考虑如下带Hardy-Sobolev临界指数的Kirchhoff型方程

$ \begin{equation}\label{1.1} \begin{cases} -\left(a+b\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\displaystyle\frac{u^{5-2s}}{|x|^{s}}+\lambda u^{-\gamma},&x\in\Omega, \\ u>0,&x\in\Omega, \\ u=0,&x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} $

(1.1)

其中$\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$是一个有界开区域且具有光滑边界$\partial\Omega$, $0\in\Omega, $ $a, b\geq0$且$a+b > 0$, $\lambda > 0, 0 < \gamma < 1, 0\leq s < 1, $ $6-2s$是Hardy-Sobolev临界指数.

2013年, 刘星和孙义静老师研究了如下问题

$ \begin{equation}\label{1.2} \begin{cases} -\left(a+b\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx\right)\Delta u=\displaystyle\lambda g(x)\frac{u^{p}}{|x|^{s}}+f(x)u^{-\gamma},&x\in\Omega, \\ u=0,&x\in\partial\Omega, \end{cases} \end{equation} $

(1.2)

其中$3 < p < 5-2s, 0 < \gamma < 1, a, b, \lambda > 0, $ $f, g\in C(\bar{\Omega})$是非平凡非负函数.当$\lambda > 0$充分小时, 结合变分方法和Nehari方法获得问题(1.2)的两个正解, 详见文献[1]. 2015年, 雷春雨等在文献[2, 3]中分别当$s=0, p=5$和$s=0, p=3$时研究了问题(1.2), 并获得了两个正解的存在性.当$s=0, 0 < p < 3$时, 我们研究了问题(1.2), 并获得了一个正的基态解, 详见文献[4].随后, 刘芮琪等在文献[5]将文献[4]的结果推广至高维空间.与此同时刘芮琪等将文献[2]研究的问题推广至四维空间, 并获得了正解存在性和多解性的结果, 具体可参见文献[6].

在前期的研究基础上, 本文将研究问题(1.1)正解的存在性.定义问题(1.1)对应的能量泛函$I$为

$ \begin{equation*} I(u)=\frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx -\frac{\lambda}{1-\gamma}\int_{\Omega}|u|^{1-\gamma}dx, ~\forall u\in H_{0}^{1}(\Omega), \end{equation*} $

其中

$ \|u\|=\left(\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx\right)^{\frac{1}{2}} $

为$H_{0}^{1}(\Omega)$空间的标准范数.称$u\in H_{0}^{1}(\Omega)$为问题$(1.1)$的解, 如果$u > 0$且满足

$ \begin{equation}\label{aa} \left(a+b\int_{\Omega}|\nabla u|^2dx\right)\int_{\Omega}(\nabla u, \nabla\varphi)dx-\int_{\Omega}\frac{u^{5-2s}}{|x|^{s}}\varphi dx-\lambda\int_{\Omega}u^{-\gamma}\varphi dx=0, ~~ \forall \phi\in H_{0}^{1}(\Omega). \end{equation} $

(1.3)

记$A_{s}$为Hardy-Sobolev常数

$ \begin{equation}\label{1.3} A_{s}:=\inf\limits_{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\backslash\{0\}}\frac{\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}dx}{\left(\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\right)^{\frac{1}{3-s}}}. \end{equation} $

(1.4)

特别地, 当$s=0, $ $A_{0}:=\inf\limits_{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\backslash\{0\}}\frac{\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}dx}{\left(\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{6}dx\right)^{\frac{1}{3}}}$是最佳Sobolev常数.记$|u|_{q}=\left(\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{q}dx\right)^{\frac{1}{q}}$为$L^{q}(\Omega)(1\leq q < \infty)$空间的标准范数.

首先, 给出如下一个重要的引理.

引理2.1  假设$a, b\geq0$且$a+b > 0$, $0 < \gamma < 1, 0\leq s < 1, $则存在$\lambda_{*} > 0$使得对任意的$0 < \lambda < \lambda_{*}$, 泛函$I$在空间$H_{0}^{1}(\Omega)$上都能达到一个负的局部极小值.

