称随机变量$X$与$Y$是NOD(Negatively Orthant Dependent)的, 如果

$P(X\leq x, Y\leq y)\leq P(X\leq x)P(Y\leq y), \forall x, y\in R.$

(1.1)

事实上, (1.1) 式与下面的(1.2) 式是等价的,

$P(X>x, Y> y)\leq P(X> x)P(Y> y), \forall x, y\in R.$

(1.2)

但是, 当$n\geq3$时, (1.1) 与(1.2) 却并不等价, 因此, 需要下面的定义来定义NOD随机变量列, Joag-Dev和Proschan^[1]在1983年提出了NOD和NA(Negatively Associated)随机变量列的概念.

定义1.1 称随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_n$是NOD的, 如果对任意实数$x_1, x_2, \cdots$ $, x_n$有

$\begin{array}{l} P\left( {\bigcap\limits_{i = 1}^n {({X_i} \le {x_i})} } \right) \le \prod\limits_{i = 1}^n P ({X_i} \le {x_i});\\ P\left( {\bigcap\limits_{i = 1}^n {({X_i} > {x_i})} } \right) \le \prod\limits_{i = 1}^n P ({X_i} > {x_i}), \end{array}$

称随机变量列$\{X_n, n\geq1\}$是NOD的, 如果它的每一个有限子集序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$都是NOD的.

定义1.2 称随机变量$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n\geq2)$是NA的, 如果对于集合$\{1, 2\cdot\cdot\cdot, n\}$的任何两个不相交的非空子集$A$与$B$, 都有

$\text{Cov}(f_{1}(X_{i}, i\in{A}), f_{2}(X_{j}, j\in{B}))\leq0, $

其中$f_{1}$与$f_{2}$是任何两个使得协方差存在的且对每个变元均非降(或同为对每个变元均非升)的函数.称随机变量列$\{X_{n}, n\geq 1\}$是NA的, 如果对任何$n\geq2, X_{1}, \cdots, X_{n}$都是NA的.

易见, NOD随机变量列是比NA随机变量列弱的一种序列, 由于NOD随机变量列在工程技术领域都有较为广泛的应用, 所以将NA随机变量列的某些性质推广到NOD随机变量列上具有重要的理论和应用价值.

我国著名统计学家许宝禄与Robbins^[2]提出了完全收敛性的这一概念, 它是随机变量列一种非常重要的收敛概念, 当假设$\{X_n, n\geq1\}$是概率空间$(\Omega, \mathfrak{\Im}, P)$上的随机变量列, 称$\{X_n\}$是完全收敛于常数C, 如果对于任意的$\epsilon >0, $

$\sum\limits_{n = 1}^\infty P (|{X_n} - C| > \varepsilon ) < \infty . $

许宝禄与Robbins^[2]证明了独立同分布随机变量列在方差有限的情况下, 序列的样本均值完全收敛到总体均值, 随后Erdos^[3]证明了它的逆命题也是成立的.由Borel-Cantelli引理可知, 完全收敛性可以推出几乎处处收敛.因此, 随机变量列的完全收敛性的研究就显的更为基本.目前, 在许多方向对其都进行了推广和完善.例如Baum与Katz^[4]通过独立随机变量的一些收敛定理得到了Baum -Katz型的完全收敛性.

下面我们先介绍本文中几个必要的概念和符号.

定义1.3 称随机变量序列$\{X_n, n\geq1\}$尾概率有界于随机变量$X$(记为$\{X_n\}\prec X$), 如果存在正常数$C$, 使得对充分大的$x\geq 0$, 有

$\mathop {\sup }\limits_{n \ge 1} P(|{X_n}| \ge x) \le CP(|X| \ge x).$

本文中的常数一律以$C(>0)$表示, 在不同的地方$C$可表示不同值; $a_n\simeq b_n$表示存在正常数$C$, 使得对任意$n\geq 1, $有$a_n\leq Cb_n$.

下面这个引理是为了保证, 对NOD随机变量列采取单调截尾法后, 能够使得截尾后的随机变量列仍是NOD的.

引理1.4^[5] 设$X_1, X_2, \cdots, X_n$是NOD随机变量列, $f_1, f_2, \cdots, f_n$全部是单调增(或单调减)函数, 则$f_1(X_1), f_2(X_2), \cdots, f_n(X_n)$仍是NOD随机变量列.

下面这个引理是由Asadian^[6]等建立的, 是关于NOD随机变量列的Rosenthal型矩不等式, 该不等式在证明中起着重要作用.

