在这篇文章中, 考虑如下具有非局部源的退化抛物方程组问题

$ u_t = \Delta u^{m } +a u^{p_1}\|v^{m_1} \|_{\alpha}^{q_1}, \quad v_t = \Delta v^{n } + b v^{p_2}\|u^{m_2} \|_{\beta}^{q_2}, \quad(x, t)\in \Omega\times(0, T), $

(1.1)

其边界条件为

$ \begin{equation} u(x, t)=\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)u(y, t)dy, \quad v(x, t)=\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)v(y, t)dy, \quad (x, t)\in \partial\Omega\times(0, T), \label{1.1a} \end{equation} $

(1.2)

其初值在边界上满足相容性条件

$ \begin{equation} u(x, 0)=u_0(x), \quad v(x, 0)=v_0(x), \quad x\in\Omega, \label{1.1b} \end{equation} $

(1.3)

其中$\Omega$是有光滑边界的有界区域; $\|\cdot\|_{\alpha}$和$\|\cdot\|_{\beta}$是$L^{\alpha} (\Omega)$和$L^{\beta} (\Omega)$范数; $m$, $n$, $\alpha$, $\beta>1$; $p_1$, $p_2\geq 0$; $a$, $b$, $q_1$, $q_2$, $m_1$, $m_2>0$; 权函数$\varphi_1(x, y)$和$\varphi_2(x, y)$是$\partial\Omega\times\bar\Omega$上的非负函数, 并且满足$0<\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)dy$, $\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)dy\le 1$; 初值$u_0, v_0\in C^{2+\nu}$, 常数$\nu\in(0, 1)$.

对于多孔介质方程解的爆破现象, 在过去的十几年中得到了很大的关注(参见文献[1-14]).多孔介质方程和系统已经成为非常重要的偏微分方程研究领域, 具有深刻的物理背景, 例如在多孔介质力学、流体力学、气体流量、种群生态领域中, 更多的细节参见文献[15-22].

Galaktionov, Kurdyumov和Samarskii在文献[23, 24]中研究了

$ u_{t}=\Delta u^{\nu+1}+v^{p}, \quad v_{t}=\Delta v^{\mu+1}+u^{q}, \quad (x, t)\in \Omega\times(0, T), \nonumber $

其具有齐次狄利克雷边界条件, 结果如下:如果$1\leq p<1+\mu$, $1\leq q<1+\nu$, 则在初值和边界条件下, 解整体存在.如果$p=1+\mu$, $q=1+\nu$, 且在狄利克雷边界条件下的最小的特征值满足$\lambda_{1}<1$, 则对任意初值$u_{0}, \:v_{0}\geq0$, $u_{0}+v_{0}$不恒等于0, 有$\displaystyle\lim_{t\rightarrow T_{0}-0}(\|u^{\nu+1}\|_{L_{2}}+\|v^{\mu+1}\|_{L_{2}})=+\infty, \;T_{0}<+\infty.$如果$p>1+\mu$且$q>1+\nu$, 则存在初值$u_{0}, \:v_{0}\geq0$使上式成立.假设$p$, $q\geq1$, 令$m=pq-(1+\mu)(1+\nu)$.

(ⅰ) 若$m<0$或$m=0$, 且$|\Omega|$充分小, 则对任意$u_{0}, \:v_{0}$, 解整体存在.

(ⅱ) 若$m>0$, 则存在初值的集合使解整体存在.

杜力力在文献[9]中得到了如下系统的爆破解

$ \left\{ \begin{array}{llll} u_t=\Delta u^m+u^{p_1}\displaystyle\int_{\Omega} v^{q_1}dx, \quad v_t=\Delta v^n+v^{p_2}\displaystyle\int_{\Omega} u^{q_2}dx,&(x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=v(x, t)=0,&(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, 0)=u_0(x), \quad v(x, 0)=v_0(x),&x\in\Omega. \end{array} \right. $

他们对于以上的系统建立了爆破临界指标, 如果$m>p_{1}$, $n>p_{2}$, $q_{1}q_{2}<(m-p_{1})(n-p_{2})$, 那么任意非负解整体存在.如果$m<p_{1}$或$n<p_{2}$或$q_{1}q_{2}>(m-p_{1})(n-p_{2})$, 那么任意非负解对于充分大的初值在有限时刻爆破, 对于充分小的初值整体存在.如果$m>p_{1}$, $n>p_{2}$, $q_{1}q_{2}=(m-p_{1})(n-p_{2})$, 那么任意非负解对于充分小的定义域$|\Omega|$整体存在.假设$p_{1}=0$或$p_{1}>m$; $p_{2}=0$或$p_{2}>n$; $q_{1}>n$, $q_{2}>m$且满足$q_{2}>p_{1}-1$, $q_{1}>p_{2}-1$以及对初值的一些假设条件

$ \left. \begin{array}{llll} C_{1}(T^{*}-t)^{-\frac{q_{1}-p_{2}+1}{q_{1}q_{2}-(1-p_{1})(1-p_{2})}} \leq \displaystyle\max\limits_{x\in\bar{\Omega}}u(x, t)\leq C_{2}(T^{*}-t)^{-\frac{q_{1}-p_{2}+1}{q_{1}q_{2}-(1-p_{1})(1-p_{2})}}, \quad 0<t<T^{*}, \\ C_{3}(T^{*}-t)^{-\frac{q_{2}-p_{1}+1}{q_{1}q_{2}-(1-p_{1})(1-p_{2})}} \leq \displaystyle\max\limits_{x\in\bar{\Omega}}v(x, t)\leq C_{4}(T^{*}-t)^{-\frac{q_{2}-p_{1}+1}{q_{1}q_{2}-(1-p_{1})(1-p_{2})}}, \quad 0<t<T^{*}.\\ \end{array} \right. $

叶专和许孝精在文献[25]中考虑如下具有非局部边界条件和非局部源的多孔介质系统

$ \left\{ \begin{array}{llll} u_t = \Delta u^{m } +a u^{p}\displaystyle\int_{\Omega} v^q(y, t)dy, \quad v_t = \Delta v^{n } + b v^\alpha\displaystyle\int_{\Omega} u^\beta(y, t)dy,&(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)u(y, t)dy, \quad v(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)v(y, t)dy,& (x, t)\in \partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, 0)=u_0(x), v(x, 0)=v_0(x), &x\in\Omega. \end{array} \right. $

