设$f\in M_2^3\subset E_2$, 则$f$的轨道切空间$M_2J(f)\subset M_{2}^3$, 并考虑理想的序列套

$ \begin{aligned} E_2\supset M_2\supset M_{2}^2\supset M_{2}^3\supset M_{2}^4+M_2J(f)\supset \cdots\supset M_{2}^k+M_2J(f) \supset \cdots.\nonumber \end{aligned} $

(Ⅰ)

设$c_k(k\ge 0)$为$M_{2}^{k+1}+M_{2}J(f)$在$M_{2}^{k}+M_{2}J(f)$中的余维数, 易见$c_0, c_1, c_2$分别为1, 2, 3.由文献[1], $c_3=1$意味着$j^3f$右等价于标准型函数芽$x^2y$.

文[2]研究了一类二元函数芽的特殊性质:设芽$A(x, y)=x^2y+p(x, y)$, 其中$p(x, y)\in P_{2}^4$, 则$M_{2}^4\subset M_2J(A)$等价于$p(x, y)$中$y^4$项的系数不为零.若将$A$放入序列套(Ⅰ)中考虑, $A$的轨道切空间$M_2J(A)$有余维分布$c_3=1, c_4=0$, 且这与$A$的性质有着紧密的联系.受这一事实的启迪, 今考虑两类二元函数芽$f_1=x^2y+\sum\limits_{i=4}^k p_{i}(x, y), f_2=xy^2+\sum\limits_{i=4}^k q_{i}(x, y) (k\ge 5)$, 其中$p_i(x, y), q_i(x, y)\in P_2^i, i=4, 5, \cdots, k$.若$M_{2}^k\subset M_{2}J(f_j) (j=1, 2)$且$f_1, f_2$的轨道切空间与$A$的轨道切空间有类似的余维分布, 阐述了$f_1, f_2$的共同性质, 进一步, 给出了$f_1, f_2$的应用.

$E_n$表示在$O\in \mathbb{R}^{n}$处的$C^{\infty}$函数芽环; $M_n$是$E_n$中的唯一极大理想; $M_n^k$是$M_n$的$k$次幂; $P_n^k$是$k$次齐次多项式全体构成的实向量空间; $j^kf$是$f$的$k$阶Taylor多项式.

定义1.1  设$f, g\in E_n$, 若存在一个微分同胚$\phi\in L_n$(为点$O\in\mathbb R_n$处的局部微分同胚群), 使得$g=f\circ \phi$.则称芽$f$与$g$是右等价的.

定义1.2^[2]  $f\in E_n$称为有限$k$-决定的是指每一个与$f$有相同$k$阶Taylor多项式的芽$g$是右等价于$f$的.

引理1.3 ^[3]  (Nakayama 引理)设$I$是$E_n$中的有限生成理想, 则$M_n^k\subset I$等价于$M_n^k\subset I+M_n^{k+1}$.

引理1.4^[2-5]  (Mather 定理)若$M_n^k\subset M_nJ(f)$, 则$f$是$k$-决定的, 其中$J(f)$是由$f$关于各变元的偏导数在$E_n$中生成的Jacobi理想.

引理1.5^[4]   设$f(x)\in E_n$, 对于任意给定的局部微分同胚$\phi$, 则$M_n^k\subset M_n^k J(f)$等价于$M_n^k\subset M_n^kJ(f\circ\phi)$(证明思路见文[4] p.76-77).

由引理1.4, 1.5, 若$f$是$k$-决定的, 则凡是与$f$右等价的函数芽也是$k$-决定的.

若序列套(Ⅰ)对某一自然数$k$, 有$c_k=0$, 则$M_2^k+M_2J(f)=M_2^{k+1}+M_2J(f)$.由引理1.3, 有$M_2^k\subset M_2J(f)$, 再由引理1.4, $f$是$k$-决定的.

定理2.1  设两类二元函数芽$f_1=x^2y+\sum\limits_{i=4}^k p_{i}(x, y), f_2=xy^2+\sum\limits_{i=4}^k q_{i}(x, y) (k\ge 5)$, 并考虑序列套(Ⅰ).若$M_2^k\subset M_2J(f_j) (j=1, 2)$且$f_1, f_2$的轨道切空间的余维分布均为$c_{i}=1 (i=4, 5, \cdots, k-1)$, 则对这里的$i$, $p_i(x, y)$中$xy^{i-1}, y^i$的系数和$q_i(x, y)$中$x^{i-1}y, x^i$的系数均为零, 其中$p_i(x, y), q_i(x, y)\in P_2^i, i=4, 5, \cdots, k$.

