自Robbins^[1]引入经验Bayes(EB)方法以来, 文献中对指数族及单边截断分布族中, 未知参数的EB估计及EB检验问题已有许多研究, 如基于独立同分布(iid)样本, Singh ^[2]及Singh和Wei^[3]讨论了单参数指数族EB估计问题, 在近期文献中, Li和Gupta^[4]基于独立同分布(iid)样本下研究了一类单边截断分布族参数的EB检验问题, Lee-shen Chen^[5]和黄金超等^[6]分别在独立同分布(iid)样本下研究了非指数分布族参数的EB检验和估计问题, 然而在可靠性理论, 渗透理论和某些多元分析等实际问题中, 遇到的样本多非独立而具有相关性, 正相关(PA), 负相关(NA)就为常见的两种.因而, 在样本相关的情形下研究EB估计问题是有意义的.本文在“平方损失”下, 基于同分布弱平稳NA样本进一步研究了文献[5]给出非指数分布族参数的经验Bayes(EB)估计问题, 构造一渐近最优EB估计函数, 在一定条件下, 获得EB估计渐近最优性且收敛速度的阶为 $O(n^{-(rs-2)/2(s+2)})$, 其中 $s>2$为任意确定的自然数, $2/s < r < 1$, 推广现有文献中的相应结果.

首先给出NA样本随机变量(r.v.)序列的定义.

定义1.1  随机变量 $X_1, ~X_2, ~\cdots, ~ X_n, $称为负相关的(NA), 如果对于集合 ${1, 2, \cdots, n}$的任何两个不交的非空子集 $A_1$与 $A_2$都有

$ \textrm{Cov}(f_1(X_i, ~i\in{A_1}), ~ f_2(X_j, ~j\in{A_2}))\leq0, $

(1.1)

其中是 $f_1$和 $f_2$任何两个使得协方差存在且对每个变元均非降(或同时对每个变元均非升)的函数, 称随机变量序列 $\{X_j, ~ j\in{N}\}$是负相关的(NA), 如果对任意自然数 $n>1, $ $X_1, ~X_2, ~\cdots, ~ X_n, $都是负相关的(NA).

考虑如下非指数分布族, 设随机变量X条件概率密度函数为

$ f(x\mid\theta)=\textrm{e}^{-x}\frac{k(\theta)}{1+\theta{x}}, $

(1.2)

此处 $x\in\chi=(0, ~ +\infty)$, $\theta\in\Omega=(0, ~+\infty)$, $k(\theta)>0$, $\Omega$为参数空间.显然概率密度函数 $f(x\mid\theta)$不是指数分布族, 然而它是联合密度函数 $f(x, ~ y\mid\theta)=k(\theta)\textrm{exp}(-x-y-\theta xy)$, ( $x>0, ~ y>0, ~\theta >0, ~k(\theta)>0$)的边缘密度函数, 联合密度函数(pdf) $f(x, ~ y\mid\theta)$是二元指数分布族, 它常被用来作为两个相依分量的寿命的模型见文献[5]及其所引参考文献[7].另外, 研究该分布族参数的EB估计特别是基于相关样本的EB估计, 文献中报道很少.因此基于NA样本下研究该非指数分布族参数的经验Bayes估计是非常有意义的.

设 $G(\theta)$为参数 $\theta$的未知先验分布, 随机变量 $X$的边缘分布密度函数为

$ f(x)=\int_\Omega{f(x\mid\theta)\textrm{d}G(\theta)}=\textrm{e}^{-x}\int_0^{+\infty}{\frac{k(\theta)}{1+\theta{x}}\textrm{d}G(\theta)}<\infty, $

(1.3)

约定

$ \begin{eqnarray*}&& f(0)=\int_0^{+\infty}{k(\theta)\textrm{d}G(\theta)} < \infty, \\ && {f}'(x)=-\textrm{e}^{-x}\int_0^{+\infty}{\frac{k(\theta)}{1+\theta{x}}\textrm{d}G(\theta)}-\textrm{e}^{-x}\int_0^{+\infty}{\frac{\theta{k(\theta)}}{(1+\theta{x})^2}\textrm{d}G(\theta)} < 0.\end{eqnarray*} $

所以 $f(x)$为单调递减函数, 从而 $f(x) < f(0) < \infty$.

