分歧是自然界的普遍现象, 它所描述的是一个稳定状态的系统, 当系统控制参数超过某个临界值时, 该系统就会跃迁到另一个状态. Rabinowitz等对分歧做了一些研究^[1-3]; 近期马和汪建立了一套新的分歧理论用于研究非线性演化方程的稳定性与分歧^[4-6]; 文献[7, 8]用此套理论研究了不同系统的定态分歧问题.本文探讨下面带有非单调反应函数的两物种食饵-捕食模型的动态分歧^[9].

$ \left\{ \begin{align} & \frac{\partial u}{\partial t}={{d}_{1}}\vartriangle u+u(a-bu-\frac{cv}{r+{{u}^{2}}}), x\in \Omega, t\in (0, \infty ), \\ & \frac{\partial v}{\partial t}={{d}_{2}}\vartriangle v+v(d-ev+\frac{fu}{r+{{u}^{2}}})x\in \Omega, t\in (0, \infty ), \\ \end{align} \right. $

(1.1)

其中 $\Omega \in R^{n}$是一个具有光滑边界 $\partial \Omega$的有界区域, $u, v$分别表示两个物种的种群密度. $d_{1}, d_{2}$和 $a, d$分别表示两个物种 $u, v$的扩散率和生长率, $r$为半饱和常数, $\displaystyle{\frac{cv}{1+u^{2}}}$和 $\displaystyle{\frac{fu}{1+u^{2}}}$表示反应函数（反映单位时间内随着食饵数量变化而引起的捕食者的数量变化).一般来说, 许多带有反应函数的食饵-捕食生物模型中, 反应函数 $ p(u)$都是单调连续的, 例如^[10-12]

$ p(u)=\frac{mu}{r+u}, p(u)=\frac{mu^{2}}{r+u^{2}}, p(u)=\frac{mu^{2}}{r+bu+u^{2}}, $

其中 $m, r, b$为常数, $m$表示种群的极大增长率, $r$表示半饱和数.

但是, 实验表明在微生物动力学和化学动力学中, 非单调反应的函数也会经常出现.这种现象经常会在利用生物有机体进行废物分解和水的净化过程中看到.例如反应函数

$ p(u)=\frac{mu}{a+u^{2}}, p(u)=\frac{mu}{a+bu+u^{2}}, $

关于单调和非单调反应函数的详细背景可参见文献[13, 14].特别是在文献[14]中, 对带非单调反应函数和齐次Neumann边界条件的两物种食饵-捕食生物模型(1.1), 作者讨论了以下内容:非零正常平衡态解的稳定性, 正平衡态解的先验估计, 不存在性及全局存在性.

本文主要依据分歧理论, 在以上文献研究基础之上进一步讨论系统(1.1) 的动态分歧问题.

给方程(1.1) 配以Neumann边界条件, 表示所研究的食饵-捕食系统是封闭的, 种群与外界无流通.显然 $U=(0, 0)^{T}$是方程的一个平衡解, 本文研究方程(1.1) 在 $U=(0, 0)^{T}$附近的分歧情况.

首先对方程(1.1) 在$U=(0, 0)^{T}$的邻域内做Taylor展开, 并考虑初始条件和边界条件, 得到下面方程

$ \left. \begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial t}}=d_{1}\triangle u+au-bu^{2}-\displaystyle{\frac{c}{r}}uv+o(|U|^{2}), \\ \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial t}}=d_{2}\triangle v+dv-ev^{2}+\displaystyle{\frac{f}{r}}uv+o(|U|^{2}), \\ \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial n}|}_{\partial \Omega}=\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial n}|_{\partial \Omega}}=0, \\ u(x, 0)=u_{0}, v(x, 0)=v_{0}.\\ \end{cases}\right. $

(2.1)

在系统(2.1) 中假设两个物种的扩散率不相等, 即

$ d_{1}\neq d_{2}. $

(2.2)

本文中为方便讨论, 取区间 $\Omega=[0, L]\subset R^{1}$, 对 $R^{2}, R^{3}$的情况可类似讨论.下面取 $\lambda=d_{2}$为控制参量, 并且建立如下空间:

$ \begin{eqnarray*} &&X=\{(u, v)|u, v\in L^{2}(\Omega)\}, \\ &&X_{1}=\{(u, v)|u, v\in H^{2}(\Omega), \frac{\partial u}{\partial n}|_{\partial \Omega} =\frac{\partial v}{\partial n}|_{\partial \Omega}=0\}.\end{eqnarray*} $

显然由此定义的 $X, X_{1}$是两个Hilbert空间, 且 $X_{1}$嵌入到 $X$是一个稠密的紧包含^[13].

