrow} $(1)设$ M $是任意$ R $ -模.则$ M = \underrightarrow{\lim}M_i $, 这里每个$ M_i $是$ M $的有限表现子模, 对每个$ M_i $, 存在有限生成自由模$ F_{i0} $, $ F_{i1} $满足序列$ F_{i1}{\rightarrow} F_{i0}{\rightarrow} M_i{\rightarrow} 0 $是正合列.记$ K_{i} = {{{\rm{ker}}}}(F_{i1}{\rightarrow} F_{i0}) $.注意$ 0{\rightarrow} M_i^*{\rightarrow} F_{i0}^*{\rightarrow} F_{i1}^*{\rightarrow} C{\rightarrow} 0 $是正合列, 这里$ C = {{{\rm{cok}}}}(F_{i0}^*{\rightarrow} F_{i1}^*) $.从而$ C $是有限表现模.由条件, $ C^* $是有限生成$ 3 $ -投射模.由文献[17, 引理3]可得$ K\cong C^* $是有限生成$ 3 $ -投射模.故由引理4.4可得$ {{tf_3{{\rm{d}}}}}_{R}M_i = 3 $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM_i\leq 2 $.故对任何$ R $ -模$ N $满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq 3 $, 由定理2.2有$ {{{\rm{Tor}}}}_3^{R}(M = \underrightarrow{\lim}M_i,N)\cong \underrightarrow{\lim}{{{\rm{Tor}}}}_3^{R}(M_i,N) = 0 $.再由定理2.2可得$ {{tf_3{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq 2 $.故$ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}_3.{\rm D}}(R)\leq 2 $.则由定理2.4可得$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 2 $.

(1) $ {\Leftrightarrow} $(3)$ {\Leftrightarrow} $(4)运用定理4.5和引理4.4即可.

正如人们把满足$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)\leq 1 $的凝聚环$ R $称为半遗传环, 在文献[18]中把满足$ G $ -$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)\leq 1 $的凝聚环$ R $称为$ G $ -半遗传环一样, 现在将满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $的凝聚环$ R $称为finitistic半遗传环, 并且遵循把半遗传整环称为Prüfer整环, $ G $ -半遗传整环称为$ G $ -Prüfer整环(见文献[19])的习惯, 也将finitistic半遗传整环称为finitistic Prüfer整环.知道环$ R $是半遗传环当且仅当投射模的有限生成子模是投射模当且仅当$ R $的每个有限生成理想是投射理想.自然地, 要问, 对于finitistic半遗传环, 是否也有对应的表述？对此, 有以下定理.

定理4.8 对环$ R $, 以下陈述等价

(1) $ R $是finitistic半遗传环;

(2) $ R $的每个有限生成理想是有限表现的$ 2 $ -投射模;

(3) 投射模的每个有限生成子模是有限表现的$ 2 $ -投射模;

(4) $ R $是凝聚环, 且平坦模的子模是$ 2 $ -无挠模;

(5) $ R $是凝聚环, 且对每个有限表现模$ M $, 都有$ 2 $ -$ {{{\rm{pd}}}}_RM\leq 1 $;

(6) $ R $是凝聚环, 且对每个有限表现模$ M $, 都有$ {{tf_2{{\rm{d}}}}}_{R}M\leq 1 $.

证 运用推论2.6可得(1)$ {\Rightarrow} $(4), 运用引理4.2可得(4)$ {\Rightarrow} $(3), 运用引理4.4可得(5)$ {\Leftrightarrow} $(6), 而(3)$ {\Rightarrow} $(5)$ {\Rightarrow} $(2)是显然的.现只证(2)$ {\Rightarrow} $(1).设$ I $是$ R $的任何有限生成理想.由假设, $ I $是$ 2 $ -投射模, 从而$ {{tf_2{{\rm{d}}}}}_RR/I\leq 1 $.由定理2.3, $ {w.{\mathcal T}{\mathcal F}_2.{\rm D}}(R)\leq 1 $成立.再由定理2.4可得$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $.注意, 由条件, $ I $是有限表现的, 故是凝聚环.从而$ R $是finitistic半遗传环.

