本文是群和线传递线性空间分类课题的组成部分.有限线性空间$\cal S$是由点集合$\cal P$和线集合$\cal L$构成的关联结构, 满足任意的两点恰好在的一条线上.通常地, 我们记$|{\cal P}|=v, |{\cal L}|=b$, 它们分别表示$\cal S$中$v$个点和$b$条线.

我们的兴趣在于自同构群$G$传递地作用在$\cal S$的线集合上的情形.设$G$是线传递地作用在$\cal S$上的自同构群, 这意味着每一条线都包含着同样数目的点(通常记作$k$个点), 称这样的线性空间为正则线性空间.而且, 我们假设$\cal S$是非退化的, 也就是说$b>1$, $k>2$.因为每条线上都有$k$个点, 所以过每个点的线的数目都相同, 即有$r=(v-1)/(k-1)$条线.因为$G$在线集合$\cal L$上是传递的, 则$G$也是在点集合$\cal P$上传递的, 这是Block定理的一个结果^[1].而$v, b, k, r$被称为线性空间$\cal S$的参数.

显然, 如果要研究一个作用在线性空间上的有限群的结构, 那么描述它的基柱是很重要的一步。1996年Camina在文[2]证明了如果$G$是线性空间$\cal S$上线传递, 点本原的自同构群, 那么$G$的基柱要么是初等交换群要么是单群.随后, Camina和Praeger在文[3]中推广了这一结果, 他们证明了如果$G$是线性空间$\cal S$上线传递, 拟点本原的自同构群, 那么$G$是仿射的或是几乎单的.于是根据点集上作用性质的不同, 线性空间上线传递自同构群的研究可约化为三种情形: $G$是仿射型的, 也就是说$G$有初等交换的传递正规子群; $G$有非传递的极小正规子群; $G$是几乎单的, 即有正规的非交换单群$T$使得$T$在$G$中的中心化子是平凡的, 因此$T\trianglelefteq G\le {\text{Aut}}(T)$. Camina和Spiezia^[4]证明了$T$不是零散单群. 2003年Camina, Neumann, 和Praeger证明了$T$不是交错群除非$G=A_7$和$A_8$^[5].韩广国, 在他的三篇文章[6-8]中考虑了$T=E_6(q)$, $E_7(q)$和$E_8(q)$的情形.本文考虑基柱为$Sz(q)$的几乎单群的情形.

主要定理   设$G$是线性空间$\cal S$上线传递, 点本原的自同构群, $k_2=(k, v-1)$, $q=2^{a}$, 其中$a=2n+1$, $n\geq1$是正整数.如果$q\geq2(k_2k-k_2+1)a$, 那么$G$的基柱不是$Sz(q)$.

本文将采用下列符号.设$X$和$Y$是任意有限群, 则$X\cdot Y$表示群$X$对群$Y$的一个扩张. $X:Y$和$X^{\cdot}Y$分别表示可裂和非可裂扩张.而符号$X\times Y$表示$X$和$Y$的直积.设$T$是群$G$的一个子群, 则符号$|G:T|$表示子群$T$在$G$中的指数.符号$[m]$表示任意$m$阶群, 而$Z_m$或更简单的$m$表示阶为$m$的循环群.在本文中, 群论的其他符号是标准的.另外我们用$Fix_{\Omega}(K)$表示$Sym(\Omega)$的子群$K$稳定$\Omega$中点的集合.设$n$是一个正整数, 我们用记号$p^i||n$表示$p^i|n$但$p^{i+1}\nmid n$.记号$|n|_p$表示$n$的$p-$部分而$|n|_{p^{\prime}}$表示$n$的$p^{\prime}$-部分.也就是说$|n|_p=p^t$其中$p^t||n$, 而$|n|_{p^{\prime}}=n/|n|_p$.设$G$是作用在线性空间$\cal S$上的群, 那么记号$G_{\alpha}$和$G_L$分别表示$\cal P$中点$\alpha$的稳定子群和$\cal L$中线$L$的稳定子群.记号$G_{(L)}$表示$G$中稳定$L$上所有点的元素集合.此外记号$G^L$表示$G_L$在$L$的点上作用所诱导出的置换群, 于是$G^L\cong G_L/G_{(L)}$.

