本文所涉及的环均表示有单位元的结合环.设$ R $是一个环, $ a \in R $, 若存在$ c \in R $, 使得

$ aca = a;\; cac = c;\; ac = ca, $

则称$ a $为$ R $的群可逆元^[1], 且称$ c $为$ a $的群逆元.由文献[2]知, 群可逆元$ a $的群逆元是唯一确定的, 通常记为$ a^{\#} $.本文用$ R^{\#} $表示环$ R $的全体群可逆元的集合.

设$ R $为一个环, $ \ast $为环$ R $到$ R $的一个双射, 满足条件$ (a^{*})^{*} = a; $ $ (a+b)^{*} = a^{*}+b^{*}; $ $ (ab)^{*} = b^{*}a^{*}, $其中$ a, b \in R $, 则称$ R $为一个对合环, 有时也简称$ R $为$ \ast $ -环^[3].

设$ a \in R $, 若存在$ x \in R $, 满足$ a = axa;\; x = xax;\; (ax)^{*} = ax;\; (xa)^{*} = xa, $则称$ a $为Moore Penrose可逆元, 简称$ a $为MP可逆元, $ x $称为$ a $的MP逆元.由文献[4]知, MP可逆元$ a $的MP逆元是唯一确定的, 记为$ a^{\dagger} $.用$ R^{\dagger} $表示$ \ast $ -环$ R $的全体MP可逆元的集合.

设$ R $为$ \ast $ -环, 若$ a \in R^{\#} \cap R^{\dagger} $且$ a^{\dagger} = a^{\#} $, 则称$ a $为$ R $的EP元^[5].用$ R^{\text {EP}} $表示$ R $的全体EP元的集合. EP元的研究起源于矩阵广义逆与算子广义逆, 最早可追溯到对EP矩阵^[6]的研究.对EP矩阵的刻画还可参见文献[7-11].本文主要从纯环论的角度研究EP元, 通过构造几个特定的方程, 研究其解与结合$ \ast $ -环上一个core可逆元成为EP元的等价条件, 这是环论上研究EP元的一种新型的方法.

引理 1^[12]  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则

(1)  $ Ra = Ra^{2} = Ra^{\#} = Ra^{\dagger}a = Ra^{*}a = Ra^{\#}a $;

(2)  $ aR = a^{2}R = a^{\#}R = aa^{\dagger}R = aa^{*}R $;

(3)  $ Ra^{*} = Ra^{\dagger} = R(a^{*})^{2} = Raa^{*} $;

(4)  $ a^{*}R = a^{\dagger}R = (a^{*})^{2}R = a^{*}aR $.

若$ a \in R^{\#} \cap R^{\dagger} $且$ aa^{\#} = (aa^{\#})^{*} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $.因此当$ aa^{\#} = aa^{\dagger} $时必有$ a \in R^{\text {EP}} $.从而有下面的引理.

引理 2^[13]  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $,

(1)  若$ Ra \subseteq Ra^{*} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $;

(2)  若$ Ra^{*} \subseteq Ra $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $;

(3)  若$ aR \subseteq a^{*}R $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $;

(4)  若$ a^{*}R \subseteq aR $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $.

设$ R $为$ \ast $ -环, $ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ (a^{\#})^{*} = (a^{*})^{\#} $, $ (a^{\dagger})^{*} = (a^{*})^{\dagger} $, $ (a^{\dagger})^{\dagger} = a $.由于$ (a^{\#})^{\dagger} $及$ (a^{\dagger})^{\#} $未必存在, 因此记$ \chi_{a} = \{a, a^{*}, a^{\dagger}, a^{\#}, (a^{\#})^{*}, (a^{\dagger})^{*}\} $.

定理 3  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $当且仅当下面的方程(2.1)在$ \chi_{a} $中至少有一个解,

$ \begin{equation} \\ \begin{aligned} xaa^{*}a = a^{*}a^{2}x. \end{aligned} \end{equation} $

(2.1)

证 必要性  由于$ a \in R^{\text {EP}} $, 所以$ a^{\dagger} = a^{\#} $.易见$ a^{\dagger}aa^{*}a = a^{*}a, \; a^{*}a^{2}a^{\dagger} = a^{*}a^{2}a^{\#} = a^{*}a $, 从而$ x = a^{\dagger} $为方程(2.1)在$ \chi_{a} $中的一个解.

充分性  (1)  若$ x = a $为解, 则$ a^{2}a^{*}a = a^{*}a^{3} $.从而由引理1知$ aR = a^{2}R = a(aa^{*}R) = a^{2}a^{*}R = a^{2}(a^{*}aR) = a^{2}a^{*}aR = a^{*}a^{3}R = a^{*}aR = a^{*}R, $由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(2)  若$ x = a^{\#} $为解, 则$ a^{\#}aa^{*}a = a^{*}a^{2}a^{\#} = a^{*}a $.由引理1知

$ a^{*}R = a^{*}aR = a^{\#}aa^{*}aR \subseteq a^{\#}R = aR, $

由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(3)  若$ x = a^{\dagger} $为解, 则$ a^{\dagger}aa^{*}a = a^{*}a^{2}a^{\dagger} $, 即$ a^{*}a = a^{*}a^{2}a^{\dagger} $.由引理1知

$ Ra = Ra^{*}a = Ra^{*}a^{2}a^{\dagger} \subseteq Ra^{\dagger} = Ra^{*}, $

由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(4)  若$ x = a^{*} $为解, 则

$ \begin{equation} a^{*}aa^{*}a = a^{*}a^{2}a^{*}. \end{equation} $

(2.2)