设$ R $是交换环.称$ R $ -模$ M $是无挠模是指对$ x\in M $及非零因子非单位$ a\in R $, 能由$ ax = 0 $推出$ x = 0 $.注意, 平坦模是无挠模.众所周知, 整环$ R $是Prüfer整环(即$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)\leq 1 $)当且仅当无挠$ R $ -模是平坦模.对于满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $的整环$ R $上的无挠模, 有如下定理

定理4.9 对整环$ R $, 以下陈述等价

(1) $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $; (2)如果$ A $是无挠$ R $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}A<\infty $, 则$ A $是平坦模; (3)如果$ A $是无挠$ R $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}A\leq 1 $, 则$ A $是平坦模.

证 $ (1)\Rightarrow (2) $记$ K = Q/R $, 这里$ Q $是$ R $的商域.由于$ A $是无挠模, 存在正合列$ 0\rightarrow A \rightarrow B = K{\bigotimes\limits}_R A\cong \bigoplus\limits_i K_i\rightarrow C = (K{\bigotimes\limits}_R A)/A\rightarrow 0 $, 这里每个$ K_i\cong K $.由于$ B $是平坦$ R $ -模且$ {{{\rm{fd}}}}_{R}A<\infty $, 故$ {{{\rm{fd}}}}_{R}C<\infty $.由条件, $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $, 故$ {{{\rm{fd}}}}_{R}C\leq 1 $.所以$ A $是平坦模.

$ (2)\Rightarrow (3) $显然.

$ (3)\Rightarrow (1) $设$ N $是$ R $ -模满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq 2 $.则存在正合列$ 0\rightarrow A \rightarrow F \rightarrow N\rightarrow 0 $, 这里$ F $是平坦模, 且$ {{{\rm{fd}}}}_{R}A\leq 1 $.注意, $ A $是无挠$ R $ -模.由条件, $ A $是平坦模, 即$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq 1 $.因此由推论2.6, $ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $成立.

知道, 整环$ R $是Prüfer整环当且仅当有限生成无挠$ R $ -模是投射模.对于finitistic Prüfer整环, 有如下定理.

定理4.10 对凝聚整环$ R $, 以下陈述等价

(1) $ R $是finitistic Prüfer整环; (2)每个无挠$ R $ -模是$ 2 $ -无挠模; (3)每个有限生成无挠$ R $ -模是$ 2 $ -投射模.

证 (1)$ {\Rightarrow} $(2)设$ D $是无挠$ R $ -模.则由文献[8, 引理2.3], $ D $是$ 1 $ -无挠模.运用定理2.4与定理2.3可得$ D $是$ 2 $ -无挠模.

(2) $ {\Rightarrow} $(1)设$ I $是$ R $的理想.从而$ I $是无挠$ R $ -模.由条件, $ I $是$ 2 $ -无挠的.由推论2.6可得$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $.

(2) $ {\Rightarrow} $(3)设$ M $是有限生成无挠$ R $ -模, 自然也是无挠模.由条件, $ M $是$ 2 $ -无挠模.注意, $ R $是凝聚整环, 运用引理4.2, $ M $是$ 2 $ -投射模.

(3) $ {\Rightarrow} $(2)设$ M $是无挠$ R $ -模.则$ M = \underrightarrow{\lim}M_i $, 这里每个$ M_i $是$ M $的有限生成子模, 自然也是无挠$ R $ -模.由条件, $ M_i $是$ 2 $ -投射模.由引理4.2可知$ M_i $是$ 2 $ -无挠模.故对任何$ R $ -模$ N $满足$ {{{\rm{fd}}}}_{R}N\leq 2 $, 有$ {{{\rm{Tor}}}}_1^{R}(M = \underrightarrow{\lim}M_i,N)\cong \underrightarrow{\lim}{{{\rm{Tor}}}}_1^{R}(M_i,N) = 0 $.故$ M $是$ 2 $ -无挠模.

正如所有满足$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)\leq 1 $的环$ R $不一定是凝聚环一样, 满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $的环$ R $也未必是凝聚环.

例4.11 设$ \mathbb{C} $是复数域, $ X $是$ \mathbb{C} $的未定元.构造环$ R = \mathbb{Q}+X\mathbb{C}[X] $.则由文献文献[20], 文献[21, 命题3.2]及文献[22, 命题6]及文献[23, 定理4.11]可知$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $成立, 但$ R $不是凝聚环.

