变分不等式及其推广为很多非线性问题的研究提供了统一的框架, 在经济、交通、优化、运筹学和工程科学等领域有着广泛的应用. 2006年, 何炳生等人^{[1, 2]}研究了一类逆变分不等式的迭代算法及其在流量控制问题和市场均衡问题上的应用.随后一些学者致力于研究逆变分不等式问题^{[3, 4]}. 2013年, Didier Aussel等人^[5]提出了逆拟变分不等式问题, 并根据不同间隙函数得到其误差界. 2015年, 郭小亚和张从军^[6]讨论了IQVI$ (T, g, K) $解的存在性与唯一性条件, 构造相应算法并给出其在交通问题中的应用.

受以上工作的启发, 本文在Hilbert空间中研究逆拟变分不等式.设$ H $是实Hilbert空间, $ T, g:H\to H $是连续映射, $ K:H\to 2^H $是集值映射, 且对任意的$ u\in H $, $ K (u) $是闭凸集.找一点$ u\in H $, 使得$ g(u)\in K(u) $, 且满足

$ \begin{align} \langle T(u), v-g(u)\rangle\geq0, \forall v\in K(u), \end{align} $

(1.1)

其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle $表示内积. (1.1)式称为逆拟变分不等式, 记作IQVI$ (T, g, K) $.若$ K(u)\equiv \overline{K} $, $ \overline{K} $是$ H $的闭凸子集, 则IQVI$ (T, g, K) $退化为逆变分不等式问题IVI$ (T, g, \overline{K}) $.若$ g $为恒等映射, 则IQVI$ (T, g, K) $退化为经典拟变分不等式问题QVI$ (T, K) $.

首先证明IQVI$ (T, g, K) $和不动点问题的等价性, 并借此研究IQVI$ (T, g, K) $的存在性和唯一性, 给出求解IQVI$ (T, g, K) $的迭代算法和收敛性分析.然后在$ g $可逆的情况下建立IQVI$ (T, g, K) $和Wiener-Hopf方程的等价关系, 构造算法并给出收敛性分析.其次, 利用辅助原理技术给出三步预测–校正投影迭代法并证明算法的收敛性.文末, 构建IQVI$ (T, g, K) $的间隙函数, 依此对IQVI$ (T, g, K) $的解进行误差界分析.本文的结果对现有文献中的一些结果进行了推广和改进.

为研究逆拟变分不等式, 先回顾以下概念和引理.

定义1.1 ^{[7, 8]}映射$ T:H\to H $被称为

(i) $ \beta $-Lipschitz连续的, 如果存在常数$ \beta>0 $, 使得$ \|T(u)-T(v)\|\leq\beta\|u-v\|, \forall u, v\in H. $

(ii) $ \alpha $ -强单调的, 如果存在常数$ \alpha>0 $, 使得$ \langle T(u)-T(v), u-v\rangle\geq\alpha\|u-v\|^2, \forall u, v\in H. $

(iii) 关于$ g $是$ \eta $ -强单调的, 如果存在常数$ \eta>0 $, 使得

$ \langle T(u)-T(v), g(u)-g(v)\rangle\geq\eta\|u-v\|^2, \forall u, v\in H. $

(iv) $ (\psi, \varphi) $ -松弛强制的, 如果存在常数$ \psi, \varphi>0, $使得

$ \langle T(u)-T(v), u-v\rangle\geq-\psi\|T(u)-T(v)\|^2+\varphi\|u-v\|^2, \forall u, v\in H. $

引理1.2 ^[8]设$ K(u) $是$ H $的闭凸子集.对于给定$ z\in H, u\in K(u) $, 不等式$ \langle u-z, v-u\rangle\geq0, \forall v\in K(u) $成立当且仅当$ u = P_{K(u)}z $, 其中$ P_{K(u)} $是$ H $到闭凸子集$ K(u) $的投影.

假设1.3 ^[8]对于任意给定$ u, v, w\in H $, 投影算子$ P_{K(u)} $满足$ \|P_{K(u)}w-P_{K(v)}w\|\leq\gamma\|u-v\|, $其中$ \gamma $是一个正常数.

本节在Hilbert空间中利用投影技巧建立IQVI$ (T, g, K) $与不动点问题的等价关系, 利用等价关系证得在一定条件下IQVI$ (T, g, K) $的解的存在性, 给出求解算法, 并对其收敛性进行分析.

定理2.1 $ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的解当且仅当$ u\in H, g(u)\in K(u) $是映射$ F(u) = u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] $的不动点, 其中$ \rho $是正常数.

证 设$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的解, 则

$ \langle g(u)-(g(u)-\rho T(u)), v-g(u)\rangle\geq0, \forall v\in K(u). $

由引理1.2知, 这等价于$ u\in H, g(u)\in K(u) $使得

$ \begin{align} g(u) = P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]. \end{align} $

定义$ F(u) = u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] $, 结论自明.

