近年来, 非线性泛函分析在各个方面得到广泛的应用, 尤其在处理非线性积分方程方面所用的方法起到了不可忽视作用, 在国内外也有不少学者研究这个课题.在郭大均^[1]一书中介绍对偶映像的单调性、半连续性、次连续性等; Deimling^[2]也介绍一些很好的结果.本文主要针对这些性质的一些问题在对偶锥映像上进行研究, 在对偶映像上成立的问题, 在对偶锥映像上不一定成立, 当然我们更希望可以把对偶映像的大部分性质搬到对偶锥映像上来.

本文总假设$E$是实Banach空间, $E^*$表示其对偶空间, 本文中的$\rightharpoonup$表示弱收敛, $\rightharpoondown$表示弱*收敛.

定义1.1 ^[1]如果$P\subset E$是非空凸闭集, 并且满足下面两个条件

(1) $x\in P,\lambda\geq0$, 则$\lambda{x}\in P$;

(2) $P\bigcap{(-P)}=\{0\}.$

则称$P$是$E$的一个锥.

用$P^0$表示$P$的内点集, 如果$P^0$非空, 则称$P$是$E$的一个体锥.如果任意的$x\in E$都可以表示成$x=y-z$的形式, 其中$y\in P,z\in P$, 则称锥$P$是再生的.易知$P$是$E$的一个体锥, 则$P$是再生的.给定$E$的一个锥$P$后, 则可在$E$中的元素引入半序: $x\leq{y},$其中$x,y\in E$, 如果$y-x\in P.$

例1 设$E=L^p(\Omega),p\geq1,0<{\rm mes}(\Omega)<+\infty$.令$P=\{\varphi:\varphi\in L^p(\Omega),\varphi{(x)}\geq0\}$, 显然$P$是$L^p(\Omega)$的一个锥, 但不是体锥.

定义1.2 ^[2]设$E$是实Banach空间, $P\subset E$, 则$P^*=\{x^*\in E^*:x^*(x)\geq0,\forall{x}\in P\},$则称$P^*$为$P$的对偶锥.

令$A:P\rightarrow P^*$, 称$A$是对偶锥映像.很显然, 对偶锥映像只是对偶映像$T:E\rightarrow E^*$的一种特殊情况.不难知道对偶锥可能不是对偶空间上的一个锥.易知$P$是再生锥, 可得$P^*$是一个锥.事实上, 只需验证$P^*\bigcap{(-P^*)}=\{0^*\}$即可, 其中$0^*$表示零元素.

例2  设$E=R^2,P=\{(x,y):x\geq0,y=0\}$, 则$P^*=\{(u,v):u\geq0,v\in R\}$不是$E^*=R^2$的一个锥, 但它是$P$的对偶锥.

定义1.3 ^[1]设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个锥, $P^*$为$P$的对偶锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$,

(1) 设$x_0\in P$, $A$在$x_0$处次连续, 是指若$x_n\in P,x_n\rightarrow x_0$, 则$A{x_n}\rightharpoonup A{x_0}$.若$A$在$P$中每一点都次连续, 则称$A$在锥$P$上次连续.

(2) 设$x_0\in P$, $A$在$x_0$处半连续, 是指若$h\in E,x_n\in P,t_n>0,x_0+t_n{h}\in P,t_n\rightarrow 0^+$, 则$A{x_n}\rightharpoondown A{x_0}$.若$A$在$P$中每一点都半连续, 则称$A$在锥$P$上半连续.

显然, $A$在$x_0$处次连续$\Rightarrow$ $A$在$x_0$处半连续.反之不成立.

定义1.4 ^[1] (1) 设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个锥, $P^*$为$P$的对偶锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$, 若$A$称为在$P$上单调, 是指$(A{x}-A{y},x-y)\geq0,\forall x,y\in P$.

(2) 若$A$称为在$P$上极大单调, 是指$(A{x}-f,x-y)\geq0,\forall x\in P$ $\Rightarrow y\in P,f(y)\in P^*$.

多值映像$A:P\rightarrow 2^{P^*}$叫做单调的, 如果它的图像$G(A)=\{[x,y]:x\in P,y=Ax\}$是$P\times P^*$中的单调集. $A:P\rightarrow 2^{P^*}$叫做极大单调的, 如果它的图像$G(A)$是$P\times P^*$中的极大单调集.

