Schur ^[1]指出一般线性李代数$\frak{{\text{gl}}}(\mathit{m},\mathbb{F})$的Abel子代数的极大维数, 由此可确定Abel李代数$L$的忠实表示的极小维数^{[2, 3]}. 2012年, 本文作者采用文献[4]的思想确定了$n$阶矩阵全体构成的Jordan代数的Abel子代数的的极大维数, 从而得到了有限维Abel Jordan代数的忠实表示的极小维数^[5].本文主要目的是确定极大弱交换子空间(定义见下一段), 从而从另一个角度得到上述结论.

本文约定基域$\mathbb{F}$是特征$0$代数闭域. $M(\mathit{n},\mathbb{F}), M(m, n, \mathbb{F})$分别为所有$n$, $m\times n$阶矩阵构成的向量空间, $\mathfrak{J}(n)$为$M(\mathit{n},\mathbb{F})$按照新的乘法所构成的Jordan代数.设${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$为所有严格上三角的$n$阶矩阵构成的向量空间, $\frak{t}(\mathit{n},\mathbb{F})$为所有上三角的$n$阶矩阵构成的向量空间.为叙述方便, 给出以下几个定义.设任一$ n$阶矩阵$A=(a_{ij})$, 称$(i, j)$为元$a_{ij}$所在的位置.定义$ (i, j) < (k, l)\Longleftrightarrow i=k \mbox{ 且 }j < l; \mbox{ 或者 }i < k$于是$A$的$n^{2}$个位置构成了字典序.在这个字典序下, 称矩阵$A$中第一个非零元出现的位置$(i, j)$为$A$的水平, 记为$\mathrm{lv}(A)=(i, j)$, 称$i$为矩阵$A$的高度, 记为$\mathrm{ht}(A).$设$V$是矩阵代数$M(\mathit{n},\mathbb{F})$的任意子空间, 定义$\mathrm{lv}(V):= \min\left\{ \mathrm{lv}(A)\mid A\in V\right\}, \mathrm{ht}(V):= \min\left\{ \mathrm{ht}(A)\mid A\in V\right\}.$约定$\mathrm{lv}(O)=(\infty, \infty), \mathrm{ht}(O)=\infty$, 其中$O$为零矩阵或零空间.如果$\mathrm{lv}(A)=(k, l)$且第$k$行为$(0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0), $那么称$A$是一个广义矩阵单位, 此时将$A$记为$U_{kl}$.设$A, B\in \frak{n}(\mathit{n},\mathbb{F})$, 如果存在域$\lambda\in \mathbb{F}$ ($\lambda$由$A, B$决定), 使得$AB=\lambda BA$, 那么称$A, B$弱交换.如果${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的子空间$V$中任意两个元素都弱交换, 那么称$V$为弱交换空间.

现将主要结果及相关推论叙述如下:

定理1.1  设$V$是${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的具有极大维数的弱交换子空间.那么$\dim V=\lfloor n^{2}/4\rfloor$且

(1) 若$n=2m$, 则$V$共轭于$\mathcal{A}_{2m}$;

(2) 若$n=2m+1$, 则$V$共轭于$\mathcal{B}_{2m+1}$或$\mathcal{B}'_{2m+1}$,

其中

$ \mathcal{A}_{2m}\;\;\ :=\mathrm{Span}\left\{\left[ \begin{array}{cccc} O&A\\O&O \end{array}\right]\in M(2m, \mathbb{F})\mid A\in M(\mathit{m},\mathbb{F})\right\},\\ \mathcal{B}_{2m+1}:=\mathrm{Span}\left\{\left[ \begin{array}{cccc} O&B\\O&O \end{array}\right]\in M(2m+1, \mathbb{F})\mid B\in M(m+1, m, \mathbb{F})\right\},\\ \mathcal{B}'_{2m+1}:=\mathrm{Span}\left\{\left[ \begin{array}{cccc} O&B\\O&O \end{array}\right]\in M(2m+1, \mathbb{F})\mid B\in M (m, m+1, \mathbb{F})\right\}, $

定理1.1的证明将在下一节给出, 下面是两个重要的推论.

推论1.2   $\frak{J}(n)$的极大Abel子代数在共轭意义下只有以下几类: $\mathcal{A}_{2m}\mbox{或}\mathcal{B}_{2m+1}, \mathcal{B}'_{2m+1}$特别的, 其维数为$\lfloor n^{2}/4\rfloor$; 当$n>3$时, 一般线性李代数$\frak{gl}(\mathit{n},\mathbb{F})$的极大Abel子代数在共轭意义下只有以下几类:

$ \mathcal{A}_{2m}\oplus\mathbb{F}I\mbox{或} \mathcal{B}_{2m+1}\oplus\mathbb{F}I, \mathcal{B}'_{2m+1}\oplus\mathbb{F}I. $

特别的, 其维数为$\lfloor n^{2}/4\rfloor+1$.

