有限环上的线性码的研究始于二十世纪七十年代^{[2, 3]}.在文献[7]中, Hammons等证明了某些高效的二元非线性码, 如Kerdock码、Delsarte-Goethals码都可以看做是 $Z_4$ -线性码的Gray像, 这使得有限交换环上的码受到广泛关注, 从而环上的码的研究成为编码理论研究的一个新的方向.我们知道, 除了四元域 $F_4$和模 $4$的剩余类环 $Z_4$之外, 还有两个四元素环: $F_2+uF_2=\{0, 1, u, 1+u\}$, 这里 $u^2=0$; $F_2+vF_2=\{0, 1, v, 1+v\}$, 这里 $v^2=v$.研究这四个四元素环上的线性码的结构是一个有趣的课题.对 $F_4$上的线性码结构的研究, 已有很多相关文献, 并得出了很多结果; 对 $Z_4$上的线性码(即四元码)也有很多相关研究工作(如文献[10]等); 环 $F_2+uF_2$上线性码的研究见文献[1, 4, 8].与前三个不一样的是, 环 $F_2+vF_2$不是链环.但是, 文献[9]中的结果表明有限Frobenius环也适合于编码, 这使得非链环上的线性码也开始受到关注.

近年来, 一些学者开始研究非链环 $F_p+vF_p$上的线性码, 这里 $v^2=v$, $p$是一个素数.在文献[11]里, 朱士信等研究了 $F_2+vF_2$上的线性码和循环码; 在文献[5], Cengellenmis等研究了环 $A_k=F_2[v_1, v_2, \cdots, v_k]/\langle v_i^2=v_i, v_iv_j=v_jv_i\rangle, 1\leq i, j \leq k$上的线性码, 而这一类环是环 $F_2+vF_2$的推广; 在文献[12]里, 朱士信等研究了 $F_p+vF_p$上的 $(1-2v)$ -常循环码, 这里 $p$是一个奇素数, 确定了 $F_p+vF_p$上的 $(1-2v)$ -常循环码的Gray像和它们的代数结构.

本文主要利用标准形生成元集来刻画 $F_2+vF_2$上的循环码及其对偶码的代数结构.我们先根据环 $F_2+vF_2$上的线性码的生成矩阵来探讨其对偶码的生成矩阵; 再根据标准形生成元集来刻画 $F_2+vF_2$上的循环码及其对偶码的代数结构.

设 $R$是一个有单位元的有限交换环.环 $R$上长为 $n$的线性码 $C$就是 $R^n$的一个 $R$ -子模, 这里 $R^n=\{(x_1, x_2, \cdots, x_n)|x_i\in R\}$.对任意的 $x=(x_1, x_2, \cdots, x_n), y=(y_1, y_2, \cdots, y_n)\in R^n$, 我们定义 $x, y$的内积: $\langle x, y\rangle=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n$.如果 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码, 那么定义 $C^\perp=\{x\in R^n|\langle x, c\rangle=0, \forall c\in C\}$, 则 $C^\perp$是环 $R$上长为 $n$的线性码, 称之为 $C$的对偶码.如果 $C\subseteq C^\perp$, 称线性码 $C$是自正交的; 如果 $C=C^\perp$, 称线性码 $C$是自对偶的.文献[9]证明了对有限Frobenius环 $R$上的任一线性码 $C$, 均有 $|C||C^\perp|=|R|^n$.

环 $F_2+vF_2=\{0, 1, v, 1+v\}$, 这里 $v^2=v$.易知环 $F_2+vF_2$等同于商环 $F_2[v]/\langle v^2+v\rangle$; 其中的每一个元素均可以表示成 $c=a+vb$的形式, 这里 $a, b\in F_2$.以后总假设 $R=F_2+vF_2$, 则环 $R$是一个半局部环, 仅有的两个极大理想是 $\langle v\rangle$和 $\langle 1+v\rangle$, 相应的剩余类域为 $R/\langle v\rangle=R/\langle 1+v\rangle = F_2$.这样环 $R$到 $R/\langle 1+v\rangle= F_2$有一个自然同态, 记做“ $\alpha$”: $R\longrightarrow R/\langle 1+v\rangle=F_2: x+vy\longmapsto x+y$; 同样地, 环 $R$到 $R/\langle v\rangle= F_2$也有一个自然同态, 记做“ $\beta$”: $R\longrightarrow R/\langle v\rangle=F_2: x+vy\longmapsto x$.自然地, 可以将这两个同态分别扩充为 $R^n\longrightarrow F_2^n$的环同态, 仍分别记做“ $\alpha$”和“ $\beta$”.为方便起见, 我们以后用 $r^\alpha$和 $r^\beta$分别表示 $R^n$中的元素 $r$在 $\alpha$和 $\beta$之下的像.设 $A\subseteq R^n$, 用 $A^\alpha$和 $A^\beta$分别表示集合 $A$中的所有元素在 $\alpha$和 $\beta$之下的像构成的集合.