定义1.5 ^[3]设$E$是实Banach空间, $P$是一个锥, 对$x,y\in P\backslash\{0\}$, 令

$\begin{equation} M(\frac{x}{y})=\inf\{\alpha:x\leq \alpha{y}\},m(\frac{x}{y})=\sup\{\beta:\beta{x}\leq y\}, \end{equation}$

(1.1)

其中$\inf(\emptyset)=+\infty,\sup(\emptyset)=-\infty$.易知对上述非空集合有关系式$0\leq m(\frac{x}{y})\leq M(\frac{x}{y})$.

现在给Hibert投影距离的定义

$\begin{equation} \rho(x,y)=\ln \{\frac{M(\frac{x}{y})}{m(\frac{x}{y})}\}. \end{equation}$

(1.2)

定义1.6 设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个体锥, $P^*$是一个锥, 若映像$A:P^0\rightarrow P^*\backslash\{0^*\},\forall x_n,x_0\in P^0 ,n=1,2,\cdots,\rho (x_n,x_0)\rightarrow 0$, 则$\rho (A{x_n},A{x_0})\rightarrow 0$, 称$A$在$x_0$处Hilbert投影距离连续.

定理1.1 ^[1]设$E$是自反实Banach空间, 映像$T:E\rightarrow E^*$半连续、单调.又设对于某个$r>0$, 有

$\begin{equation} (T{x},x)\geq0,\forall x\in \partial(\Omega_r), \end{equation}$

(1.3)

其中$\Omega _r=\{x:x\in E,\|x\|<r\}$, 那么方程$T{x}=0^*$在$\overline{\Omega_r}$中必有解.

定理1.2 ^[1]设$E$是实Banach空间, $K$是$E$中紧凸集, $G\subset K\times E^*$且$G$是单调集.又设$T:K\rightarrow E^*$是连续映像, $h\in E^*$.于是, 必有$u\in K$存在, 使得

$\begin{equation} (f+Tu-h,x-u)\geq0,\forall[x,f]\in G \end{equation}$

(1.4)

引理2.1 设$E$是自反实Banach空间, $P\subset E$是一个体锥, $P^*$为$P$的对偶锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$单调的, 那么$A$在$x_0\in P^0$半连续且局部有界$\Rightarrow A$在$x_0$处次连续.

参考文献[1, 2]共轭映像上类似的证明方法就可得到引理2.1.

引理2.2 ^[4]设$E$是赋范线性空间, $X$是$E$的凸子集, 若$X$是闭的当且仅当它是弱闭的.

下面定理是对定理1.1推广到对偶锥映射上.

定理2.1  设$E$是自反实Banach空间, $P^*$为P的对偶锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$次连续、单调.设任意$r>0$, 使得$\Omega_r=\{x\in E:\|x\|<r\}\bigcap P\neq \emptyset$, 则$Ax=0^*$在$\overline{\Omega_r}$有解.

证 由引理2.2可知$\overline{\Omega_r}$有界弱闭集, 对任意的$x\in P$, 令

$F_x=\{y:y\in\overline{\Omega_r},(A{x},x-y)\geq0\},$

很显然$F_x$是弱闭集, $F_x\subset\overline{\Omega_r}$, 任取$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_m\in P$, 则$\bigcap\limits_{i=1}^m F_{x_i}\neq\emptyset$.事实上, 不妨令

$E_0=\overline{{\rm conv}\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}},F_0=\overline{{\rm span}\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}}.$

易知$E_0$是至多$m$维向量闭子空间$F_0$的闭凸子集, 定义映像$T:E_0\rightarrow F_0$, 其中

$\begin{equation} Tx=(A x,x_1) x_1+(A x,x_2) x_2+\cdots +(A x,x_m) x_m,\forall x\in E_0. \end{equation}$

(2.1)

由于假设可知$A$是$E_0$上次连续, 从而可得$T:E_0\rightarrow F_0$是连续的, 令

$\Omega_{r,0}=E_0\bigcap\Omega_r=\{x\in E_0:\|x\|<r\}.$

现在先证明$Tx=0$在$\overline{\Omega_{r,0}}$中必有解, 若$0\not\in Tx,\forall x\in\overline{\Omega_{r,0}}$, 则由Brouwer度$\deg(T,\Omega_{r,0},0)=0$, 但$\deg(I,\Omega_{r,0},0)=1$, 其中$I$为恒等映射.因此$A$与$I$在$\Omega_{r,0}$不同伦, 从而存在$x_0\in \partial\Omega_{r,0}$, $0<t_0<1$, 使得$t_0Tx_0+(1-t_0)x_0=0$, 即$Tx_0=-s_0x_0,s_0=\frac{1-t_0}{t_0}>0$, 则有