证  设$M$是$\frak{J}(n)$的任一个Abel子代数.由Abel Jordan代数的定义可知, $M$中任两个元皆反交换.根据Jacobson弱闭集定理, 不妨认为$M$为${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的弱交换子空间.由定理1.1可推得$\dim M\leq \lfloor n^{2}/4\rfloor.$考虑到定理1.1中$\mathcal{A}_{2m}$或$\mathcal{B}_{2m+1}, \mathcal{B}'_{2m+1}$的结构, 可知$\frak{J}(n)$的Abel子代数的极大维数不小于$\lfloor n^{2}/4\rfloor.$于是$\frak{J}(n)$的极大Abel子代数是${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的具有极大维数的弱交换空间.从而第一个结论正确.

易见, 当$n>3$时, $\frak{gl}(\mathit{n},\mathbb{F})$的具有极大维数的Abel子代数必为$\mathbb{F}I\oplus N (N\subseteq \frak{n}(\mathit{n},\mathbb{F})$形式(也可参见文献[4]).于是迫使$N$为${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的具有极大维数的弱交换空间.故第二个结论正确.

推论1.3  两两反交换的$n$阶矩阵线性无关的最大个数为$\lfloor n^{2}/4\rfloor$.

证  设两两反交换的$n$阶矩阵线性无关的最大个数为$\varphi(n)$.一方面, 单位矩阵一定在极大的弱交换子空间内, 于是$\varphi(n)\leq\lfloor n^{2}/4\rfloor.$另一方面, 根据定理1.1中$\mathcal{A}_{2m}$或$\mathcal{B}_{2m+1}, \mathcal{B}'_{2m+1}$的结构可知$\varphi(n)\geq\lfloor n^{2}/4\rfloor.$

上述推论覆盖了文献[1, 4, 5]的结果.

同理可得下面推论:

推论1.4   $M(\mathit{n},\mathbb{F})$的极大零乘子代数的维数为$\lfloor n^{2}/4\rfloor$.

引理2.1    ${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$及其弱交换子空间在下面两种相似变换下都保持不变.

$\mathrm{(A)}$将第$i$列乘以非零数$\lambda$, 同时将第$i$行乘以$1/\lambda$;

$\mathrm{(B)}$将第$i$列的$\lambda$倍加到第$j$列而第$i$列保持不变, 同时将第$j$行的$-\lambda$倍加到第$i$行而第$j$行保持不变, 这里约定$i < j$.

引理2.2   设$V$是${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的弱交换子空间.若$\mathrm{lv}(V)=(i, k_{1})$, 则${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$中存在广义矩阵单位$U_{i, k_{1}}, U_{i, k_{2}}, \cdots, U_{i, k_{r}}$以及${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的一个水平大于$(i, n)$的子空间$\frak{k}$, 使得$\frak{h}$相似于

$ \label{GMN decomposition} T^{-1}{\frak{h}}T = {\mathbb{F}}U_{i, k_{1}}\oplus{\mathbb{F}}U_{i, k_{2}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{i, k_{r}, }\oplus\frak{k}, $

(2.1)

其中$i < k_{1} < k_{2} <\cdots < k_{r}\leq n$且$\frak{k}$中每一个矩阵$X$都满足:

$\mathrm{(1)}$ $X$的第$k_{j}$行为零, 这里$1\leq j\leq r.$

$\mathrm{(2)}$如果$TXT^{-1}$的第$s$行为零, 那么$X$的第$s$行仍为零.

