Dirichlet级数和随机Dirichlet级数的增长性是许多作者关注的课题, 在国内已经取得了不少成果, 见文献[1-4].文献[5 ]采用Knopp-Kojima的方法, 得到了随机Dirichlet级数在右半平面上的增长性.本文利用Knopp-Kojima的方法和型函数, 研究了右半平面上两类有限正级随机Dirichlet级数的增长性, 分析了这两类随机Dirichlet级数在右半平面内的型与系数的关系, 并得到了在右半平面内的增长性与在任意水平半带形内(或任意水平半直线上)的增长性在一定条件下几乎必然相等的结论.

考虑概率空间$(\Omega,A,P),$其中$\Omega=[0,1], A$是由$[0,1]$上所有Lebesgue可测集$E$组成, 而且$P(E)$就是$E$的Lebesgue测度, 作Rademacher函数序列$\{\varepsilon_{n}(\omega)\}$及Steinhaus函数序列$\{r_{n}(\omega)\}$ $(n=0,1,2,\cdots)$, 其中$r_{n}(\omega)=\exp(2\pi i\theta_{n}(\omega)).$这两列序列分别可看作$(\Omega,A,P)$上的独立随机变量序列, 并且

$ P[\varepsilon_{n}(\omega)=1]=P[\varepsilon_{n}(\omega)=-1]=\frac{1}{2},$

$\theta_{n}(\omega)$的值在$[0,1]$上均匀分布, 见文献[3].

考虑随机Dirichlet级数

$f_{1}(s,\omega)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}s},$

(1.1)

$f_{2}(s,\omega)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}r_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}s},$

(1.2)

相对应的Dirichlet级数记为

$\begin{align}\label{eq3} f(s)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_{n}e^{-\lambda_{n}s}, \end{align}$

(1.3)

其中$s=\sigma+it (\sigma,t\in R)$, $\{b_{n}\}$为复常数序列, $0=\lambda_{0}<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}\uparrow+\infty$.级数$(1.1)$和级数$(1.2)$的情况完全类似.下面只讨论级数$(1.1)$.

对$\omega\in\Omega$给定时, 级数$(1.1)$就变为了一般Dirichlet级数, 设级数$(1.1)$的收敛横坐标、一致收敛横坐标及绝对收敛横坐标分别为$\sigma_{c}(\omega)$、$\sigma_{u}(\omega)$及$\sigma_{a}(\omega)$, 见文献[5].

引用Knopp-Kojima的方法, 定义对于任意$k\in N$, 若

$[k,k+1)\cap \{{{\lambda }_{n}}\}=\{{{\lambda }_{{{n}_{k}}}},{{\lambda }_{{{n}_{k}}+1}},\cdots ,{{\lambda }_{{{n}_{k}}+{{p}_{k}}}}\}\ne \varnothing ,$

(1.4)

令

$ \overline{B}_{k}=\sup\limits_{{0\leq p\leq p_{k},t\in R}}\mid\sum^{p}_{j=0}b_{n_{k}+j}e^{-it\lambda_{n_{k}+j}}\mid, B_{k}^{*}=\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\mid,$

对$\omega\in\Omega$, 令

$ \overline{B}_{k}(\omega)=\sup\limits_{{0\leq p\leq p_{k},t\in R}}\mid\sum^{p}_{j=0}b_{n_{k}+j}\varepsilon _{n_{k}+j}(\omega)e^{-it\lambda_{n_{k}+j}}\mid, B_{k}^{*}(\omega)=\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\varepsilon _{n_{k}+j}(\omega)\mid,$

若$[k,k+1)\cap \{{{\lambda }_{n}}\}=\varnothing $, 那么令$\ln B^{*}_{k}(\omega)=\ln\overline{B}_{k}(\omega)=-\infty $a.s..