将(2.2)左乘$ (a^{\dagger})^{*} $得$ aa^{*}a = a^{2}a^{*} $, 由引理1得

$ Ra = Ra^{*}a = Raa^{*}a = Ra^{2}a^{*} = Raa^{*} = Ra^{*}, $

由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(5)  若$ x = (a^{\#})^{*} $为解, 则

$ \begin{equation} (a^{\#})^{*}aa^{*}a = a^{*}a^{2}(a^{\#})^{*}. \end{equation} $

(2.3)

对(2.3)应用对合得$ a^{*}aa^{*}a^{\#} = a^{\#}a^{*}a^{*}a $, 由引理1知

$ aR = a^{\#}R = a^{\#}a^{*}R = a^{\#}a^{*}a^{*}R = a^{\#}a^{*}a^{*}aR = a^{*}aa^{*}a^{\#}R \subseteq a^{*}R, $

由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(6)  若$ x = (a^{\dagger})^{*} $为解, 则

$ \begin{equation} (a^{\dagger})^{*}aa^{*}a = a^{*}a^{2}(a^{\dagger})^{*}. \end{equation} $

(2.4)

对(2.4)应用对合得$ a^{*}aa^{*}a^{\dagger} = a^{\dagger}a^{*}a^{*}a $, 由引理1知

$ Ra = Ra^{*}a = Ra^{*}a^{*}a = Ra^{*}a^{*}a^{*}a = Ra^{\dagger}a^{*}a^{*}a = Ra^{*}aa^{*}a^{\dagger} \subseteq Ra^{\dagger} = Ra^{*}, $

由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

注意到$ x \in \chi_{a} $当且仅当$ x^{*} \in \chi_{a} $, 因此对方程(2.1)两边取对合可得下面的方程

$ \begin{equation} a^{*}aa^{*}x = xa^{*}a^{*}a. \end{equation} $

(2.5)

由定理3可得如下推论.

推论 4  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $当且仅当上面的方程(2.5)在$ \chi_{a} $中至少有一个解.

由于$ a \in R^{\text {EP}} $当且仅当$ a^{*} \in R^{\text {EP}} $, 因此把方程(2.1)中的$ a $换成$ a^{*} $, 可得下面的方程

$ \begin{equation} xa^{*}aa^{*} = aa^{*}a^{*}x. \end{equation} $

(2.6)

利用定理3，可得如下推论.

推论 5  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $当且仅当上面的方程(2.6)在$ \chi_{a} $中至少有一个解.

把方程(2.6)两边取对合可得下面的方程

$ \begin{equation} aa^{*}ax = xa^{2}a^{*}. \end{equation} $

(2.7)

由推论5知有下面的推论.

推论 6  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ a \in R^{\text {EP}} $当且仅当上面的方程(2.7)在$ \chi_{a} $中至少有一个解.

定理 7   设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 若下列条件之一成立, 则$ a \in R^{\text {EP}} $.

(1)  $ a^{2}a^{*} = a^{*}a^{3}a^{\dagger} $;

(2)  $ a^{\#}aa^{*} = a^{*} $;

(3)  $ (a^{\dagger})^{*}aa^{*} = a^{*}a^{2}(a^{\dagger})^{*}a^{\dagger} $.

证  (1)  由于$ a^{2}a^{*} = a^{*}a^{3}a^{\dagger} $, 右乘$ a $得$ a^{2}a^{*}a = a^{*}a^{3} $.由定理3充分性的证明(1)知$ a \in R^{\text {EP}} $.

(2)  由于$ a^{\#}aa^{*} = a^{*} $, 右乘$ (a^{\dagger})^{*} $得$ a^{\#}a = a^{\dagger}a $, 故$ a \in R^{\text {EP}} $.

(3)  由于$ (a^{\dagger})^{*} = (a^{\dagger}aa^{\dagger})^{*} = (a^{\dagger})^{*}a^{\dagger}a $, 从而$ R(a^{\dagger})^{*} \subseteq Ra $.又$ a = aa^{\dagger}a = a(a^{\dagger}a)^{*} = aa^{*}(a^{\dagger})^{*}, $从而$ Ra \subseteq R(a^{\dagger})^{*} $, 于是$ R(a^{\dagger})^{*} = Ra $.由于$ (a^{\dagger})^{*}aa^{*} = a^{*}a^{2}(a^{\dagger})^{*}a^{\dagger} $, 两边取对合得

$ aa^{*}a^{\dagger} = (a^{\dagger})^{*}a^{\dagger}a^{*}a^{*}a. $

故由引理1知$ Ra = Ra^{*}a = Ra^{*}a^{*}a = Ra^{*}a^{*}a^{*}a = Ra^{\dagger}a^{*}a^{*}a = Raa^{\dagger}a^{*}a^{*}a = R(a^{\dagger})^{*}a^{\dagger}a^{*}a^{*}a = Raa^{*}a^{\dagger} \subseteq Ra^{\dagger} = Ra^{*} $, 由引理2知$ a \in R^{\text {EP}} $.

推论 8  设$ a\in R^{\#}\cap R^{\dagger} $, 则$ Ra = R(a^{\dagger})^{*} $; $ aR = (a^{\dagger})^{*}R $.

方程(2.1)右乘$ a^{\dagger} $得下面的方程

$ \begin{equation} xaa^{*} = a^{*}a^{2}xa^{\dagger}. \end{equation} $

(2.8)

由定理7知当$ x = a, \; a^{\#}, \; (a^{\dagger})^{*} $为方程(2.8)的解时, 都有$ a \in R^{\text {EP}} $.