定义算子: $L_{\lambda}=-A_{\lambda}+B: X_{1}\rightarrow X, \quad G:X_{1}\rightarrow X, $其中

$ \begin{eqnarray*} &&-A_{\lambda}U= \left( \begin{array}{cc} d_{1}\triangle u \\\lambda\triangle v\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} d_{1}\triangle &0\\0&\lambda \triangle\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u\\v\\ \end{array} \right), \\ &&B_{\lambda}U=\left( \begin{array}{cc} au\\ dv\\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} a&0\\0&d\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} u\\v\\ \end{array} \right), \\ &&G(U)=\left( \begin{array}{cc} -bu^{2}-\displaystyle{\frac{c}{r}}uv+o(|U|^{2})\\ -ev^{2}+\displaystyle{\frac{f}{r}}uv+o(|U|^{2})\\ \end{array} \right), \quad\quad U=\left( \begin{array}{cc} u\\ v\\ \end{array} \right).\end{eqnarray*} $

上述定义的算子 $-A_{\lambda}$是一个线性同胚, $B$是紧算子, $ L_{\lambda}=-A_{\lambda}+B$是一个线性全连续场, 则方程(1.1) 可以转化为如下抽象形式:

$ \left. \begin{cases} \displaystyle{\frac{\partial U}{\partial t}}=L_{\lambda}U+G(U), \\ U(x, 0)=U_{0}(x), \\ \end{cases}\right. $

(2.3)

其中 $U_{0}(x)=(u_{0}(x), v_{0}(x)).$

假设 $\rho_{k}$和 $\psi_{k}$分别是下面Laplace算子的的特征值和特征向量:

$ \left. \begin{cases} \displaystyle-\triangle\psi_{k}=\rho_{k}\psi_{k}, \\ \displaystyle\left.\frac{\partial \psi_{k}}{\partial n}\right|_{x\in\partial\Omega}=0, \\ \displaystyle\int_{\Omega}\psi_{k}^{2}dx=1, \quad\quad \Omega=[0, L].\\ \end{cases}\right. $

(2.4)

则 $\rho_{k}$满足 $0=\rho_{0}<\rho_{1}<\rho_{2}<\cdots$, 且 $\rho_{k}=\frac{k^{2}\pi^{2}}{L^{2}}, \psi_{0}=\frac{1}{\sqrt{L}}, \psi_{k}=\sqrt{\frac{2}{L}}\cos\frac{k\pi x}{L}$.

设 $\beta_{k}^{\pm}$和 $e_{k}^{\pm}(k=0, 1, 2, 3\cdots )$分别为算子 $L_{\lambda}$对应的特征值和特征向量, $(\beta_{k}^{\pm})^{\ast}$和 $(e_{k}^{\pm})^{\ast}$分别为 $L_{\lambda}$的共轭算子 $L_{\lambda}^{\ast}$的特征值和特征向量

$ \begin{eqnarray*} &&(\beta_{k}^{+})^{\ast}=\beta_{k}^{+}(\lambda)=d-\lambda \rho_{k} , \quad\quad\quad (\beta_{k}^{-})^{\ast}=\beta_{k}^{-}(\lambda)=a-d_{1}\rho_{k}, \\ &&e_{k}^{+}=(e_{k}^{+})^{\ast}={\psi_{k}\choose 0} , \quad\quad\quad\quad e_{k}^{-}=(e_{k}^{-})^{\ast}={0\choose \psi_{k}}.\end{eqnarray*} $

它们满足如下关系:

$ \begin{eqnarray*} &&L_{\lambda}e_{k}^{+}=\beta_{k}^{+}e_{k}^{+}, \quad\quad\quad L_{\lambda}e_{k}^{-}=\beta_{k}^{-}e_{k}^{-}, \\ &&L_{\lambda}^{\ast}(e_{k}^{+})^{\ast} =\beta_{k}^{+}(e_{k}^{+})^{\ast}, \quad\quad\quad L_{\lambda}^{\ast}(e_{k}^{-})^{\ast}=\beta_{k}^{-}(e_{k}^{-})^{\ast}, \end{eqnarray*} $

且算子 $L$的特征值 $\beta_{k}^{\pm}(\lambda)$满足以下关系:

$ \begin{eqnarray} &&\beta_{k}^{+} (\lambda)=d-\lambda \rho_{k}\left \{\ \begin{aligned} &>0, &\lambda < \lambda_{0}, \\ &=0, &\lambda = \lambda_{0}, \\ &<0, &\lambda > \lambda_{0}, \\ \end{aligned}\right.\nonumber\\ &&\beta_{i}^{-}(\lambda_{0})=a-d_{1}\rho_{i}\neq 0, \forall i\in N, \quad\quad\beta_{i}^{+}(\lambda_{0})=d(1-\frac{\rho_{i}}{\rho_{k}})\neq 0, \forall i\neq k, \end{eqnarray} $