环 $R$到环 $F_2\oplus F_2$有一个Gray映射 $\phi$如下: $\phi(c)=(a, a+b)$, 这里 $c=a+vb, a, b\in F_2$, 这样 $\phi$是一个环同构.此环同构表明环 $R$是一个有限交换的主理想环, 见文献[6, 命题2.7], 也表明环 $R$是一个有限Frobenius环.

设 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码.类似于文献[10]中命题 $1.1$的证明, 线性码 $C$有一个如下的生成矩阵 $G$:

$ \begin{pmatrix} I_{k_0}&A&B&D_1+v D_2 \\ 0&vI_{k_1}&0&v C_1 \\ 0&0&(1+v)I_{k_2}&(1+v)E \end{pmatrix}, $

其中 $k_0, k_1, k_2$为非负整数; $I_{k_0}, I_{k_1}, I_{k_2}$分别是阶为 $k_0, k_1, k_2$的单位矩阵; $A, B, C_1, D_1, D_2$和 $E$均是 $(0, 1)$矩阵.这样线性码 $C$的码字个数 $|C|=4^{k_0} 2^{k_1}2^{k_2}$.

设 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码.定义集合 $C_1, C_2$如下:

$ \begin{eqnarray*}&& C_1=\{x\in F_2^n|x+vy\in C, \text{存在某个}~y\in F_2^n\};\\ && C_2=\{x+y\in F_2^n|x+vy\in C\}, \end{eqnarray*} $

则 $C_1, C_2$是二元线性码, 并且 $C_1, C_2$的生成矩阵分别为

$ G_1=\begin{pmatrix} I_{k_0}&A&B&D_1 \\ 0&0&I_{k_2}&E \end{pmatrix};~~~~ G_2=\begin{pmatrix} I_{k_0}&A&B&D_1+D_2 \\ 0&I_{k_1}&0&C_1 \end{pmatrix}. $

由此可知 $k_0+k_2={\rm dim}C_1, k_0+k_1={\rm dim}C_2$.因此 $k_0+k_2, k_0+k_1$与环 $R$上的线性码 $C$的生成矩阵的选取无关.由于线性码 $C$的码字个数 $|C|= 4^{k_0} 2^{k_1}2^{k_2}=2^{(k_0+k_1)+(k_0+k_2)}$, 所以码字个数 $|C|$也与线性码 $C$的生成矩阵的选取无关.

设 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码, $a\in R$.记 $(C:a)=\{x\in R^n|ax\in C\}$, 则 $(C:a)$也是环 $R$上长为 $n$的线性码.注意到环 $R^n$中的每一个元素 $c$均可以表示成 $c=a+vb$的形式, 这里 $a, b\in F_2^n$.这样有

引理2.1  符号如上, 则 $(1)~ (C:v)^\alpha=C_2; \;\;\;(2)~(C:(1+v))^\beta=C_1$.

证  (1) 首先证明 $(C:v)^\alpha \subseteq C_2$.任取 $y\in (C:v)^\alpha$, 则存在 $x\in (C:v)$, 使得 $y=x^\alpha$.设 $x=r+vq$, 这里 $r, q\in F_2^n$, 则 $x^\alpha=r+q$.由 $vx\in C$, 得 $v(r+q)\in C$, 故 $r+q\in C_2$.因此 $y=x^\alpha=r+q\in C_2$.由此可得 $(C:v)^\alpha \subseteq C_2$.

再证明 $(C:v)^\alpha \supseteq C_2$.任取 $z\in C_2$, 则存在 $x+vy\in C$, 使得 $z=x+y$.既然 $x+vy\in C$, 则 $v(x+y)=v(x+vy)\in C$, 即得 $x+y\in (C:v)$.故有 $z=x+y=(x+y)^\alpha\in (C:v)^\alpha$, 即得 $(C:v)^\alpha \supseteq C_2$.因此 $(C:v)^\alpha=C_2$.