取 $h(x)=\textrm{e}^x{f(x)}=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\frac{k(\theta)}{1+\theta{x}}\textrm{d}G(\theta)}$, 则

$ \begin{eqnarray}&&h^{(s)}(x)={\frac{\partial^s{h(x)}}{\partial{x^s}}}=\int_0^{+\infty}{\frac{(-1)^s{s!}{k(\theta)}\theta^s}{(1+\theta{x})^{s+1}}\textrm{d}G(\theta)}, \nonumber\\ &&\mid{h^{(s)}(x)}\mid=s!\int_0^{+\infty}{\frac{k(\theta)\theta^s}{(1+\theta{x})^{s+1}}\textrm{d}G(\theta)}\triangleq s!q(x) < \infty~~(s\geq2, ~ s\in{N}). \end{eqnarray} $

(1.4)

取通常的损失函数为

$ L(\theta, ~d)=(\theta-d)^2. $

(1.5)

在平方损失(1.5) 下, $\theta$的Bayes估计为其后验均值, 即

$ \begin{eqnarray} &&\hat{\theta}_{BE}=E(\theta\mid x)=\frac{\displaystyle\int_0^{+\infty}{\theta f(x\mid\theta)\textrm{d}G(\theta)}}{f(x)}\nonumber\\ &=&\frac{\frac{1}{x}\displaystyle\int_0^\infty{\textrm{e}^{-x}k(\theta)\textrm{d}G(\theta)}-\frac{1}{x}\int_0^\infty{\frac{k(\theta)\textrm{e}^{-x}}{1+\theta{x}}\textrm{d}G(\theta)}}{f(x)}\nonumber\\ &=&\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}{f(0)}-\frac{1}{x}{f(x)}}{f(x)}\triangleq \phi_B(x). \end{eqnarray} $

(1.6)

故 $\hat{\theta}_{BE}$的Bayes风险为

$ R(G)=R_G=R(\hat{\theta}_{BE}, ~G)=E_{(X, \theta)}(\hat{\theta}_{BE}-\theta)^2. $

(1.7)

由于先验分布 $G(\theta)$的未知, 故 $\hat{\theta}_{BE}$不能确定, 因此无使用价值, 从而导致考虑该参数的经验Bayes(EB)估计.

设 $X_1, ~ X_2, ~ \cdots, ~ X_n$和 $X$是同分布弱平稳NA样本, 它们具有共同的边缘密度函数如(1.3) 式所示, 通常称 $X_1, ~X_2, ~\cdots, ~X_n$为历史样本, 称 $X$为当前样本.令 $f(x)$为 $X_1$的概率密度函数.

为了估计 $f(x)$, 引入核函数.令 $K(x)~ (r=0, ~1, ~\cdots, ~s-1)$在Borel可测的有界函数区间 $(0, ~ 1)$之外为零, 且满足下列的条件(C):

(C$_{1})~~\frac{1}{t!}\displaystyle\int^{1}_{0}y^{t}K_{r}(y)dy= \left\{ \begin{array}{ll} 1, &t=r, \\ 0, &t\neq r, ~t=1, ~ 2, ~\cdots, ~ s-1. \end{array} \right.$

(C$_2$)对 $x\in\chi=(0, ~\infty)$, $\mid{K(x)}\mid\leq C$.