设$ R $是整环, 商域是$ K $.设$ F(R) $是$ R $的所有非零分式理想的集合, $ f(R) $是$ F(R) $中所有有限生成元的集合.对任何$ 0\neq I\in F(R) $, 其逆$ I^{-1} $定义为$ \{\,x\in K\,|\,xI{\subseteq} R\,\} $.理想$ I\in f(R) $称为GV -理想是指$ I^{-1} = R $.记$ {{{\rm{GV(R)}}}} = \{I\in f(R)\,|\,\mbox{I是R的GV -理想}\} $.在文献[24]中, 整环$ R $称为DW -整环是指$ {{{\rm{GV(R)}}}} = \{R\} $.众所周知, Prüfer整环是DW -整环.

命题4.12 设$ R $是finitistic Prüfer整环.则$ R $是$ {\rm DW} $-整环.

证 设$ J\neq 0 $是$ R $的有限生成真理想.取$ 0\neq a\in J $, 记$ T = R/(a) $.由定理3.4, $ {{{\rm{FFD}}}}(T) = 0 $成立.则$ I = J/(a) $是$ T $的有限生成真理想.记$ I = (b_1,\cdots,b_n) $, 这里$ b_1,\cdots,b_n\in T $.如果$ {{{\rm{ann}}}}(I) = 0 $, 则同态映射$ f:T{\rightarrow} T^s $, $ f(r) = (b_1r,\cdots,b_nr) $, $ r\in T $是单射.从而序列$ 0{\rightarrow} T\mathop \to \limits^f T^s{\rightarrow} {{{\rm{cok}}}}(f){\rightarrow} 0 $是正合列, 且$ {{{\rm{cok}}}}(f) $是有限表现模.注意, $ {{{\rm{fd}}}}_T{{{\rm{cok}}}}(f)\leq 1 $且$ {{{\rm{FFD}}}}(T) = 0 $, 则$ {{{\rm{cok}}}}(f) $是投射模, 且$ {{{\rm{Tor}}}}_1^T(T/I,{{{\rm{cok}}}}(f)) = 0 $.则$ {\overline f}:T/I{\rightarrow} T^s/IT^s $也是单射.由$ {{{\rm{Im}}}}(f){\subseteq} IT^s $可得到$ {\overline f} = 0 $与$ I = T $.显然这是一个矛盾.因此$ {{{\rm{ann}}}}(I)\neq 0 $.从而存在元素$ b\in R-(a) $满足$ I(b+(a)) = 0 $, 故$ Jb{\subseteq} (a) $.则$ \frac{b}{a}\notin R $与$ J\frac{b}{a}{\subseteq} R $成立.因此$ {{{\rm{GV(R)}}}} = \{R\} $, 即$ R $是DW -整环.

现在来研究满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $的整环.设$ R $是整环.对内射$ R $ -模$ E $, $ E $自然是可除模, 即对非单位元$ 0\neq a\in R $, 都有$ E = aE $.从而乘法同态$ a:E{\rightarrow} E $是满的, 且序列$ 0{\rightarrow} E_a{\rightarrow} E\mathop \to \limits^a E{\rightarrow} 0 $是正合列.确切地, 乘法同态$ a $是同构当且仅当$ E $是$ a $ -无挠的.

定理4.13 对整环$ R $, 以下陈述等价

(1) $ R $是域; (2)每个Warfield余挠模是内射模; (3)每个UT模是内射模; (4) $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 0 $.

证 (1)$ {\Rightarrow} $(4)与(2)$ {\Rightarrow} $(3)是显然的.在定理2.4中取$ n = 0 $可得(4)$ {\Rightarrow} $(2).现证(3)$ {\Rightarrow} $(1).假如$ R $不是域.则存在挠的内射$ R $ -模$ E\neq 0 $.从而也存在非单位元$ 0\neq a\in R $满足$ E $不是$ a $ -无挠的.则$ E_a\not = 0 $.由如下行是正合列的交换图