主要结果如下:对于任意的$\delta>0$满足$\delta\leq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy\leq1$, $\delta\leq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy\leq1$, $x\in\Omega$, 并且假设$m>p$, $n>q$, $(m-p)(n-\alpha)>q\beta$, 那么任意一个非负的解$(u, v)$都是整体存在的.如果$\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy\leq1$, $\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy\leq1$, $ x\in\partial\Omega$, 并且以下条件之一成立:

(ⅰ) $m<p$;

(ⅱ) $n<\alpha$;

(ⅲ) $(m-p)(n-\alpha)<q\beta$,

那么任意非负解$(u, v)$对于充分小的初值整体存在.如果$m<p$或$n<\alpha$或$(m-p)(n-\alpha)<q\beta$, 那么任意非负解$(u, v)$对于充分大的初值在有限时刻爆破.对于任意的$\delta>0$满足$\delta\leq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy\leq1$, $\delta\leq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy\leq1$, $ x\in\partial\Omega$, 并且假设$m>p$, $n>q$, $(m-p)(n-\alpha)=q\beta$, 那么任意非负解$(u, v)$对于充分小的$a$和$b$整体存在.在假设$m=n=1$, $q\beta>(1-\alpha)(1-p)$以及对于初值的一些假设下, 他们给出解的爆破profile.在文献[25]中没有考虑$m>p$, $n>q$, $(m-p)(n-\alpha)=q\beta$情况下的爆破现象.在本文中, 可以通过对系统(1.1)-(1.3)的研究, 得到该情况的相关结果(参见下面的定理3.1(ⅲ) 的证明).

在下节中, 将建立弱解的局部存在定理, 并给出一些辅助性引理.在第3节中, 将分别讨论十个指标, 两个权函数和两个系数对整体存在和爆破解的影响.在最后一节中, 解的渐近性质将在适当的假设条件下给出.

对于$0<T<+\infty$, 令$\Omega_T=\Omega\times(0, T)$, $S_T=\partial\Omega\times(0, T)$.众所周知的, 退化方程不一定具有古典解, 下面给出问题(1.1)-(1.3)的弱解的定义.

定义2.1 在$\bar\Omega_T$上对于所有的$T>0$成立的向量函数$(u(x, t), v(x, t))$被称作系统(1.1)-(1.3)的上解(或下解), 如果以下条件成立:

(ⅰ) $u(x, t)$, $v(x, t)\in L^\infty(Q_T)$;

(ⅱ) $u(x, t)$, $v(x, t)\le(\ge)0$, $(x, t)\in S_T$; $u(x, 0)\le (\ge)u_0(x)$, $v(x, 0)\le (\ge)v_0(x)$, a.e. $x\in \Omega$;

(ⅲ) 对于任意的$t\in[0, T]$和

$ \begin{eqnarray*} &&\psi_1, \psi_2 \in \Psi =\left\{\psi \in C(\bar Q_T);~ \psi_t, ~ \Delta \psi \in C(Q_T)\cap L^2(Q_T);~\psi\ge 0;~ \psi|_{S_T}=0 \right\}, \\ &&\displaystyle\int_{\Omega}\Big(u(x, t)\psi_{1}(x, t)-u_0(x)\psi_{1}(x, 0)\Big)dx\\ &\leq(\geq)&\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega}\Big(u\psi_{1s}+u^m\Delta\psi_1+au^{p_1}\psi_1\Big(\displaystyle\int_{\Omega} v^{\alpha m_1}dx\Big)^{q_1/\alpha}\Big)dxds, \\ &&\displaystyle\int_{\Omega}\Big(v(x, t)\psi_2(x, t)-u_0(x)\psi_2(x, 0)\Big)dx\\ &\leq(\geq)&\displaystyle\int_0^T\displaystyle\int_{\Omega}\Big(v\psi_{2s}+v^n\Delta\psi_2+bv^{p_2}\psi_2\Big(\displaystyle\int_{\Omega} u^{\beta m_2}dx\Big)^{q_2/\beta}\Big)dxds. \end{eqnarray*} $

系统(1.1)-(1.3)的一个弱解是一个向量函数, 同时也是系统(1.1)-(1.3)的一个上解和下解.对任意的$T<\infty$, 如果$(u, v)$是系统(1.1)-(1.3)的解, 就说$(u, v)$是整体存在的.接下来, 构建整体存在定理, 因为它的证明是标准的, 在这里仅给出结果.

定理2.1 给定$u_0, v_0\in L^\infty(\Omega)$, 则对某些$T^*=T^*(u_0, v_0)>0$, 存在系统(1.1)-(1.3)的非负弱解$(u(x, t), v(x, t))$对于每一个$T<T^*$成立, 则有$T^*=\infty$或者解发生爆破.

引理2.1 (比较原理)令$(\underline u, \underline v)$和$(\bar u, \bar v)$分别是系统(1.1)-(1.3)的非负下解和非负上解.如果有$(\underline{u}_{0}, \underline{v}_{0})\leq(\bar u_0, \bar v_0)$, 则在$\Omega_T$上, $(\underline{u}, \underline{v})\leq(\bar u, \bar v)$成立.

定理3.1 系统(1.1)-(1.3)的非负解具有以下的结果.

(ⅰ) 如果$m>p_1$, $n>p_2$, $(m-p_1)(n-p_2)>m_1q_1m_2q_2$, 那么所有的非负解都整体存在.

(ⅱ) 令$m<p_1$或者$n<p_2$或者$(m-p_1)(n-p_2)<m_1m_2q_1q_2$, 对于大初值, 解在有限时刻爆破; 对于小初值, 且$\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy<1$和$\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy<1$, 解整体存在.

(ⅲ) 令$m>p_1$, $n>p_2$, $(m-p_1)(n-p_2)=m_1q_1m_2q_2$, 若存在小区域$\Omega$或者存在小的$a$和$b$, 则解整体存在; 若存在大初值和充分大的球形域$\Omega$, 或者存在大的$a$和$b$, 则解在有限时刻爆破.