引理1.5 设$\{X_n, n\geq 1\}$是零均值的NOD随机变量列, 且$E|X_n|^t<\infty$, $ n\geq 1$.则存在仅依赖于$t$的正常数$C$(与$n$无关), 使得对任意$n\geq 1, $有

$\begin{array}{l} E{\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} } \right|^t} \le C\sum\limits_{i = 1}^n E |{X_i}{|^t},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall 1 < t \le 2,\\ E{\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} } \right|^t} \le C\left( {\sum\limits_{i = 1}^n E |{X_i}{|^t} + {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n E X_i^2} \right)}^{t/2}}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t > 2. \end{array}$

下面这个引理是由吴群英^[7]建立的, 关于尾概率有界于X的随机变量列$\{X_n, n\geq 1\}$的矩的不等式.

引理1.6 设随机变量序列$\{X_n, n\geq 1\}$尾概率有界于随机变量$X$, 则对任意$t>0, \, u>0, \, n\geq 1$, 有

(ⅰ) $E|X_{n}|^u I(|X_{n}|> t)\leq CE|X|^u I(|X|> t)$;

(ⅱ) $E|X_{n}|^u I(|X_{n}|\leq t)\leq C\bigg(E|X|^u I(|X|\leq t)+t^u P(|X|> t)\bigg).$

引理1.7^[9] 设$\{X_{ni}, i\geq 1, n\geq1\}$是行为ND随机变量阵列, 满足以下三个条件,

(ⅰ)$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}} \sum\limits_{i = 1}^{{k_n}} P (|{X_{ni}}| > \epsilon ) < \infty ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall \epsilon > 0, $

(ⅱ)存在$q>2, \delta>0, $使得

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}} {(\sum\limits_{i = 1}^{{k_n}} E X_{ni}^2I(|{X_{ni}}| \le \delta ))^{\frac{q}{2}}}{\rm{ < }}\infty , $

(ⅲ)对于任意$n\rightarrow\infty$, 有$\sum\limits_{i = 1}^{{k_n}} E {X_{ni}}I(|{X_{ni}}| \le \delta ) \to 0, $

则对于任意$\epsilon >0$，有

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{c_n}} P\left( {\left| {\sum\limits_{i = 1}^{{k_n}} {{X_{ni}}} } \right| > \epsilon } \right) < \infty . $

若$\sum\limits_{i = 1}^\infty {{X_{ni}}} $几乎处处收敛, 则上述定理对于$k_n=\infty$仍然成立, 即定理1.7就是完全收敛性的充分条件.

定理2.1 设$\{X_{ni}, i\geq 1, n\geq 1\}$是行为NOD随机变量阵列, 存在正常数$C$, 使得对充分大的$x\geq 0$, 有

$P(|{X_{ni}}| \ge x) \le CP(|X| \ge x),\;\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} n \ge 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} i \ge 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ge 0.$

(2.1)

设$\beta\geq -1$, 实数阵列$\{a_{ni}, i\geq 1, n\geq1\}$满足

$\mathop {\sup }\limits_{i \ge 1} |{a_{ni}}| = O({n^{ - r}}),{\mbox{对某个 }} r > 0$

(2.2)

及

$\sum\limits_{i = 1}^\infty {{{\left| {{a_{ni}}} \right|}^\theta }} = O({n^\alpha }),{\mbox{对某个}}\alpha < 2r,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 0 < \theta < \min (2,2 - \alpha /r).$

(2.3)

(ⅰ)当$\alpha+\beta+1>0$时, 若存在某个$\sigma>0, $使得${\displaystyle\frac {\alpha}{r}}+\theta<\sigma\leq2, $记$s=\max(\theta+\displaystyle\frac{\alpha+\beta+1}r, \sigma)$, 且当$s>1$时, $EX_{ni}=0, i\geq 1, n\geq 1, $若$E|X|^s<\infty, $则

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} P\left( {\left| {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} {X_{ni}}} \right| > \epsilon } \right) < \infty , \forall \epsilon > 0.$

(2.4)

(ⅱ)当$\alpha+\beta+1=0$时, 若$E|X|^\theta\log(1+|X|)<\infty, $则(1.5) 成立.

证  运用引理1.7, 在这里采用$c_n=n^\beta, k_n=\infty, $以及用$\{a_{ni}X_{ni}, i\geq1, n\geq1\}$代替$\{X_{ni}, i\geq1, n\geq1\}.$假设$a_{ni}^{+}=\max\{a_{ni}, 0\}\geq 0$与$a_{ni}^{-}=\max\{-a_{ni}, 0\}\geq 0, $这样(2.4) 的证明就转化为证明下面两个式子, 对于任意的$\epsilon >0, $

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} P\left( {\left| {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^ + } {X_{ni}}} \right| > \epsilon /2} \right) < \infty , \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} P\left( {\left| {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^ - } {X_{ni}}} \right| > \epsilon /2} \right) < \infty .$