(C$_{3})~~K_{r}(x)$在 $R^{1}$上除有限点集 $E_{0}$外是可微的, 且

$ \mathop {\sup}\limits_{x \in {R^1} - {E_0}}|K'_{r}(x)|\mid\leq C < \infty. $

本文对NA序列的协方差结构作如下假定:

$ ({\rm D}) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sum\limits_{j=1}^\infty\mid{{\rm Cov}(X_i, ~X_j)}\mid\leq C<\infty. $

(2.1)

类似文献[5], 密度函数 $f(x)$的核估计定义为

$ \begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac{1}{n{h_n}}\sum\limits_{i=1}^n{K(\frac{X_i-x}{h_n})\textrm{e}^{X_i-x}}, \end{eqnarray*} $

(2.2)

其中 $\{h_n\}$为正数序列, 且 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {h_n}=0$, $K(x)$是满足条件(C)的核函数.利用文献[8]的思想, 则可定义 $\theta$的经验Bayes估计

$ \hat{\theta}_{EB}=\phi_n^{*}(x)\triangleq[0\vee(\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}{f_n(0)}-\frac{1}{x}{f_n(x)}}{f_n(x)})]\wedge A_n, $

(2.3)

其中 $\varphi(x)=x^{-1}\textrm{e}^{-x}f_n(0)$为 $\varphi(x)=x^{-1}\textrm{e}^{-x}f(0)$的估计, 令 $\phi_n^{*}(x)$为 $\phi_{B}(x)$的估计, 这里 $\{A_n\}$为正数序列, 且

$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {A_n} = \infty, ~ a \vee b = \max (a, ~ b), ~ a \wedge b = \min (a, ~ b). $

记 ${E_*}$表示对 $({X_1}, ~\cdots, ~ {X_n}, ~(X, ~\theta ))$的联合分布求均值 $, ~ {E_n}$表示对 ${X_1}, ~\cdots, ~ {X_n}$之联合分布求均值, 在平方损失下, $ ~{\hat \theta _{EB}}$的全面Bayes风险为

$ R_n=R_n(\hat{\theta}_{EB}, ~ G)=E_{*}(\hat{\theta}_{EB}-\theta)^2. $

(2.4)

按定义, 若 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {R_n} = R(G), $则称 $\hat{\theta}_{EB}$为渐近最优(a.o.)的EB估计, 若 $R_{n}-R(G)=O(n^{-q}), ~q>0$, 则称 $\theta$的EB估计 $\hat{\theta}_{EB}$的收敛速度阶为 $O(n^{-q})$.本文中令 $c, ~c_0, ~c_1, ~\cdots$表示与 $n$无关的正常数, 即使在同一表达式中它们也可取不同的值.

引理3.1  令 $X, ~Y$是NA变量, 皆有有限方差, 则对任何两个可微函数 $g_1, ~g_2$有

$ \begin{eqnarray*} \mid{\textrm{Cov}(g_1(X), ~g_2(Y))}\mid\leq\sup\limits_{X}\mid{g'_1(X)}\mid\sup\limits_{Y}\mid{g'_2(Y)}\mid[-\textrm{Cov}(X, ~Y)], \end{eqnarray*} $

(3.1)

当分别在有限或可列点集 $E_0^1$和 $E_0^2$上不可微时有

$ \begin{eqnarray*} \mid{\textrm{Cov}(g_1(X), ~g_2(Y))}\mid\leq\sup\limits_{X\in{R^1-E_0^1}}\mid{g'_1(X)}\mid\sup\limits_{Y\in{R^1-E_0^2}}\mid{g'_2(Y)}\mid[-\textrm{Cov}(X, ~Y)]. \end{eqnarray*} $

(3.2)

证  见文献[9]引理1.