证  定理3.1(i).首先, 定义如下的边值问题

$ \left\{ \begin{array}{llll} -\Delta \phi(x)=\eta_1, \quad\qquad\quad\; x\in\Omega, \\ \phi(x)=\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy, \quad x\in\partial\Omega; \end{array} \right. \nonumber \left\{ \begin{array}{llll} -\Delta \psi(x)=\eta_2, \quad\qquad\quad\; x\in\Omega, \\ \psi(x)=\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy, \quad x\in\partial\Omega, \end{array} \right. $

其中$\eta_1$, $\eta_2$都是正常数并满足$0<\phi(x)\leq1$, $0<\psi(x)\leq1$.做如下定义

$ \begin{equation} K_1=\displaystyle\max\limits_{x\in\bar\Omega}\phi(x), \quad K_2=\displaystyle\min\limits_{x\in\bar\Omega}\phi(x); \quad L_1=\displaystyle\max\limits_{x\in\bar\Omega}\psi(x), \quad L_2=\displaystyle\min\limits_{x\in\bar\Omega}\psi(x)\mbox{.}\nonumber \end{equation} $

定义$\bar u=(K\phi(x))^{l_1}$, $\bar v=(K\psi(x))^{l_2}\mbox{.}$若$m>p_1$, $n>p_2$, $(m-p_1)(n-p_2)>m_1q_1m_2q_2$, 由文献[15], 可以得到存在两个正常数$l_1, l_2\in(0, 1)$满足$p_1l_1+m_1q_1l_2<ml_1$, $m_2q_2l_1+p_2l_2<nl_2$, $ml_1, nl_2<1$.易见, $(\bar u, \bar v)$是有下界的函数, 即$\bar u\geq (KK_2)^{l_1}$, $\bar v\geq(KL_2)^{l_{2}}$, $ t>0$.经过计算,

$ \begin{eqnarray*} \bar u_t-\Delta \bar u^m&\geq&\eta_1ml_1K^{ml_1}K_1^{ml_1-1}, \nonumber\\ a\bar u^{p_1}\|\bar v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}&=&a(K\phi(x))^{p_1l_1}\Big[\displaystyle\int_{\Omega}(K\psi(x))^{m_1l_2\alpha}dx \Big]^{q_1/\alpha}\\ &\leq& aK^{p_1l_1+m_1l_2q_1}K^{p_1l_1}_1 L_1^{m_1l_2q_1}|\Omega|^{q_1/\alpha}, \end{eqnarray*} $

其中在第一个不等式中利用了$ml_1<1$.类似的, 可以得到

$ \bar v_t-\Delta\bar v^n \geq\eta_2nl_2K^{nl_2}L^{nl_2-1}_1, b\bar v^{p_2}\|\bar u^{m_2}\|^{q_2}_\beta \leq bK^{p_2l_2+m_2l_1q_2}K^{m_2l_1q_2}_1L^{p_2l_2}_1|\Omega|^{q_2/\beta}. $

定义

$ \begin{eqnarray*}&&\bar K_1=\Big[\frac{a|\Omega|^{q_1/\alpha}K_1^{p_1l_1-ml_1+1}L_1^{m_1l_2q_1}}{\eta_1ml_1} \Big]^{\frac{1}{ml_1-p_1l_1-m_1l_2q_1}}, \\ &&\bar K_2=\Big[\frac{b|\Omega|^{q_2/\beta}K_1^{m_2l_1q_2}L_1^{p_2l_2-nl_2+1}}{\eta_2nl_2} \Big]^{\frac{1}{nl_2-p_2l_2-m_2l_1q_2}}.\end{eqnarray*} $

此外, 令$K=\max\Big\{\bar K_1, \bar K_2 \Big\}$.选择$K$足够大, 可以得到$\bar u(x, 0)\geq u_0(x)$, $\bar v(x, 0)\geq v_0(x)$.对于每一个$x\in\partial\Omega$,

$ \bar u(x, t)=(K\phi(x))^{l_1}\geq K^{l_1}\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy\geq \displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)\bar u(y, t)dy. $

类似的, 可以得到$\bar v(x, t)=(K\psi(x))^{l_2}\geq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)\bar v(y, t)dy, $其中用到了$l_1, l_2\in(0, 1)$, $\phi(x), \psi(x)\in(0, 1)$.根据比较原理, 可以得到$(u, v)\leq (\bar u, \bar v)$.因此, 解$(u, v)$是整体存在的.定理3.1(ⅰ) 得证.

证  定理3.1(ⅱ) .考虑下面的系统

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{llll} u_t = \Delta u^{m } +a u^{p_1}\|v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}, \quad v_t = \Delta v^{n } +b v^{p_2}\|u^{m_2}\|_\beta^{q_2}, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=0, \quad v(x, t)=0, \quad&x\in\partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0)=u_0(x), \quad v(x, 0)=v_0(x), \quad&x\in\Omega. \end{array} \right. \nonumber \end{equation} $

将在一个有上界的区域$\Omega$中构造一个上解, 在此区域中$u, v>0$.利用参考文献[12]中的方法并将它应用到退化方程中去.只需考虑下面的问题

$ \left\{ \begin{array}{llll} u_t = \Delta u^{m } +a u^{p_1}\|v_+^{m_1}\|_\alpha^{q_1}, \quad v_t = \Delta v^{n } +b v^{p_2}\|u_+^{m_2}\|_\beta^{q_2}, \quad &(x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=0, \quad v(x, t)=0, \quad&x\in\partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0)=u_0(x), \quad v(x, 0)=v_0(x), \quad &x\in\Omega, \end{array} \right. $

其中$w_+=\max\{0, w\}$.令$\psi(x)$是一个非平凡非负的连续函数并且在边界$\partial\Omega$上为零.不失一般性, 假设$0\in\Omega$, 并且$\psi(0)>0$.将构造一个爆破的上解来完成证明.令

$ \underline u(x, t)=\frac{1}{(T-t)^{l_1}}w^{1/m}\left(\frac{|x|}{(T-t)^{\delta}}\right), \quad \underline v(x, t)=\frac{1}{(T-t)^{l_2}}w^{1/n}\left(\frac{|x|}{(T-t)^{\delta}}\right), $

有$w(r)=\frac{R^3}{12}-\frac{R}{4}r^2+\frac{1}{6}r^3$, $r=\frac{|x|}{(T-t)^\delta}, \quad 0\leq r \leq R$, 其中$l_1, l_2, \delta>0$和$0<T<1$将在后面被定义.显然, $0\leq w(r)\leq \frac{R^3}{12}$并且由$w'(r)=\frac{r(r-R)}{2}$可知$w(r)$是非增的.注意到

$ \begin{equation} {\rm supp} \underline u(\cdot, t)={\rm supp} \underline v(\cdot, t)\subset\overline{B(0, R(T-t)^\delta)}\subset\Omega.\nonumber \end{equation} $

经过直接的计算得

$ \begin{eqnarray*} \underline u_t(x, t)-\Delta\underline u^m(x, t)&=&\frac{ml_1w^{1/m}(r)+\delta rw'(r)w^{\frac{1-m}{m}}}{m(T-t)^{l_1+1}}+\frac{R-2r}{2(T-t)^{ml_1+2\delta}}+\frac{(N-1)(R-r)}{2(T-t)^{ml_1+\delta}}\\ &\leq& \frac{l_1(R^3/12)^{\frac{1}{m}}}{(T-t)^{l_1+1}}+\frac{NR-(N+1)r}{2(T-t)^{ml_1+2\delta}}, \\ \underline v_t(x, t)-\Delta\underline v^n(x, t)&\leq& \frac{l_2(R^3/12)^{\frac{1}{n}}}{(T-t)^{l_2+1}}+\frac{NR-(N+1)r}{2(T-t)^{nl_2+2\delta}}. \label{3.4} \end{eqnarray*} $

注意到$T<1$充分小.