(2.5)

这里 $\lambda_{0}=\frac{d}{\rho_{k}}, k\geq1 .$

定理3.1  设方程(2.1) 满足条件(2.2), (2.5), 则对方程(2.1) 有如下结论成立:

(1) 若 $J(\lambda_{0})>0$, 则方程(2.1) 在 $(U, \lambda)=(0, \lambda_{0})=(0, \frac{d}{\rho_{k}})$处有一个跳跃型跃迁, 并且在 $\lambda>\lambda_{0}$一侧分歧出严格两个鞍点 $U_{1}(\lambda)$和 $U_{2}(\lambda)$, 其Morse指数为1, 这里的

$ J(\lambda)=\frac{b}{L(d-\lambda\rho_{2k})}. $

(2) 若 $J(\lambda_{0})<0$, 则方程(2.1) 在 $(U, \lambda)=(0, \lambda_{0})=(0, \frac{d}{\rho_{k}})$处有一个连续型跃迁, 即有一个吸引子分歧, 并且严格分歧出两个奇点 $U_{1}(\lambda)$和 $U_{2}(\lambda)$, 分别吸收 $\overline{U}$的两个开集, 其中 $\overline{U}$是以 $U=(u, v)=(0, 0)^{T}$为中心的一个小邻域.

(3) 在上述两种情况下, 分歧出的鞍点和奇点 $U_{1}(\lambda)$和 $U_{2}(\lambda)$可表达为

$ U_{1, 2}(\lambda)=\pm |\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}e_{k}+o(|\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}). $

证  由2.2节的特征值和特征向量的分析及全连续场的谱定理得, 在 $\lambda=\lambda_{0}=\frac{d}{\rho_{k}}$的邻域内有如下的空间分解:

$ X_{1}=E_{1}\oplus E_{2}, \quad\quad\quad X=E_{1}\oplus \overline{E_{2}}, $

其中 $E_{1}={\rm span} \{e_{k}^{+} \}, $ $E_{2}={\rm span} \{e_{0}^{\pm}, e_{1}^{\pm}, \cdots, e_{k-1}^{\pm}, e_{k}^{-}, e_{k+1}^{\pm}, \cdots\}$, $\overline{E_{2}}$为 $E_{2}$在X中的闭包.即对 $\forall u\in X_{1}$, 有下列分解:

$ U={u\choose v}=x_{k}e_{k}^{+}+\sum\limits_{i\neq k}y_{i}^{+}e_{i}^{+}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_{i}^{-}e_{i}^{-}, $

(3.1)

将(3.1) 式中的 $U$代入方程(2.3) 得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(x_{k}e_{k}^{+}+\sum\limits_{i\neq k}y_{i}^{+}e_{i}^{+}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_{i}^{-}e_{i}^{-})\nonumber\\ &=&L(x_{k}e_{k}^{+}+\sum\limits_{i\neq k}y_{i}^{+}e_{i}^{+}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_{i}^{-}e_{i}^{-}) +G(x_{k}e_{k}^{+}+\sum\limits_{i\neq k}y_{i}^{+}e_{i}^{+}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_{i}^{-}e_{i}^{-}). \end{eqnarray} $

(3.2)

对(3.2) 式同时乘以 $e_{k}^{+}, e_{i}^{+}(i\neq k), e_{i}^{-}(i=0, 1, 2, \cdots)$做内积, 得

$ \left. \begin{cases} \displaystyle\frac{\mathrm{d}x_{k}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}(e_{k}^{+})^{2}\mathrm{d}x= \beta_{k}^{+}x_{k}\int_{\Omega}(e_{k}^{+})^{2}\mathrm{d}x+\int_{\Omega}G(U) e_{k}^{+}\mathrm{d}x, \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y_{i}^{+}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}(e_{i}^{+})^{2}\mathrm{d}x= \beta_{i}^{+}y_{i}^{+}\int_{\Omega}(e_{i}^{+})^{2}\mathrm{d}x+\int_{\Omega}G(U) e_{i}^{+}\mathrm{d}x, \quad\quad i\neq k, \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}y_{i}^{-}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}(e_{i}^{-})^{2}\mathrm{d}x= \beta_{i}^{-}y_{i}^{-}\int_{\Omega}(e_{i}^{i})^{2}\mathrm{d}x+\int_{\Omega}G(U) e_{i}^{-}\mathrm{d}x, \\ \end{cases}\right. $