引理3.2  设 $f_n(x)$由(2.2) 式定义, 其中 $X_1, ~X_2, ~\cdots, ~X_n$为同分布弱平稳NA样本序列, $s>2$为任意确定的自然数, 若条件(C)和(D)成立, 当取 $h_n=n^{-\frac{1}{4+2s}}$时, 对 $0 < r\leq 2$有

(1) $ E_n{\mid{f_n(x)-f(x)}\mid^r}\leq c\cdot n^{-\frac{rs}{2(s+2)}};$

(2) $E_n{\mid{f_n(0)-f(0)}\mid^r}\leq c_1\cdot n^{-\frac{rs}{2(s+2)}}.$

证  由 $C_r$不等式可知, 对 $0 < r\le2$,

$ E_n\mid f_n(x)-f(x)\mid^r\leq c_1\mid E_n f_n(x)-f(x)\mid^r+c_2[{\rm Var}(f_n(x))]^{r/2}\\ \triangleq c_1I_1^r+c_2I_2^{r/2}, $

(3.3)

由(2.2) 式和条件(C$_1$)可知

$ \begin{eqnarray} &&E_n[ f_n(x)]=E_n[\frac{1}{h_n}K(\frac{X_1-x}{h_n})e^{X_1-x}]\nonumber\\ &=&\int_{t=x}^{x+h_n}\frac{1}{h_n}K(\frac{t-x}{h_n})e^{t-x}f(t)\textrm{d}t=\int_{0}^{1}K(v)e^{-x}h(x+h_nv)\textrm{d}v\nonumber\\ &=&\int_{0}^{1}K(v)e^{-x}[h(x)+\sum\limits_{l=1}^{s-1}h^{(l)}(x)\frac{(h_nv)^l}{l!}+h^{(s)}(x^*)\frac{(h_nv)^s}{s!}]\textrm{d}v\nonumber\\ &=&f(x)+\frac{h_n^se^{-x}}{s!}\int_{0}^{1}h^{(s)}(x^*)K(v)v^s\textrm{d}v, \end{eqnarray} $

(3.4)

这里 $x\leq x^*\leq x+h_n$, 从而由(3.4) 和(1.4) 式及(C$_2$), 对任何固定的 $x\in \chi$有

$ \begin{eqnarray} &&\mid E_nf_n(x)-f(x)\mid\leq \frac{h_n^se^{-x}}{s!}\int_{0}^{1}\mid h^{(s)}(x^*)\parallel K(v)\parallel v^s\mid\textrm{d}v \nonumber\\ &\leq& \frac{ch_n^se^{-x}}{s!}\int_{0}^{1}s!\int_{0}^{\infty}\frac{k(\theta)\theta^s}{(1+\theta x)^{s+1}} \textrm{d}G(\theta)v^s\textrm{d}v \nonumber\\ &=&\frac{ch_n^se^{-x}}{s+1}\int_{0}^{\infty}\frac{k(\theta)\theta^s}{(1+\theta x)^{s+1}} \textrm{d}G(\theta)\equiv \frac{ch_n^se^{-x}}{s+1}q(x)=O(h_n^s), \end{eqnarray} $

(3.5)

所以当取 $h_n=n^{-1/(2s+4)}$时有

$ I_1^r = \mid {E_n}{f_n}(x) - f(x){\mid ^r} \le c{n^{ - rs/2(s + 2)}}, $

(3.6)

$ \begin{eqnarray} &&I_2={\rm Var}[\frac{1}{nh_n}\sum\limits_{j=1}^{n}K(\frac{X_j-x}{h_n})e^{X_j-x}]\nonumber\\ &&= \frac{1}{nh_n^2}{\rm Var}[K(\frac{X_1-x}{h_n})e^{X_1-x}]+\frac{2}{{{n^2}{h_n}^2}}\sum\limits_{1 \le j < } {\sum\limits_{l \le n} {{\rm Cov}} } (K(\frac{{{X_j} - x}}{{{h_n}}}){e^{{X_j} - x}}, \nonumber\\ &&{\rm{ }}K(\frac{{{X_l} - x}}{{{h_n}}}){e^{{X_l} - x}})\triangleq I_2^{(1)}+I_2^{(2)}. \end{eqnarray} $

(3.7)