(2) 先证明 $(C:(1+v))^\beta\subseteq C_1$.任取 $y\in (C:(1+v))^\beta$, 则存在 $z\in (C:(1+v))$, 使得 $y=z^\beta$.设 $z=r+vq$, 这里 $r, q\in F_2^n$, 则 $z^\beta=r$.由 $(1+v)z\in C$, 得

$ r+vr=(1+v)r=(1+v)(r+vq)=(1+v)z\in C, $

故 $r\in C_1$.因此 $y=z^\beta=r\in C_1$.由此可得 $(C:(1+v))^\beta\subseteq C_1$.

再证明 $(C:(1+v))^\beta\supseteq C_1$.任取 $r\in C_1$, 则存在 $q\in F_2^n$, 使得 $r+vq\in C$.因为 $(1+v)r=(1+v)(r+vq)\in C$, 所以 $r\in (C:(1+v))$.因此 $r=r^\beta\in (C:(1+v))^\beta$.

综上所述, $(C:(1+v))^\beta=C_1$.

环 $R$上的线性码 $C$称为一个循环码, 如果对任意的 $(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1})\in C$, 均有 $(c_{n-1}, c_0, \cdots, c_{n-2})\in C$.记 $R_n=R[x]/\langle x^n-1\rangle$.这样把线性码 $C$中的元素 $c=(c_0, c_1, \cdots, $ $c_{n-1})\in C$与 $R_n$中的元素 $c(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}$等同.因此线性码 $C$是一个长为 $n$的循环码当且仅当 $C$是环 $R_n$的一个理想.我们再回顾一下二元域 $F_2$上的循环码.每一个二元域上长为 $n$的循环码 $C$就是 $F_2[x]/\langle x^n-1\rangle$的一个主理想.每一个循环码 $C$中均有一个首一的次数最低的多项式 $g(x)$, 使得 $C=\langle g(x)\rangle$, 并且 $g(x)|(x^n-1)$, 称 $g(x)$为循环码 $C$的生成多项式.设 $g(x)$是环 $R_n$中的一个首一多项式, $g(x)$生成循环码 $C$, 则 $g(x)$是循环码 $C$的生成多项式当且仅当 $g(x)|(x^n-1)$.

设 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)\in R_n$, 记由 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$所生成的理想为

$ \langle f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)\rangle. $

设 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}, a_i\in R, i=0, 1, \cdots, n-1$, 记

$ f(x)^\alpha=a_0^\alpha+a_1^\alpha x+\cdots+a_{n-1}^\alpha x^{n-1}; ~~f(x)^\beta=a_0^\beta+a_1^\beta x+\cdots+a_{n-1}^\beta x^{n-1}. $

我们用 $M^T$表示矩阵 $M$的转置矩阵.

定理3.1  设 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码, 其生成矩阵 $G$如下:

$ G=\begin{pmatrix} I_{k_0}&A&B&D_1+v D_2 \\ 0&vI_{k_1}&0&v C_1 \\ 0&0&(1+v)I_{k_2}&(1+v)E \end{pmatrix}, $

其中 $k_0, k_1, k_2$都为非负整数; $I_{k_0}, I_{k_1}, I_{k_2}$分别是阶为 $k_0, k_1, k_2$的单位矩阵; $A, B, C_1, D_1, D_2$和 $E$均是 $(0, 1)$矩阵, 则

(1) 矩阵

$ H=\begin{pmatrix} E^TB^T+C_1^TA^T+(D_1+vD_2)^T&C_1^T&E^T&I_{n-k}\\ vB^T&0&vI_{k_2}&0 \\ (1+v)A^T&(1+v)I_{k_1}&0&0 \end{pmatrix} $

是线性码 $C$的对偶码 $C^\perp$的生成矩阵, 即为线性码 $C$的校验矩阵, 这里 $k=k_0+k_1+k_2$.

(2) $(C^\perp:v)^\alpha=((C:v)^\alpha)^\perp; \;\;\; ((C^\perp:(1+v))^\beta=((C:(1+v))^\beta)^\perp$.