$\begin{equation} (Ax_0,x_1)x_1+(Ax_0,x_2)x_2+\cdots +(Ax_0,x_m)x_m=-s_0x_0, \end{equation}$

(2.2)

在式子(2.2) 两端左边同时作用$Ax_0$得到

$\begin{equation} (Ax_0,x_1)^2+(Ax_0,x_2)^2+\cdots +(Ax_0,x_m)^2=-s_0(Ax_0,x_0), \end{equation}$

(2.3)

由于$(Ax_0,x_0)\geq0$, 因为$x_0\in\partial\Omega_{r,0}\subset P$, 故$(Ax_0,x_i)=0,i=1,2,\cdots,m$, 由(2.2) 式可以知道$x_0=0$, 这与$x_0\in\partial\Omega_{r,0}$矛盾.这就得出了$Tx=0$在$\overline{\Omega_{r,0}}$中有解$\bar{x}$, 即

$\begin{equation} (A\bar{x},x_1) x_1+(A\bar{x},x_2) x_2+\cdots +(A\bar{x},x_m) x_m=0, \end{equation}$

(2.4)

由于对偶锥的性质和$x_i\geq0$, 从而可以得到$(A\bar{x},x_i)=0,i=1,2,\cdots,m$, 现任取$x\in E_0$, 那么有$x=\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_j x_j$, 其中$\sum\limits_{j=1}^{m} \alpha_j=1,\alpha\geq0,j=1,2,\cdots,m$, 则$(A\bar{x},x)=0$, 又$\bar{x}\in E_0$, 从而$(A\bar{x},\bar{x})=0$此时注意到$A$的单调性

$\begin{equation} (Ax_i,x_i-\bar{x})=(Ax_i-A\bar{x},x_i-\bar{x})\geq0,i=1,2,\cdots,m, \end{equation}$

(2.5)

所以$\bar{x}\in\bigcap\limits_{i=1}^m F_{x_i}\neq\emptyset$.因$E$是自反的, 故$\bigcap\limits_{x\in P} F_x\neq\emptyset$.设$y\in\bigcap\limits_{x\in P} F_x$, 则有$y\in\overline{\Omega_r},(Ax,x-y)\geq0,\forall x\in P$.又$A$的次连续性, 从而可知半连续, $\forall h\in E$, 取$x=y+th\in P,t>0$得

$\begin{equation} (A(y+th),h)\geq0, \end{equation}$

(2.6)

令$t\rightarrow 0^+$, 可得

$\begin{equation} (Ay,h)\geq0,\forall h\in E, \end{equation}$

(2.7)

故$Ay=0^*$.

推论2.1  设$E$是自反实Banach空间, $P\subset E$是一个体锥, $P^*$为P的对偶锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$半连续、单调的, $\partial P$是连续的, 在$P^0$处局部有界.设任意$r>0$, 使得$\Omega_r=\{x\in E:\|x\|<r\}\bigcap P \neq\emptyset$, 则$Ax=0^*$在$\overline{\Omega_r}$有解.

证 由引理2.2可知$\overline{\Omega_r}$有界弱闭集, 对任意的$x\in P$, 令

$F_x=\{y:y\in\overline{\Omega_r},(A{x},x-y)\geq0\}.$

很显然$F_x$是弱闭集, $F_x\subset\overline{\Omega_r}$.任取$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_m\in P$, 要证$\bigcap\limits_{i=1}^m F_{x_i}\neq\emptyset$.令

$E_0=\overline{{\rm conv}\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}}.$

定义$Tx=(A x,x_1) x_1+(A x,x_2) x_2+\cdots +(Ax,x_m)x_m,x\in E_0$, 由于$A$在$P^0$处半连续且局部有界, 由引理2.1可知$A$在$P^0$是次连续, 又$A$在$\partial P$是连续的, 从而可知$T$在$E_0$上连续.接下来按照定理2.1证明即可.

注1  定理2.1和推论2.1是单调映像锐角原理的推广.

下面来讨论一下著名的Debrunner-Flor不等式.

定理2.2  设$E$是实Banach空间, $P$是$E$的一个体锥, $K$是$P$中紧凸子集, $G\subset K\times P^*$且$G$是单调集.又设$T:K\rightarrow P^*$是连续对偶锥映像, $h\in P^*$.于是, 必有$u\in K$存在, 使得

$\begin{equation} (f+Tu-h,x-u)\geq0,\forall[x,f]\in G. \end{equation}$

(2.8)

证 参考文献[1]的类似证明方法即可.