由 $\mid K^2(v)\mid\leq c$, $0\leq X_j-x\leq h_n$, $1\leq e^{X_j-x}\leq e^{h_n}\leq c, $及 $h(x)$为单调递减函数可知

$ \begin{eqnarray}I_2^{(1)}&\leq&\frac{1}{nh_n^2}E_n[K(\frac{X_1-x}{h_n})e^{X_1-x}]^2\nonumber\\ &=& \frac{1}{nh_n^2}\int_{t=x}^{x+h_n}K^2(\frac{t-x}{h_n})e^{2(t-x)}e^{-t}h(t)\textrm{d}t\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{nh_n}e^{-x}h(x)e^{h_n}\int_{0}^{1}K^2(v)\textrm{d}v\leq\frac{cf(x)}{nh_n}c =O((nh_n)^{-1}).\end{eqnarray} $

(3.8)

记 ${\psi _n}(x, y) = K(\frac{{y - x}}{{{h_n}}}){e^{y - x}}$, 由条件(C$_3)$及引理3.1, 有

$ \begin{eqnarray*} \left| {{\rm Cov}(K(\frac{{{X_j} - x}}{{{h_n}}}){e^{{X_j} - x}}, ~{\rm{ }}K(\frac{{{X_l} - x}}{{{h_n}}}){e^{{X_l} - x}})} \right| \\ \le \frac{1}{{{h_n}^2}}{\left\{ {\mathop {\sup }\limits_y \left| {\frac{\partial }{\partial y}{\psi _n}(x, ~y)} \right|} \right\}^2}\left [{-{\rm Cov}({X_j}, ~{X_l})} \right] \\ <\frac{{{c_1}}}{{{h_n}^2}}\left| {{\rm Cov}({X_j}, ~{X_l})} \right|. \end{eqnarray*} $

故由条件(D)和 $ \left\{ {{X_n}, ~n \ge 1} \right\}$的弱平稳性可知

$ {I_2}^{(2)} \le \frac{2}{{{n^2}{h_n}^2}}\sum\limits_{1 \le j < } {\sum\limits_{l \le n} {\frac{{{c_1}}}{{{h_n}^2}}} } \left| {{\rm Cov}({X_j}, ~{X_l})} \right| \le \frac{{{c_2}}}{{n{h_n}^4}}\sum\limits_{i = 1}^\infty {\left| {{\rm Cov}({X_1}, ~{X_l})} \right|} \le c{(n{h_n}^4)^{ - 1}}, $

(3.9)

所以当时 $h_n=n^{-1/2(s+2)}$, 由(3.8) 和(3.9) 式代入(3.7) 式可得

$ I_2\leq c_1(nh_n)^{-1}+ {c_2}{(n{h_n}^4)^{ - 1}}\leq cn^{-\frac{s}{(s+2)}}, $

(3.10)

故有

$ I_2^{r/2}\leq cn^{-\frac{rs}{2(s+2)}}, $

(3.11)

将(3.6) 和(3.11) 式代入(3.3) 式可得引理3.1(1) 的结论.

在上述证明过程中令 $x=0, $类似可以证明引理3.2(2) 的结论也成立.

引理3.3  若 $R_G<\infty$, 则对任何EB估计 $\hat{\theta}_{EB}$的风险有

$ R_n-R_G=E_\ast(\hat{\theta}_{EB}-\hat{\theta}_{BE})^2. $

(3.12)

证  见文献[2]引理2.1.

引理3.4  对随机变量(r.v.) $(Y, ~Z)$和实数 $y, ~z\neq 0, ~0 < L < \infty$, 且 $0 < \lambda\leq2$, 则有

$ E[\mid\frac{Y}{Z}-\frac{y}{z}\mid\wedge L]^\lambda\leq\frac{2}{\mid z\mid^\lambda}\{E[\mid Y-y\mid]^\lambda+(\mid\frac{y}{z}\mid+L)^\lambda E[\mid Z-z\mid]^\lambda\}. $

证  见文献[3].

