给定$T>0$, 并设$Q=(0, 1)\times(0, T)$.考虑如下具有非局部项的受控系统

$ \begin{equation} \label{xsys1} \left\{ \begin{array}{ll} y_t(x, t)-y_{xx}(x, t)=a\displaystyle\int_0^t y(x, s)\, {\text{d}}s+b(x)u(t),&(x, t)\in Q, \\[1mm] y(0, t)=y(1, t)=0,&t\in(0, T), \\[1mm] y(x, 0)=y_0(x),& x\in(0, 1), \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

其中$a\in\bf{R}$ 是非零常数, $b\in L^2(0, 1)$ 是给定的函数, $u\in L^2(0, T)$ 是控制函数且$y_0\in L^2(0, 1)$ 是初始条件.这类控制称为“双线性”控制(参见文献[1]).由Galerkin方法可知(参见文献[2]), 系统(1.1)存在唯一的解$y\in L^2(Q)$.

系统(1.1)主要描述含有关于时间的非局部反应项的一类扩散现象.这个模型在热交换、人口动力学、核反应等领域有着广泛的应用.因此关于系统(1.1)的能控性问题已经逐渐引起学者的广泛关注.首先, 我们一起回忆一下零能控的概念.

定义1.1 系统(1.1)在时刻$T$ 是零能控的, 是指对于任意$y_0\in L^2(0, 1)$, 存在控制$u\in L^2(0, T)$ 使得系统(1.1)相应的解满足

$ \begin{equation} \label{ddp} y(x, T)=0, ~\mbox{几乎处处}~x\in(0, 1). \end{equation} $

(1.2)

当$a=0$时, 系统(1.1)是经典的热方程.众所周知, 无论施加内部控制还是边界控制, 这类方程都是零能控的(参见文献[3]).当$a\neq 0$时, 由于非局部项的存在, 系统(1.1)施加内部控制和边界控制都不是零能控的(参见文献[4]).而本文讨论的是施加双线性控制后, 系统(1.1)的零能控性.我们有如下结论.

定理1.1 假设$b_j=\displaystyle\int_0^1 b(x)\sin(j\pi x)\, {\text{d}}x\neq 0, ~\forall~j\geq 1$.则系统(1.1)不是零能控的, 即存在$y_0\in L^2(0, 1)$ 使得对于任意$u\in L^2(0, T)$, 系统(1.1)相应的解都不满足

$ y(x, T)=0, ~\mbox{几乎处处}~x\in(0, 1). $

本文分为四部分:第二部分给出与零能控等价的充要条件; 第三部分给出定理1.1的证明, 也就是证明与之等价的充要条件不成立; 最后一部分是本文的总结, 并指出进一步研究的问题.

在证明定理1.1之前, 给出零能控的一个等价命题.

引理2.1 系统(1.1)在时刻$T$零能控的充要条件是

$ \begin{equation} \label{qcg}\int_0^T\int_0^1 b(x)\varphi(x, t)u(t)\, {\text{d}}x\, {\text{d}}t=-\int_0^1 y_0(x)\varphi(x, 0)\, {\text{d}}x, \quad\forall~\varphi_T\in L^2(0, 1), \end{equation} $

(2.1)

其中$\varphi$是下述对偶系统的解

$ \begin{equation} \label{xsys2} \left\{ \begin{array}{ll} \varphi_t+\varphi_{xx}+a\displaystyle\int_t^T \varphi(x, s)\, {\text{d}}s=0,&(x, t)\in Q, \\[1mm] \varphi(0, t)=\varphi(1, t)=0,&t\in(0, T), \\[1mm] \varphi(x, T)=\varphi_T(x),& x\in(0, 1). \end{array} \right. \end{equation} $

(2.2)

证 方程(1.1)两端同时乘以$\varphi$, 再在$Q$上分部积分可得

$ \int_0^1 y(x, T)\varphi_T(x)\, {\text{d}}x-\int_0^1 y_0(x)\varphi(x, 0)\, {\text{d}}x=\int\int_Qb(x)u(t)\varphi(x, t) \, {\text{d}}x\, {\text{d}}t. $

因此存在控制$u\in L^2(0, T)$使得$y(x, T)=0, ~\mbox{几乎处处}~x\in(0, 1)$的充要条件是

$ \int_0^T\int_0^1 b(x)\varphi(x, t)u(t)\, {\text{d}}x\, {\text{d}}t+\int_0^1 y_0(x)\varphi(x, 0)\, {\text{d}}x=0, \quad\forall~\varphi_T\in L^2(0, 1). $

结论得证.