因此不失一般性, 对于任意的$i, n\geq 1, $我们假设$a_{ni}>0$和

$\mathop {\sup }\limits_{i \ge 1} {a_{ni}} \le {n^{ - r}}.$

(2.5)

由引理1.7, 仅需证

$\begin{array}{l} {I_1} = :\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} \sum\limits_{i = 1}^\infty P (|{a_{ni}}{X_{ni}}| > \epsilon ) < \infty ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall \epsilon > 0;\\ {I_2} = :\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty E a_{ni}^2X_{ni}^2I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta )} \right)^{\frac{q}{2}}},{\mbox{对某个}} q > 2,\delta > 0;\\ {I_3} = :\sum\limits_{i = 1}^\infty E {a_{ni}}{X_{ni}}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta ) \to 0. \end{array}$

首先, 我们来证明$I_1<\infty$, 根据引理1.6, (2.1), (2.2), (2.3), (2.5) 以及Makov不等式有

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_1}}&{ \le C\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} \sum\limits_{i = 1}^\infty P (|{a_{ni}}X| > \epsilon ) \le C\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} \sum\limits_{i = 1}^\infty E {{\left| {\frac{{{a_{ni}}X}}{\varepsilon }} \right|}^\theta }I(|{a_{ni}}X| > \epsilon )}\\ {}&{ \le C\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} \sum\limits_{i = 1}^\infty E |{a_{ni}}X{|^\theta }I(|{a_{ni}}X| > \epsilon ) \le C\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} \sum\limits_{i = 1}^\infty | {a_{ni}}{|^\theta }E|X{|^\theta }I(|X| > \epsilon {n^r})}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{\beta + \alpha }}} E|X{|^\theta }I(|X| > \epsilon {n^r}).} \end{array}$

下面分两种情况讨论:

(1) 当$\alpha+\beta+1>0$时,

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_1}}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{\beta + \alpha }}} \sum\limits_{j = n}^\infty E |X{|^\theta }I({j^r} < \left| X \right| \le {{(j + 1)}^r})}\\ {}&{ = \sum\limits_{j = 1}^\infty E |X{|^\theta }I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})\sum\limits_{n = 1}^j {{n^{\beta + \alpha }}} }\\ {}&{ \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {{j^{\beta + \alpha + 1}}} E|X{|^\theta }I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{j = 1}^\infty E |X{|^{\theta + \frac{{\beta + \alpha + 1}}{r}}}I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})}\\ {}&{ \simeq E{{\left| X \right|}^s} < \infty .} \end{array}$

(2.6)

(2) 当$\alpha+\beta+1=0$时,

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_1}}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} \sum\limits_{j = n}^\infty E |X{|^\theta }I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})}\\ {}&{ = \sum\limits_{j = 1}^\infty E |X{|^\theta }I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})\sum\limits_{n = 1}^j {{n^{ - 1}}} }\\ {}&{ \le \sum\limits_{j = 1}^\infty {\ln } jE|X{|^\theta }I({j^r} < |X| \le {{(j + 1)}^r})}\\ {}&{ \simeq E|X{|^\theta }\ln (1 + |X|) < \infty .} \end{array}$

(2.7)

结合(2.6), (2.7) 式, 可知$I_1<\infty$.

其次来证明$I_2<\infty, $为此根据$s$的范围分以下两种情形讨论.

情形1 $s>2$.

此时$s=\theta+\displaystyle\frac {\alpha+\beta+1}r, $因为高阶矩有限, 低阶矩一定有限, 所以当$E|X|^s<\infty$时, $E|X|^2<\infty.$又因为$\alpha+r(\theta-2)<0, $所以存在$q\geq2, $使得

$ \beta+(\alpha+r(\theta-2)){\displaystyle\frac{q}{2}}<-1. $

所以根据(1.4), 引理1.6以及示性函数的性质, 可以得到

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_2}}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^2} EX_{ni}^2I(|{X_{ni}}| \le \delta )} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \le \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^2} } \right)}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\theta } a_{ni}^{2 - \theta }} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{({n^{\alpha + r(\theta - 2)}})}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{\beta + (\alpha + r(\theta - 2))\frac{q}{2}}}} < \infty .} \end{array}$

(2.8)

情形2 $s\leq2$

若$\beta>-1, $此时$s=\max(\theta+\displaystyle\frac {\alpha+\beta+1}r, \sigma), $即${\displaystyle\frac {\alpha}{r}}+\theta<\sigma\leq s\leq2.$故$\alpha+r(\theta-s)<0, $所以存在$q\geq2, $使得