情形(1) 如果$0\leq r\leq NR/(N+1)$, 有$w(r)\geq R^3(3N+1)/(12(N+1)^3)$, 那么

$ \begin{eqnarray*} a\underline u^{p_1}\|\underline v^{m_1}_{+}\|_\alpha^{q_1}&\geq& \frac{a}{(T-t)^{p_1l_1+m_1l_2q_1}}\Big[\frac{(3N+1)R^3}{12(N+1)^3}\Big]^{p_1/m}\Big[\displaystyle\int_{B(0, R(T-t)^\delta)}w^{\frac{m_1\alpha}{n}}_+(|\xi|)d\xi\Big]^{\frac{q_1}{\alpha}}\\ &=&a\frac{M_1}{(T-t)^{p_1l_1+m_1l_2q_1}}\Big[ \frac{R^3(3N+1)}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_1}{m}}, \\ b\underline v^{p_2}\|\underline u^{m_2}_{+}\|_\beta^{q_2}&\geq& b\frac{M_2}{(T-t)^{p_2l_2+m_2l_1q_2}}\Big[ \frac{(3N+1)R^3}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_2}{n}}, \end{eqnarray*} $

其中$M_1=\Big[\displaystyle\int_{B(0, R(T-t)^\delta)}w^{\frac{m_1\alpha}{n}}_+(|\xi|)d\xi\Big]^{\frac{q_1}{\alpha}}$, $M_2=\Big[\displaystyle\int_{B(0, R(T-t)^\delta)}w^{\frac{m_2\beta}{m}}_+(|\xi|)d\xi\Big]^{\frac{q_2}{\beta}}$.因此有

$ \begin{equation} \left. \begin{array}{llll} \underline u_t(x, t)-\Delta\underline u^m(x, t)-a\underline u^{p_1}\|\underline v^{m_1}_+\|_\alpha^{q_1} \leq& \frac{l_1(R^3/12)^{\frac{1}{m}}}{(T-t)^{l_1+1}}-a\frac{M_1}{(T-t)^{p_1l_1+m_1l_2q_1}}\Big[\frac{R^3(3N+1)}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_1}{m}}\\ &+\frac{NR-(N+1)r}{2(T-t)^{ml_1+2\delta}}, \\ \underline v_t(x, t)-\Delta\underline v^n(x, t)-b\underline v^{p_2}\|\underline u^{m_2}_+\|_\beta^{q_2}\leq& \frac{l_2(R^3/12)^{1/n}}{(T-t)^{l_2+1}}- b\frac{M_2}{(T-t)^{p_2l_2+m_2l_1q_2}}\Big[\frac{(3N+1)R^3}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_2}{n}}\\ &+\frac{NR-(N+1)r}{2(T-t)^{nl_2+2\delta}}. \end{array} \right.\nonumber \end{equation} $

情形(2) 如果$NR/(N+1)<r\leq R$, 那么

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{llll} \underline u_t(x, t)-\Delta\underline u^m(x, t)-a\underline u^{p_1}\|\underline v^{m_1}_+\|_\alpha^{q_1}\leq \frac{l_1(R^3/12)^{\frac{1}{m}}}{(T-t)^{l_1+1}}-a\frac{M_1}{(T-t)^{p_1l_1+m_1l_2q_1}}\Big[\frac{R^3(3N+1)}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_1}{m}}, \\ \underline v_t(x, t)-\Delta \underline v^n(x, t)-b\underline v^{p_2}\|\underline u^{m_2}_+\|_\beta^{q_2}\leq\frac{l_2(R^3/12)^{\frac{1}{n}}}{(T-t)^{l_2+1}}- b\frac{M_2}{(T-t)^{p_2l_2+m_2l_1q_2}}\Big[\frac{(3N+1)R^3}{12(N+1)^3}\Big]^{\frac{p_2}{n}}. \end{array} \right. \nonumber \end{equation} $

参照参考文献[15]中的引理2.2, 存在两个正常数$l_1$, $l_2$满足

$ p_1l_1+m_1q_1l_2>ml_1+1, \quad m_2q_2l_1+p_2l_2>nl_2+1, \quad (m-1)l_1>1, \quad (n-1)l_2>1. $

选择一个充分小的正常数$\delta$使得

$ \delta<\min\left\{\frac{p_1l_1+m_1q_1l_2-ml_1}{N+2}, \frac{p_2l_2+m_2q_2l_1-nl_2}{N+2}, \frac{p_1l_1+m_1q_1l_2-l_1-1}{N}, \frac{p_2l_2+m_2q_2l_1-l_2-1}{N}\right\}, $

并且$\delta<\min\{\frac{ml_1-l_1-1}{2}, \frac{nl_2-l_2-1}{2}\}$.因此$p_1l_1+m_1q_1l_2-N\delta>ml_1+2\delta>l_1+1$, $p_2l_2+m_2q_2l_1-N\delta>nl_2+2\delta>l_2+1$.因此对于充分小的$T>0$,

$ \underline u_t(x, t)-\Delta\underline u^m(x, t)-a\underline u^{p_1}\|\underline v^{m_1}_+\|_\alpha^{q_1}\leq 0, \quad \underline v_t(x, t)-\Delta \underline v^n(x, t)-b\underline v^{p_2}\|\underline u^{m_2}_+\|_\beta^{q_2}\leq 0. $

由于$\varphi(0)>0$并且$\varphi(x)$连续, 存在两个正常数$\rho$和$\epsilon$使得$\varphi(x)\geq\epsilon$对所有的$x\in B(0, \rho)\subset\Omega$成立.选择$T$足够小来保证$B(0, RT^\delta)\subset B(0, \rho)$, 因此$\underline u\leq0$, $\underline v\leq0$在$S_T$上成立.对于足够大的$\bar M$有$\underline u(x, 0)\leq\bar M\varphi(x)$, $\underline v(x, 0)\leq\bar M\varphi(x)$成立.根据比较原理, 如果有$u_0\geq\bar M\varphi(x)$, $v_0\geq\bar M\varphi(x)$, 得到$(\underline u, \underline v)\leq(u, v)$.即$(u, v)$在有限时刻爆破.根据比较原理, 由于$\underline u(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)u(y, t)dy>0$, $\underline v(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)v(y, t)dy>0$, 系统(1.1)-(1.3)的任意非负解$(u, v)$一定在有限的时刻爆破.