对于级数(1.3), 若$\sigma_{u}=0$, 当$\sigma>\sigma_{u}$时, 记

$\begin{eqnarray*} &&M(\sigma)=\sup\{\mid f(\sigma+it)\mid:t\in R\},\\ &&\overline{M}_{u}(\sigma)=\sup\{\mid{\sum^{n}_{j=0}b_{j}e^{-\lambda_{j}(\sigma+it)}\mid: n\in N,t\in R}\},\overline{m}(\sigma)=\max\{\overline{B}_{k}e^{-k\sigma}:k\in N\}. \end{eqnarray*}$

对于级数(1.1), 设$\sigma_{u}(\omega)=0$ a.s., 当$\sigma>\sigma_{u}(\omega)$时, 对$\omega\in\Omega, $记

$\begin{eqnarray*} &&\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)=\sup\{\mid{\sum^{n}_{j=0}b_{j}\varepsilon_{j}(\omega)e^{-\lambda_{j}(\sigma+it)}\mid: n\in N,t\in R}\},\\ &&m(\sigma,\omega)=\max\{\mid b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}:n\in N\},\\ &&\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega)=\sup\{\mid{\sum^{n}_{j=0}b_{j}\varepsilon_{j}(\omega)e^{-\lambda_{j}(\sigma+it)}\mid: n\in N,t\in (\alpha,\beta)}\},\\ &&\overline{M}_{u}(\sigma+it,\omega)=\sup\{\mid{\sum^{n}_{j=0}b_{j}\varepsilon_{j}(\omega)e^{-\lambda_{j}(\sigma+it)}\mid: n\in N,t\in R}\}. \end{eqnarray*}$

对于级数(1.3), 若$\sigma_{u}=0$, 当$\sigma>\sigma_{u}$时, 定义它的级(见文献[2])为

$\rho=\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma)}{-\ln^{+}\sigma},$

若$0<\rho<\infty$, 定义它的型(见文献[2])为

$T=\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma)}{\frac{1}{\sigma^{\rho}}}.$

设级数(1.3) 满足$\sigma_{u}=0$且为有限正级, 由文献[3]引进连续函数$\rho(r) (r>0)$, 它在每点有左右导数, 并且满足

$\lim_{r\rightarrow+\infty}\rho(r)=\rho, \lim_{r\rightarrow+\infty}\rho^{\prime}(r)r\ln r=0$

以及

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma)}{U(\frac{1}{\sigma})}=T (0<T<\infty),$

其中

$\begin{equation}\label{eq5} U(r)=r^{\rho(r)} (r>0), \end{equation}$

(1.5)

则称$T$为右半平面上有限正级Dirichlet级数(1.3) 关于型函数$U(r)$的型.设

$\begin{equation} t=rU(r), r=W(t) (r>0,t>0) \end{equation}$

(1.6)

互为反函数, 有

$ \lim_{r\rightarrow+\infty}\frac{U(kr)}{U(r)}=k^{\rho}, \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{W(kt)}{W(t)}=k^{\frac{1}{\rho+1}} (0<k<+\infty). $

对于级数(1.1), 若$\sigma_{u}(\omega)=0 $a.s., 当$\sigma>\sigma_{u}(\omega)$时, 定义它的级(见文献[3])为

$\rho(\omega)=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{-\ln^{+}\sigma},$

若$0<\rho(\omega)<\infty$, 定义它在右半平面上关于型函数$U(r)$的型(文献[3])为

$T(\omega)=\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})};$

在水平半带形内关于型函数$U(r)$的型(文献[3])为

$T^{\prime}(\omega)=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})},$

其中$\alpha, \beta (\alpha<\beta)$为任何实数; 在水平半直线上关于型函数$U(r)$的型(见文献[2])为

$T^{\prime\prime}(\omega)=\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M_{u}}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})},$

由于$\{\varepsilon_{n}(\omega)\}$是独立的随机变量, 故$\rho(\omega),T(\omega),T^{\prime}(\omega),T^{\prime\prime}(\omega)$几乎必然是常数.

下面介绍几个引理.

引理1 ^[4] 对于右半平面上的有限正级Dirichlet级数(1.3), 有

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M_{u}}(\sigma)}{U(\frac{1}{\sigma})}=T\Leftrightarrow \overline{\lim_{k\rightarrow\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}=\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}}.$

引理2 ^[3] 设$a$及$\lambda$是正常数, 那么

$\phi(\sigma)=aU(\frac{1}{\sigma})+\sigma\lambda (\sigma>0),$

在$\sigma=[(a\rho)^{\frac{1}{\rho+1}}/W(\lambda)](1+\circ(1)) (\lambda\rightarrow+\infty$)时达到最小值

$a^{\frac{1}{\rho+1}}\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}\cdot\frac{\lambda}{W(\lambda)}(1+\circ(1)),$

其中函数$U$和函数$W$是由(1.5), (1.6) 式确定的.