设$w_j(x)=\sin(j\pi x), ~\lambda_j=(j\pi)^2, ~\forall~j\in\bf{N}.$从而存在整数$j_0$, 使得$|a|<\lambda^2_{j_0}/4.$设$M>j_0$是一个充分大的整数.令

$ \varphi_T(x)=\sum\limits_{k=1}^{10} \beta_{M+k}w_{M+k}(x), \quad\forall~x\in (0, 1), $

其中$\{\beta_{M+k}\}_{k=1}^{10}$满足

$ \begin{equation} \label{hb2} \sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}\beta_{M+k}\frac{1+\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}} {2\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}}(\mu_{M+k}^-+k^2\pi^2+2Mk\pi^2)^l=0, \quad l=0, 1, \cdots 5, \end{equation} $

(3.1)

并且

$ \begin{equation} \label{hbcbl2}\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}\beta_{M+k}\lambda_{M+k}^{-2}=0. \end{equation} $

(3.2)

由于(3.1)和(3.2)式是关于$\{\beta_{M+k}\}_{k=1}^{10}$ 的七个方程十个未知数的线性方程组, 所以存在非零解$\{\beta_{M+k}\}_{k=1}^{10}$ 且其上、下界与$M$ 无关.以下用$C$来表示与$M$无关的常数.于是, 方程(2.2)的解表示为

$ \varphi(x, t)=\sum\limits_{k=1}^{10} \left(C_{1, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^+(T-t)} +C_{2, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^-(T-t)}\right)w_{M+k}(x), \quad\forall~(x, t)\in Q, $

其中

$ \begin{eqnarray*}&&\mu_{M+k}^{\pm}=\frac{-\lambda_{M+k}\mp\sqrt{\lambda_{M+k}^2+4a}}{2} =-\frac{\lambda_{M+k}}{2}\left(1\pm\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}\right), \\ &&C_{1, {M+k}}=\beta_{M+k}\frac{1+\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}} {2\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}}, ~~C_{2, {M+k}}=\beta_{M+k} \frac{-1+\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}}{2\sqrt{1+4a/\lambda_{M+k}^2}}.\end{eqnarray*} $

此时

$ \begin{eqnarray*}I_1&:=&\int_0^1 |\varphi(x, 0)|^2\, {\text{d}}x =\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{10}\left(C_{1, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^+T} +C_{2, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^-T}\right)^2, \\ I_2 &:=&\displaystyle\int_0^T|\int_0^1 b(x)\varphi(x, t)\, {\text{d}}x|^2\, {\text{d}}t\\ &=&\displaystyle\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k} \left(C_{1, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^+(T-t)} +C_{2, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^-(T-t)}\right)|^2\, {\text{d}}t\\ &\leq& \displaystyle 2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{1, {M+k}}e^{\mu_{M+k}^+ t}|^2\, {\text{d}}t+ 2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{2, {M+k}} e^{\mu_{M+k}^-t}|^2\, {\text{d}}t. \end{eqnarray*} $

记上式最后两项分别为$A_1, ~A_2.$

由于$\mu_{M+k}^++\mu_{M+k}^-=-\lambda_{M+k}$, 则

$ \begin{align*} A_1&=2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{1, {M+k}}e^{-(\mu_{M+k}^-+\lambda_{M+k}) t}|^2\, {\text{d}}t\\ &=2\int_0^T e^{-2M^2\pi^2t}|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{1, {M+k}}\exp\{(-\mu_{M+k}^--k^2\pi^2-2Mk\pi^2) t\}|^2\, {\text{d}}t\\ &=2\int_0^T e^{-2M^2\pi^2t}g_M(t)\, {\text{d}}t, \end{align*} $

