本文我们考虑一维对流扩散方程

$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} \frac{{\partial c}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial c}}{{\partial x}} = D{c_{xx}} + {c_{xt}} - {({c^2})_x}, \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0, \hfill \\ c( {0,x} ) = {c_0}( x ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \label{eq:1.1}\end{equation}$

(1.1)

解的逐点衰减估计.此方程可模拟溶质中溶液浓度的衰减情况, 在水利工程, 环境工程及化工, 冶金, 航空等领域都有很重要的应用.方程中$ x \in \mathbb{R} $代表空间变量, $ t $是时间, $ D $是扩散常系数, $ u $是流速, 因为$ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 0, $所以$ u $只与时间有关, 和空间变量没关系. $ c $可代表溶液浓度.本文中我们研究$ c $随着时间和空间的衰减变化情况.

数学家们对对流扩散方程的研究由来已久. Escobedo和Zuazua在文[1]中研究了方程$ {u_t} - \Delta u = a \cdot ( {{{\left| u \right|}^{q - 1}}u} ) $的柯西问题.由Banach空间不动点理论他们证明了当$ q > 1 $时, 此方程存在唯一经典解$ u \in ( {[ {0,\infty } );{L^1}( {{R^n}} )})$.在文[2]中, Kirane和Qafsaoui考虑了

$\begin{cases} {u_t} + L_0^ * b{L_0}u = a\nabla u, \\ u(0) = u_0 \in L^1 \end{cases}\;\mbox{在}\;\mathbb{R} \times (0,\infty) \mbox{上}$

的解, 此处$ b $是正的有界函数, 且

$b( {x,t} ) = b( {x + at} ), {L_0} = {( { - 1} )^m}\sum\limits_{\left| \alpha \right| = \left| \beta \right| = m} {{a_{\alpha \beta }}} \partial _x^{\alpha + \beta },$

其中$ {a_{\alpha \beta }} $是正的常系数, $ L_0^ * $是$ {L_0} $的伴随算子.他们得到了解的整体存在性.徐红梅和马慧玲^[3]研究了式(1.1) 解的整体存在性.她们通过构造一个Banach空间柯西序列的方法, 得到了此方程解的整体存在性和某些衰减估计.还有很多计算工作者也研究了对流扩散方程的数值解, 这可参看文献[4-6].

本文中, 用$C$表示一般常数, $ {W^{m,p}}( \mathbb{R} ),m \in {Z_ + }, p \in [ {1,\infty } ) $表示Sobolev空间, 模定义为$ {\left\| f \right\|_{{w^{m,p}}}}: = \sum\limits_{k = 0}^m {{{\left\| {\partial _x^kf} \right\|}_{{L_P}}}} $, 特别的$ {H^S}: = {W^{s,2}} $. $ m,n,N $为非负整数. $ F( f ) = \mathop f\limits^ \wedge = \displaystyle\int {{e^{ - ix\xi }}f( x )dx} $表示函数$ f $的傅立叶变换.本文中所有卷积都是关于空间变量$ x $的.本文是在[3]中解整体存在基础上得到的解的逐点衰减估计, 所以先列出文献[3]的结论.

定理1.1 当$ D > u,l \geqslant 1,{\left\| {{c_0}} \right\|_{{H^l}}} = E $充分小, 方程(1.1) 有整体解$ c( {x,t} ) $存在, 且$ {\left\| c \right\|_{{H^l}}} \leqslant CE $.

在定理1.1的基础上, 得到本文结论.

定理1.2 当$ D > u,l \geqslant 1,E = \max ({\left\| {{c_0}} \right\|_{{H^l}}},{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_1}}}) $充分小, $ {c_0} $有紧支集且$ {\left| {{c_0}} \right|_{}} \leqslant C{(1 + {\left| x \right|^2})^{ - 1}} $, 则式(1.1) 的解$ c(x,t) $满足

$\begin{equation} \left| {\partial _x^nc(x,t)} \right| \leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{( {1 + \frac{{{{( {x - ut} )}^2}}}{{1 + t}}} )^{ - 1}}, \quad\forall n \leqslant l. \label{eq:1.2}\end{equation}$