证  由于$V\subseteq \frak{n}(\mathit{n},\mathbb{F})$和$\mathrm{lv}(V) = (i, k_{1}), $所以存在矩阵$A_{i, k_{1}}\in V$, 使得$\mathrm{lv}(A_{i, k_{1}}) = (i, k_{1}), $其中$i < k_{1}\leq n$.应用引理2.1中两种相似变换使$A_{i, k_{1}}$相似于一个广义矩阵单位$U_{i, k_{1}}$.同时, $V$相似于${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的一个新的弱交换子空间, 仍记为$V.$易见, $V$中每个矩阵都可写成$aU_{i, k_{1}}+P$的形式, 其中$a\in\mathbb{F}$且$\mathrm{lv}(P)>(i, k_{1}).$设$ V_{1}:= \mathrm{Span}\{P\in V\mid \mathrm{lv}(P)>(i, k_{1})\}.$于是$V = \mathbb{F}U_{i, k_{1}}\oplus V_{1}.$如果$\mathrm{lv}(V_{1}) = (i, k_{2}), $那么存在矩阵$A_{i, k_{2}}\in V_{1}, $使得$\mathrm{lv}(A_{i, k_{2}}) = (i, k_{2}), $其中$i < k_{1} < k_{2}\leq n.$应用引理2.1中两种相似变换使$A_{i, k_{2}}$相似于一个广义矩阵单位$U_{i, k_{2}}$.同时, $V$相似于${\frak{n}}(\mathit{n},\mathbb{F})$的一个新的弱交换子空间, 仍记为$V.$注意到在这个过程中, $U_{i, k_{1}}$变成了另一个与其相似的矩阵, 但其第$i$行没变, 仍记为$U_{i, k_{1}}$.这时, $V$中每个矩阵都可写成$aU_{i, k_{1}}+bU_{i, k_{2}}+P$的形式, 其中$a, b\in\mathbb{F}$且$\mathrm{lv}(P)>(i, k_{2}).$设$ V_{2}:= \mathrm{Span}\{P\in V\mid \mathrm{lv}(P)>(i, k_{2})\}.$于是$V = \mathbb{F}U_{i, k_{1}}\oplus\mathbb{F}U_{i, k_{2}}\oplus V_{2}.$设$\mathrm{lv}(V_{2}) = (i, k_{3}).$重复上述过程, 经过有限步后, 得到广义矩阵单位$U_{i, k_{1}}, U_{i, k_{2}}, \ldots, U_{i, k_{r}}$及$V_{r}:= \mathrm{Span}\{P\in V\mid \mathrm{lv}(P)>(i, n)\}, $使得

$ V = \mathbb{F}U_{i, k_{1}}\oplus\mathbb{F}U_{i, k_{2}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{i, k_{r}}\oplus V_{r}. $

设$X$是$V_{r}$中任意一个矩阵.由于$\mathrm{lv}({\frak{k}})>(i, n)$, 所以$X$的第$i$行为零, 进而$XU_{i, k_{j}}$的第$i$行为零.注意到$U_{i, k_{j}}X$的第$i$行为$X$的第$k_{j}$行.由于$U_{i, k_{j}}$都与$X$弱交换, 所以$X$的第$k_{j}$行为零, 这里$1\leq j\leq r.$故对$X$的第一个结论成立.易见, 引理2.1中两种相似变换不改变矩阵的除第$k_{j}$以外的零行, $1\leq j\leq r.$故对$X$的第二个结论成立.证毕.

为了方便, 以下将(2.1) 称为$T^{-1}{\frak{h}}T$的广义矩阵单位分解, 简称GMU分解.

定理1.1的证明  由引理2.2, 可得下列GMU分解:

$ T^{-1}_{1}VT_{1} = \mathbb{F}U_{i_{1}, j_{11}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{i_{1}, j_{1r_{1}}}\oplus V_{1}\label{sandianer}, $

(2.2)

$ T^{-1}_{2} V_{1}T_{2} = \mathbb{F}U_{i_{2}, j_{21}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{i_{2}, j_{2r_{2}}}\oplus V_{2}, $

(2.3)

$ \cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots \nonumber\\ T^{-1}_{t} V_{t-1}T_{t} = \mathbb{F}U_{i_{t}, j_{t1}}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{i_{t}, j_{t r_{t}}}\oplus V_{t}\label{sandiansi}, $

(2.4)

其中, $i_{1}=\mathrm{ht}( V) < i_{2}=\mathrm{ht}( V_{1}) < \cdots < i_{t}=\mathrm{ht}( V_{t-1}) < \infty= \mathrm{ht}( V_{t})$.

由引理2.2, 上面出现的广义矩阵单位的水平

$ \label{wenzib} \mbox{第一个位置的元素不会出现在第二个位置} $

(2.5)

因此,

$ r_{1}\leq n-i_{1}-(t-1),\\ r_{2}\leq n-i_{2}-(t-2),\\ \cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\;\cdots\\ r_{t-1}\leq n-i_{t-1}-1,\\ r_{t}\leq n-i_{t}, $

于是

$ \dim V=r_{1}+\cdots+r_{t} \leq tn-(i_{1}+\dots+i_{t})-(1+\cdots+t-1)\\ \quad\quad\quad\leq tn-(1+\cdots+t)-(1+\cdots+t-1) =t(n-t) \leq\lfloor n^{2}/4\rfloor. $