证  由H$\ddot{\text{o}}$lder不等式和$ (1.4)$式, 可推得如下不等式成立

$ \begin{eqnarray}\label{2.2} &&\displaystyle\int_\Omega|u|^{1-\gamma}dx\leq|u|_{6}^{1-\gamma}|\Omega|^{\frac{5+\gamma}{6}}\leq |\Omega|^{\frac{5+\gamma}{6}}A_{0}^{-\frac{1-\gamma}{2}}\|u\|^{1-\gamma}, \end{eqnarray} $

(2.1)

$ \begin{eqnarray} \label{2.3} &&\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\leq A_{s}^{-\frac{6-2s}{2}}\|u\|^{6-2s}. \end{eqnarray} $

(2.2)

从而根据(2.1)式和(2.2)式, 可得

$ \begin{equation}\label{2.4} \left. \begin{array}{rcl} I(u)&=&\displaystyle\frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx -\frac{\lambda}{1-\gamma}\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{1-\gamma}dx\\ &\geq&\displaystyle\frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{\|u\|^{6-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}} -\frac{\lambda \|u\|^{1-\gamma}}{(1-\gamma)A_{0}^{\frac{1-\gamma}{2}}}\\ &\geq&\displaystyle\|u\|^{1-\gamma}\left(\frac{a}{2}\|u\|^{1+\gamma}+\frac{b}{4}\|u\|^{3+\gamma} -\frac{\|u\|^{5+\gamma-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}}-\frac{\lambda}{(1-\gamma)A_{0}^{\frac{1-\gamma}{2}}}\right). \end{array} \right. \end{equation} $

(2.3)

当$a > 0$时, 令

$ h(t)=\frac{a}{2}t^{1+\gamma}-\frac{t^{5+\gamma-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}}, $

则$h'(t)=t^{\gamma}\left[\frac{a(1+\gamma)}{2}-\frac{(5+\gamma-2s)t^{4-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}}\right].$容易得到

$ t_{\max}=\left[\frac{a(1+\gamma)(3-s)A_{s}^{3-s}}{5+\gamma-2s}\right]^{\frac{1}{2(2-s)}}, $

使得

$ \displaystyle\max\limits_{t\geq0}h(t)=h(t_{\max})=\frac{a(2-s)}{5+\gamma-2s}\left[\frac{a(1+\gamma)(3-s)A_{s}^{3-s}}{5+\gamma-2s}\right] ^{\frac{1+\gamma}{2(2-s)}}. $

因此, 取$R_{1}=t_{\max}$以及$\lambda^{'}=(1-\gamma)A_{0}^{\frac{1-\gamma}{2}}h(t_{\max}), $依据(2.3)式, 则存在$\rho > 0$使得对任意的$0 < \lambda < \lambda^{'}$都有

$ \begin{equation}\label{2.5} \begin{cases} \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq2\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R_{1}}}, \\ I(u)\geq\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R_{1}}}, \\ \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq0, ~~~\forall u\in\overline{B_{R_{1}}}, \end{cases} \end{equation} $

(2.4)

其中$\overline{B_{R_{1}}}=\{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\}: \|u\|\leq R_{1}\}$.若$b > 0$时, 令

$ \psi(t)=\frac{b}{4}t^{3+\gamma}-\frac{t^{5+\gamma-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}}, $

则

$ \psi'(t)=t^{2+\gamma}\left[\frac{b(3+\gamma)}{4}-\frac{(5+\gamma-2s)t^{2-2s}}{(6-2s)A_{s}^{3-s}}\right]. $

容易得到

$ \tilde{t}_{\max}=\left[\frac{b(3+\gamma)(3-s)A_{s}^{3-s}}{2(5+\gamma-2s)}\right]^{\frac{1}{2(1-s)}}, $

使得

$ \displaystyle\max\limits_{t\geq0}\psi(t)=\psi(\tilde{t}_{\max})=\frac{b(1-s)}{2(5+\gamma-2s)}\left[\frac{b(3+\gamma)(3-s)A_{s}^{3-s}}{2(5+\gamma-2s)}\right] ^{\frac{2+\gamma}{2(1-s)}}. $