(3.3)

注意到上式中的 $\displaystyle\int_{\Omega}(e_{k}^{\pm})^{2}\mathrm{d}x=1, \quad k=0, 1, 2, 3\cdots .$

下面利用中心流形函数定理^[4]计算中心流形函数

$ \begin{eqnarray*} \Phi(x_{k}, \lambda)=\sum\limits_{i\neq k}y_{i}^{+}e_{i}^{+}+\sum\limits_{i=0}^{\infty}y_{1}^{-}e_{i}^{-} +O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}). \end{eqnarray*} $

由(3.3) 式可得

$ y_{i}^{+}=-\frac{\langle G_{2}(x_{k}e_{k}^{+}), (e_{i}^{+})^{\ast}\rangle} {\beta_{i}^{+}}+O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), $

其中

$ G_{2}(U)={-bu^{2}-\frac{c}{r}uv\choose -ev^{2}+\frac{f}{r}uv}. $

经计算

$ \begin{eqnarray*} &&y_{i}^{+} =\left \{\ \begin{aligned} &\frac{bx_{k}^{2}}{\sqrt{L}\beta_{0}^{+}}+O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), &i=0, \\ &\frac{bx_{k}^{2}}{\sqrt{2L}\beta_{2k}^{+}}+O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), &i=2k, \\ &O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), &i\neq0, i\neq 2k. \end{aligned}\right. \end{eqnarray*} $

同理可得

$ y_{i}^{-}=O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), \forall i\in N. $

则得到方程(2.3) 的中心流形函数为

$ \Phi(x_{k}, \lambda)=\frac{bx_{k}^{2}}{\sqrt{L}\beta_{0}^{+}}e_{0}^{+}+\frac{bx_{k}^{2}}{\sqrt{2L}\beta_{2k}^{+}}e_{2k}^{+}+ O(|\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}^{2}|)+o(x_{k}^{2}), $

代入(3.2) 式中可得到约化方程的二阶近似

$ \frac{\mathrm{d}x_{k}^{+}}{\mathrm{d}t}=\beta_{k}^{+}(\lambda)x_{k}+J(\lambda)x_{k}^{3}+o(|(x_{k}|^{3})), $

(3.4)

其中

$ J(\lambda)=\frac{b}{L\beta_{2k}^{+}}=\frac{b}{L(d-\lambda\rho_{2k})}. $

容易看出, 当 $\beta_{k}^{+}(\lambda)>0$(即 $\lambda<\lambda_{0}$), 方程(3.4) 的解满足

$ \begin{eqnarray*} \overline{\lim _{t\rightarrow \infty}}|x_{k}(t, x_{0})|>\delta, \quad\quad \forall |x_{0}|< \varepsilon, \end{eqnarray*} $

这里 $\delta >0$是一个常数, $x_{k}(0, x_{0})=x_{0}$.由跃迁的基本定理^[4]知, 方程(2.4) 在 $(x_{k}, \lambda)=(0, \lambda_{0})$处发生跳跃型跃迁.同时, 在 $x_{k}=0$附近有严格的两个解:

$ x_{k}^{\pm}(\lambda)=\pm |\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}+o(|\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}), $

即原方程(2.1) 在 $(0, \lambda_{0})$附近分歧出的解可表达为

$ U_{1, 2}(\lambda)=\pm |\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}e_{k}+o(|\frac{\beta_{k}^{+}(\lambda)}{J(\lambda_{0})}|^{\frac{1}{2}}). $

由以上分析, 可得定理3.1中的结论(1) 成立, 同理可得结论(2) 和(3).

本文找到了方程(2.1) 发生动态分歧的临界参数 $\lambda_{0}=\frac{d}{\rho_{k}}$, 并且给出了分歧解的判别式 $J(\lambda_{0})$和分歧解的表达式, 同时判定了跃迁的类型.跃迁在中心流形上的拓扑结构如图 3.1和图 3.2所示.

图 3.1是 $J(\lambda_{0})>0$的情形, 可以看出方程在 $\lambda>\lambda_{0}$的一侧分歧出两个鞍点, 并且这种跃迁是跳跃型跃迁; 图 3.2是 $J(\lambda_{0})<0$的情形, 在 $\lambda<\lambda_{0}$的一侧发生连续型跃迁, 分歧出两个奇点, 这两个奇点都是吸引子, 即如果两个种群的密度初始值落在 $U_{1}$或者 $U_{2}$的吸引域内, 其密度最后趋向奇点 $U_{1}$或者 $U_{2}$, 这个结论可以为生态研究提供一定的理论依据.