引理3 ^[3] 对于级数(1.1), $\forall\omega\in\Omega, $a.s.$ \exists N(\omega)>0$使得$\forall n> N(\omega),$有$n^{-k_{0}}\leq\mid\varepsilon_{n}(\omega)\mid\leq n^{k_{0}}(k_{0}\in N^{+}).$

引理4 ^[5] 对于级数(1.3), 若$\sigma_{u}=0$, 则对任意的$\varepsilon\in[0,1]$, 当$\sigma >0$, 有

$\overline{m}(\sigma)\leq4e^{\sigma}\overline{M_{u}}(\sigma)\leq K(\varepsilon)e^{\sigma} \frac{\overline{m}((1-\varepsilon)\sigma)}{\sigma},$

其中$K(\varepsilon)$是一个与$\varepsilon$和$f(s)$有关的正数.

由文献[6]可得出

引理5 对于级数(1.3) 满足$\sigma_{u}=0$和任意的$\sigma>\sigma_{u}, I\subseteq R$, 有$M(\sigma,I)\leq\overline{M}_{u}(\sigma,I)$, 其中

$\begin{eqnarray*} &&M(\sigma,I)=\sup\{\mid f(\sigma+it)\mid:t\in I\},\\ &&\overline{M}_{u}(\sigma,I)=\sup\{\mid{\sum^{n}_{j=0}b_{j}e^{-\lambda_{j}(\sigma+it)}\mid: n\in N,t\in I}\}.\end{eqnarray*}$

推论1 对于级数(1.1) 满足$\sigma_{u}(\omega)=0 $a.s., 则对任意$\sigma>\sigma_{u}(\omega), \omega \in\Omega, I\subseteq R$, 有$M(\sigma,I,\omega)\leq\overline{M}_{u}(\sigma,I,\omega)$.

引理P.-Z. ^{[2, 6]} 设$E$是$\Omega$中满足$P[E]>0$的任何事件, 那么$\exists N=N(E)\in N,$ $\exists e'=e(E)\in N,$使得对与任何序列$\{c_{n}\}\subset C$, $\forall N^{\prime}>N,$有

$\begin{eqnarray*} &&\int_{E}\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}c_{n}\varepsilon_{n}(\omega)\mid^{2}P(d\omega)\geq e'\sum_{n=N}^{N^{\prime}}\mid c_{n}\mid^{2},\\ &&\int_{E}\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}c_{n}\varepsilon_{n}(\omega)\mid^{2}d\omega\geq\frac{1}{2}P[E]\sum_{n=N}^{N^{\prime}}\mid c_{n}\mid^{2}, \int_{E}\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}c_{n}r_{n}(\omega)\mid^{2}d\omega\geq\frac{1}{2}P[E]\sum_{n=N}^{N^{\prime}}\mid c_{n}\mid^{2}. \end{eqnarray*}$

定理1 设有限正级随机Dirichlet级数(1.1) 满足$\sigma_{u}(\omega)=0 $a.s., 且(1.4) 式中$p_{k}$满足$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 则有

$\overline {\mathop {\lim }\limits_{\sigma \to {0^ + }} } \frac{{{{\ln }^ + }{{\bar M}_u}(\sigma ,\omega )}}{{U(\frac{1}{\sigma })}} = T\;\;{\text{a}}{\text{.s}}. \Leftrightarrow \overline {\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } } \frac{{W(k){{\ln }^ + }{{\bar B}_k}}}{k} = \frac{{\rho + 1}}{{{\rho ^{\frac{\rho }{{\rho + 1}}}}}}{T^{\frac{1}{{\rho + 1}}}}.$

证 由引理1, 只需证明$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}=\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}(\omega)}{k} $ a.s..首先证明$T$为有限正数的情形, 在推论$1$中取$I=R$, 则$M(\sigma,\omega)\leq\overline{M}_{u}(\sigma,\omega),$从而

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}{M}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}\leq \overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})} =T {\rm a.s.},$