(1.2)

为更好的理解(1.2) 式, 令$ x = kut, $则

$\left| {\partial _x^nc(x,t)} \right| \leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{( {1 + (k - 1){u^2}t} )^{ - 1}},$

当$ k = 1, $即沿特征线方向$ c(x,t) $以热核的速度衰减, 否则以$ {t^{ - \frac{{1 + n}}{2} - 1}} $的速度衰减.所以可得

注1 方程(1.1) 是典型的双曲-抛物耦合方程, 定理1.2既反映了方程(1.1) 的双曲性质, 即解沿着特征线传播, 也反映了方程的抛物性质, 即解有与热核算子相同的衰减速度.

注2 溶质中溶液浓度在流体流动的方向最大, 这也与物理现象相符.

本文安排如下, 在第二章中, 由duhamel原理给出方程(1.1) 解的表达式, 并给出一些不等式, 解的逐点衰减估计将在第三章给出.

对方程$ \frac{{\partial c}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial c}}{{\partial x}} = D{c_{xx}} + {c_{xt}} $两边关于变量$ x $作傅立叶变换, 考虑到$ u $只与时间有关, 和空间变量没关系, 得到

$\begin{equation} \frac{{\partial \hat c}}{{\partial t}} + ui\xi \hat c = D{(i\xi )^2}\hat c + i\xi {\hat c_t}. \label{eq:3}\end{equation}$

(2.1)

由常微分方程求解得

$\hat c{(\xi ,t)^{}} = {\hat c_0}{e^{ - \frac{{( {D - u} ){\xi ^2}}}{{1 + {\xi ^2}}}t - \frac{{i\xi ( {D{\xi ^2} + u} )}}{{1 + {\xi ^2}}}t}}.$

令

$\begin{equation} \hat G(\xi ,t) = {e^{ - \frac{{( {D - u} ){\xi ^2}}}{{1 + {\xi ^2}}}t - \frac{{i\xi ( {D{\xi ^2} + u} )}}{{1 + {\xi ^2}}}t}},\quad\hat H = \frac{{1 + i\xi }}{{1 + {\xi ^2}}}\hat G, \label{eq:2.2}\end{equation}$

(2.2)

由duhamel原理知方程(1.1) 的解$ c( {x,t} ) $可表示为

$\begin{equation} c(x,t) = G * {c_0} - \int_0^t {H( {t - s} ) * {{({c^2})}_x}( s )ds}. \label{eq:2.3}\end{equation}$

(2.3)

为得到$ c(x,t) $的衰减估计, 需要对$ G,H $做详细分析.由(2.2) 式知, 当$ \xi $有界时, $ |\hat G( {\xi ,t} )| \leqslant {e^{ - b{\xi ^2}t}},|\hat H( {\xi ,t} )| \leqslant {e^{ - b{\xi ^2}t}},b \geqslant 0 $.知道$ {F^{ - 1}}({e^{ - b{\xi ^2}t}}) = {(2\pi )^{ - 1}}{t^{ - \frac{1}{2}}}{e^{ - \frac{{{x^2}}}{t}}} $, 当然这里对$ G,H $不可能得到如$ {e^{ - \frac{{{x^2}}}{t}}} $这么好的估计, 但可用$ {B_N}( {x,t} ) = {(1 + \frac{{{x^2}}}{{1 + {t^{}}}})^{ - N}} $来近似代替$ {e^{ - \frac{{{x^2}}}{t}}} $, 对这部分处理结果见引理2.1.当$ \xi $充分大时, 有$ \left| {\hat G} \right| \leqslant {e^{ - bt}},\left| {\hat H} \right| \leqslant {e^{ - bt}},b \geqslant 0 $, 所以这一部分$ G,H $衰减是没有问题的, 但$ \hat G,\hat H $的$ {L_1} $模不存在, 所以在处理高频部分的卷积时, 需要分析$ G,H $的结构, 对这部分处理结果见引理2.2.由以上分析, 需要对频谱分情况讨论, 所以作光滑截断函数$ {\chi _1}(\xi ) = \left\{ \begin{gathered} 1,\quad \left| \xi \right| \leqslant 1 \hfill \\ 0,\quad \left| \xi \right| \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right., $ $ {\chi _2}(\xi ) = \left\{ \begin{gathered} 1\quad \left| \xi \right| \geqslant 2 \hfill \\ 0\quad \left| \xi \right| \leqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. $且$ {\chi _1}(\xi ) + {\chi _2}(\xi ) = 1 $.令$ {\hat G_i} = {\chi _i}\hat G,{\hat H_i} = {\chi _i}\hat H,i = 1,2 $.