因此, 取$R_{2}=\tilde{t}_{\max}$以及$\lambda^{''}=(1+q)A_{0}^{\frac{1-\gamma}{2}}\psi(\tilde{t}_{\max}), $依据(2.3)式, 则存在$\rho > 0$使得对任意的$0 < \lambda < \lambda^{''}$都有

$ \begin{equation}\label{2.6} \begin{cases} \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq2\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R_{2}}}, \\ I(u)\geq\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R_{2}}}, \\ \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq0, ~~~\forall u\in\overline{B_{R_{2}}}, \end{cases} \end{equation} $

(2.5)

其中$\overline{B_{R_{2}}}=\{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\}: \|u\|\leq R_{2}\}$.

因此, 对任意的$a, b\geq0$且$a+b > 0$, 综合(2.4)式和(2.5)式, 则存在$\lambda_{*} > 0$和$R, \rho > 0$使得对任意的$\lambda\in(0, \lambda_{*})$使得

$ \begin{equation}\label{AAA} \begin{cases} \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq2\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R}}, \\ I(u)\geq\rho, ~~~\forall u\in\partial\overline{B_{R}}, \\ \frac{a}{2}\|u\|^{2}+\frac{b}{4}\|u\|^{4}-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq0, ~~~\forall u\in\overline{B_{R}}, \end{cases} \end{equation} $

(2.6)

其中$\overline{B_{R}}=\{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\}: \|u\|\leq R\}$.固定$\lambda\in(0, \lambda_{*})$, 则$m=\displaystyle\inf_{u\in \overline{B_{R}}}I(u)$都有定义.进一步可得, 对任意的$u\in H_{0}^{1}(\Omega)$且$u\neq0, $可得

$ \lim\limits_{t\rightarrow0^{+}}\frac{I(tu)}{t^{1-\gamma}}=-\frac{\lambda}{1-\gamma}\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{1-\gamma}dx<0. $

故当$\|u\|$充分小时, 有$m < 0.$因此, 泛函$I$在$H_{0}^{1}(\Omega)$有一个负的局部极小值.

接下来, 证明$I$在$H_{0}^{1}(\Omega)$能到达$m, $即证存在一个$u_{\lambda}\in\overline{B_{R}}$使得$I(u_\lambda)=m.$根据下确界的定义, 则存在一个极小化序列$\{u_n\}\subset\overline{B_{R}}$使得$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}I(u_n)=m < 0.$由于$I(|u_n|)=I(u_n), $故不妨假设$u_n(x)\geq0$对任意的$x\in\Omega$都成立.从而, 对$\{u_n\}$的一个子列, 为了方便仍记为$\{u_n\}, $存在一个$u_{\lambda}\geq0$, 当$n\rightarrow\infty$时, 使得

$ \begin{equation}\label{A} \begin{cases} u_n\rightharpoonup u_\lambda, ~~~H_{0}^{1}(\Omega), \\ u_n\rightarrow u_\lambda, ~~~L^{s}(\Omega), ~1\leq s<2^*, \\ u_n(x)\rightarrow u_{\lambda}(x) ~\text{a.e.} \Omega. \end{cases} \end{equation} $

(2.7)

由于$\overline{B_R}$是闭凸集, 从而$\overline{B_R}$是弱闭的, 因此$u_{\lambda}\in \overline{B_R}.$下面只需证明$I(u_\lambda)=m.$不妨设$w_{n}=u_{n}-u_{\lambda}$.由于$0 < \gamma < 1, $可得如下不等式$|x^{1-\gamma}-y^{1-\gamma}|\leq |x-y|^{1-\gamma}, ~~~\forall x, y\geq0.$从而, 结合H$\ddot{\text{o}}$lder不等式, 有

$ \begin{equation*} \left. \begin{array}{rcl} \displaystyle\left|\displaystyle\int_{\Omega}|u_{n}|^{1-\gamma}dx-\displaystyle\int_{\Omega}|u_{\lambda}|^{1-\gamma}dx\right|\leq \displaystyle\displaystyle\int_{\Omega}|u_{n}-u_{\lambda}|^{1-\gamma}dx \leq\displaystyle |w_{n}|_{2}^{1-\gamma}|\Omega|^{\frac{1+\gamma}{2}}. \end{array} \right. \end{equation*} $