证  现仅就$f_1$对$k$作归纳证明, $f_2$类似可证.

(ⅰ)当$k=5$时, 有$c_4=1$, $f_1=x^2y+p_4(x, y)+p_5(x, y)$, 其中$p_4(x, y)\in P_2^4, p_5(x, y) \in P_2^5$.由条件$M_2^5\subset M_2J(f_1)$及引理1.4知$f_1$是5 -决定的.

往证:由$c_4=1$可推出$p_4(x, y)$中$xy^3, y^4$的系数为零.事实上, 因为$c_4=1$, 即

$ {\rm dim}_{\mathbb{R}}[(M_2^4+M_2J(f_1))/(M_2^5+M_2J(f_1))] ={\rm dim}_{\mathbb{R}}[P_2^4/(P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1)))]=1, $

而

$ M_2J(f_1)=[2x^2y+x\sum\limits_{i=4}^5\frac{\partial p_i}{\partial x}, 2xy^2+y\sum\limits_{i=4}^5 \frac{\partial p_i}{\partial x}, x^3+x\sum\limits_{i=4}^5\frac{\partial p_i}{\partial y}, x^2y+y\sum\limits_{i=4}^5\frac{\partial p_i}{\partial y}]_{E_2}. $

容易计算得到$x^4, x^3y, x^2y^2, xy^3\in M_2J(f_1)+M_2^5$, 从而实向量空间

$ \mathbb{R}\{x^4, x^3y, x^2y^2, xy^3\}\subset P_2^4\cap M_2J(f_1)\subset P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1)). $

又因为$P_2^4=\mathbb{R}\{x^4, x^3y, x^2y^2, xy^3, y^4\}$及${\rm dim}_{\mathbb R}[P_2^4/(P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1)))]=1$, 故$P_2^4/(P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1)))=\mathbb{R}\{y^4\}$.因此$P_2^4$中的基元$y^4\notin P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1))$.

注意到理想$M_2J(f_1)$的元素$x^2y+y\sum\limits_{i=4}^5\frac{\partial p_i}{\partial y}$的四次齐次部分$y\frac{\partial p_4}{\partial y}$在$P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1))$中.现用反证法证明$p_4(x, y)$中$y^4$项的系数为0, 今假设任意四次齐次多项式$p_4(x, y)=a_1x^4+a_2x^3y+a_3x^2y^2+a_4xy^3+a_5y^4$中系数$a_5\not=0$, 从而

$ y\frac{\partial p_4}{\partial y}=a_2x^3y+2a_3x^2y^2+3a_4xy^3+4a_5y^4, a_5\not=0, $

于是

$ \begin{eqnarray} y^4=\frac{1}{4a_5}\{y\frac{\partial p_4}{\partial y}-(a_2x^3y+2a_3x^2y^2+3a_4xy^3)\}. \end{eqnarray} $

(2.1)

因为$y\frac{\partial p_4}{\partial y}\in P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1))$及$a_2x^3y+2a_3x^2y^2+3a_4xy^3\in \mathbb{R}\{x^4, x^3y, x^2y^2, xy^3\}\subset P_2^4 \cap j^4(M_2J(f_1))$, 而$P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1))$是一实个向量空间.于是由(2.1) 式得$y^4\in P_2^4\cap j^4(M_2J(f_1))$, 这与前面的事实不符.故$p_4(x, y)$中不含有$y^4$项, 即$p_4(x, y)$中$y^4$项的系数为0.

同理, 对元素$2xy^2+y\sum\limits_{i=4}^5\frac{\partial p_i}{\partial x}$作类似讨论, 得$p_4(x, y)$中$xy^3$项的系数为0.

目前已证得:由$c_4=1$推出了$p_4(x, y)$中$xy^3$和$y^4$项的系数为0, 从而$f_1$简化为下列形式的芽: $f_1=x^2y+x^2p_4^{\prime}(x, y)+p_5(x, y)$, 其中$p_4^{\prime}(x, y)\in P_2^2, p_5(x, y)\in P_2^5$.

(ⅱ)假设$f_1$对一切小于或等于$m (\le k-1)$的情况成立, 此时$c_4=\cdots\ = c_{m-1}=1$且$f_1$是$m$-决定的, 于是$f_1$简化为下列形式的芽$f_1=x^2y+x^2\sum\limits_{i=4}^{m-1}p_i^{\prime}(x, y) +p_m(x, y)$, 其中$p_i^{\prime}(x, y)\in P_2^{i-2}, i=4, 5, \cdots, m-1, p_m(x, y)\in P_2^m$.