本文第二部分介绍Suzuki群$Sz(q)$及线性空间的有关性质及相关结论, 在第三部分我们给出定理的证明.

Suzuki群$Sz(q)$形成一个Lie型单群的无限家族, 在文[9, 10]它被定义为$SL(4, q)$的子群. $Sz(q)$的阶是$q^{2}(q^{2}+1)(q-1)$, 其中$q=2^{2n+1}, n\geq1$.设$a=2n+1, t=2^n$, $T=Sz(q)$.由文[11]第Ⅺ章定理3.10知, $T$有阶分别为$q+2t+1$和$q-2t+1$的循环子群$U_1$和$U_2$且$U_1$和$U_2$是$T$的Hall子群.再由文[11]第Ⅺ章定理3.1, $G$有子群$F$和$H$, 其中$F$是阶为$q^2$, 方次数为4的2-群, 而$H$同构于$GF(q)$的乘法群$GF(q)^{\times}$.下面我们介绍$Sz(q)$的极大子群.

引理2.1 ^[11]    $T=Sz(q)$的每一个极大子群共轭于下列子群之一:

(1) $Sz(l)$, $l^i=2^{2n+1}$, $i$是素数;

(2) $FH$;

(3) $N_G(H)$;

(3) $N_G(U_i)$, $i=1, 2$.

引理2.2^[12]   设$T=Sz(q)$是$GF(q)$上一个例外李型单群, $G$是满足$T\unlhd G\leq {\text{Aut}}(T)$的群.设$M$是$G$的不包含$T$的极大子群, 那么下列之一成立:

(1) $|M| < q^{2}|G:T|$;

(2) $T\cap M$是$T$的抛物子群.

设$G$是线性空间$\cal S$上的线传递自同构群, 回顾正则线性空间两个重要结论:

$ v=r(k-1)+1, $

(2.1)

$ v(v-1)=bk(k-1). $

(2.2)

于是有$r=(v-1)/(k-1)$.可以证明, $b\geq v$, 从而$k\leq r$.如果$k=r$则$v=k^2-k+1$; 如果$r\geq k+1$, 那么$v\leq k^2$.

为使用方卫东和李慧陵的一个结果^[13], 我们定义以下常量

$ b_1=(b, v), \, b_2=(b, v-1), \, k_1=(k, v), \ \, \mbox{及}\ \, k_2=(k, v-1). $

根据等式(1) 与(2), 得到方-李参数

$ k=k_1k_2, \, b=b_1b_2, \, r=b_2k_2, \ \, \mbox{及}\ \, v=b_1k_1. $

下面我们将叙述本文重复用到的两个基本结果.

引理2.3^[14]   设$G=T:\langle x\rangle$且线传递作用在线性空间$\cal S=(\cal P, \cal L)$上, 那么$T$传递地作用在点集$\cal P$上.

引理2.4^[15]   设$G$是线性空间上线传递的自同构群, 如果$G$是点本原的, 则

(1) 存在一个素数$p$和正整数$n$使得$v=p^n$;

(2) 如果存在$p^n-1$的$p$-本原素因子$r$满足$r||G|$, 那么$G \leq A\Gamma L(1, p^n)$或者$k|v$.

引理3.5   设$G$是作用在线性空间$\cal S$上的线传递自同构群, $|T|=|{\text{Soc}}(G)|$是偶数, $T_{\alpha}=T\cap G_{\alpha}$, 其中$\alpha\in\cal P$.如果$G$是不可解的, 则下列结论成立:

(1) $v=k_2(k-1)b_2+1$;

(2) $\frac{|T|}{|T_{\alpha}|^2} < (k_2k-k_2+1)|G:T|$;

(3) $b_2||G_{\alpha}|$.

证    (1) 因为$k(k-1)b=v(v-1)$且$k=k_1k_2, b=b_1b_2$, 所以$k_2(k-1)b_2 = v-1$, 从而$v=1+k_2(k-1)b_2$.