定理2.2 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的.若假设1.3成立且存在常数$ \rho>0, $使得

$ \begin{align} k+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}<1, \eta^2>\beta^2(\delta^2-(k-1)^2), \end{align} $

(2.1)

其中$ k = \sqrt{1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi}+\gamma $, 则存在$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的唯一解.

证 令$ F(u) = u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] $, 由假设1.3和投影算子的非扩张性得, 对任意的$ u_1, u_2\in H, $

$ \begin{align} \|F(u_1)-F(u_2)\|&\leq\|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|\\ &\; \; \; \; +\|P_{K(u_1)}[g(u_1)-\rho T(u_1)]-P_{K(u_2)}[g(u_2)-\rho T(u_2)]\|\\ &\leq\|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|\\ &\; \; \; \; +\|P_{K(u_1)}[g(u_1)-\rho T(u_1)]-P_{K(u_2)}[g(u_1)-\rho T(u_1)]\|\\ &\; \; \; \; +\|P_{K(u_2)}[g(u_1)-\rho T(u_1)]-P_{K(u_2)}[g(u_2)-\rho T(u_2)]\|\\ &\leq\|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|+\gamma\|u_1-u_2\|\\ &\; \; \; \; +\|g(u_1)-g(u_2)-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|. \end{align} $

因$ T $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g $是$ \delta $-Lipschitz连续的, 故有

$ \begin{align} \|g(u_1)-g(u_2)-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|^2& = \|g(u_1)-g(u_2)\|^2+\rho^2\|T(u_1)-T(u_2)\|^2\\ &\; \; \; \; -2\rho\langle T(u_1)-T(u_2), g(u_1)-g(u_2)\rangle\\ &\leq\delta^2\|u_1-u_2\|^2+\rho^2\beta^2\|u_1-u_2\|^2-2\rho\eta\|u_1-u_2\|^2\\ & = (\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta)\|u_1-u_2\|^2. \end{align} $

又$ g $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的, 有

$ \begin{align} \|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|^2 = &\|u_1-u_2\|^2+\|g(u_1)-g(u_2)\|^2-2\langle g(u_1)-g(u_2), u_1-u_2\rangle\\ \leq&\|u_1-u_2\|^2+\delta^2\|u_1-u_2\|^2\\ &-2[-\psi\|g(u_1)-g(u_2)\|^2+\varphi\|u_1-u_2\|^2]\\ \leq&\|u_1-u_2\|^2+\delta^2\|u_1-u_2\|^2+2\psi\delta^2\|u_1-u_2\|^2-2\varphi\|u_1-u_2\|^2\\ \leq&(1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi)\|u_1-u_2\|^2. \end{align} $

这表明

$ \begin{align} \|F(u_1)-F(u_2)\|&\leq[\gamma+\sqrt{1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi}+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}]\|u_1-u_2\|\\ & = \theta\|u_1-u_2\|. \end{align} $

由(2.1)式知$ \theta<1 $, $ F(u) $是一个压缩映射, 从而存在唯一不动点$ u\in H, g(u)\in K(u) $.由定理2.1知该点是IQVI$ (T, g, K) $的解.

注 指出$ \rho $的存在性, 即存在$ \rho>0 $, 使得$ \beta^2\rho^2-2\eta\rho+\delta^2-(1-k)^2<0 $.注意到

$ \Delta = 4\eta^2-4\beta^2(\delta^2-(k-1)^2) = 4[\eta^2-\beta^2(\delta^2-(k-1)^2)]>0, $

并且对称轴为$ \frac{\eta}{\beta^2}>0 $, 故这样的$ \rho $一定存在.在文献[8, 9]中, Noor对于拟变分不等式问题均有相关问题的讨论, 并说明了在上述条件下使得$ \theta = k+\sqrt{f(\rho)} $成立的$ \rho $存在.将把上述条件作为求解逆拟变分不等式问题的算法的收敛条件.

注意到$ T $是强单调的, 则一定是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制的, 于是有如下推论.

推论2.3 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ \sigma $-强单调且$ \delta $-Lipschitz连续的.若假设1.3成立并且存在常数$ \rho>0, $使得

$ k+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}<1, \eta^2>\beta^2 \, (\delta^2-(k-1)^2), $

其中$ k = \sqrt{1-2\sigma+\delta^2}+\gamma $, 则存在$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的唯一解.

改变$ T $的条件使得$ T:H\to H $是$ \xi $ -强单调的, 可以得到如下定理.

定理2.4 设$ T:H\to H $是$ \xi $-强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ \alpha $ -强单调且$ \delta $-Lipschitz连续的.若假设1.3成立且存在常数$ \rho>0, $使得

$ \begin{align} k+\sqrt{1+\rho^2\beta^2-2\rho\xi}<1, \xi^2>\beta^2(\delta^2-(1-k)^2), \end{align} $

(2.2)

其中$ k = \gamma+2\sqrt{1+\delta^2-2\alpha} $, 则存在$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的唯一解.