则对任给$\varepsilon>0, \omega\in\Omega $a.s., 当$\sigma>0$且充分小时, 有$m(\sigma,\omega)\leq M(\sigma,\omega)<\exp[(T+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})],$即

$\mid b_{k}\mid e^{-\lambda_{k}\sigma}=\mid b_{k}\varepsilon_{k}(\omega)\mid e^{-\lambda_{k}\sigma}\leq m(\sigma,\omega)<\exp[(T+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})] {\rm a.s.}.$

于是当$\lambda_{n_{k}+j}\in[k,k+1) (j=0,1,\cdots,p_{k})$且$k>N$时, 有

$\overline{B}_{k}e^{-k\sigma}\leq B^{*}_{k}e^{-k\sigma}\leq\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\mid e^{-\lambda_{n_{k}+j}\sigma}<(p_{k}+1)\exp[(T+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})].$

即

$\overline{B}_{k}<(p_{k}+1)\exp[(T+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})+k\sigma].$

又由引理2得$\overline{B}_{k}\leq(p_{k}+1)\exp[(T+\varepsilon)^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}\cdot\frac{k}{W(k)}(1+\circ(1))],$从而

$\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{W(k)\ln^{+}(p_{k}+1)}{k}+(T+\varepsilon)^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(1+\circ(1)),$

由条件$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 可得

$\overline{\lim_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(T+\varepsilon)^{\frac{1}{\rho+1}},$

由$\varepsilon$的任意性, 故$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B_{k}}}{k}\leq\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}}.$

下证$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}[\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\cdot\frac{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}{\rho+1}]^{\rho+1}<T$不成立, 否则存在$T^{\prime}<T$使得下式成立

$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}[\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\cdot\frac{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}{\rho+1}]^{\rho+1}<T^{\prime}.$

由引理1得

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma)}{U(\frac{1}{\sigma})}<T^{\prime}.$

对任给$\varepsilon>0, $当$\sigma>0$且充分小时, 有$\overline{M}_{u}(\sigma)<\exp[(T^{\prime}+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})].$

在引理5中, 取$I=R$, 有$M(\sigma)\leq\overline{M}_{u}(\sigma)$, 从而$\forall\varepsilon>0$, 当$\sigma$为充分小的正数时, $\forall n\in N$, 有

$\begin{eqnarray*}&&\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<\exp[(T^{\prime}+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})],\\ &&\mid b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}=\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<\exp[(T^{\prime}+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})] {\rm a.s.}.\end{eqnarray*}$

于是当$\lambda_{n_{k}+j}\in[k,k+1) (j=0,1,\cdots,p_{k})$且$k>N$时, 有

$\begin{eqnarray*} \overline{B}_{k}(\omega)e^{-k\sigma}&\leq& B^{*}_{k}(\omega)e^{-k\sigma}\leq\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\varepsilon_{n_{k}+j}(\omega)\mid e^{-\lambda_{n_{k}+j}\sigma}\\ &<&(p_{k}+1)\exp[(T'+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})] {\rm a.s.},\\ \overline{B}_{k}(\omega)&<&(p_{k}+1)\exp[(T^{\prime}+\varepsilon)U(\frac{1}{\sigma})+k\sigma].\end{eqnarray*}$

再结合引理2, 在$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$下得

$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}[\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}(\omega)}{k}\cdot\frac{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}{\rho+1}]^{\rho+1}\leq T^{\prime}+\varepsilon {\rm a.s.}.$

由$\varepsilon$的任意性, 故$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}[\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}(\omega)}{k}\cdot\frac{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}{\rho+1}]^{\rho+1}\leq T^{\prime} $a.s., 即

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}\leq T^{\prime}<T {\rm a.s.}.$

故假设不成立.充分性成立.

命题的必要性也成立, 反之, 若$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}=\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}},$而$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}=T^{\prime}<T $a.s., 则$ \overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}=\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}{T^{\prime}}^{\frac{1}{\rho+1}}<\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}},$矛盾.类似可证$T=\infty, T=0$时命题也成立.

定理2 设有限正级随机Dirichlet级数(1.1) 满足$\sigma_{u}(\omega)=0 $a.s., 且(1.4) 式中$p_{k}$满足$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 则随机级数(1.1) a.s.具有下面的性质:对任意的实数$\alpha, \beta (\alpha<\beta),$有$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})} $a.s..