第一步 证明$m<p_1$的情况.首先, 利用参考文献[26]中提供的方法, 并且令

$ \max\Big\{ \displaystyle\max\limits_{x\in\partial\Omega}\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)dy, \ \displaystyle\max\limits_{x\in\partial\Omega}\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)dy \Big\}=\delta_0\in(0, 1). $

令$w(x)$是下面椭圆边值问题的解: $-\Delta w(x)=1$, $x\in\Omega$; $w(x)=C_0$, $x\in\partial\Omega$.存在正常数$M>0$与$C_0$无关且使得$C_0\leq w(x)\leq C_0+M$成立, 取$C_0$充分大使得$\frac{1+C_0}{1+C_0+M}\geq\delta_0$.令$\bar u(x, t)=[\bar a(1+w(x))]^{K_1}$, $\bar v(x, t)=[\bar b(1+w(x))]^{K_2}$, 其中$K_1$, $K_2$将在后边被定义.经计算

$ \begin{equation} \left. \begin{array}{llll} \bar u_t-\Delta\bar u^m-a\bar u^{p_1}\|\bar v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}\geq& mK_1\bar a^{mK_1}(1+C_0+M)^{mK_1-1}\\ &-a\bar a^{p_1K_1}\bar b^{m_1K_2q_1}(1+C_0+M)^{p_1K_1+m_1K_2q_1}|\Omega|^{q_1/\alpha}, \end{array} \right. \end{equation} $

(3.1)

选择$0<K_1<1$满足$mK_1\leq1$.类似的, 可以得到

$ \begin{equation} \left. \begin{array}{llll} \bar v_t-\Delta\bar v^n-b\bar v^{p_2}\|\bar u^{m_2}\|_\beta^{q_2}\geq& nK_2\bar b^{nK_2}(1+C_0+M)^{nK_2-1}\\ &-b\bar a^{m_2K_1q_2}\bar b^{K_2p_2}(1+C_0+M)^{K_2p_2+m_2K_1q_2}|\Omega|^{q_2/\beta}. \end{array} \right. \end{equation} $

(3.2)

由于$m<p_1$, 对于固定的$C_0$, $M$, $\bar b$, 如果$\bar a$充分小, 可以得到不等式$\bar u_t-\Delta\bar u^m\geq a\bar u^{p_1} \|\bar v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}$, $\bar v_t-\Delta\bar v^n\geq b\bar v^{p_2}\|\bar u^{m_2}\|_\beta^{q_2}$.下面来计算边界条件:由$K_1, \delta_0\in(0, 1)$, 可得$\delta_{0}^{K_1}>\delta_0$, 并且

$ \begin{array}{llll} \bar u(x, t)&=\Big[\bar a(1+w(x))\Big]^{K_1}\geq\Big[\bar a(1+C_0)\Big]^{K_1} \geq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x, y)\bar u(y, t)dy, \quad x\in\partial\Omega, \ t>0. \end{array} $

类似的, 得到$\bar v(x, t)\geq\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_2(x, y)\bar v(y, t)dy$, $x\in\Omega$, 利用比较原理, 得到$(u, v)\leq (\bar u, \bar v)$, 则$(u, v)$整体存在.

第二步 $n<p_2$情况下的证明可由第一步直接平推而来, 不再赘述.

第三步 对于$(m-p_1)(n-p_2)<m_1m_2q_1q_2$的情况, 分为以下三部分进行讨论.

a) 如果$m=p_1$, 返回到(3.1)和(3.2)式, 选取充分小的$\bar a$, $\bar b$, 并且$\bar b$与$\bar a$不相关, 利用第一步的论点与论据得到结论.

b) 如果$n=p_2$, 情况与上面类似, 证明省略.

c) 如果$m>p_1$, $n>p_2$, $0<n-p_2<\frac{m_1q_1m_2q_2}{m-p_1}$, 可以得到下面的不等式

$ \begin{eqnarray*}&&mK_1\bar a^{mK_1-p_1K_1}\geq a\bar b^{m_1K_2q_1}(1+C_0+M)^{p_1K_1+m_1K_2q_1-mK_1+1}|\Omega|^{q_1/\alpha}, \\ &&nK_2\bar b^{nK_2-K_2p_2}\geq b \bar a^{m_2K_1q_2}(1+C_0+M)^{K_2p_2+m_2K_1q_2-nK_2+1}|\Omega|^{q_2/\beta}. \end{eqnarray*} $

由上面的两个等式可知对于充分小的$\bar b$下面的等式是正确的

$ \begin{eqnarray*} &&\bar b^{n-p_2-\frac{q_1q_2m_1m_2}{m-p_1}}\geq D_1^{\frac{1}{K_2}}(1+C_0+M)^{\frac{D_2}{K_2}}, \\ && D_1=\left[\frac{ba^{\frac{m_2q_2}{m-p_1}}|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}+\frac{m_2q_1q_2}{(m-p_1)\alpha}}}{nK_2(mK_1)^{\frac{m_2q_2}{m-p_1}}}\right]^{\frac{1}{K_2}}, \\ &&D_2=\left[\frac{K_2[m_1m_2q_1q_2-(n-p_2)(m-p_1)]+m_2q_2+m-p_1}{m-p_1}\right]^{\frac{1}{K_2}}. \end{eqnarray*} $

因此证明了$u_0(x)\leq[\bar a(1+w(x))]^{K_1}$, $v_0(x)\leq[\bar b(1+w(x))]^{K_2}$, $x\in\Omega$, 系统(1.1)-(1.3)的任意非负解$(u, v)$是整体存在的.从而, 定理3.1(ⅱ) 得证.