其中

$ g_M(t)=\left(\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{1, {M+k}} \exp\{(-\mu_{M+k}^--k^2\pi^2-2Mk\pi^2)t\}\right)^2, ~\forall~t\in[0, T]. $

由(3.1)式可得$g_M(0)=g'_M(0)=\cdots=g^{(10)}_M(0)=0$且$|g^{(r)}_M(t)|\leq CM^r, ~~\forall~r\geq 0$.于是

$ \begin{align*} A_1&=2\int_0^T e^{-2M^2\pi^2t}g_M(t)\, {\text{d}}t\\ &=2\sum\limits_{l=0}^{10}\frac{e^{-2M^2\pi^2T}}{(-2M^2\pi^2)^{l+1}}g_M^{(l)}(T) +2\int_0^T \frac{e^{-2M^2\pi^2T}}{(-2M^2\pi^2)^{11}}g^{(11)}_M(t)\, {\text{d}}t\\ &\leq Ce^{-2M^2\pi^2T}\sum\limits_{l=0}^{10}\frac{M^{l}}{M^{2l+2}} +\frac{C}{M^{11}}\int_0^T e^{-2M^2\pi^2T}\, {\text{d}}t\leq\frac{C}{M^{12}}. \end{align*} $

同文献[5], 有

$ C_{2, {M+k}}=\beta_{M+k}\left(\frac{a}{\lambda_{M+k}^2} +O(\lambda_{M+k}^{-4})\right), $

并且

$ e^{\mu_{M+k}^-t}=1+\frac{at}{\lambda_{M+k}}+O(\lambda_{M+k}^{-2}). $

于是, 由(3.2)式可得

$ \begin{align*} A_2&=2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}C_{2, {M+k}} e^{\mu_{M+k}^-t}|^2\, {\text{d}}t\\ &=2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k} \beta_{M+k}(a/\lambda_{M+k}^2+O(\lambda_{M+k}^{-4})) (1+at/\lambda_{M+k}+O(\lambda_{M+k}^{-2}))|^2\, {\text{d}}t\\ &=2\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}b_{M+k}\beta_{M+k}(a^2t/\lambda^3_{M+k} +O(\lambda_{M+k}^{-4}))|^2\, {\text{d}}t\\ &\leq C\int_0^T|\sum\limits_{k=1}^{10}((M+k)^{-6}+(M+k)^{-8})|^2\, {\text{d}}t \leq\frac{C}{M^{12}}. \end{align*} $

另一方面, 同文献[5]可得

$ I_1\geq C(a^2/M^8-1/M^{16})-Ce^{-M^2T}\geq \frac{C}{M^8}. $

假设系统(1.1)在时刻$T$零能控, 则由引理2.1可得

$ \begin{equation*} \int_0^1 y_0(x)\varphi(x, 0)\, {\text{d}}x=-\int_0^T\int_0^1 b(x)\varphi(x, t)u(t)\, {\text{d}}x\, {\text{d}}t.\end{equation*} $

进而, 由比较定理可得

$ \begin{equation*} \int_0^1 |\varphi(x, 0)|^2{\text{d}}x\leq C\int_0^T|\int_0^1 b(x)\varphi(x, t){\text{d}}x|^2{\text{d}}t.\end{equation*} $

由前面的讨论可知, 存在与$M$ 无关的两个常数$C_1, ~C_2$使得

$ \begin{eqnarray*} \frac{C_1}{M^8}&\leq& \int_0^1 |\varphi(x, 0)|^2{\text{d}}x\leq C\int_0^T|\int_0^1 b(x)\varphi(x, t){\text{d}}x|^2{\text{d}}t\\ &\leq&C(A_1+A_2)\leq\frac{C_2}{M^{12}}. \end{eqnarray*} $

这对于充分大的$M$是矛盾的.故系统(1.1)不能零能控.证毕

本文讨论了在施加双线性控制时, 具有非局部项的热方程不是零能控的.推广了文献[4]的结果.应当指出, 这类问题还需要更加深入的研究, 比如此类受控系统的能稳性问题.相信进一步地探究更有利于把结果应用到实际中.