证  (1) 设 $D$是由矩阵 $H$所生成的线性码.可以直接验证 $HG^T$=0, 所以 $D\subseteq C^\perp$.由于环 $R$是一个有限Frobenius环, 那么 $|C||C^\perp|=|R|^n$, 即得

$ |C^\perp|=\frac{|R|^n}{|C|}=\frac{4^n}{4^{k_0}2^{k_1}2^{k_2}}=4^{n-k_0}2^{-k_1}2^{-k_2}. $

再注意到 $|D|=4^{n-k}2^{k_1}2^{k_2}=4^{n-k_0}2^{-k_1}2^{-k_2}$, 所以 $|D|=|C^\perp|$, 因此 $D=C^\perp$.

(2) 首先证明 $(C^\perp:v)^\alpha\subseteq((C:v)^\alpha)^\perp$.任取 $x\in (C^\perp:v), y\in (C:v)$, 则有 $vx\in C^\perp, vy\in C$, 故 $(vx)(vy)^T=0$, 即 $v(xy^T)=0$, 因此 $xy^T\in (1+v)R$, 即得 $x^\alpha (y^\alpha)^T=0$, 此式表明 $(C^\perp:v)^\alpha\subseteq((C:v)^\alpha)^\perp$.又根据定理3.1(1) 和引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray*}&& {\rm dim}(C^\perp:v)^\alpha=n-k+k_2=n-(k_0+k_1), \\ && {\rm dim}((C:v)^\alpha)^\perp=n-{\rm dim}((C:v)^\alpha)=n-(k_0+k_1), \end{eqnarray*} $

即得 ${\rm dim}(C^\perp:v)^\alpha={\rm dim}((C:v)^\alpha)^\perp$.因此 $(C^\perp:v)^\alpha=((C:v)^\alpha)^\perp$.

另一个等式同理可证.

推论3.2  符号如上.设 $C$是环 $R$上长为 $n$的线性码, 其生成矩阵为矩阵 $G$, 则 $C$是自对偶的当且仅当下面两个条件成立:

(ⅰ) $C$是自正交的;

(ⅱ) $n=2(k_0+k_1), k_1=k_2$.

证   $(\Longrightarrow)$若 $C$是自对偶的, 则(ⅰ)显然成立.既然 $C=C^\perp$, 则

$ k_0+k_1=n-k+k_2, k_0+k_2=n-k+k_1. $

因此 $n=2(k_0+k_1)=2(k_0+k_2)$, 即得 $k_1=k_2$, 故(ⅱ)成立.

$(\Longleftarrow)$由于 $n=2(k_0+k_1), k_1=k_2$, 则

$ |C|=4^{k_0}2^{k_1}2^{k_2}=4^{k_0+k_1}, |C^\perp|=4^{n-k}2^{k_1}2^{k_2}=4^{k_0+k_1}. $

又 $C\subseteq C^\perp$, 故 $C =C^\perp$, 即 $C$是自对偶的.

定义3.3  设 $g_i(x)\in F_2[x], i=1, 2$.称集合 $S=\{vg_1(x), (1+v)g_2(x)\}$是 $C$的一个标准形生成元集, 如果 $C=\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$, 并且 $g_1(x), g_2(x)$满足条件:对任一个 $i\in \{1, 2\}$, 若 $g_i(x)$不为零, 则 $g_i(x)$是 $F_2[x]$中的首一多项式, 并且 $g_i(x)|(x^n-1)$.

引理3.4  如果集合 $S=\{vg_1(x), (1+v)g_2(x)\}$是循环码 $C=\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$的一个标准形的生成元集, 则

$ (C:v)^\alpha=\langle g_1(x)\rangle; \;\;\; (C:(1+v))^\beta=\langle g_2(x)\rangle, $

即 $g_1(x), g_2(x)$分别是循环码 $(C:v)^\alpha$和 $(C:(1+v))^\beta$的生成多项式.