另一方面, 考虑到前面定义的$\mathcal{A}_{2m}\mbox{或} \mathcal{B}_{2m+1}, \mathcal{B}'_{2m+1}$的结构, 可知$\dim V\geq\lfloor n^{2}/4\rfloor$.故$\dim V=\lfloor n^{2}/4\rfloor$.从而

$ \label{eq1514t} \mbox{$i_{k}=k, r_{k}=n-t$ 其中 $k=1, \cdots, t$}. $

(2.6)

若$n=2m, $则$t=m.$由(2.6) 式知, 当$k=1, \cdots, m$时, 有$r_{k}=m$.由(2.5) 与(2.6), 知前面出现的广义矩阵单位的水平分别为:

$ \quad(1, m+1)\quad\quad (1, m+2)\quad\cdots\quad (1, n)\\ \quad(2, m+1)\quad \quad(2, m+2) \quad\cdots\quad (2, n)\\ \quad\quad\quad \cdots \quad\quad\quad\quad \cdots\quad \quad\quad \cdots \quad \quad\cdots\\ \quad(m, m+1)\quad (m, m+2)\quad\cdots\quad(m, n). $

(2.7)

若$n=2m+1, $则$t=m$或$m+1. $由(2.6) 知, 当$k=1, \cdots, m$时, 有$r_{k}=m+1$; 或者当$k=1, \cdots, m+1$时, 有$r_{k}=m$.由于(2.5) 与(2.6), 所以前面出现的广义矩阵单位的水平分别为

$ \begin{array}{l} \;\;(1, m + 1)\;\;\;(1, m + 2)\;\; \cdots \;\;\;(1, n)\\ \;(2, m + 1)\;\;\;(2, m + 2)\;\; \cdots \;\;\;\;(2, n)\\ \;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\; \cdots \\ (m, m + 1)\;\;\;(m, m + 2)\;\; \cdots \;\;(m, n) \end{array} $

或

$ \begin{array}{l} \;\;\;\;(1, m + 2)\;\;\;\;\;\;(1, m + 3)\;\;\;\; \;\;\;\cdots \;\;\;\;\;(1, n)\\ \;\;\;(2, m + 2)\;\;\;\;\;\;(2, m + 3)\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;(2, n)\\ \;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdots \;\;\;\;\;\;\; \cdots \\ (m + 1, m + 2)\;\;(m + 1, m + 3)\;\; \cdots \;\;(m + 1, n). \end{array} $

首先假设$n=2m$.由(2.2)--(2.4) 及(2.7) 式, 知$ \mathrm{ht}( V_{m-i})=m-i+1\; \mbox{及}\; \dim V_{m-i}=im, \; \; \; 1\leq i\leq m $, 其中$ V_{0}:= V.$对$i$归纳且由引理, 知$ V_{m-i}$由如下形式矩阵组成

$ \left[\begin{array}{l} {O_{m \times m}}\;\;\;\;\;B\\ {O_{m \times m}}\;\;\;{O_{m \times m}} \end{array} \right], $

其中,

$ \mathrm{ht}( V_{m-i}) = m-i+1\leq\mathrm{ht}(B)\leq m, 1\leq i < m. $

关于任意取定的$i$, 若$1\leq j\leq m, $则$U_{m-i, m+j}$与$ V_{m-i}$中每个矩阵都弱交换.进而, 通过简单的计算, 知$ U_{m-i, m+j}=\left[\begin{array}{cccc} O_{m\times m}&A\\O_{m\times m}&O_{m\times m} \end{array}\right] $,其中$A$的前$m-i$行构成$m-i\times j$的矩阵单位$E_{m-i, j}$.即

$ V_{m-i}\cup \{U_{m-i, m+j}\mid 1\leq j\leq m\}\subseteq \mathcal{A}_{2m}. $

特别的, 当$i=m-1$时, 有

$ V_{1}\cup \{U_{1, m+j}\mid 1\leq j\leq m\}\subseteq \mathcal{A}_{2m}, $

进而,

$ T^{-1}_{1} VT_{1} = \mathbb{F}U_{1, m+1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{F}U_{1, m+n}\oplus V_{1}\subseteq\mathcal{A}_{2m}, $

因为

$ \dim\mathcal{A}_{2m}=m^{2}=\lfloor n^{2}/4\rfloor=\dim V=\dim T^{-1}_{1} VT_{1}, $

所以

$ T^{-1}_{1} VT_{1} = \mathcal{A}_{2m}. $

若$n=2m+1$, 可作类似的讨论, 此处略.