引理3.5  如果对 $t\geq1$, $E\mid\theta\mid^t<\infty$, 则对(1.6) 式定义的 $\hat{\theta}_{BE}(X)$, 有 $E_\ast\mid\hat{\theta}_{BE}(X)\mid^t<\infty$.

证  由凸函数Jensen不等式可知

$ \begin{eqnarray*} E_\ast\mid\hat{\theta}_{BE}(X)\mid^t&=&\int_0^{+\infty}{\mid\hat{\theta}_{BE}(X)\mid^tf(x)\textrm{d}x}=\int_0^{+\infty}{\mid E_{(\left. \theta \right| x)}(\theta)\mid^tf(x)\textrm{d}x}\\ &\le& \int_0^{ + \infty } {({E_{(\left. \theta \right|x)}}{{\left| \theta \right|}^t})} f(x){\rm{d}}x = \int_0^{ + \infty } {\int_0^{ + \infty } {{{\left| \theta \right|}^t}} f(x\left| \theta \right.)dG(\theta ){\rm{d}}x} \\ &=& \int_0^{ + \infty } {{{\left| \theta \right|}^t}{\rm{d}}G(\theta ) = E} {\left| \theta \right|^t} < \infty . \end{eqnarray*} $

定理3.1  设 $R_G, ~R_n$分别由(1.7) 和(2.4) 式定义, $\hat{\theta}_{EB}$由(2.3) 式定义, $X_1, X_2, \cdots, ~X_n$为同分布弱平稳NA样本序列, $s>2$为任意确定的自然数, $2/s < r < 1$且条件(C)和(D)成立, 且满足

(1) $\displaystyle\int_0^{+\infty}{\theta^{rs}\textrm{d}G(\theta)}<\infty;$

(2) $\displaystyle\int_1^{+\infty}{(f(x))^{1-r}\textrm{d}x}<\infty, $

则当 $h_n=n^{-1/2(s+2)}$时, 有

$ R_n-R_G=O(n^{-\frac{rs-2}{2s+4}}). $

证  由引理3.5和条件(1) 可知

$ R_G=E_{(X, \theta)}(\hat{\theta}_{BE}-\theta)^2\leq2(E_\ast(\hat{\theta}_{BE}^2)+E_\ast(\theta^2))<\infty, $

故引理3.3的条件成立, 因此有

$ \begin{eqnarray}R_n-R_G&=&E_\ast(\hat{\theta}_{EB}-\hat{\theta}_{BE})^2=\int_0^{+\infty}{E_n[\phi_n^\ast(x)-\phi_B(x)]^2f(x)\textrm{d}x}\nonumber\\ &\triangleq& A(n)+B(n)+C(n), \end{eqnarray} $

(3.13)

其中

$ \begin{eqnarray*}&A(n)=\int_0^1I_n(x)f(x)\textrm{d}x, ~B(n)=\int_1^{+\infty}I_n(x)f(x)\textrm{d}x, ~C(n)\\ &=\int_0^{+\infty}II_n(x)f(x)\textrm{d}x, \\ &I_n(x)=E_n[\phi_n^\ast(x)-\phi_B(x)]^2I(A_n-\phi_B(x)), ~II_n(x)\\ &=E_n[\phi_n^\ast(x)-\phi_B(x)]^2I(\phi_B(x)-A_n), \end{eqnarray*} $