证 令$ F(u) = u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] $.由定理2.2的证明知, 对任意的$ u_1, u_2\in H $,

$ \begin{align} \|F(u_1)-F(u_2)\|&\leq\|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|+\gamma\|u_1-u_2\|\\ &\; \; \; \; +\|g(u_1)-g(u_2)-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|. \end{align} $

注意到

$ \|g(u_1)-g(u_2)-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|\leq\|u_1-u_2-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|+\|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|. $

因$ T:H\to H $是$ \xi $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, 故有

$ \begin{align} &\|u_1-u_2-\rho(T(u_1)-T(u_2))\|^2\\ = &\|u_1-u_2\|^2+\rho^2\|T(u_1)-T(u_2)\|^2-2\rho\langle T(u_1)-T(u_2), u_1-u_2\rangle\\ \leq&\|u_1-u_2\|^2+\rho^2\beta^2\|u_1-u_2\|^2-2\rho\xi\|u_1-u_2\|^2\\ \leq&(1+\rho^2\beta^2-2\rho\xi)\|u_1-u_2\|^2. \end{align} $

又$ g $是$ \alpha $ -强单调且$ \delta $-Lipschitz连续的, 有

$ \begin{align} \|u_1-u_2-(g(u_1)-g(u_2))\|^2& = \|u_1-u_2\|^2+\|g(u_1)-g(u_2)\|^2-2\langle g(u_1)-g(u_2), u_1-u_2\rangle\\ &\leq\|u_1-u_2\|^2+\delta^2\|u_1-u_2\|^2-2\alpha\|u_1-u_2\|^2\\ &\leq(1+\delta^2-2\alpha)\|u_1-u_2\|^2. \end{align} $

这表明

$ \|F(u_1)-F(u_2)\|\leq(\gamma+2\sqrt{1+\delta^2-2\alpha}+\sqrt{1+\rho^2\beta^2-2\rho\xi})\|u_1-u_2\| = \theta\|u_1-u_2\|. $

由(2.2)式知$ \theta<1 $, $ F(u) $是一个压缩映射, 从而存在唯一不动点$ u\in H, g(u)\in K(u) $.由定理2.1知该点是IQVI$ (T, g, K) $的解.

注 指出$ \rho $的存在性, 即存在$ \rho>0 $, 使得$ \beta^2\rho^2-2\xi\rho+\delta^2-(1-k)^2<0 $.注意到

$ \Delta = 4\xi^2-4\beta^2(\delta^2-(1-k)^2) = 4[\xi^2-\beta^2(\delta^2-(1-k)^2)]>0, $

并且对称轴为$ \frac{\xi}{\beta^2}>0 $.故这样的$ \rho $一定存在.

在IQVI$ (T, g, K) $中, 若对任意$ u\in H, K(u)\equiv \overline{K} $, $ \overline{K} $是$ H $的闭凸子集, 则可以得到逆变分不等式问题IVI$ (T, g, \overline{K}) $的解的存在性定理.

定理2.5 设$ \overline{K} $是$ H $的闭凸子集, $ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的.若存在常数$ \rho>0, $使得

$ k+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}<1, \eta^2>\beta^2(\delta^2-(k-1)^2), $

其中$ k = \sqrt{1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi} $, 则存在$ u\in H, g(u)\in K $是IVI$ (T, g, \overline{K}) $的唯一解.

证 用定理2.2的证明方法可证.

以下给出IQVI$ (T, g, K) $的迭代算法, 并对其收敛性进行分析.

算法2.6 对于给定的$ u_0\in H $, 由如下迭代式计算$ u_{n+1} $

$ \begin{align} u_{n+1} = (1-\alpha_n)u_n+\alpha_n[u_n-g(u_n)+P_{K(u_n)}[g(u_n)-\rho T(u_n)]], n = 0, 1, 2, \cdots. \end{align} $

(2.3)

注 若$ g = I $, 算法2.6退化为经典拟变分不等式解的投影迭代算法.

$ u_{n+1} = (1-\alpha_n)u_n+\alpha_nP_{K(u_n)}[u_n-\rho T(u_n)], n = 0, 1, 2, \cdots. $

若$ K(u)\equiv \overline{K} $, 算法2.6退化为逆变分不等式解的投影迭代算法.

$ u_{n+1} = (1-\alpha_n)u_n+\alpha_n[u_n-g(u_n)+P_{\overline{K}}[g(u_n)-\rho T(u_n)]], n = 0, 1, 2, \cdots. $

下面给出算法2.6在一定条件下的收敛性证明.

定理2.7 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的.若假设1.3和(2.1)式成立, 且对所有$ n\geq0, 0\leq\alpha_n\leq1 $, 满足$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n = \infty $, 则由(2.3)式生成的序列$ \{u_n\} $收敛于$ u $, 其中$ u\in H, g(u)\in K(u) $为IQVI$ (T, g, K) $的解.