今要证$f_1$对$m+1(\le k-1)$的情形也成立, 此时$c_4=\cdots\ = c_{m}=1$且$f_1$是$m+1$决定的, 并由假设$f_1$可以简化为$f_1=x^2y+x^2\sum\limits_{i=4}^{m-1}p_i^{\prime}(x, y)+p_m(x, y)+p_{m+1}(x, y)$, 其中$p_i^{\prime}(x, y)\in P_2^{i-2}, i=4, 5, \cdots, m-1, p_j(x, y)\in P_2^j, j=m, m+1$.

往证:由$c_m=1$推出$p_m(x, y)$中$xy^{m-1}$和$y^m$的系数为0.因为$c_m=1$, 即

$ {\rm dim}_{\mathbb{R}}[(M_2^m+M_2J(f_1))/(M_2^{m+1}+M_2J(f_1))] ={\rm dim}_{\mathbb{R}}[P_2^m/(P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1)))]=1, $

而

$ M_2J(f_1)=[2x^2y+xg_1, 2xy^2+yg_1, x^3+xg_2, x^2y+yg_2]_{E_2}, $

其中$g_1=\sum\limits_{i=4}^{m-1}(2xp_i^{\prime}+x^2\frac{\partial p_i^{\prime}}{\partial x})+ \sum\limits_{j=m}^{m+1}\frac{\partial p_j}{\partial x}, g_2=x^2\sum\limits_{i=4}^{m-1}\frac{\partial p_i^{\prime}}{\partial y}+\sum\limits_{j=m}^{m+1}\frac{\partial p_j}{\partial y}$.

容易计算得$x^m, x^{m-1}y, \cdots, xy^{m-1}\in M_2J(f_1)+M_2^{m+1}$, 从而实向量空间

$ \mathbb{R}\{x^m, x^{m-1}y, \cdots, xy^{m-1}\}\subset P_2^m\cap M_2J(f_1)\subset P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1)). $

又因为$P_2^m =\mathbb{R}\{x^m, x^{m-1}, \cdots, y^m\}$及${\rm dim}_{\mathbb {R}}[P_2^m/(P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1)))]=1$, 所以$P_2^m/(P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1)))=\mathbb{R}\{y^m\}$.因此, $y^m\notin P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$.

因为元素$2xy^2+yg_1\in M_2J(f_1)$的$m$次齐次部分$y\frac{\partial p_m}{\partial x}$在$P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$中.若$p_m(x, y)$中含有$xy^{m-1}$, 即$p_m(x, y)=a_1x^m+a_2x^{m-1}y+\cdots +a_{m+1}y^m$中$a_m\not=0$, 则

$ y\frac{\partial p_m}{\partial x}=ma_1x^{m-1}y+(m-1)a_2x^{m-2}y^2+\cdots +a_m y^m, a_m\not= 0, $

于是

$ \begin{eqnarray} y^m=\frac{1}{a_m}\{y\frac{\partial p_m}{\partial x}-(ma_1x^{m-1}y+(m-1)a_2x^{m-2}y^2+\cdots +2a_{m-1} xy^{m-1})\}. \end{eqnarray} $

(2.2)

因为$y\frac{\partial p_m}{\partial x}\in P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$及$ma_1x^{m-1}y+(m-1)a_2x^{m-2}y^2+\cdots+2a_{m-1} xy^{m-1}\in \mathbb{R}\{x^m, x^{m-1}y, \cdots, xy^{m-1}\}\subset P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$, 而$P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$是一个实向量空间.于是, 由(2.2) 式有$y^m\in P_2^m\cap j^m(M_2J(f_1))$, 矛盾.故$p_m(x, y)$中不含有$xy^{m-1}$, 即$p_m(x, y)$中$xy^m$项的系数为0.

类似讨论$M_2J(f_1)$中的元素$x^2y+yg_2$将得出$p_m(x, y)$中$y^m$项的系数为0.

因此由$c_m=1$可以推出$p_m(x, y)$中$xy^{m-1}$和$y^m$项的系数为0.由数学归纳法原理, 此定理成立.证毕

定理3.1   设$f_1, f_2$如定理2.1所假设且具有定理2.1的性质, 则$f_1, f_2$分别右等价于标准函数芽$x^2y\pm y^k$和$xy^2\pm x^k$, 其中“$\pm$ "依赖于$f_1$中$y^k$($f_2$中$x^k$)项的系数符号.