引理2.1 当$ D > u $时, 对任意的正整数N, 存在仅依赖于N和n的常数$ {C_{N,n}} $, 有

$\begin{eqnarray*} &&\left| {\partial _x^n{G_1}(x,t)} \right| \leqslant {C_{N,n}}{(1 + t)^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x - ut,t} ),\\ &&\left| {\partial _x^n{H_1}(x,t)} \right| \leqslant {C_{N,n}}{(1 + t)^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x - ut,t} ). \end{eqnarray*}$

证 当$ \left| \xi \right| $充分小时, 由Taylor展开, 有

$\begin{eqnarray*} &&-\frac{{( {D - u} ){\xi ^2}}}{{1 + {\xi ^2}}} = - ( {D - u} ){\xi ^2}( {1 - {\xi ^2} + O( {{\xi ^4}} )} ) = - ( {D - u} ){\xi ^2} + O( {{\xi ^4}} ),\\ &&- \frac{{( {u + D{\xi ^2}} )}}{{1 + {\xi ^2}}}i\xi = - i\xi ( {u + D{\xi ^2}} )( {1 - {\xi ^2} + O( {{\xi ^4}} )} ) = - iu\xi + O( {{\xi ^3}} ). \end{eqnarray*}$

所以$ {\hat G_1}( {\xi ,t} ){e^{iu\xi t}} = {e^{( { - ( {D - u} ){\xi ^2} + O( {{\xi ^3}} )} )t}} $, 于是

$\left| {\partial _\xi ^m{\xi ^n}( {{{\hat G}_1}( {\xi ,t} ){e^{iu\xi t}}} )} \right| \leqslant C{\left| \xi \right|^{n - m}}{( {1 + {\xi ^2}t} )^{1 + m}}{e^{ - ( {D - u} ){\xi ^2}t}}.$

由文献[7]的引理1得

$\left| {\partial _x^n{F^{ - 1}}( {{{\hat G}_1}( {\xi ,t} ){e^{iu\xi t}}} )} \right| \leqslant {C_{N,n}}{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x,t} ),$

所以

$\begin{aligned} \left| {\partial _x^n{G_1}( {x,t} )} \right| &= \left| {{F^{ - 1}}( {{e^{ - iu\xi t}}{e^{iu\xi t}}{\xi ^n}{{\hat G}_1}( {\xi ,t} )} )} \right|\\ &= \left| {\partial _x^n{F^{ - 1}}( {{e^{iu\xi t}}{{\hat G}_1}( {\xi ,t} )} )( {x - ut,t} )} \right|\\ &\leqslant {C_{N,n}}{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x - ut,t} ). \end{aligned}$

同理可得

$\left| {\partial _x^n{H_1}( {x,t} )} \right| \leqslant {C_{N,n}}{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}(x - ut,t).$

引理2.2 存在正常数$ b $和函数$ g_1^i( x ) $, $ g_2^i( x ) $, $ ( {i = 1,2} ) $, 有

$\begin{eqnarray*} &&\left| {{G_2}(x,t)} \right| \leqslant C{e^{ - bt}}( {g_1^1(x) + g_2^1(x) + \delta (x)} ),\\ &&\left| {{\partial _x}{H_2}(x,t)} \right| \leqslant C{e^{ - bt}}( {g_1^2(x) + g_2^2(x) + \delta (x)} ). \end{eqnarray*}$