进一步, 由(2.7)式可推得

$ \begin{equation}\label{2.9} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\int_{\Omega}|u_n|^{1-\gamma}dx=\displaystyle\int_{\Omega}|u_\lambda|^{1-\gamma}dx. \end{equation} $

(2.8)

由(2.7)式, 同时也可推得

$ \begin{eqnarray}\label{2.10} &&\|u_{n}\|^{2}=\|w_{n}\|^{2}+\|u_{\lambda}\|^{2}+o(1), \end{eqnarray} $

(2.9)

$ \begin{eqnarray} \label{2.11} &&\|u_n\|^{4}=\|w_{n}\|^{4}+\|u_{\lambda}\|^{4}+2\|w_n\|^{2}\|u_{\lambda}\|^{2}+o(1). \end{eqnarray} $

(2.10)

再根据文献[8], 可得

$ \begin{equation}\label{2.12} \displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u_{n}|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx=\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|w_{n}|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx+\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|u_{\lambda}|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx+o(1). \end{equation} $

(2.11)

若$u_{\lambda}=0, $可得$w_{n}=u_{n}, $这就意味着$w_{n}\in B_{R}.$若$u_{\lambda}\neq0, $由(2.9)式, 可得当$n$充分大时有$w_{n}\in B_{R}.$从而, 由(2.6)式, 可推得

$ \begin{equation}\label{2.13} \frac{a}{2}\|w_{n}\|^2+\frac{b}{4}\|w_{n}\|^4-\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|w_{n}|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx\geq0. \end{equation} $

(2.12)

故由(2.8)-(2.12)式, 有

$ \begin{equation*} \left. \begin{array}{rcl} m&=&I(u_{n})+o(1)\\ &=&\displaystyle I(u_{\lambda})+\frac{a}{2}\|w_{n}\|^{2}+\frac{b}{4}\|w_{n}\|^{4}+\frac{b}{2}\|w_{n}\|^{2}\|u_{\lambda}\|^{2} -\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{|w_{n}|^{6-2s}}{|x|^{s}}dx+o(1)\\ &\geq&\displaystyle I(u_{\lambda})+\frac{b}{2}\|w_n\|^2\|u_{\lambda}\|^2+o(1)\\ &\geq&I(u_{\lambda})+o(1)\\ &\geq&m+o(1). \end{array} \right. \end{equation*} $

这就意味着$I(u_{\lambda})=m < 0$且$u_{\lambda}\not\equiv0, $即$u_{\lambda}$能量泛函$I$的一个非零非负局部极小值点.引理2.1证毕.

下面给出本文的主要结果及其证明.

定理2.1  假设$a, b\geq0$且$a+b > 0$, $0 < \gamma < 1, 0\leq s < 1, $则对一切的$0 < \lambda < \lambda_{*}$ ($\lambda_{*}$为引理2.1中所定义)问题(1.1)都存在一个正局部极小解.

证  根据引理2.1, 可知在$\Omega$上$u_{\lambda}\geq0$且$u_{\lambda}\not\equiv0.$只需证明$u_{\lambda}$是问题(1.1)的解.令$\phi\in H_{0}^{1}(\Omega), \phi\geq0, $由于$u_{\lambda}\in \overline{B_{R}}, $则存在$\xi > 0$当$|t| < \xi$时使得$u_{*}+t\phi\in\overline{B_{R}}.$因为$u_{*}$是泛函$I$在$\overline{B_R}$的局部极小值点, 从而可推得