可得$ E_a\cong {{{\rm{Hom}}}}_R(R/(a),E) $.设$ X $是任何无挠$ R $ -模.取正合列$ 0{\rightarrow} A{\rightarrow} P{\rightarrow} X{\rightarrow} 0 $, 这里$ P $是投射模.注意, $ {{{\rm{fd}}}}_RR/(a)\leq 1 $成立, 则由文献[8, 引理2.3]可得正合列$ 0 = {{{\rm{Tor}}}}_{1}^{R}(R/(a),X){\rightarrow} A/aA{\rightarrow} P/aP{\rightarrow} X/aX{\rightarrow} 0 $.从而序列$ 0{\rightarrow} {{{\rm{Hom}}}}_R(X/aX,E)\cong {{{\rm{Hom}}}}_{R}(X,E_a){\rightarrow} {{{\rm{Hom}}}}_R(P/aP,E)\cong {{{\rm{Hom}}}}_{R}(P,E_a){\rightarrow} {{{\rm{Hom}}}}_R(A/aA,E)\cong {{{\rm{Hom}}}}_{R}(A,E_a){\rightarrow} 0 $是正合列.故由正合列$ {{{\rm{Hom}}}}_{R}(P,E_a){\rightarrow}{{{\rm{Hom}}}}_{R}(A,E_a){\rightarrow}{{{\rm{Ext}}}}_R^1(X,E_a){\rightarrow} 0 $可得$ {{{\rm{Ext}}}}_R^1(X,E_a) = 0 $.因此$ E_a $是Warfield -余挠模.从而$ E_a $是UT -模.由条件, $ E_a $是内射模.另一方面, 由于$ aE_a = 0 $, 可得$ E_a $不是$ a $ -可除的.故$ E_a $不是可除模, 自然也不是内射模.这显然是个矛盾.故$ R $是域.

试举几个例子来结束本文.首先, 凝聚环$ R $也未必有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $.

例4.14 构造环$ R = {\Bbb Z}[x] $, 这里$ {\Bbb Z} $是整数集, $ x $是$ {\Bbb Z} $上的未定元.显然, $ R $是凝聚环.如果$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq 1 $, 则由定理$ \rm3.4 $可得$ {{{\rm{FFD}}}}(R/xR) = 0 $.而$ {\Bbb Z}\cong R/xR $.故由定理$ \rm4.13 $可知$ {\Bbb Z} $是域.这显然是个矛盾.所以$ {{{\rm{FFD}}}}(R)>1 $.

虽然对所有环$ R $, 均有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)\leq {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) $.但一般情况下, $ {{{\rm{FFD}}}}(R) = {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) $未必成立.

例4.15 设$ D $是Prüfer整环, 其商域是$ L $, $ F $是$ L $的扩域满足$ [F:L] = \infty $.设$ T_1 = F[[x]] $是$ F $上的形式幂级数环, 且设$ M = xF[[x]] $.构造如下两个Milnor方图

构造$ T = L+xF[[x]] $及$ R = D+xF[[x]] $.运用文献[23, 定理4.7及定理4.11]可得右边Milnor方图中$ T $不是凝聚环且$ {{{\rm{FFD}}}}(T) = 1 $.从而对于左边的Milnor方图, 由文献[25, 定理3.9]可得$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 1 $, 且再次运用文献[23, 定理4.7及定理4.11]可得$ R $不是凝聚环.故$ R $不是Prüfer整环, 即$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)\not = 1 $.

环$ R $满足$ {{{\rm{FFD}}}}(R)<\infty $.却未必有$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R)<\infty $.

例4.16 设$ \mathbb{C}(X,Y) $是多项式环$ \mathbb{C}[X,Y] $的商域, $ Z $是$ \mathbb{C}(X,Y) $上的未定元.取其极大理想$ {{\mathfrak m}} = (Z) $.构造环$ R_{1} = \mathbb{C}[X,Y]+Z\mathbb{C}(X,Y)[Z]_{{{\mathfrak m}}} $.再构造环$ R_{2} = \mathbb{Z}_{4} $, 这里$ {\Bbb Z} $是整数环.则$ R_{2} $是完全环, 且$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R_{2}) = \infty $.构造环$ R = R_{1}\times R_{2} $.则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 2 $成立.由文献[13, 例4.6], $ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) = \infty $.

即使环$ R $有$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(R) = \infty $, 也未必有$ {{{\rm{FFD}}}}(R)<\infty $.

例4.17 设$ R = ({\Bbb Z}+x{\Bbb Q}[x]_{{\mathfrak m}})\times {\Bbb Z}_{4} $, 这里$ x $是有理数域$ {\Bbb Q} $上的未定元, $ m = (x) $是$ {\Bbb Q}[x] $的极大理想.则$ {{{\rm{FFD}}}}(R) = 1 $成立.设$ T = R[y_1,y_2,\cdots] $, 这里$ y_1,y_2,\cdots $是$ R $上的未定元.由命题3.5, $ {{{\rm{FFD}}}}(T) = \infty $.自然也有$ {w.{{\rm{gl.dim}}}}(T) = \infty $.