$ \beta+(\alpha+r(\theta-s)){\displaystyle\frac{q}{2}}<-1, $

根据引理1.6, (2.3) 式以及$E|X|^s<\infty$, 有

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_2}}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} E|{X_{ni}}{|^s}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta )} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \le \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} } \right)}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\theta } a_{ni}^{s - \theta }} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} {{({n^{\alpha + r(\theta - s)}})}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{\beta + (\alpha + r(\theta - s))\frac{q}{2}}}} < \infty .} \end{array}$

(2.9)

若$\beta=-1, $此时$s=\max(\theta+\displaystyle\frac {\alpha}r, \sigma)=\sigma, $以及${\displaystyle\frac {\alpha}{r}}+\theta<\sigma\leq2.$即$\alpha+r(\theta-\sigma)<0, $所以存在$q\geq2, $使得$-1+(\alpha+r(\theta-\sigma)){\displaystyle\frac{q}{2}}<-1$, 所以类似$\beta>-1$时的证法，有

$\begin{array}{*{20}{l}} {{I_2}}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\sigma } E|{X_{ni}}{|^\sigma }I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta )} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \le \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\sigma } } \right)}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} {{\left( {\sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\theta } a_{ni}^{\sigma - \theta }} \right)}^{\frac{q}{2}}}}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} {{({n^{\alpha + r(\theta - \sigma )}})}^{\frac{q}{2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1 + (\alpha + r(\theta - \sigma ))\frac{q}{2}}}} < \infty .} \end{array}$

(2.10)

综上所述, 由(2.8)-(2.10) 式可知$I_2<\infty.$

最后证明$I_3\rightarrow 0, $仅需要证明

${I_3} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} E{X_{ni}}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta ) \to 0,\, \, n \to \infty . $

根据证明的需要, 分下面两种情形.

情形1 $s\leq1 $.

根据引理1.6, (2.1)-(2.3), (2.5) 式以及$E|X|^s<\infty, $可以得到

$\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} |E{X_{ni}}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta )|}&{ \simeq \sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} E|X{|^s}I(|{a_{ni}}X| \le \delta )}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} = \sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^\theta } a_{ni}^{s - \theta }}\\ {}&{ \le {n^\alpha }{n^{(\theta - s)r}} = {n^{\alpha + (\theta - s)r}}.} \end{array}$

(2.11)

根据${\displaystyle\frac {\alpha}{r}}+\theta<\sigma\leq s\leq2, $知$\alpha+(\theta-s)r<0, $所以

$I_3\simeq n^{\alpha+(\theta-s)r}\rightarrow 0, \, \, n\rightarrow\infty.$

(2.12)

情形2 $s>1. $

根据$EX_{ni}=0, E|X|^s<\infty, $可以得到

$\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} |E{X_{ni}}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| \le \delta )|}&{ = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} |E{X_{ni}}I(|{a_{ni}}{X_{ni}}| > \delta )|}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} E|X{|^s}I(|{a_{ni}}X| > \delta )}\\ {}&{ \simeq \sum\limits_{i = 1}^\infty {a_{ni}^s} \le {n^\alpha }{n^{(\theta - s)r}} = {n^{\alpha + (\theta - s)r}}.} \end{array}$

(2.13)

此时

$I_3\simeq n^{\alpha+(\theta-s)r}\rightarrow 0, \, \, n\rightarrow\infty.$

(2.14)

结合(2.12), (2.14) 式可以得到$I_3\rightarrow 0.$

因此, 根据(2.6) 至(2.14) 式可以满足定理1.7中的(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)三个条件, 所以我们可以得到对于任意$\epsilon >0$，有

$\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^\beta }} P\left( {\left| {\sum\limits_{i = 1}^\infty {{a_{ni}}} {X_{ni}}} \right| > \epsilon } \right) < \infty ,$

则表明(2.4) 式成立, 即成功的证明了定理(2.1).

由于吴群英^[7]对于该问题的证明方法, 无法处理当$\alpha+\beta+1>0, \beta=-1$时的情况, 如果使用他的证明方法, 需要加强矩条件.而在本文中, 我们采用了不同于吴群英的方法, 可以处理$\beta=-1$时的情况.

邱德华^[9]在研究行为NA随机变量列的完全收敛性时, 利用陈平炎等^[10]研究的结果, 得到了行为NA随机变量列完全收敛性的充分条件, 受此启发, 这里我们利用李旭^[11]建立的行为NOD随机变量列加权完全收敛性的充分条件, 验证充分条件的做法更为简便, Baek^[12]和邱德华^[9]的文章中研究了行为NA随机变量列加权和的完全收敛性, 且他们的证明方法也可以处理$\beta=-1$的情况, 本文将这个结果从行为NA随机变量列推广到行为NOD的随机变量列, 从而获得了NOD随机变量序列加权和的完全收敛性, 对吴群英^[7]等的文章内容作了扩充, 且处理方法更为简便.