证  定理3.1(ⅲ) .如果$m>p_1$, $n>p_2$, $(m-p_1)(n-p_2)=m_1q_1m_2q_2$, 那么存在两个正数$l_1, l_2<1$满足$\frac{m_1q_1}{m-p_1}=\frac{l_1}{l_2}=\frac{n-p_2}{m_2q_2}$, $ml_1, nl_2<1$.定义$\bar u(x, t)$, $\bar v(x, t)$: $\bar u=(K\phi(x))^{l_1}$, $\bar v=(K\psi(x))^{l_2}, $其中的$K$将在后面被定义.用跟定理3.1(i)中相同的创建估计的方式, 可得

$ \left. \begin{array}{llll} &\bar u_t-\Delta \bar u^m-a\bar u^{p_1}\|\bar v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}\geq \eta_1ml_1K^{ml_1}{K_1}^{ml_1-1}-aK^{p_1l_1+m_1l_2q_1}K_1^{p_1l_1}L_1^{m_1l_2q_1}|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}}, \\ &\bar v_t-\Delta\bar v^n-b\bar v^{p_2}\|\bar u^{m_2}\|_\beta^{q_2}\geq \eta_2nl_2K^{nl_2}L_1^{nl_2-1}-bK^{p_2l_2+m_2l_1q_2}K_1^{m_2l_1q_2}L_1^{p_2l_2}|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}}. \end{array} \right. $

令上述不等式的右端为正, 即$a\leq \frac{\eta_1ml_1K_1^{ml_1-p_1l_1-1}}{L_1^{m_1l_2q_1}|\Omega|^{q_1/\alpha}}$, $b\leq \frac{\eta_2nl_2L_1^{nl_2-p_2l_2-1}}{K_1^{m_2l_1q_2}|\Omega|^{q_2/\beta}}$.取$K$充分大, 通过类比使用定理3.1(i)中的参数, 可以解决边值问题.根据比较原理可得系统(1.1)-(1.3)的任意非负解整体存在.在这一部分, 考虑$m>p_1$, $n>p_2$, $(m-p_1)(n-p_2)=m_1q_1m_2q_2$的情况.易见存在两个正常数$l_{1}$, $l_{2}$使得$ml_1=p_1l_1+m_1q_1l_2$, $nl_2=p_2l_2+m_2q_2l_1$, $(m-1)l_1>1$, $(n-1)l_2>1$.用$\lambda_{B_{R}}>0$和$\phi_{R}(r)$分别表示以下特征问题的第一个特征值以及相应特征函数

$ \begin{equation} -\phi''(r)-\frac{N-1}{r}\phi'(r)=\lambda\phi(r), \quad r\in(0, R); \quad \phi'(0)=0, \quad\phi(R)=0.\nonumber \end{equation} $

易见, $\phi_{R}(r)$可以在$B$中标准化得到$\phi_{R}(r)>0$, 并且有$\phi_{R}(0)=\displaystyle\max_{x\in B}\phi_{R}(r)=1$.由特征值和特征方程的性质(令$\tau=\frac{r}{R}$), 知道$\lambda_{B_{R}}=R^{-2}\lambda_{B_{1}}$和$\phi_{R}(r)=\phi_{1}(\frac{r}{R})=\phi_{1}(\tau)$成立, 其中$\lambda_{B_{1}}$和$\phi_{1}$是单位球$B_{1}(0)$内的第一个特征值和相应的标准化特征函数.此外, $\displaystyle\max_{B_{1}}\phi_{1}(\tau)=\phi_{1}(0)=\phi_{R}(0)=\displaystyle\max_{B}\phi_{R}(r)=1$.定义函数$\underline{u}(x, t)$, $\underline{v}(x, t)$为如下形式$\underline{u}(x, t)=\frac{1}{(T-t)^{l_{1}}}\phi_{R}^{l_{1}}(|x|)$, $\underline{v}(x, t)=\frac{1}{(T-t)^{l_{2}}}\phi_{R}^{l_{2}}(|x|)$.下面, 将会证明$(\underline{u}, \underline{v})$在球$B=B(0, R)$中在有限的时间内爆破.因此$(\underline{u}, \underline{v})$在更大的区域$\Omega$中爆破.经过直接的计算,

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{llll} \underline{u}_{t}-\Delta\underline{u}^{m}-a\underline{u}^{p_{1}}\|\underline{v}^{m_{1}}\|_{\alpha}^{q_{1}}\leq \frac{\phi_{R}^{l_{1}}}{(T-t)^{l_{1}+1}}[l_{1}-\frac{a}{(T-t)^{ml_{1}-l_{1}+1}}(\phi_{R}^{l_{1}p_{1}}\|\phi_{R}^{m_{1}l_{2}}\|_{\alpha}^{q_{1}}-\frac{1}{a}ml_{1}\lambda_{B_{R}})], \\ \underline{v}_{t}-\Delta\underline{v}^{n}-b\underline{v}^{p_{2}}\|\underline{u}^{m_{2}}\|_{\beta}^{q_{2}}\leq \frac{\phi_{R}^{l_{2}}}{(T-t)^{l_{2}+1}}[l_{2}-\frac{b}{(T-t)^{nl_{2}-l_{2}+1}}(\phi_{R}^{l_{2}p_{2}}\|\phi_{R}^{m_{2}l_{1}}\|_{\beta}^{q_{2}}-\frac{1}{b}nl_{2}\lambda_{B_{R}})], \end{array} \right. \nonumber \end{equation} $

其中$\phi_{R}^{l_{1}p_{1}}\|\phi_{R}^{m_{1}l_{2}}\|_{\alpha}^{q_{1}}\leq K_{1}R^{\frac{Nq_{1}}{\alpha}}$, $\phi_{R}^{l_{2}p_{2}}\|\phi_{R}^{m_{2}l_{1}}\|_{\beta}^{q_{2}}\leq K_{2}R^{\frac{Nq_{2}}{\beta}}$, 并且$K_{1}, K_{2}$与$R$无关.因此, 考虑到$\lambda_{B_{R}}=R^{-2}\lambda_{B_{1}}$, 假设$R$充分大, 使得$\lambda_{B_{R}}<\frac{a\phi_{R}^{l_{1}p_{1}}\|\phi_{R}^{m_{1}l_{2}}\|_{\alpha}^{q_{1}}}{ml_{1}}$, $ \lambda_{B_{R}}<\frac{b\phi_{R}^{l_{2}p_{2}}\|\phi_{R}^{m_{2}l_{1}}\|_{\beta}^{q_{2}}}{nl_{2}}$, 所以, 对于小的$T>0$或者大的$a$和$b$, $\underline{u}_{t}-\Delta\underline{u}^{m}-a\underline{u}^{p_{1}}\|\underline{v}^{m_{1}}\|_{\alpha}^{q_{1}}\leq 0, ~ \underline{v}_{t}-\Delta\underline{v}^{n}-b\underline{v}^{p_{2}}\|\underline{u}^{m_{2}}\|_{\beta}^{q_{2}}\leq 0.\nonumber$因此$(\underline{u}, \underline{v})$是球$B$中的正的下解, 对于充分大的初值在有限时间内爆破, 即在球$B$内有$\underline{u}(x, 0)=T^{-l_{1}}\phi_{R}^{l_{1}}(|x|)\leq u_{0}(x)$, $\underline{v}(x, 0)=T^{-l_{2}}\phi_{R}^{l_{2}}(|x|)\leq v_{0}(x)$.根据比较原理, 系统(1.1)的任意非负解在有限时间内爆破.