此外还有有限维空间的Debrunner-Flor不等式和一般空间的Debrunner-Flor不等式在对偶锥映像上是否成立, 本文不再谈论, 有兴趣的读者可以自行验证.

定理2.3  设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个锥, $P^*$为P的对偶锥, 且$P^*$是一个锥, 若映像$A:P\rightarrow P^*$是增算子, 对任意的$x,y\in P,y-x\in P$, 则$(Ax-Ay,x-y)\geq0$.

证 $\forall x,y\in P,y-x\in P$, 则有$x\leq y$, 又由于$A$是增算子, 那么$Ax\leq Ay$, 根据$P^*$是一个锥, 就有$Ay- Ax\in P^*$, 则$(Ax-Ay,x-y)\geq0.$

定理2.4  设$E$是实Banach空间, $P$是$E$的一个锥, 若$A:P\rightarrow P^*$半连续、单调, 则$T$必是极大单调.

证 证明方法与文献[2]类似.

引理2.3  ^[3]设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个体锥, 对$x,y\in P^0$, $\rho(x,y)$是$P^0$上的一个拟距离, 即满足

(1)$x\in P^0\Rightarrow\rho(x,x)=0,$

(2)$x,y\in P^0\Rightarrow\rho(x,y)=\rho(y,x),$

(3)$x,y,z\in P^0\Rightarrow\rho(x,y)\leq\rho(x,z)+\rho(y,z).$

另外易知

(4)$x,y\in P^0,\alpha>0,\beta>0\Rightarrow\rho(\alpha x,\beta y)=\rho(x,y),$

(5)$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=\alpha y$, 其中$\alpha>0$.

令$P_1=P^0\bigcap\{x:x\in E,\|x\|=1\}$, 于是由(5) 知$(P_1,\rho)$是一个距离空间.

(6) 设范数关于单调的(即$0\leq x\leq y\Rightarrow \|x\|\leq\|y\|$), 则$(P_1,\rho)$是完备的距离空间.

当$P^*$是体锥时也有上面类似结果.

注2  若$P$是一个体锥, $A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$其中$P_{1}^{*}=P^{0^*}\bigcap\{f:f\in E^*,\|f\|=1\}$, $P^{0^*}$表示锥$P^*$的内点集且非空, 一般会认为利用完备的度量空间和Banach压缩映像原理可以得出$A$有不动点, 这种想法显然不对, 因为$A$是将$P_1$中元素映射成共轭空间上的泛函, 不是$P_1$本身的元素, 若$E$是Hilbert空间, 则上述的想法是对的, 因为每个Hilbert空间的泛函就是它本身, 一般情况下, 我们比较感兴趣的是Banach空间上的性质, 以致下面定理为了得到不动点, 引入了线性算子作用在共轭空间上.

定理2.5  设$E$是实Banach空间, $P\subset E$是一个体锥, 设范数关于$P$单调的, $P^*$是一个体锥, $A:P^0\rightarrow P^{0^*}$是正增$p$齐次的, $0<p<1$, $j:P^*\rightarrow P^0$是增的线性算子, 则$jA$在$P^0$中必有唯一的不动点.

证 假定$0<p<1$, 由$\displaystyle m(\frac{x}{y}) y\leq x\leq M(\frac{x}{y})y$和$A$的增正$p$齐次性知

$\begin{equation} [m(\frac{x}{y})]^p Ay\leq Ax\leq [M(\frac{x}{y})]^p Ay, \end{equation}$

(2.9)

由于$j$是增线性算子

$\begin{equation} [m(\frac{x}{y})]^p jAy\leq jAx\leq [M(\frac{x}{y})]^p jAy, \end{equation}$

(2.10)

那么

$\begin{equation} M(\frac{jA(x)}{jA(y)}) \leq [M(\frac{x}{y})]^p,m(\frac{jA(x)}{jA(y)})\geq [m(\frac{x}{y})]^p, \end{equation}$

(2.11)

根据Hilbert投影距离的定义知

$\begin{equation} \begin{aligned} \rho(jA(x),jA(y))&=\ln \{\frac{M(\frac{jA(x)}{jA(y)})}{m(\frac{jA(x)}{jA(y)})}\}\leq p\ln\{\frac{M(\frac{x}{y})}{m(\frac{x}{y})}\}=p\rho(x,y). \end{aligned} \end{equation}$