证  现仅就$f_1$求出标准形式, $f_2$的标准形式类似可求.

由定理2.1, 有限$k$-决定的芽$f_1$简化为$h(x, y)=x^2y+x^2\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime}(x, y)+p_k(x, y)$, 其中$p_i^{\prime}(x, y)\in P_2^{i-2}(i=4, 5, \cdots, k-1), p_k(x, y)\in P_2^k$, 且$h(x, y)$是$k$-决定的.对$h(x, y)$作坐标变换$\phi (x, y)=(x, y-\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime})$, 得

$ \begin{aligned} h\circ\phi (x, y)&=x^{2}(y-\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime})+x^2 \sum\limits_{j=4}^{k-1}p_j^{\prime}(x, y-\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime})+p_k(x, y-\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime})\\ &=x^{2}y-x^{2}\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime}+x^2 \sum\limits_{i=4}^{k-1}[p_i^{\prime}(x, y)+r_i^{\prime}(x, y)]+p_k(x, y)+R_1(x, y)\\ &=x^2y+x^2\sum\limits_{i=4}^{k-1}r_i^{\prime}(x, y)+p_k(x, y)+R_1(x, y), \end{aligned} $

其中$r_i^{\prime}(x, y)\in M_2^{i-1}(i=4, 5, \cdots, k-1), R_1(x, y)\in M_2^{k+1}$.

对于$\sum\limits_{i=4}^{k-1}r_i^{\prime}\in M_2^3$, 存在$\eta_{1i}(x, y)\in P_2^i(i=3, 4, \cdots, k-3), s_1(x, y)\in M_2^{k-2}$, 使得$\sum\limits_{i=4}^{k-1}r_i^{\prime}=\sum\limits_{i=3}^{k-3}\eta_{1i}(x, y)+s_1(x, y).$于是

$ \begin{aligned} h\circ\phi (x, y)&=x^{2}y+x^2[\sum\limits_{i=3}^{k-3}\eta_{1i}(x, y)+s_1(x, y)]+p_k(x, y)+R_1(x, y)\\ &=x^2y+x^2\sum\limits_{i=3}^{k-3}\eta_{1i}(x, y)+\xi_1(x, y)+R_{11}(x, y), \end{aligned} $

其中$\xi_1(x, y)=j^k(x^2s(x, y))+p_k(x, y)\in P_2^k, R_{11}(x, y)\in M_2^{k+1}$.

由引理1.4-1.5知$h\circ\phi$也是$k$-决定的, 故存在微分同胚$\varphi (x, y)$, 使得

$ (h\circ\phi)\circ\varphi=j^k[h\circ\phi(x, y)]=x^2y+x^2\sum\limits_{i=3}^{k-3}\eta_{1i}+\xi_1(x, y)=h_1. $

观察到$h$中和式的第一项$p_4^{\prime}\in P_2^2$, 而$h_1$中和式的第一项$\eta_{13}\in P_2^3$, 这相当于$h_1$是从$h$的和式中去掉了二次齐次多项式部分后而得到的, 这也是施行坐标变换$\phi (x, y)=(x, y-\sum\limits_{i=4}^{k-1}p_i^{\prime})$的结果.为了逐步从$h_1$的和式中去掉3次至$k-3$次齐次多项式部分, 今对$h_1$依次施行坐标变换$\phi_i(x, y)=(x, y-\sum\limits_{j=i+2}^{k-3}\eta_{ij}(x, y))$, 其中$\eta_{ij}(x, y)\in P_2^j, j=i+2, i=1, 2, \cdots, k-5$, 又$h_1$是$k$-决定的(由引理1.4-1.5, 凡是与$h$右等价的芽也是$k$-决定的), 从而依次得到与$h_1$右等价的芽$h_i(x, y)=x^2y+x^2\sum\limits_{j=i+2}^{k-3}\eta_{ij}(x, y)+\xi_i(x, y), i=2, 3, \cdots, k-4$.注意到$h_{k-4}=x^2y+\xi_{k-4}(x, y)$, 其中$\xi_{k-4}(x, y)\in P_2^k$, 它是由$h$施行若干次坐标变换而得到的, 且它是$k$-决定的.将$h_{k-4}$改写为$h_{k-4}=x^2y+x^2Q(x, y)+axy^{k-1}+by^k$, 其中$a, b\in\mathbb{R}, Q(x, y)\in P_2^{k-2}$.继续对$h_{k-4}$施行坐标变换$\phi_{k-4}(x, y)=(x-\frac{a}{2}y^{k-2}, y-Q)$, 得