这里 $I(x)$为示性函数: $I(x)=1, ~$若 $x>0$; 否则 $I(x)=0$.由(1.6), (2.3) 式和引理3.4及引理3.2可得

$ \begin{eqnarray}I_n(x)&\leq& E_n(\mid\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}f_n(0)-\frac{1}{x}f_n(x)}{f_n(x)}-\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}f(0)-\frac{1}{x}f(x)}{f(x)}\mid\wedge A_n)^2I(A_n-\phi_B(x))\nonumber\\ &\leq& A_n^{2-r}E_n\{(\mid\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}f_n(0)-\frac{1}{x}f_n(x)}{f_n(x)}-\frac{\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}f(0)-\frac{1}{x}f(x)}{f(x)}\mid\wedge A_n)^r\}I(A_n-\phi_B(x))\nonumber\\ &\leq&\frac{2A_n^{2-r}}{f^r(x)}\{E_n\mid\frac{\textrm{e}^{-x}}{x}(f_n(0)-f(0))-\frac{1}{x}(f_n(x)-f(x))\mid^r\}\nonumber\\ &&+\frac{2^{1+r}A_n^2}{f^r(x)}\{E_n\mid f_n(x)-f(x)\mid^r\}\nonumber\\ &\leq&\frac{2A_n^{2-r}}{f^r(x)}\{(\frac{\textrm{e}^{-x}}{x})^rE_n\mid f_n(0)-f(0)\mid^r+(\frac{1}{x})^rE_n\mid f_n(x)-f(x)\mid^r\}\nonumber\\ &&+\frac{2^{1+r}A_n^2}{f^r(x)}\{E_n\mid f_n(x)-f(x)\mid^r\}\nonumber\\ &\leq&\frac{cA_n^{2-r}}{f^r(x)}\{(\frac{\textrm{e}^{-x}}{x})^rn^{-rs/2(s+2)}+\frac{c_1A_n^{2-r}}{f^r(x)}(x^{-1})^rn^{-rs/2(s+2)}\}\nonumber\\ &&+\frac{c_2A_n^2}{f^r(x)}n^{-rs/2(s+2)}, \end{eqnarray} $

(3.14)

将(3.14) 式代入 $A(n)$可得

$ A(n)\leq c_1A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}a_1+c_2A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}a_2+c_3A_n^2n^{-rs/2(s+2)}a_3, $

(3.15)

由Jensen不等式和

$ \int_0^1(x^{-1}e^{-x})^r\textrm{d}x < \int_0^1(x^{-1})^r\textrm{d}x < \infty~~(0 < r < 1), $

可知(3.15) 式中

$ \begin{eqnarray}a_1&=&\int_0^1(e^{-x}x^{-1})^r(f(x))^{1-r}\textrm{d}x\leq(f(0))^{1-r}\int_0^1(e^{-x}x^{-1})^r\textrm{d}x\nonumber\\ &\leq&(f(0))^{1-r}c_1<\infty, \end{eqnarray} $

(3.16)

$\begin{eqnarray} a_2&=&\int_0^1(x^{-1})^r(f(x))^{1-r}\textrm{d}x\leq(f(0))^{1-r}\int_0^1(x^{-1})^r\textrm{d}x\leq(f(0))^{1-r}c_2<\infty, \end{eqnarray} $

(3.17)

$\begin{eqnarray} a_3&=&\int_0^1(f(x))^{1-r}\textrm{d}x\leq(\int_0^1 f(x)\textrm{d}x)^{1-r}\leq1 ~ (0<1-r<1). \end{eqnarray} $

(3.18)

将(3.16), (3.17) 和(3.18) 式代入(3.15) 式可得

$ A(n)\leq c_1A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}+c_2A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}+c_3A_n^2n^{-rs/2(s+2)}\\ \leq cA_n^2n^{-rs/2(s+2)}, $

(3.19)

将(3.14) 式代入 $B(n)$和条件(2) 及 $\displaystyle\int_1^\infty(e^{-x}x^{-1})^r\textrm{d}x<\infty$可得

$ B(n)\leq c_1A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}b_1+c_2A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}b_2+c_3A_n^2n^{-rs/2(s+2)}b_3, $