这一部分, 讨论系统(1.1)-(1.3)在适当假设条件下的渐近性质.假设$m=n=1$, $p_1<1$, $p_2<1$, $m_1q_1m_2q_2>(1-p_2)(1-p_1)$, 并且有$\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)dy\leq c<1$和$\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)dy\leq c<1$成立.当$m=n=1$时, 系统(1.1)-(1.3)变为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{llll} u_t = \Delta u +a u^{p_1}\|v^{m_1} \|_{\alpha}^{q_1}, \quad v_t = \Delta v + b v^{p_2}\|u^{m_2} \|_{\beta}^{q_2}, \quad&(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)u(y, t)dy, \quad v(x, t)=\displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)v(y, t)dy, \quad&(x, t)\in \partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, 0)=u_0(x), v(x, 0)=v_0(x), \quad &x\in\Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

(4.1)

假设系统的解$(u, v)$在有限时间$T$时爆破.为了方便起见, 定义

$ g_1(t)=a\|v^{m_1}\|_\alpha^{q_1}, G_1(t)=\displaystyle\int_0^tg_1(s)ds; g_2(t)=b\|u^{m_2}\|_\beta^{q_2}, G_2(t)=\displaystyle\int_0^tg_2(s)ds. $

首先证明在假设条件下解在有限时间内爆破.如果$p_1<1$, $p_2<1$, $m_1q_1m_2q_2>(1-p_2)$ $(1-p_1)$, 那么存在两个正常数$\alpha_2, \beta_2>1$使得

$ \frac{m_1q_1+1-p_2}{m_2q_2+1-p_1}=\frac{\alpha_2}{\beta_2} $

成立.因此$\frac{1-p_1}{m_1q_1}<\frac{\beta_2}{\alpha_2}$, $\frac{1-p_2}{m_2q_2}<\frac{\alpha_2}{\beta_2}$.令$\gamma=\min\{m_1q_1\beta_2+\alpha_2p_1-\alpha_2+1, \ m_2q_2\alpha_2+\beta_2p_2-\beta_2+1\}$, 那么$\gamma>1$.令$s(t)$是如下柯西问题的唯一解:

$ \left\{ \begin{array}{llll} s'(t)=-\lambda s(t)+\min\Big\{ {\frac{a}{\alpha_2}}\left(\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1^{m_1\alpha\beta_2}(x)dx\right)^{\frac{q_1}{\alpha}}, {\frac{b}{\beta_2}}\left(\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1^{m_2\beta\alpha_2}(x)dx\right)^{\frac{q_2}{\beta}}\Big\}s^{\gamma}(t), \\ s(0)=s_0>0. \end{array} \right. $

如果$s_0$足够大的话, $s(t)$在有限时间$T(s_0)$爆破.令$\underline u(x, t)=s^{\alpha_2}(t)\varphi_1^{\alpha_2}(x)$, $\underline v(x, t)=s^{\beta_2}(t)\varphi_1^{\beta_2}(x)$, 其中$\lambda$是如下特征问题的第一特征值$-\Delta\varphi_1(x)=\lambda\varphi_1(x), \ x\in\Omega;~ \varphi_1(x)=0, \ x\in\partial\Omega, $并且$\varphi_1(x)$是相应的特征方程, 有$\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1(x)dx=1$.经过计算

$ \begin{eqnarray*} \Delta \underline u+a\underline{u}^{p_1}\|\underline{v}^{m_1}\|_\alpha^{q_1}&=&s^{\alpha_2}(t)(-\lambda\alpha_2\varphi_1^{\alpha_2}(x))+ as^{p_1\alpha_2+m_1\beta_2q_1}(t)\varphi_1^{p_{1}\alpha_2}(x)\left[\displaystyle\int_{\Omega}\varphi_1^{m_1\alpha\beta_2}(x)dx\right]^{\frac{q_1}{\alpha}}\\ &\geq& \alpha_2s^{\alpha_2-1}(t)\varphi_1^{\alpha_2}(x)s'(t)=\underline u_t.\end{eqnarray*} $

类似的, $\Delta\underline v+bv^{p_2}\|u^{m_2}\|_\beta^{q_2}\geq \underline v_t$.显然, 对所有的$x\in\partial\Omega$, $t\in(0, T(s_0))$,

$ \underline u(x, t)=0\leq \displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)\underline u(y, t)dy, ~~\underline v(x, t)=0\leq \displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)\underline v(y, t)dy. $

因此$(\underline u, \underline v)\leq (u, v)$可以由

$ \underline u(x, 0)=s^{\alpha_2}(0)\varphi_1^{\alpha_2}(x)<u_0(x), ~~\underline v(x, 0)=s^{\beta_2}(0)\varphi_1^{\beta_2}(x)<v_0(x) $

得到, 所以$(u, v)$在有限时间内爆破.参照参考文献[25], 得到下面的引理.

引理4.1 假设系统(4.1)的解在$T$时爆破, 则

$ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}g_1(t)=\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}G_1(t)=+\infty, \quad \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}g_2(t)=\displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}G_2(t)=+\infty. $

引理4.2 在引理4.1的条件下, 下面的极限成立

$ \lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\displaystyle\int_0^tG_1(s)ds}{G_1(t)}=0, \quad \lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\displaystyle\int_0^tG_2(s)ds}{G_2(t)}=0. $

引理4.3 假设对任意的$ x\in\bar\Omega$有$\Delta u_0, \Delta v_0\leq 0$, 对$(x, y)\in\partial\Omega\times\Omega$, 有$\varphi_1(x, y)\geq 0$, $\varphi_2(x, y)\geq 0$, 并且

$ \displaystyle\int_{\Omega} \varphi_1(x, y)dy\leq c<1, ~~ \displaystyle\int_{\Omega} \varphi_2(x, y)dy\leq c<1. $

那么$\Delta u\leq0$, $\Delta v\leq0$在区域$\Omega$中有一个任意的紧支集.