证 由定理2.2知, IQVI$ (T, g, K) $存在唯一解.令$ u\in H $是IQVI$ (T, g, K) $的解, 则

$ \begin{align} u = (1-\alpha_n)u+\alpha_n[u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]], n = 0, 1, \cdots. \end{align} $

从而

$ \begin{align} \|u_{n+1}-u\|&\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|P_{K(u_n)}[g(u_n)-\rho T(u_n)]-P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\|\\ &\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|P_{K(u_n)}[g(u_n)-\rho T(u_n)]-P_{K(u_n)}[g(u)-\rho T(u)]\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|P_{K(u_n)}[g(u)-\rho T(u)]-P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\|\\ &\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|g(u_n)-g(u)-\rho(T(u_n)-T(u))\|+\alpha_n\gamma\|u_n-u\|. \end{align} $

因$ T $在$ H $上关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g $是$ \delta $-Lipschitz连续的, 故有

$ \begin{align} \|g(u_n)-g(u)-\rho(T(u_n)-T(u))\|^2& = \|g(u_n)-g(u)\|^2+\rho^2\|T(u_n)-T(u)\|^2\\ &\; \; \; \; -2\rho\langle T(u_n)-T(u), g(u_n)-g(u)\rangle\\ &\leq\delta^2\|u_n-u\|^2+\rho^2\beta^2\|u_n-u\|^2-2\rho\eta\|u_n-u\|^2\\ & = (\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta)\|u_n-u\|^2. \end{align} $

又映射$ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的, 有

$ \begin{align} \|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|^2& = \|u_n-u\|^2+\|g(u_n)-g(u)\|^2-2\langle g(u_n)-g(u), u_n-u\rangle\\ &\leq\|u_n-u\|^2+\delta^2\|u_n-u\|^2-2[-\psi\|g(u_n)-g(u)\|^2+\varphi\|u_n-u\|^2]\\ &\leq\|u_n-u\|^2+\delta^2\|u_n-u\|^2+2\psi\delta^2\|u_n-u\|^2-2\varphi\|u_n-u\|^2\\ &\leq(1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi)\|u_n-u\|^2. \end{align} $

这表明

$ \begin{align} \|u_{n+1}-u\|&\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n[\gamma+\sqrt{1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi}+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}]\|u_n-u\|\\ & = (1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\theta\|u_n-u\| = [1-(1-\theta)\alpha_n]\|u_n-u\|\\ &\leq\prod\limits_{i = 0}^n[1-(1-\theta)\alpha_i]\|u_0-u\|. \end{align} $

由于$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n $发散且$ 1-\theta>0 $, 故$ \lim\limits_{n\to\infty}\prod_{i = 0}^n[1-(1-\theta)\alpha_i] = 0 $, 因此$ \{u_n\} $收敛于$ u $, 证毕.

注 以上定理对文献[6]解的存在性定理和收敛定理进行了空间上的推广, 从$ \mathbb{R}^n $推广到了Hilbert空间, 并取消了$ g $的可逆性条件.

2012年, Noor^[8]建立了一般隐式Wiener-Hopf方程与一般拟变分不等式之间的等价关系, 构造了相关问题解的迭代算法.可以看出Wiener-Hopf方法灵活而有效.由此受到启发, 本节在Hilbert空间中研究IQVI$ (T, g, K) $与Wiener-Hopf方程的等价关系, 利用等价关系构建求解逆拟变分不等式的解的迭代算法, 并对算法的收敛性进行分析.

定义3.1 ^[8]令$ Q_{K(u)} = I-P_{K(u)} $, 其中$ I $为恒等映射, $ P_{K(u)} $为$ H $到$ K(u) $的投影.如果$ g^{-1} $存在, 求$ z\in H $使得

$ \begin{align} Tg^{-1}P_{K(u)}z+\rho^{-1}Q_{K(u)}z = 0. \end{align} $

(3.1)

称形如(3.1)式的这类方程为Wiener-Hopf方程.

定理3.2 设$ g $可逆, 其逆映射记为$ g^{-1} $, 则$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的解当且仅当Wiener-Hopf方程存在解$ z\in H $, 其中

$ \begin{align} z = g(u)-\rho T(u), g(u) = P_{K(u)}z. \end{align} $

(3.2)

证 设$ u\in H $, 使得$ g(u)\in K(u) $为IQVI$ (T, g, K) $的解.由定理2.1可得$ g(u) = P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] $.又$ Q_{K(u)} = I-P_{K(u)} $, 代入(3.1)式可得

$ \begin{align} Q_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]& = g(u)-\rho T(u)-P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)] = -\rho T(u)\\ & = -\rho Tg^{-1}P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]. \end{align} $

若$ z = g(u)-\rho T(u) $, 则$ Tg^{-1}P_{K(u)}z+\rho^{-1}Q_{K(u)}z = 0 $.