此处$ \delta ( x ) $是Dirac函数, 且

$\begin{eqnarray*} &&\left| {\partial _x^ng_1^i( x )} \right| \leqslant {C_{N,n}}{( {1 + {{\left| x \right|}^2}} )^{ - N}},\quad N \geqslant 1 \mbox{正整数}.\\ &&{{\left\| g_{2}^{i}(x) \right\|}_{{{L}_{1}}}}\le {{C}_{1}}\mbox{且}{\rm supp} g_{2}^{i}( x )\subset \left\{ x,\left| x \right|<2\varepsilon \right\},\quad \varepsilon \mbox{充分小}. \end{eqnarray*}$

证 当$ |\xi | $充分大, 由泰勒展开得

$\begin{eqnarray*} &&-\frac{{( {D - u} ){\xi ^2}}}{{1 + {\xi ^2}}} = - ( {D - u} )( {1 - \frac{1}{{{{\left| \xi \right|}^2}}} + O( {\frac{1}{{{{\left| \xi \right|}^4}}}} )} ),\\ &&\frac{1}{{1 + {\xi ^2}}} = \frac{1}{{{\xi ^2}}}( {1 - \frac{1}{{{\xi ^2}}} + O( {\frac{1}{{{\xi ^4}}}} )} ),\\ &&-\frac{{( {u + D{\xi ^2}} )}}{{1 + {\xi ^2}}}i\xi = - i\xi \frac{{D + \frac{u}{{{\xi ^2}}}}}{{1 + \frac{1}{{{\xi ^2}}}}} = - i\xi ( {D + \frac{u}{{{\xi ^2}}}} )( {1 - \frac{1}{{{\xi ^2}}} + O( {\frac{1}{{{\xi ^4}}}} )} ) = - i\xi D + O( {\frac{1}{\xi }} ). \end{eqnarray*}$

于是

$\begin{eqnarray*} &&{\hat G_2}(\xi ,t) = {e^{ - ( {D - u} )t}}{e^{(( {D - u} )\frac{1}{{{{\left| \xi \right|}^2}}} + O( {{\xi ^{ - 4}}} ))t}}{e^{ - i\xi Dt + O( {\frac{1}{\xi }} )t}},\\ &&\xi {\hat H_2}(\xi ,t) = {e^{ - ( {D - u} )t}}{e^{( {D - u} )\frac{t}{{{{\left| \xi \right|}^2}}} + O( {\frac{1}{{{{\left| \xi \right|}^4}}}} )t}}{e^{ - i\xi Dt + O( {\frac{1}{\xi }} )t}}\frac{1}{\xi } ( 1 - \frac{1}{{{\xi ^2}}} + O( {\frac{1}{{{\xi ^4}}}} ) ). \end{eqnarray*}$

所以当$ t $充分大时, 存在正常数$ b $有

$\begin{eqnarray*} &&|{\hat G_2}(\xi ,t)| \leqslant C,\quad |\xi {\hat H_2}(\xi ,t)| \leqslant C,\\ &&\left| {\partial _\xi ^m{{\hat G}_2}} \right| \leqslant C{\left| \xi \right|^{ - 1 - m}}{e^{ - bt}},\quad \left| {\partial _\xi ^m(\xi {{\hat H}_2})} \right| \leqslant C{\left| \xi \right|^{ - 1 - m}}{e^{ - bt}}, \end{eqnarray*}$

其中$ m \geqslant 1 $.由文献[7]的引理3.2, 得到结论.

有了解的表达式和对格林函数的分析, 下面给出解的逐点衰减估计.

引理3.1 若$ {c_0} $有紧支集, $ E = \max ({\left\| {{c_0}} \right\|_{{H^l}}},{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_1}}}) $充分小, 当t充分大时, 有

$\left| {\partial _x^n{G_1} * {c_0}} \right| \leqslant {C_{N,n}}E{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x - ut,t} ).$

证 由文献[8]的引理2.4及引理2.1有

$\begin{aligned} \left| {\partial _x^n{G_1} * {c_0}} \right| &\leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}\int {\frac{1}{{{{( {1 + \frac{{|x - y - ut{|^2}}}{{1 + t}}} )}^N}}}{c_0}(y)dy} \\ &\leqslant CE{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_N}( {x - ut,t} ). \\ \end{aligned}$