(2.12)

定义$\displaystyle j_1 A(x)=\frac{jA(x)}{\|jA(x)\|}$, 则$j_1 A:P_1\rightarrow P_1$, 利用引理2.4, 可知$(P_1,\rho)$是完备的距离空间, 由Banach压缩映像原理, 那么$j_1 A$在$P_1$中有唯一不动点.设其为$x_0$, 则$j_1 A(x_0)=x_0$.令$x_1=\|jA(x_0)\|^{\frac{1}{1-p}} x_0$, 则

$\begin{eqnarray} &&A(x_1)=\|jA(x_0)\|^{\frac{p}{1-p}} A(x_0);\\ \end{eqnarray}$

(2.13)

$\begin{eqnarray} &&jA(x_1)=\|jA(x_0)\|^{\frac{p}{1-p}} jA(x_0)=\|jA(x_0)\|^{{\frac{p}{1-p}}+1} j_1 A(x_0)=\|jA(x_0)\|^{\frac{1}{1-p}} x_0=x_1. \end{eqnarray}$

(2.14)

故$jA$在$P^0$中有不动点$x_1$.现在证明它的不动点是唯一的, 假设它还有另一个不动点$x_2,jA(x_2)=x_2$, 因

$\rho(x_1,x_2)=\rho(jAx_1,jAx_2)\leq p\rho(x_1,x_2)\Rightarrow \rho(x_1,x_2)=0,$

可知

$x_1=tx_2,t>0,x_1=jA(x_1)=jA(tx_2)=t^p jA(x_2)=t^p x_2,$

则可以推出$t=1$, 即是$x_1=x_2$.

注3 在这里取$P=P^*$, 此时在这里的线性增算子定义$j=I$为恒等算子, 此时只需要讨论$A:P^0\rightarrow P^0$, 这个结果在文献[1]中可以查阅.

若应用注3里面的条件, 就会有下面例子的成立.

例3 设非线性积分方程$\varphi(x)=\displaystyle\int_G f(x,y)[\varphi(y)]^p dy$, 其中$0<p<1,f(x,y)$在$G\times G$非负连续且$\displaystyle\int_G f(x,y) dy>0,G$表示$R^n$中某有界闭区域, 那么非线性积分方程在$G$上具有唯一的恒正连续解.

当知道$P$和$P^*$是一个体锥, 假设$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$是$p$正齐次的, $0<p<1$, 并且是增的, 得出$A$在$P_1$上是一个Hilbert投影距离连续算子.

事实上, 假定$0<p<1$, $\forall x,y\in P_1$, 由$\displaystyle m(\frac{x}{y})y\leq x\leq M(\frac{x}{y})y$, $A$的增正$p$齐次性知

$[m(\frac{x}{y})]^p Ay\leq Ax\leq [M(\frac{x}{y})]^p Ay,$

则

$\begin{eqnarray}&&M^{*} (\frac{A(x)}{A(y)}) \leq [M(\frac{x}{y})]^p,m^{*} (\frac{A(x)}{A(y)})\geq [m(\frac{x}{y})]^p,\nonumber\\ &&\rho(A(x),A(y))=\ln \{\frac{M^{*} (\frac{A(x)}{A(y)})}{m^{*} (\frac{A(x)}{A(y)})}\}\leq p\ln\{\frac{M(\frac{x}{y})}{m(\frac{x}{y})}\}=p\rho(x,y). \end{eqnarray}$

(2.15)

若$\forall x,y\in P_1,\rho(x,y)\rightarrow 0$, 则$\rho(Ax,Ay)\rightarrow 0$, 即是$A$在$P_1$上Hilbert投影距离连续.显然Hilbert投影距离连续并不能推出依范数连续.

首先思考当Hilbert投影距离连续时要满足什么条件就可推出依范数连续, 反之也是否能成立, 下面定理就是所要讨论的结果.

定理2.6  设$E$是实Banach空间, $P$和$P^*$是一个体锥, 范数分别关于$P$和$P^*$单调的, 映像$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$, 若$A$在$P_1$上Hilbert投影距离连续, 则它是依范数连续.