证  易见该引理是参考文献[1]中引理5.1经过小的修改后的直接结果.

引理4.4 在引理4.1-4.3的条件下, 对区域$\Omega$中的任意紧支集, 有

$ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{u^{1-p_1}(x, t)}{(1-p_1)G_1(t)}=\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\|u(\cdot, t)\|_\infty^{1-p_1}}{(1-p_1)G_1(t)}=1, \ \displaystyle\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{v^{1-p_2}(x, t)}{(1-p_2)G_2(t)}=\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\|v(\cdot, t)\|_\infty^{1-p_2}}{(1-p_2)G_2(t)}=1. $

证  证明与参考文献[25]类似.

定义4.1 如果$\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{f(t)}{g(t)}=1$, 接下来定义$f(t)\sim g(t)$.显而易见的, 等价关系具有以下的性质:

1) 如果$f(t)\sim g(t)$, $\forall k\in R$, 有$f^k(t)\sim g^k(t)$;

2) 如果$f(t)\sim g(t)$, $g(t)\sim h(t)$, 有$f(t)\sim h(t)$;

3) 如果$f(t)\sim g(t)$, $\varphi(t)\sim\psi(t)$; 有$f(t)\varphi(t)\sim g(t)\psi(t)$.

4) 如果$f(t)\sim g(t)$, 有$\displaystyle\int_0^tf(s)ds\sim \displaystyle\int_0^tg(s)ds$.

定理4.1 在引理4.4以及$m_1q_1m_2q_2>(1-p_1)(1-p_2)$的条件下, 有

$ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{t\rightarrow T}(T-t)^{\frac{m_1q_1+1-p_2}{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}}u(x, t)\nonumber\\&=&\Big\{ a|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}}(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}\frac{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}\Big\} ^{\frac{m_1q_1+1-p_2}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\nonumber\\ &&\cdot\Big\{ |\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}}\frac{am_2q_2(m_1q_1+1-p_2)(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{bm_1q_1(m_2q_2+1-p_1)(1-p_1) ^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}\Big\}^{-\frac{m_1q_1}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\nonumber\\ &&\cdot(1-p_1)^{\frac{1}{1-p_1}}, \nonumber\\ &&\lim\limits_{t\rightarrow T}(T-t)^{\frac{m_2q_2+1-p_1}{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}}v(x, t)\nonumber\\&=&\Big\{ b|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}}(1-p_1)^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}\frac{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}\Big\} ^{\frac{m_2q_2+1-p_1}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\nonumber\\ &&\cdot\Big\{ |\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}}\frac{am_2q_2(m_1q_1+1-p_2)(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{bm_1q_1(m_2q_2+1-p_1)(1-p_1) ^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}\Big\}^{-\frac{m_2q_2}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\nonumber\\ &&\cdot(1-p_2)^{\frac{1}{1-p_2}}. \end{eqnarray} $

证  由于

$ \begin{array}{llll} G_1'(t)=g_1(t)=a\Big( \displaystyle\int_{\Omega} v^{m_1\alpha}dy\Big)^{\frac{q_1}{\alpha}}\sim a|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}}\Big[(1-p_2)G_2(t)\Big]^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}, \\ G_2'(t)=g_2(t)=b\Big( \displaystyle\int_{\Omega} u^{m_2\beta}dy\Big)^{\frac{q_2}{\beta}}\sim b|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}}\Big[(1-p_1)G_1(t)\Big]^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}, \end{array} $

可得$\frac{G_1'(t)}{G_2'(t)}\sim\frac{a|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}} [(1-p_2)G_2(t)]^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{b|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}}[(1-p_1)G_1(t)]^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}$, 即$G_1'(t)G_1^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}(t)\sim|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}}\frac{a(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{b(1-p_1)^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}G_2'(t)G_2 ^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}(t)$.将上面的式子在$(0, t)$上进行积分并利用等价的性质, 得到

$ \begin{array}{llll} G_1(t)\sim B^{\frac{1-p_1}{m_2q_2+1-p_1}}G_2^{\frac{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}}(t), \ G_2(t)\sim B^{-\frac{1-p_2}{m_1q_1+1-p_2}}G_1^{\frac{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}}(t), \end{array} $

其中$B=|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}} \frac{a(m_2q_2+1-p_1)(1-p_2)^{\frac{m_1q_1+1-p_{2}}{1-p_2}}}{b(m_1q_1+1-p_2)(1-p_1)^{\frac{m_2q_2+1-p_{1}}{1-p_1}}}$.经过直接的计算

$ \begin{array}{llll} G_1(t)\sim&\Big\{ a|\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}}(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}\frac{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}\Big\} ^{\frac{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\\ &\cdot\Big\{ |\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}}\frac{am_2q_2(m_1q_1+1-p_2)(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{bm_1q_1(m_2q_2+1-p_1)(1-p_1) ^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}\Big\}^{-\frac{m_1q_1(1-p_1)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\\ &\cdot(T-t)^{\frac{(1-p_1)(m_1q_1+1-p_2)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}, \\ G_2(t)\sim&\Big\{ b|\Omega|^{\frac{q_2}{\beta}}(1-p_1)^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}\frac{m_1m_2q_1q_2-(1-p_1)(1-p_2)}{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}\Big\} ^{\frac{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\\ &\cdot\Big\{ |\Omega|^{\frac{q_1}{\alpha}-\frac{q_2}{\beta}}\frac{am_2q_2(m_1q_1+1-p_2)(1-p_2)^{\frac{m_1q_1}{1-p_2}}}{bm_1q_1(m_2q_2+1-p_1)(1-p_1) ^{\frac{m_2q_2}{1-p_1}}}\Big\}^{-\frac{m_2q_2(1-p_2)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}\\ &\cdot(T-t)^{\frac{(1-p_2)(m_2q_2+1-p_1)}{(1-p_1)(1-p_2)-m_1m_2q_1q_2}}, \end{array} $

(4.3)

由引理4.4的结论, 即

$ \lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{u^{1-p_1}(x, t)}{(1-p_1)G_1(t)}=\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\|u(\cdot, t)\|_\infty^{1-p_1}}{(1-p_1)G_1(t)}=\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{v^{1-p_2}(x, t)}{(1-p_2)G_2(t)}=\lim\limits_{t\rightarrow T}\frac{\|v(\cdot, t)\|_\infty^{1-p_2}}{(1-p_2)G_2(t)}=1. $

将上面的等式与(4.3)结合起来, 就得到了期望的结果.