$ \begin{aligned} h_{k-4}\circ\phi_{k-4}=&(x-\frac{a}{2}y^{k-2})^2(y-Q)+(x-\frac{a}{2}y^{k-2})^2\cdot Q(x-\frac{a}{2}y^{k-2}, y-Q)\\ &+a(x-\frac{a}{2}y^{k-2})(y-Q)^{k-1}+b(y-Q)^k\\ =&(x^2-axy^{k-2}+\frac{a^2}{4}y^{2k-4})(y-Q)+(x^2-axy^{k-2}+\frac{a^2}{4}y^{2k-4})\\ &\cdot[Q(x, y)+\varepsilon_1(x, y)]+axy^{k-1}+by^k+\varepsilon_2(x, y)\\ =&x^2y+by^k+\varepsilon_3(x, y), \end{aligned} $

其中$\varepsilon_1(x, y)\in M_2^{k-1}, \varepsilon_2(x, y), \varepsilon_3(x, y)\in M_2^{k+1}$.

因为$h_{k-4}$是$k$-决定的, 则$x^2y+by^k+\varepsilon_3$也是$k$-决定的, 故有$\phi_{k-3}\in L_2$, 使得

$ \{x^2y+by^k+\varepsilon_3\}\circ\phi_{k-3}=j^k\{x^2y+by^k+\varepsilon_3\}=x^2y+by^k. $

综上所述, $h(x, y)$右等于$x^2y+by^k$, 且$b\not=0$(若否, 可得出$h(x, y)$是余维无限的芽这一矛盾的结果), 并对$x^2y+by^k$做坐标变换$\phi_{k-2}(x, y)=(|b|^{\frac{1}{2k}}x, |b|^{\frac{-1}{k}}y)$, 得

$ (x^2y+by^k)\circ\phi_{k-2}=\big(|b|^{\frac{1}{2k}}x\big)^2\cdot\big(|b|^{\frac{-1}{k}}y\big) +b\big(|b|^{\frac{-1}{k}}y\big)^k=x^2y\pm y^k. $

由右等价关系的传递性知$h(x, y)$右等价于标准函数芽$x^2y\pm y^k$, 即$f_1$右等价于标准函数芽$x^2y\pm y^k$, 其中"$\pm $"依赖于$f_1$中$y^k$项的系数符号.

定理3.2  函数芽$xy^2\pm x^k$右等于$x^2y\pm y^k$.

证  只需考虑线性同胚$\phi : \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2, (x, y)\rightarrow(y, x)$即可.

这样一来, 由定理2.1和定理3.1知$f_1$和$f_2$均右等价于标准函数芽$x^2y\pm y^k$.

定理3.3   设$f(x, y)\in M_2^3$是余维数为7的二元函数芽且其轨道切空间的余维分布为$c_3=c_4=c_5=1, c_6=0$, 则$f(x, y)$的标准形式为$x^2y\pm y^6$, 其中“$\pm$”依赖于$f$中$y^6$项的系数符号.

证   对$f(x, y)\in M_2^3$考虑序列套(Ⅰ)式及$c_3=1$, 则$f(x, y)$右等价于$x^2y+r_1(x, y)$, 其中$r_1(x, y)\in M_2^4$.又由$c_6=0$知, $f(x, y)$是6 -决定的, 从而$x^2y+r(x, y)$也是6 -决定的, 于是它右等价于$h(x, y)=x^2y+\sum\limits_{i=4}^6 p_i(x, y), p_i(x, y)\in P_2^i, i=4, 5, 6.$这样一来, $f(x, y)$右等价于$h(x, y)$.又$c_4=c_5=1$及定理2.1, $h(x, y)$可以简化为下列形式的芽

$ x^2y+x^2p_4^{\prime}(x, y)+x^2p_5^{\prime}(x, y)+p_6(x, y), p_4^{\prime}\in P_2^2, p_5^{\prime}\in P_2^3, p_6\in P_2^6. $

再依定理3.1, $x^2y+x^2p_4^{\prime}(x, y)+x^2p_5^{\prime}(x, y)$右等价于标准函数芽$x^2y\pm y^6$, 即$h(x, y)$的标准形式为$x^2y\pm y^6$, 于是$f(x, y)$的标准形式为$x^2y\pm y^6$, 其中“$\pm$”依赖于$f$中$y^6$项的系数符号.