证 设上式左边的上极限为$T $a.s., 当$T=0$时结论显然成立.设$0<T\leq+\infty$.假设在$\Omega$中有一概率大于零的事件$E$, 相应的有一正数$T^{\prime}<T$, 使得对于$\omega\in E$以及某两实数$\alpha, \beta (\alpha<\beta),$有

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}< T^{\prime} {\rm a.s.}.$

在推论$1$中取$I=(\alpha,\beta)$, 则有

$M(\sigma,\alpha,\beta,\omega)\leq\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega),$

从而有$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}M(\sigma,\alpha,\beta,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}< T^{\prime} $a.s., 那么当$\sigma$为充分小的正数和$n>N$时, 对任意$t\in(\alpha,\beta), \omega\in E$有

$\mid\sum^{+\infty}_{n=0}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid<\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})),$

因此

$\mid\sum^{+\infty}_{n=N}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid<2\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})).$

上述的$N=N(E)$是按P.-Z.引理选定的.于是当$\sigma>0$时, 由P.-Z.引理得

$\frac{1}{2}P[E]\sum_{n=N}^{N^{\prime}}\mid b_{n}\mid ^{2}e^{-2\lambda_{n}\sigma}\leq \int_{E}\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid^{2}d\omega (N^{\prime}>N).$

又由于

$\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid\leq\sum^{+\infty}_{n=0}\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<+\infty (\sigma>0),$

所以当$\sigma$为充分小的正数时, 有

$\sum^{+\infty}_{n=N}\mid b_{n}\mid ^{2}e^{-2\lambda_{n}\sigma}\leq\frac{2}{P(E)}\int_{E}\mid\sum_{n=N}^{+\infty}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid^{2}d\omega\leq8\exp(2T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})).$

这样当$\sigma$为充分小的正数, $n\geq N$时, 有

$\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<3\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})).$

因此当$\lambda_{n_{k}+j}\in[k,k+1) (j=0,1,\cdots,p_{k})$且$k>N$时, 有

$\overline{B}_{k}e^{-k\sigma}\leq B^{*}_{k}e^{-k\sigma}\leq\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\mid e^{-\lambda_{n_{k}+j}\sigma}<3(p_{k}+1)\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})).$

即$ \overline{B}_{k}<3(p_{k}+1)\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})+k\sigma),$结合引理2得

$\begin{eqnarray*} &&\overline{B}_{k}\leq3(p_{k}+1)\exp[(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}\cdot\frac{k}{W(k)}(1+\circ(1))],\\ &&\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{W(k)\ln^{+}3(p_{k}+1)}{k}+(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(1+\circ(1)), \end{eqnarray*}$

由条件$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 可得

$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}<\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}}.$

结合定理1知

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}\leq T^{\prime}<T ,$

与条件相矛盾, 故假设不成立, 即$P(E)=0,$也就是说

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\alpha,\beta,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}=T {\rm a.s.}.$

定理3 设有限正级随机Dirichlet级数(1.1) 满足$\sigma_{u}(\omega)=0 $a.s., 且(1.4) 式中$p_{k}$满足$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 则随机级数(1.1) a.s.具有下面的性质:对任意的实数$t,$有

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}=\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})} {\rm a.s.}.$

证 设上式左边的上极限为$T $a.s., 当$T=0$时结论显然成立.下设$0<T\leq+\infty,$假设对于任意的$t,$ $\omega\in E$时,

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}<T, $

且有$P(E)>0$, 取$0<T_{k}\uparrow T,$令

$E_{k}=\{\omega\mid\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}<T_{k}\}.$

于是

$E=\bigcup^{\infty}_{k=1}E_{k}, E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots\cdots,$

因此$\exists\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}P(E_{k})=P(E)>0.$从而$\exists k^{\prime}$, 使得$P(E_{k})>0.$记$T_{k^{\prime}}=T^{\prime}, E_{k^{\prime}}=E^{(1)}$, 有

$E^{(1)}=\{\omega\mid\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}<T^{\prime}\},$