证 任意取$x_n,x_0\in P_1$, 使得$\lim\limits_{n\to\infty}\|x_n-x_0\|=0.$又因$\displaystyle m(\frac{x_n}{x_0})x_0\leq x_n\leq M(\frac{x_n}{x_0})x_0$, 由于范数关于$P$单调的, 则

$\begin{equation} m(\frac{x_n}{x_0})\|x_0\|\leq \|x_0\|\leq M(\frac{x_n}{x_0})\|x_0\|, \end{equation}$

(2.16)

即是

$\begin{equation} m(\frac{x_n}{x_0})\leq 1\leq M(\frac{x_n}{x_0}), \end{equation}$

(2.17)

又$\lim\limits_{n\to\infty}\|x_n-x_0\|=0$.故$\displaystyle M(\frac{x_n}{x_0})$是有界的.即$\exists a>0$使得$\displaystyle M(\frac{x_n}{x_0})\leq a$, 那么

$\displaystyle m(\frac{x_n}{x_0})\leq 1\leq M(\frac{x_n}{x_0})\leq a.$

由Bolzano-Weierstrass定理知$\displaystyle M(\frac{x_n}{x_0}),m(\frac{x_n}{x_0})$有收敛子列, 任给$\varepsilon>0$, 取$0<\varepsilon_0<1$, 使得$\displaystyle\ln\frac{1+\varepsilon_0}{1-\varepsilon_0}<\varepsilon$, 于是存在$N_1>0$, 使得对任意的$n_j>N_1$, 恒有$\displaystyle 1-\varepsilon_0<m(\frac{x_{n_j}}{x_0})\leq 1$, 存在$N_2>0$, 使得对任意的$n_j>N_2$, 恒有$\displaystyle 1<M(\frac{x_{n_j}}{x_0})\leq 1+\varepsilon_0$, 取$N=\max\{N_1,N_2\}$, 对任意的$n_j>N$, 有

$\begin{equation} \displaystyle 1-\varepsilon_0<m(\frac{x_{n_j}}{x_0})\leq 1,\displaystyle 1<M(\frac{x_{n_j}}{x_0})\leq 1+\varepsilon_0, \end{equation}$

(2.18)

故当$n>N$时, 恒有

$\begin{equation} \rho(x_n,x_0)=\ln \{\frac{M(\frac{x_n}{x_0})}{m(\frac{x_n}{x_0})}\}\leq\ln\frac{1+\varepsilon_0}{1-\varepsilon_0}. \end{equation}$

(2.19)

由任意的$\varepsilon$, 可以知道$\lim\limits_{n\to\infty}\rho(x_n,x_0)=0$.由假设映像$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$是Hilbert投影距离连续, 对上面的$\rho(x_n,x_0)\rightarrow 0$, 则$\rho(Ax_n,Ax_0)\rightarrow 0.$当$\rho(A x_n,A x_0)\rightarrow 0\Rightarrow \displaystyle\frac{M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})}{m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})}\rightarrow 1.$若对$ A x_n,A x_0\in P_{1}^{*}$, 有$\displaystyle m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})A x_0\leq A x_n\leq M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})A x_0$, 由于范数关于$P^*$单调的, 则

$\begin{equation} m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})\leq 1\leq M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0}). \end{equation}$

(2.20)

那么

$\displaystyle M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})\rightarrow 1,m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})\rightarrow 1,0\leq A x_n-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0}) A x_0 \leq [M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})] A x_0.$

故

$\begin{equation} \begin{aligned} \|A x_n-A x_0\|&=\|A x_n-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0}) A x_0\|+\|m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0}) A x_0-A x_0\|\\ &\leq [M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})]\|A x_0\|+[1-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})]\|A x_0\|\\ &=[M^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})]+[1-m^{*}(\frac{A x_n}{A x_0})]\rightarrow 0 (n\rightarrow\infty), \end{aligned} \end{equation}$

(2.21)

故$A$在$P_1$上依范数连续.

定理2.7  设$E$是实Banach空间, $P$和$P^*$是一个体锥, 范数分别关于$P$和$P^*$单调的, 映像$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$, 若$A$在$P_1$上是依范数连续, 则它是Hilbert投影距离连续.

证 若对取$x_n,x_0\in P_1$使得$\rho(x_n,x_0)\rightarrow 0$, 根据定理2.6的证明可以知道$\|x_n-x_0\|\rightarrow 0$, 由假设$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$是依范数连续, 故$\|A x_n-A x_0\|\rightarrow 0$, 接下来同样按定理2.6类似证明可以得出$\rho(A x_n,A x_0)\rightarrow 0$.

注4  由定理2.6, 定理2.7可以知道当$P$和$P^*$是一个体锥, 范数关于$P$和$P^*$单调时, 可以得出映像$A:P_1\rightarrow P_{1}^{*}$是Hilbert投影距离连续与依范数连续等价.