相反地, 设$ z\in H $为Wiener-Hopf方程(3.1)的解, 则

$ \begin{align} \rho Tg^{-1}P_{K(u)}z = -Q_{K(u)}z = -(I-P_{K(u)})z = P_{K(u)}z-z. \end{align} $

(3.3)

由(3.3)式和引理1.2可得

$ 0\leq\langle P_{K(u)}z-z, v-P_{K(u)}z\rangle = \langle \rho Tg^{-1}P_{K(u)}z, v-P_{K(u)}z\rangle, \forall v\in K(u). $

这表明$ u = g^{-1}P_{K(u)}z, g(u)\in K(u) $为IQVI$ (T, g, K) $的解.

已经知道求解IQVI$ (T, g, K) $与求解Wiener-Hopf方程是等价的.由此, 通过对Wiener-Hopf方程进行变形, 可以得到几个求解IQVI$ (T, g, K) $的迭代算法.

(1) Wiener-Hopf方程(3.1)可以移项变形为$ Q_{K(u)}z = -\rho Tg^{-1}P_{K(u)}z. $将(3.2)式及$ Q_{K(u)} = I-P_{K(u)} $代入上式, 可以得到

$ z = P_{K(u)}-\rho Tg^{-1}P_{K(u)}z = g(u)-\rho T(u). $

由上式可以得到如下迭代算法.

算法3.3 对给定的$ z_0\in H $, 由如下迭代式计算$ z_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} g(u_n) = P_{K(u_n)}z_n, \\ z_{n+1} = (1-\alpha_n)z_n+\alpha_n[g(u_n)-\rho T(u_n)], \\ \end{cases} \end{align} $

(3.4)

$ \forall n\geq0, 0\leq\alpha_n\leq1 $, 满足$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n = \infty $.

(2) Wiener-Hopf方程(3.1)可以移项变形为$ Tg^{-1}P_{K(u)}z = -\rho^{-1}Q_{K(u)}z. $两端同时加上$ Q_{K(u)}z $得$ Q_{K(u)}z+Tg^{-1}P_{K(u)}z = -\rho^{-1}Q_{K(u)}z+Q_{K(u)}z. $再由$ Q_{K(u)} = I-P_{K(u)} $代入上式得

$ z-P_{K(u)}z+\rho Tg^{-1}P_{K(u)}z = (1-\rho^{-1})Q_{K(u)}z. $

整理可得$ z = g(u)-\rho T(u)+(1-\rho^{-1})Q_{K(u)}z $.结合(3.2)式, 得到如下算法.

算法3.4 对给定的$ z_0\in H $, 由如下迭代式计算$ z_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} g(u_n) = P_{K(u_n)}z_n, \notag\\ z_{n+1} = g(u_n)-\rho T(u_n)+(1-\rho^{-1})Q_{K(u_n)}z_n, n = 0, 1, 2, \cdots.\notag\\ \end{cases} \end{align} $

注 若$ K(u)\equiv \overline{K} $, 则算法3.3, 算法3.4退化为逆变分不等式投影迭代算法.若$ g = I $, 则算法3.3, 算法3.4退化为经典拟变分不等式的投影迭代算法.

以下证明算法3.3的收敛性, 用相同的方法可以证得在一定条件下算法3.4的收敛性.

定理3.5 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $可逆且是$ \sigma $ -强单调和$ \delta $-Lipschitz连续的, 若假设1.3成立并且存在常数$ \rho>0 $使得

$ \begin{align} k+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}<1, \eta^2>\beta^2 \, (\delta^2-(k-1)^2), \end{align} $

(3.5)

其中$ k = \sqrt{1-2\sigma+\delta^2}+\gamma $.若$ \{z_n\} $是由算法3.3得到的, 则$ \{z_n\} $强收敛于$ z $, $ z\in H $为Wiener-Hopf方程(3.1)的解.

证 设$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的解, 由定理3.2知

$ \begin{align} \begin{cases} g(u) = P_{K(u)}z, \\ z = (1-\alpha_n)z+\alpha_n[g(u)-\rho T(u)].\\ \end{cases} \end{align} $

(3.6)

于是$ \|z_{n+1}-z\|\leq(1-\alpha_n)\|z_n-z\|+\alpha_n\|g(u_n)-g(u)-\rho(T(u_n)-T(u))\|. $因$ T $在$ H $上关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz是连续的, $ g $是$ \delta $-Lipschitz连续的, 故有

$ \begin{align} &\|g(u_n)-g(u)-\rho(T(u_n)-T(u))\|^2\\ \leq&\|g(u_n)-g(u)\|^2+\rho^2\|T(u_n)-T(u)\|^2 -2\rho\langle T(u_n)-T(u), g(u_n)-g(u)\rangle\\ \leq&\delta^2\|u_n-u\|^2+\rho^2\beta^2\|u_n-u\|^2-2\rho\eta\|u_n-u\|^2\\ = &(\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta)\|u_n-u\|^2. \end{align} $