证  (1) 因为 $vg_1(x)\in C$, 所以 $g_1(x)\in (C:v)$, 故 $g_1(x)=g_1(x)^\alpha\in (C:v)^\alpha$, 即得 $\langle g_1(x)\rangle\subseteq (C:v)^\alpha$.再任取 $f(x)\in (C:v)$.注意到 $vf(x)\in C$, 可设

$ vf(x)=h_1(x)vg_1(x)+h_2(x)(1+v)g_2(x), $

这里 $h_1(x), h_2(x)\in R_n$.令

$ f(x)=f_1(x)+(1+v)f_2(x), h_1(x)=h_{11}(x)+(1+v)h_{12}(x), \\ h_2(x)=h_{21}(x)+vh_{22}(x), $

这里 $f_1(x), f_2(x), h_{11}(x), h_{12}(x), h_{21}(x), h_{22}(x)\in F_2[x]$.因此

$ \begin{eqnarray*} vf(x)&=&vf_1(x)\\ &=&[h_{11}(x)+(1+v)h_{12}(x)]v g_1(x)+[h_{21}(x)+v h_{22}(x)](1+v)g_2(x)\\ &=&v h_{11}(x)g_1(x)+(1+v)h_{21}(x)g_2(x)\\ &=&v(h_{11}(x)g_1(x)+h_{21}(x)g_2(x))+h_{21}(x)g_2(x). \end{eqnarray*} $

即得 $v[f_1(x)+h_{11}(x)g_1(x)+h_{21}(x)g_2(x)]=h_{21}(x)g_2(x)$, 故有 $h_{21}(x)g_2(x)=0$且 $f_1(x)=h_{11}(x)g_1(x)+h_{21}(x)g_2(x)=h_{11}(x)g_1(x)$.因此 $f(x)^\alpha=f_1(x)=h_{11}(x)g_1(x)\in \langle g_1(x)\rangle$, 此式表明 $\langle g_1(x)\rangle\supseteq (C:v)^\alpha$.由此得到 $(C:v)^\alpha=\langle g_1(x)\rangle$.

(2) 因为 $(1+v)g_2(x)\in C$, 所以 $g_2(x)\in (C:(1+v))$, 故 $g_2(x)=g_2(x)^\beta\in (C:(1+v))^\beta$, 即得 $\langle g_2(x)\rangle\subseteq (C:(1+v))^\beta$.再任取 $f(x)\in (C:(1+v))$.注意到 $(1+v)f(x)\in C$, 可设 $(1+v)f(x)=u_1(x)vg_1(x)+u_2(x)(1+v)g_2(x)$, 这里 $u_1(x), u_2(x)\in R_n$.令

$ f(x)=f_1(x)+vf_2(x), u_1(x)=u_{11}(x)+(1+v)u_{12}(x), \\ u_2(x)=u_{21}(x)+vu_{22}(x), $

这里 $f_1(x), f_2(x), u_{11}(x), u_{12}(x), u_{21}(x)$, $u_{22}(x)\in F_2[x]$.因此

$ \begin{eqnarray*} (1+v)f(x)&=&(1+v)f_1(x)\\ &=&[u_{11}(x)+(1+v)u_{12}(x)]v g_1(x)\\ && + [u_{21}(x)+v u_{22}(x)](1+v)g_2(x)\\ &=&v u_{11}(x)g_1(x)+(1+v)u_{21}(x)g_2(x)\\ &=&v[u_{11}(x)g_1(x)+u_{21}(x)g_2(x)]+u_{21}(x)g_2(x), \end{eqnarray*} $

即得

$ v[f_1(x)+u_{11}(x)g_1(x)+u_{21}(x)g_2(x)]=f_1(x)+u_{21}(x)g_2(x), $

故有 $f_1(x)+u_{21}(x)g_2(x)=0$, 即得 $f_1(x)=u_{21}(x)g_2(x)$.因此

$ f(x)^\beta=f_1(x)=u_{21}(x)g_2(x)\in \langle g_2(x)\rangle, $

此式表明 $\langle g_2(x)\rangle\supseteq (C:(1+v))^\beta$.由此得到 $(C:(1+v))^\beta=\langle g_2(x)\rangle$.

定理3.5  设 $C$是环 $R$上一个非零的循环码, 则 $C$有唯一的标准形生成元集.

证  既然 $C$是环 $R$上的循环码, 则 $(C:v)^\alpha$和 $(C:(1+v))^\beta$都是二元循环码.已知 $C\neq 0$, 由引理2.1可知 $(C:v)^\alpha$和 $(C:(1+v))^\beta$不全为零.不妨假设 $(C:v)^\alpha$和 $(C:(1+v))^\beta$全不为零.令 $(C:v)^\alpha=\langle g_1(x)\rangle; (C:(1+v))^\beta=\langle g_2(x)\rangle$, 这里 $g_1(x), g_2(x)$分别是 $(C:v)^\alpha$和 $(C:(1+v))^\beta$的生成多项式.我们断言 $C=\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$.