$ \begin{equation}\label{2.90} \left. \begin{array}{rcl} 0&\leq&\displaystyle\liminf\limits_{t\rightarrow0^{+}}\frac{I(u_{\lambda}+t\phi)-I(u_{\lambda})}{t}\\ &=&\displaystyle a\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{\lambda}, \nabla\phi)dx+b\|u_{\lambda}\|^{2}\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{\lambda}, \nabla\phi)dx\\ &&-\displaystyle\frac{1}{6-2s}\lim\limits_{t\rightarrow0^{+}}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{(u_{\lambda}+t\phi)^{6-2s}-u_{\lambda}^{6-2s}}{t|x|^{s}}dx\\ &&-\displaystyle\frac{\lambda}{1-\gamma}\limsup\limits_{t\rightarrow0^{+}}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{(u_{\lambda}+\phi)^{1-\gamma}-u_{\lambda}^{1-\gamma}}{t}dx. \end{array} \right. \end{equation} $

(2.13)

根据Lebesgue控制收敛定理, 可得

$ \begin{equation}\label{ad2} \lim\limits_{t\rightarrow0^{+}}\frac{1}{6-2s}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{(u_{\lambda}+t\phi)^{6-2s}-u_{\lambda}^{6-2s}}{t|x|^{s}}dx =\displaystyle\int_{\Omega}\frac{u_{\lambda}^{5-2s}\phi}{|x|^{s}}dx. \end{equation} $

(2.14)

对任意的$x\in\Omega, $令

$ \eta(t)=\frac{(u_{\lambda}+t\phi)^{1-\gamma}-u_{\lambda}^{1-\gamma}}{(1-\gamma)t}. $

由$s\mapsto s^{1-\gamma}$是一个凸函数, 则对任意的$x\in\Omega, $函数$\eta$是非增的.故当$t\rightarrow0^{+}$时$\eta$是逐点收敛到$u_{\lambda}^{-\gamma}(x)\phi(x).$从而根据Beppo-Levi定理, 可得

$ \begin{equation}\label{ad3} \lim\limits_{t\rightarrow0^{+}}\frac{1}{1-\gamma}\displaystyle\int_{\Omega}\frac{(u_{\lambda}+t\phi)^{1-\gamma}-u_{\lambda}^{1-\gamma}}{t}dx =\displaystyle\int_{\Omega}u_{\lambda}^{-\gamma}\phi dx. \end{equation} $

(2.15)

因此, 结合(2.13)-(2.15)式, 可以推得$u_{\lambda}^{-\gamma}\phi\in L^{1}(\Omega)$以及

$ \begin{equation}\label{2.100} \left(a+b\|u_{\lambda}\|^{2}\right)\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{\lambda}, \nabla\phi)dx-\displaystyle\int_{\Omega}\frac{u_{\lambda}^{5-2s}\phi}{|x|^{s}}dx-\lambda \displaystyle\int_{\Omega}u_{\lambda}^{-\gamma}\phi dx\geq0, \end{equation} $

(2.16)

其中$\phi\in H_{0}^{1}(\Omega), \phi\geq0.$记$e\in H_{0}^{1}(\Omega), e > 0$且$\|e\|=1$为$\Delta$算子第一个特征值$\lambda_{1}$对应的特征函数.在(2.16)式中取$\phi=e$可得

$ \lambda \displaystyle\int_{\Omega}u_{\lambda}^{-\gamma}e dx\leq\left(a+b\|u_{\lambda}\|^{2}\right)\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{\lambda}, \nabla e)dx-\displaystyle\int_{\Omega}\frac{u_{\lambda}^{5-2s}e}{|x|^{s}}dx<+\infty, $

这就意味着$u_{\lambda} > 0$在$\Omega$几乎处处成立.

类似于文献[4]中定理1的证明, 同样可从(2.16)式可以推得$\forall \phi\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 有

$ \begin{equation}\label{3.0} (a+b\|u_{\lambda}\|^{2})\displaystyle\int_{\Omega}(\nabla u_{\lambda}, \nabla\phi)dx-\displaystyle\int_{\Omega}\frac{u_{\lambda}^{5-2s}\phi}{|x|^{s}}dx-\lambda\displaystyle\int_{\Omega}u_{\lambda}^{-\gamma}\phi dx\geq0. \end{equation} $

(2.17)

再依据$\phi\in H_{0}^{1}(\Omega)$的任意性可知$u_{\lambda}$是问题(1.1)的一个正局部极小解.定理2.1证毕.