由式(3.4), (3.6)及假设1.3, 同时$ g $是$ \sigma $ -强单调和$ \delta $-Lipschitz连续的, 有

$ \begin{align} \|u_n-u\|&\leq\|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|+\|P_{K(u_n)}z_n-P_{K(u)}z\|\\ &\leq\|u_n-u-(g(u_n)-g(u))\|+\|P_{K(u_n)}z_n-P_{K(u_n)}z\| +\|P_{K(u_n)}z-P_{K(u)}z\|\\ &\leq(\gamma+\sqrt{1-2\sigma+\delta^2})\|u_n-u\|+\|z_n-z\|\\ & = k\|u_n-u\|+\|z_n-z\|. \end{align} $

即$ \|u_n-u\|\leq\frac{1}{1-k}\|z_n-z\| $.令$ \theta_1 = \frac{\sqrt{\delta^2-2\eta\rho+\beta^2\rho^2}}{1-k} $, 由式(3.5)知$ \theta_1<1 $, 因此

$ \begin{align} \|z_{n+1}-z\|&\leq(1-\alpha_n)\|z_n-z\|+\alpha_n\theta_1\|z_n-z\| = [1-(1-\theta_1)\alpha_n]\|z_n-z\|\\ &\leq\prod\limits_{i = 0}^n[1-(1-\theta_1)\alpha_i]\|z_0-z\|. \end{align} $

由于$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n $发散且$ 1-\theta_1>0 $, 故$ \lim\limits_{n\to\infty}\prod\limits_{i = 0}^n[1-(1-\theta_1)\alpha_i] = 0 $, 因此$ \{z_n\} $强收敛于$ z $.证毕.

Wiener-Hopf方程的技术对于一些非线性和非可微的变分不等式问题是不适用的.为了克服这种弊端, 可以考虑一种辅助原理技术.该技术首先需要构造辅助变分不等式, 利用不动点原理得到辅助变分不等式与原问题的等价关系, 并证得辅助变分不等式问题的解就是原问题的解, 最后将变分不等式的求解问题转化为辅助变分不等式的求解问题.本节将利用辅助原理技术给出求解逆拟变分不等式问题的三步预测–校正投影迭代算法.

首先通过辅助原理给出辅助变分不等式.

对于给定$ u\in H $, 使得$ g(u)\in K(u) $, 找一点$ w\in H, g(w)\in K(u) $, 使得

$ \langle T(u)+g(w)-g(u), v-g(u)\rangle\geq0, \forall v\in K(u), $

其中$ T, g:H\to H $是连续映射, $ K:H\to 2^H $是集值映射, 且对任意的$ u\in H $, $ K(u) $是闭凸集.依据辅助原理及以上IQVI$ (T, g, K) $的辅助变分不等式可以得到IQVI$ (T, g, K) $的如下三步预测–校正迭代算法.

算法4.1 对于给定$ u_0\in H $, 由如下迭代公式计算$ u_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} \langle\mu T(u_n)+g(y_n)-g(u_n), v-g(y_n)\rangle\geq0, \forall v\in K(u_n), \notag\\ \langle\beta T(y_n)+g(w_n)-g(y_n), v-g(w_n)\rangle\geq0, \forall v\in K(y_n), \notag\\ \langle\rho T(w_n)+g(u_n)-g(w_n), v-g(u_{n+1})\rangle\geq0, \forall v\in K(w_n), \notag\\ \end{cases} \end{align} $

其中$ \mu, \beta, \rho>0, n = 0, 1, 2, \cdots. $

根据引理1.2, 算法4.1可以写成

算法4.2 对于给定$ u_0\in H $, 由如下迭代公式计算$ u_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} g(y_n) = P_{K(u_n)}[g(u_n)-\mu T(u_n)], \notag\\ g(w_n) = P_{K(y_n)}[g(y_n)-\beta T(y_n)], \notag\\ g(u_{n+1}) = P_{K(w_n)}[g(w_n)-\rho T(w_n)], \notag \end{cases} \end{align} $

其中$ \mu, \beta, \rho>0, n = 0, 1, 2, \cdots. $

算法4.3 对于给定$ u_0\in H $, 由如下迭代公式计算$ u_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} y_n = (1-\gamma_n)u_n+\gamma_n\{u_n-g(u_n)+P_{K(u_n)}[g(u_n)-\rho T(u_n)]\}, \\ w_n = (1-\beta_n)u_n+\beta_n\{y_n-g(y_n)+P_{K(y_n)}[g(y_n)-\rho T(y_n)]\}, \\ u_{n+1} = (1-\alpha_n)u_n+\alpha_n\{w_n-g(w_n)+P_{K(w_n)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]\}, \end{cases} \end{align} $

(4.1)

其中$ 0\leq\alpha_n, \beta_n, \gamma_n\leq1, n = 0, 1, 2, \cdots, $且$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n = \infty $.

若$ \gamma_n = 0 $, 则算法4.3退化为

算法4.4 对于给定$ u_0\in H $, 由如下迭代公式计算$ u_{n+1} $,

$ \begin{align} \begin{cases} w_n = (1-\beta_n)u_n+\beta_n\{u_n-g(u_n)+P_{K(u_n)}[g(u_n)-\rho T(u_n)]\}\notag, \\ u_{n+1} = (1-\alpha_n)u_n+\alpha_n\{w_n-g(w_n)+P_{K(w_n)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]\}.\notag \end{cases} \end{align} $

注 该算法被称为这类逆拟变分不等式的Ishikawa代算法, 若$ \gamma_n = 0, \beta_n = 0 $, 算法被称为Mann迭代算法.