取 $f(x)\in (C:v)$, 使得 $f(x)^\alpha=g_1(x)$.令 $f(x)=g_1(x)+(1+v)f_1(x), f_1(x)\in F_2[x]$.由 $vf(x)\in C$得 $vg_1(x)\in C$; 同理可证 $(1+v)g_2(x)\in C$, 故 $C\supseteq\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$.再任取 $f(x)\in C$, 则 $vf(x)\in C, (1+v)f(x)\in C$.设

$ f(x)=f_1(x)+(1+v)f_2(x)=(f_1(x)+f_2(x))+vf_2(x), $

这里 $f_1(x), f_2(x)\in F_2[x]$.既然 $vf(x)\in C$, 那么 $f(x)\in (C:v)$, 进而得

$ f(x)^\alpha\in (C:v)^\alpha=\langle g_1(x)\rangle, $

即 $f_1(x)\in \langle g_1(x)\rangle$.令 $f_1(x)=u_1(x)g_1(x), u_1(x)\in F_2[x]$.同样地, 由于 $(1+v)f(x)\in C$, 则 $f(x)\in (C:(1+v))$, 进而得 $f(x)^\beta\in (C:(1+v))^\beta=\langle g_2(x)\rangle, $即 $f_1(x)+f_2(x)\in \langle g_2(x)\rangle$.令

$ f_1(x)+f_2(x)=u_2(x)g_2(x), ~~ u_2(x)\in F_2[x], $

则 $f_2(x)=u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)$.因此

$ \begin{eqnarray*} f(x)&=&f_1(x)+(1+v)f_2(x)\\ & =&(f_1(x)+f_2(x))+vf_2(x)\\ & =&u_2(x)g_2(x)+v[u_1(x)g_1(x)+u_2(x)g_2(x)]\\ & =&u_1(x)(v g_1(x))+u_2(x)((1+v)g_2(x)). \end{eqnarray*} $

此式表明 $C\subseteq\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$.因此 $C=\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$.

如果 $(C:v)^\alpha =0$, 那么取 $g_1(x)=0$; 如果 $(C:(1+v))^\beta=0$, 那么取 $g_2(x)=0$.

根据二元域上的循环码的生成多项式的唯一性, 由引理3.4可得环 $R$上的非零循环码 $C$的标准形生成元集是唯一的.

推论3.6   $R_n=R[x]/\langle x^n-1\rangle$是主理想环.

证  设 $C$是 $R_n$的任一个理想.由定理3.5可令 $C=\langle vg_1(x), (1+v)g_2(x)\rangle$, 这里 $\{vg_1(x), (1+v)g_2(x)\}$是 $C$的标准形生成元集.再注意到

$ vg_1(x)=v[vg_1(x)+(1+v)g_2(x)]; (1+v)g_2(x)\\ =(1+v)[vg_1(x)+(1+v)g_2(x)]. $

即得 $C=\langle vg_1(x)+(1+v)g_2(x)\rangle$, 故 $R_n=R[x]/\langle x^n-1\rangle$是主理想环.

下面是一个大家熟知的结果:

命题3.7  设 $C$是环 $R$上的一个循环码, 则 $C$的对偶码 $C^\perp$也是循环码.设

$ \begin{eqnarray*}&& g_1(x)h_1(x)=x^n-1, g_2(x)h_2(x)=x^n-1;\\ && \bar{h}_1(x)=x^{{\rm deg}(h_1(x))}h_1(\frac{1}{x}), \bar{h}_2(x)=x^{{\rm deg}(h_2(x))}h_2(\frac{1}{x}).\end{eqnarray*} $

即 $\bar{h}_1(x)$和 $\bar{h}_2(x)$分别是 $h_1(x)$和 $h_2(x)$的互反多项式.记

$ h^*_1(x)=\frac{1}{h_1(0)}\bar{h}_1(x), h^*_2(x)=\frac{1}{h_2(0)}\bar{h}_2(x). $

定理3.8  设环 $R$上的循环码 $C$的标准形生成元集为 $\{vg_1(x), (1+v)g_2(x)\}$, 则 $C$的对偶码 $C^\perp$的标准形生成元集为 $\{vh^*_1(x), (1+v)h^*_2(x)\}.$

证  由定理3.1(2) 可得.