引理3.2 当$ l \geqslant 1 $, $ E = \max ({\left\| {{c_0}} \right\|_{{H^l}}},{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_1}}}) $, 有

${\left\| {\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right\|_{{L_\infty }}} \leqslant CE{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ).$

证 由(2.2) 式,

$\left| {{x^m}\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right| \leqslant {\left\| {{x^m}\partial _x^n{G_2}} \right\|_{{L_\infty }}}{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_1}}} \leqslant CE{e^{ - bt}}\int {\left| {\partial _\xi ^m{\xi ^n}{{\hat G}_2}} \right|} d\xi \leqslant CE{e^{ - bt}}{\int {\left| \xi \right|} ^{n - m - 1}}d\xi.$

取$ m = 2N $充分大, 则

$\begin{equation} \left| {{x^m}\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right| \leqslant CE{e^{ - bt}}. \label{eq:3.1}\end{equation}$

(3.1)

由引理2.2,

$\begin{equation} \left| {\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right| \leqslant C{e^{ - bt}} (|{c_0}(x)| + {\left\| {\partial _x^ng{{_1^1}_{}}} \right\|_{{L_1}}}{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_\infty }}} + {\left\| {\partial _x^ng{{_2^1}_{}}} \right\|_{{L_1}}}{\left\| {{c_0}} \right\|_{{L_\infty }}}) \leqslant C{e^{ - bt}}. \label{eq:3.2}\end{equation}$

(3.2)

当$ l \geqslant 1, $由Sobolev嵌入不等式$ ||{c_0}|{|_{{L^\infty }}} \leqslant ||{c_0}|{|_{{H^l}}} $和(3.2) 式得到

$\begin{equation} \left| {\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right| \leqslant CE{e^{ - bt}}. \label{eq:3.3}\end{equation}$

(3.3)

由(3.1)、(3.3) 式得

${\left\| {\partial _x^n{G_2} * {c_0}} \right\|_{{L_\infty }}} \leqslant CE{e^{ - bt}}{( {1 + {{\left| x \right|}^2}} )^{ - N}} \leqslant CE{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ).$

引理得证.

在对非线性部分进行估计时, 需先有下面准备工作.

令$ M(t) = \mathop{\sup}\limits_{\begin{subarray}{l} 0 \leqslant s \leqslant t\\ \left| n \right| \leqslant l \end{subarray}} {( {1 + s} )^{\frac{{1 + n}}{2}}}\left| {\partial _x^nc(x,s)} \right|(1 + \frac{{{{\left| {x - us} \right|}^2}}}{{1 + s}}), $则

$\left| {\partial _x^nc(x,s)} \right| \leqslant M(t){( {1 + s} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - us,s} ),\quad \left| n \right| \leqslant l,$

(3.4)

$\left| {\partial _x^n{c^2}(x,s)} \right| = \left| {\sum\limits_{{n_1} + {n_2} = n} {\partial _x^{{n_1}}c\partial _x^{{n_2}}c} } \right| \leqslant {M^2}(t){( {1 + s} )^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_2}( {x - us,s} ),\quad |n| \leqslant l.$

(3.5)

引理3.3 当$ \left| n \right| \leqslant l $, 有

$\int_0^t {\partial _x^nH( {t - s} ) * {{({c^2})}_x}( s )ds} \leqslant C{M^2}(t){( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}(x - ut,t).$

证 由引理2.1, (3.5) 式, 得

$\begin{aligned}&\int_0^t {\partial _x^nH( {t - s} ) * {{({c^2})}_x}( s )ds} \\ \leqslant &\int_0^{\frac{t}{2}} {\int_\mathbb{R} {{{( {1 + t - s} )}^{ - \frac{{1 + n + 1}}{2}}}{B_2}(x - y - u(t - s),t - s){M^2}(t){{(1 + s)}^{ - 1}}{B_2}( {y - us,s} )} } dyds \\ &+ \int_{\frac{t}{2}}^t {\int_\mathbb{R} {{{( {1 + t - s} )}^{ - \frac{{1 + 1}}{2}}}{B_2}(x - y - u(t - s),t - s){M^2}(t){{(1 + s)}^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_2}( {y - us,s} )} } dyds. \\ \end{aligned}$

为证明引理, 仅需证明

$\begin{equation} \begin{aligned} P &= \int_0^t {\int_\mathbb{R} {{{( {1 + t - s} )}^{ - 1}}{{(1 + s)}^{ - 1}}{B_2}(x - y - u(t - s),t - s){B_2}( {y - us,s} )} } dyds \\&\leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{1}{2}}}{B_1}(x - ut,t). \\ \end{aligned}\end{equation}$

(3.6)

这可由文[9]的引理3.5得到.