这里只对算法4.3的收敛性进行证明, 其他算法的证明方法相同.

定理4.5 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的.若假设1.3和(2.1)式成立, 则由(4.1)式所生成的$ \{u_n\} $强收敛于$ u $, 其中$ u\in H, g(u)\in K(u) $为IQVI$ (T, g, K) $的解.

证 由定理2.2知IQVI$ (T, g, K) $存在唯一解.令$ u\in H, g(u)\in K(u) $是IQVI$ (T, g, K) $的解, 由定理2.1得

$ \begin{align} &u = (1-\alpha_n)u+\alpha_n\{u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\}, \end{align} $

(4.2)

$ \begin{align} &u = (1-\beta_n)u+\beta_n\{u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\}, \end{align} $

(4.3)

$ \begin{align} &u = (1-\gamma_n)u+\gamma_n\{u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\}. \end{align} $

(4.4)

由(4.1)和(4.2)式得

$ \begin{align} \|u_{n+1}-u\|&\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|\{w_n-g(w_n)+P_{K(w_n)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]\}\|\\ &\; \; \; \; -\{u-g(u)+P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\}\\ &\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|w_n-u-(g(w_n)-g(u))\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|P_{K(w_n)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]-P_{K(u)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\|P_{K(u)}[g(w_n)-\rho T(w_n)]-P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\|\\ &\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\|w_n-u-(g(w_n)-g(u))\|\\ &\; \; \; \; +\alpha_n\gamma\|w_n-u\|+\alpha_n\|g(w_n)-g(u)-\rho(T(w_n)-T(u))\|. \end{align} $

因$ T $在$ H $上关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g $是$ \delta $-Lipschitz连续的, 故有

$ \begin{align} \|g(w_n)-g(u)-\rho(T(w_n)-T(u))\|^2&\leq\|g(w_n)-g(u)\|^2+\rho^2\|T(w_n)-T(u)\|^2\\ &\; \; \; \; -2\rho\langle T(w_n)-T(u), g(w_n)-g(u)\rangle\\ &\leq\delta^2\|w_n-u\|^2+\rho^2\beta^2\|w_n-u\|^2-2\rho\eta\|w_n-u\|^2\\ & = (\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta)\|w_n-u\|^2. \end{align} $

又映射$ g:H\to H $是$ (\psi, \varphi) $ -松弛强制且$ \delta $-Lipschitz连续的, 有

$ \begin{align} \|w_n-u-(g(w_n)-g(u))\|^2&\leq\|w_n-u\|^2+\|g(w_n)-g(u)\|^2-2\langle g(w_n)-g(u), w_n-u\rangle\\ &\leq\|w_n-u\|^2+\delta^2\|w_n-u\|^2-2[-\psi\|g(w_n)-g(u)\|^2+\varphi\|w_n-u\|^2]\\ &\leq\|w_n-u\|^2+\delta^2\|w_n-u\|^2+2\psi\delta^2\|w_n-u\|^2-2\varphi\|w_n-u\|^2\\ &\leq(1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi)\|w_n-u\|^2. \end{align} $

这表明

$ \begin{align} \|u_{n+1}-u\|&\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\{\gamma+\sqrt{1+\delta^2+2\psi\delta^2-2\varphi}+\sqrt{\delta^2+\rho^2\beta^2-2\rho\eta}\}\|w_n-u\|\\ & = (1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\theta\|w_n-u\|. \end{align} $

(4.5)

由(4.1)和(4.3)式, 同理可证

$ \begin{align} \|w_n-u\|\leq(1-\beta_n)\|u_n-u\|+\beta_n\theta\|y_n-u\|. \end{align} $

以及由(4.1)和(4.4)式可得

$ \begin{align} \|y_n-u\|&\leq(1-\gamma_n)\|u_n-u\|+\gamma_n\theta\|u_n-u\|\leq\|u_n-u\|. \end{align} $

两式表明

$ \begin{align} \|w_n-u\|&\leq(1-\beta_n)\|u_n-u\|+\beta_n\theta\|u_n-u\|\leq\|u_n-u\|. \end{align} $

(4.6)

由(4.5)和(4.6)式可知

$ \begin{align} \|u_{n+1}-u\|&\leq(1-\alpha_n)\|u_n-u\|+\alpha_n\theta\|u_n-u\| = (1-(1-\theta)\alpha_n)\|u_n-u\|\\ &\leq\prod\limits_{i = 0}^n[1-(1-\theta)\alpha_i]\|u_0-u\|. \end{align} $

由于$ \sum\limits_{n = 0}^\infty\alpha_n $发散, $ 1-\theta>0 $, 故$ \lim\limits_{n\to\infty}\prod_{i = 0}^n[1-(1-\theta)\alpha_i] = 0 $, 因此$ \{u_n\} $收敛于$ u $.证毕.