其中

$ \begin{eqnarray*} b_1&=&\int_1^\infty(\textrm{e}^{-x}x^{-1})^r(f(x))^{1-r}\textrm{d}x\leq(f(0))^{1-r}\int_1^\infty(\textrm{e}^{-x}x^{-1})^r\textrm{d}x\leq(f(0))^{1-r}c_1 < \infty, \\ b_2&=&\int_1^\infty(x^{-1})^r(f(x))^{1-r}\textrm{d}x < b_3=\int_1^\infty(f(x))^{1-r}\textrm{d}x < \infty. \end{eqnarray*} $

将以上 $b_1, ~b_2, ~b_3$代入 $B(n)$可得

$ B(n)\leq c_1A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}+c_2A_n^{2-r}n^{-rs/2(s+2)}+c_3A_n^2n^{-rs/2(s+2)}\leq cA_n^2n^{-rs/2(s+2)}. $

(3.20)

由于 $0\leq\phi_n^\ast(x)\leq A_n$, 当 $rs>2$时, 有

$ \begin{eqnarray}C(n)&\leq&\int_0^{+\infty}{\phi_B^2(x)I(\phi_B(x)-A_n)f(x)\textrm{d}x}\leq\frac{1}{A_n^{rs-2}}\int_0^{+\infty}{\phi_B^{rs}(x)f(x)\textrm{d}x}\nonumber\\ &=&\frac{1}{A_n^{rs-2}}E[\phi_B^{rs}(x)]=\frac{1}{A_n^{rs-2}}E[E(\theta\mid x)]^{rs}\leq\frac{1}{A_n^{rs-2}}E(\theta^{rs})\leq c\frac{1}{A_n^{rs-2}}, \end{eqnarray} $

(3.21)

将(3.19), (3.20) 和(3.21) 式代入(3.13) 式可得

$ R_n-R_G=O(A_n^2n^{-rs/2(s+2)})+O(\frac{1}{A_n^{rs-2}}). $

取 $A_n=n^{1/2(s+2)}$时, 可得

$ R_n-R_G=O(n^{-(rs-2)/2(s+2)}). $

注  当 $r\rightarrow1, ~s\rightarrow+\infty$时, 可以得到本文的收敛速度阶近似为 $O(n^{-1/2})$.

下面举例说明适合文中定理条件的非指数分布族和先验分布是存在的, 在模型(1.2) 式中, 其中 $x \in \chi = (0, ~\infty ), ~\theta \in \Omega = (0, ~ + \infty ), ~0 < k(\theta ) < \infty, $设参数 $\theta$服从区间 $(0, ~1)$上的均匀分布, 即 $\theta\sim U(0, ~1)$, 则有

$ f(x) = \int_0^1 {f(\left. x \right|} \theta )g(\theta )d\theta = {e^{ - x}}\int_0^1 {\frac{{k(\theta )}}{{1 + \theta x}}} d\theta . $

(1) $\displaystyle\int_\Omega {{\theta ^{rs}}} dG(\theta ) = \int_0^1 {{\theta ^{rs}}} d\theta = \frac{1}{{rs + 1}} < \infty ;$

(2) 由于 ${\rm{s > 2, ~}}2/s < r < 1, ~0 < k(\theta ) < \infty, $从而 $0 < 1 - r < 1, $所以

$ \begin{eqnarray*} \int_1^{ + \infty } {{{(f(x))}^{1 - r}}} dx &=& \int_1^{ + \infty } {{{[{e^{-x}}\int_0^1 {\frac{{k(\theta )}}{{1 + \theta x}}} d\theta]}^{1 - r}}} dx\\ &=&\int_1^{ + \infty } {{e^{ - x(1 - r)}}{{[\int_0^1 {\frac{{k(\theta )}}{{1 + \theta x}}} d\theta]}^{1 - r}}} dx \\ &\le& \int_1^{ + \infty } {{e^{ - x(1 - r)}}{{[\int_0^1 {k(\theta )} d\theta]}^{1 - r}}} dx \\ &\le& c\int_1^{ + \infty } {{e^{ - x(1 - r)}}} dx < \infty . \end{eqnarray*} $

由(1), (2) 可知, 定理3.1的条件均满足.