且有$P(E^{(1)})>0$, 取$0<\sigma_{j}\downarrow0^{+}$, 令

$\begin{eqnarray*} &&G_{j}=\{\omega\mid\frac{\ln^{+}\overline{M}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}<T^{\prime},\forall\sigma<\sigma_{j}\}\bigcap E^{(1)},\\ &&H_{m}=\bigcup^{m}_{j=1}G_{j},\end{eqnarray*}$

于是

$E^{(1)}=\bigcup_{m=1}^{\infty}H_{m},$

从而$\exists m^{\prime}$, 使得$P(H_{m^{\prime}})>0.$

记$H=H_{m^{\prime}}, \sigma^{\prime}=\sigma_{m^{\prime}},$那么$\forall\omega\in H, \forall\sigma< \sigma^{\prime},$有

$\overline{M}(\sigma+it,\omega)<\exp(T^{\prime}{U(\frac{1}{\sigma})}).$

按P.-Z.引理中确定的$N=N(H)$及$e^{'}=e(H)$, 以及引理3, $\forall\omega\in H_{1} ( H_{1}\subset H,P(H/H_{1})=0),$当$ \sigma $为充分小正数时, 有

$\mid\sum^{+\infty}_{n=N}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid<2\exp(T^{\prime}{U(\frac{1}{\sigma})}).$

$\forall N^{\prime}>N,$当$ \sigma $为充分小正数时, 由P.-Z.引理得

$e'\sum_{n=N}^{N^{\prime}}\mid b_{n}\mid ^{2}e^{-2\lambda_{n}\sigma}\leq \int_{E}\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid^{2}P(d\omega) (N^{\prime}>N).$

又由于

$\mid\sum_{n=N}^{N^{\prime}}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid\leq\sum^{\infty}_{n=0}\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<+\infty (\sigma>0),$

所以当$\sigma$为充分小的正数时, 有

$\sum^{+\infty}_{n=N}\mid b_{n}\mid ^{2}e^{-2\lambda_{n}\sigma}\leq \frac{1}{e'}\int_{E}\mid\sum_{n=N}^{+\infty}b_{n}\varepsilon_{n}(\omega)e^{-\lambda_{n}(\sigma+it)}\mid^{2}P(d \omega)<4\exp(2T^{\prime}{U(\frac{1}{\sigma})}).$

这样, 当$\sigma$为充分小的正数, $n\geq N$时, 有$\mid b_{n}\mid e^{-\lambda_{n}\sigma}<2\exp(T^{\prime}{U(\frac{1}{\sigma})}),$因此当$\lambda_{n_{k}+j}\in[k,k+1) (j=0,1,\cdots,p_{k})$, 且$k\geq N$时, 有

$\overline{B}_{k}e^{-k\sigma}\leq B^{*}_{k}e^{-k\sigma}\leq\sum^{p_{k}}_{j=0}\mid b_{n_{k}+j}\mid e^{-\lambda_{n_{k}+j}\sigma}<2(p_{k}+1)\exp(T^{\prime}{U(\frac{1}{\sigma})}).$

即

$\overline{B}_{k}<2(p_{k}+1)\exp(T^{\prime}U(\frac{1}{\sigma})+k\sigma),$

结合引理2得

$\begin{eqnarray*} &&\overline{B}_{k}\leq2(p_{k}+1)\exp[(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}\cdot\frac{k}{W(k)}(1+\circ(1))],\\ &&\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{W(k)\ln^{+}2(p_{k}+1)}{k}+(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}\cdot\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(1+\circ(1)), \end{eqnarray*}$

由条件$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\ln^{+}(p_{k}+1)^{\frac{W(k)}{k}}=0$, 可得

$\overline{\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}}\frac{W(k)\ln^{+}\overline{B}_{k}}{k}\leq\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}(T^{\prime})^{\frac{1}{\rho+1}}<\frac{\rho+1}{\rho^{\frac{\rho}{\rho+1}}}T^{\frac{1}{\rho+1}}.$

结合定理1知

$\overline{\lim_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}\leq T^{\prime}<T ,$

与题目条件相矛盾, 故假设不成立.于是有$P(E)=0,$也就得到

$\overline{\lim\limits_{\sigma\rightarrow0^{+}}}\frac{\ln^{+}\overline{M}_{u}(\sigma+it,\omega)}{U(\frac{1}{\sigma})}=T {\rm a.s.}.$