2007, Noor^[9]利用不动点定理构造了经典拟变分不等式问题的一种间隙函数, 并在一定条件下给出了误差界分析. 2012年, Gupta和Metra^[10]给出了经典拟变分不等式的正则间隙函数和$ D $-间隙函数并给出了误差界分析.受到以上文献的启发, 本节在实Hilbert空间中构造逆拟变分不等式问题的剩余间隙函数, 利用该间隙函数对该问题解的误差界进行分析.

定理5.1 设$ T, g:H\to H $是连续映射, $ K:H\to 2^H $是集值映射, 且对任意的$ u\in H $, $ K(u) $是闭凸集.定义$ R^\rho(u) = g(u)-P_{K(u)}(g(u)-\rho T(u)) $, 则$ \|R^\rho(u)\| $是IQVI$ (T, g, K) $的间隙函数.其中$ \rho $为正常数.

证 显然对于任意的$ u\in H $, $ \|R^\rho(u)\|\geq0 $, 并且$ \|R^\rho(u^*)\| = 0 $当且仅当

$ g(u^*) = P_{K(u^*)}[g(u^*)-\rho T(u^*)]. $

显然$ g(u^*)\in K(u^*) $, 根据引理1.2得

$ \langle g(u^*)-(g(u^*)-\rho T(u^*)), v-g(u^*)\rangle\geq0, \forall v\in K(u^*). $

即$ u^* $是IQVI$ (T, g, K) $的解.这表明$ \|R^\rho(u)\| $是IQVI$ (T, g, K) $的间隙函数.

定理5.2 设$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调且$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ \delta $-Lipschitz连续的, 假设1.3成立且满足$ \gamma\in(0, \frac{\eta}{\beta}) $, $ \rho>\frac{\delta\gamma}{\eta-\beta\gamma} $.若$ u^* $是IQVI$ (T, g, K) $的解, 则对任意的$ u\in H $,

$ \|u-u^*\|\leq\frac{\rho\beta+\delta}{\rho\eta-(\rho\beta+\delta)\gamma}\|R^\rho(u)\|. $

证 根据$ P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)] $的定义, 有

$ \langle g(u)-\rho T(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)], P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-v\rangle\geq0, \forall v\in K(u^*). $

由于$ u^* $是IQVI$ (T, g, K) $的解, $ g(u^*)\in K(u^*) $, 取$ v = g(u^*) $, 则

$ \begin{align} \langle g(u)-\rho T(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)], P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u^*)\rangle\geq0. \end{align} $

(5.1)

另一方面由于$ u^* $是IQVI$ (T, g, K) $的解且$ P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]\in K(u^*) $, 得

$ \langle \rho T(u^*), P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u^*)\rangle\geq0. $

结合(5.1)式得

$ \langle\rho T(u^*)-\rho T(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]+g(u), P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u^*)\rangle\geq0. $

进一步,

$ \begin{align} &\rho\langle T(u^*)-T(u), P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\rangle-\rho\langle T(u^*)-T(u), g(u^*)-g(u)\rangle\\ &+\langle g(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)], P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\rangle\\ &+\langle g(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)], g(u)-g(u^*)\rangle\geq0. \end{align} $

因$ T:H\to H $关于$ g $是$ \eta $ -强单调的, 故有

$ \begin{align} &\rho\langle T(u^*)-T(u), P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\rangle-\|P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\|^2\\ &+\langle g(u)-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)], g(u)-g(u^*)\rangle\geq\eta\rho\|u-u^*\|^2. \end{align} $

利用Cauchy-Schwarz不等式和三角不等式得

$ \begin{align} &\rho\|T(u^*)-T(u)\|\|P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]-P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]\|+\rho\|T(u^*)-T(u)\|\\ &\cdot\|P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\|+\|P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]-g(u)\|\|g(u)-g(u^*)\|\\ &+\|P_{K(u)}[g(u)-\rho T(u)]-P_{K(u^*)}[g(u)-\rho T(u)]\|\|g(u)-g(u^*)\|\geq\eta\rho\|u-u^*\|^2. \end{align} $

由于$ T:H\to H $是$ \beta $-Lipschitz连续的, $ g:H\to H $是$ \sigma $ -强单调且$ \delta $-Lipschitz是连续的, 且假设1.3成立, 得到

$ \rho\gamma\beta\|u-u^*\|^2+\rho\beta\|u-u^*\|\|R^\rho(u)\|+\delta\|u-u^*\|\|R^\rho(u)\|+\gamma\delta\|u-u^*\|^2\geq\eta\rho\|u-u^*\|^2. $

因此对于任意的$ u\in H $,

$ \|u-u^*\|\leq\frac{\rho\beta+\delta}{\rho\eta-(\rho\beta+\delta)\gamma}\|R^\rho(u)\|. $

证毕.