引理3.4 当$ \left| n \right| \leqslant l $, 有

$\int_0^t {\partial _x^n{H_2}( {t - s} ) * {{({c^2})}_x}( s )ds} \leqslant C{M^2}(t){( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}(x - ut,t).$

证 由引理2.2和(3.5) 式得

$\begin{aligned} R: &= \int_0^t {\partial _x^n{H_2}( {t - s} ) * {{({c^2})}_x}( s )ds} \quad \\ &\leqslant \int_0^t {\left| {{\partial _x}{H_2}( {t - s} ) * \partial _x^n({c^2})( s )} \right|ds} \\ &\leqslant C\int_0^t {{e^{ - b(t - s)}}} ({g^2}_1(x) + {g^2}_2(x) + \delta (x)) * {M^2}(t){(1 + s)^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_2}( {x - us,s} )ds. \\ \end{aligned}$

由文[9]的引理3.4, 引理3.6得

$\begin{equation} {g^2}_1(x) * {B_2}( {x - us,s} ) \leqslant C{(1 + \frac{{{{\left| {x - us} \right|}^2}}}{{1 + s}})^{ - 1}} \leqslant C(1 + t - s){B_1}( {x - ut,t} ). \end{equation}$

(3.7)

由(3.7) 式,

$\begin{equation} \begin{gathered} \quad \int_0^t {{e^{ - b(t - s)}}} {(1 + s)^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{g^2}_1(x) * {B_2}( {x - us,s} )ds \hfill \\ \leqslant {C_{}}{(1 + t)^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ) \leqslant {C_{}}{(1 + t)^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ). \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}$

(3.8)

由文[9]的引理3.4, 引理3.6得

$g_2^2( x ) * {B_2}( {x - us,s} ) \leqslant C{\left\| {g_2^2} \right\|_{{L_1}}}{B_2}( {x - us,s} ) \leqslant C( {1 + t - s} ){B_2}( {x - ut,t} ).$

于是

$\begin{equation} \begin{aligned}&\int_0^t {{e^{ - b( {t - s} )}}} {( {1 + s} )^{ - 1 - \frac{n}{2}}}g_2^2( x ) * {B_2}( {x - us,s} )ds \\ \quad \leqslant&C{( {1 + t} )^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_2}( {x - ut,t} ) \leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ). \\ \end{aligned} \end{equation}$

(3.9)

由文[9]的引理3.6, 得

$\begin{equation} \int_0^t {{e^{ - b( {t - s} )}}} {( {1 + s} )^{ - 1 - \frac{n}{2}}}{B_2}( {x - us,s} )ds \leqslant C{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ). \label{eq:3.10}\end{equation}$

(3.10)

由(3.8), (3.9), (3.10) 式得到引理.

由引理3.1, 引理3.2, 引理3.3, 引理3.4和(2.3) 式, 得到

$ \left| {\partial _x^nc( {x,t} )} \right| \leqslant CE{( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{{\text{B}}_1}( {x - ut,t} ) + C{M^2}( t ){( {1 + t} )^{ - \frac{{1 + n}}{2}}}{B_1}( {x - ut,t} ),\quad \left| n \right| \leqslant l, $

所以

$ \left| {\partial _x^nc( {x,t} )} \right|{( {1 + t} )^{\frac{{1 + n}}{2}}}B_1^{ - 1}( {x - ut,t} ) \leqslant CE + C{M^2}( t ) ,$

由$ M(t) $的定义得到$ M( t ) \leqslant CE + C{M^2}( t ) $.因为$ E $充分小, 所以$ M( t ) $有界.由(3.4) 式, 得到本文结论, 即定理1.2.