(2) 设$L$是$\cal S$的一条线.因为$G$不可解, 所以$G^L$的结构, $G$的秩及其子度不可能出现下列情形:

否则, $G^L$的阶是奇数, 因而$G$的阶也是奇数.这与$|T| = |{\text{Soc}}(G)|$是偶数矛盾.于是$G$子轨道的最大长度不小于$2b_2$.设$\lambda$和$\theta$分别是$G$和$T$的最大子轨道的长度.那么有

$ \lambda \leq |G:T|\theta\leq|G:T||T_{\alpha}|. $

这推出

$ v=\frac{|T|}{|T_{\alpha}|}=\frac{v}{\lambda}\cdot\lambda\leq\frac{v}{\lambda}|G:T||T_{\alpha}|. $

因此得到

$ |T|\leq\frac{v}{\lambda}|T_{\alpha}|^2|G:T|. $

因为$v=k_2(k-1)b_2+1$和$\lambda\geq2b_2$, 所以

$ \frac{|T|}{|T_{\alpha}|^2}\leq\frac{k_2k-k_2+1}{2}|G:T|. $

(3) 因为$rv=bk$, 所以$b_2|G_L|=k_1|G_\alpha|.$注意到$(b_2, k_1)=1$, 于是$b_2$整除$|G_\alpha|$.

注3.1  这个引理在本文中起到重要的作用.引理的部分证明也可参照文献[6].

推论3.1   设$\cal S$和$G$如引理3.5所定义, 那么$b_2||T_{\alpha}|_{v^{\prime}}|G:T|$且$v\leq1+k_2(k-1)|T_{\alpha}|_{v^{\prime}}|G:T|$.

证  因为$(b_2, v)=1$且$b_2||G_{\alpha}|$, 所以$b_2||G_{\alpha}|_{v^{\prime}}$, 从而$b_2||T_{\alpha}|_{v^{\prime}}|G:T|$.结合引理3.5, 此引理成立.

现在我们证明引言中的主要定理.

假设$T={\text{Soc}}(G)=Sz(q)$, 其中$q=2^a$.于是我们有$Sz(q)\unlhd G\leq {\text{Aut}}(Sz(q))$.从而$G=T:\langle x\rangle$且$|Out(T)|=a$, 其中$x\in Out(T)$.设$o(x)=m$, 那么$m|a$且$|G|=q^2(q^2+1)(q-1)m$.因为$G$是点本原的, 故对任何的$\alpha\in \cal P$, $G_{\alpha}$是$G$的极大子群.从而$M=G_{\alpha}$是引理2.2的情形之一.我们将考虑这些情形以证明主要定理.

情形3.1   $|G_{\alpha}| < q^{2}|G:T|$.

因为$G$是线传递, 由引理2.3, $T$是点传递的.于是$|G_{\alpha}|=|T_{\alpha}|m$, 从而$|T_{\alpha}| < q^{2}$.因此$v=|T:T_{\alpha}|$不是素数的方幂, 再由引理2.4知$G$不可解.那么根据引理3.5我们得到

$ |T| < (k_2k-k_2+1)|T_{\alpha}|^2|G:T| < (k_2k-k_2+1)q^{4}|G:T|. $

(3.1)

但是

$ \frac{|T|}{q^{4}}=\frac{(q-1)(q^2+1)}{q^{2}}>q-1. $

因为$q>2$, $q-1>\frac{1}{2}q$且$q\geq2(k_2k-k_2+1) a$, 所以

$ \frac{|T|}{q^{4}}>\frac{1}{2}q\geq(k_2k-k_2+1)a\geq(k_2k-k_2+1)|G:T|, $

这意味着

$ |T|>(k_2k-k_2+1)q^{4}|G:T|, $

这个结论与(3.1) 产生矛盾, 从而排除这种情形.

情形3.2   $G_{\alpha} \cap T$是$T$的抛物子群.

检查引理2.1中$Sz(q)$的极大子群, 我们发现$Sz(q)$的抛物子群共轭于$FH$且$|FH|=q^2(q-1)$.于是$v=|T:T_{\alpha}|=q^2+1$.由引理3.5得到$q^2=v-1=k_2(k-1)b_2$, 也就是说, $k_2(k-1)|q^2$, 显然这是不可能的.这样我们完成了主要定理的证明.