NA (negatively associated)随机变量是二十世纪八十年代初由Alam和Saxena ^[1], Joag-Dev和Proschan ^[2]提出的一类重要的相依随机变量.

定义1  称随机变量 $\{X_i, 1\le i \le n\}$为NA(negatively associated)的, 如果对于 $\{1, 2, \cdots, n\}$的任意两个不相交的非空子集A和B, 都有

$ {\hbox{Cov}}(f_1(X_i, i\in A), f_2(X_j, j\in B))\le 0, $

其中 $f_1$和 $f_2$是任何两个使上述协方差存在的且对每个变元均非降（或均非升）的函数; 称 $\{X_n, n \ge 1\}$是NA序列, 若对任何自然数 $n\ge 2, \ \{X_i, 1\le i \le n\}\ $都是NA的.

由于NA随机变量在可靠性理论, 渗透理论及多元统计分析中有广泛的应用, 对其极限理论的研究有十分重要的意义, 许多学者进行了深入研究, 获得了许多较深刻的结果, 如文[3-11]等.

以下记 $\Psi_c$为具有如下性质的函数 $\psi(x)$的集合:对每个 $\psi(x)$都存在 $x_0=x_0(\psi)\ge 0$, 在 $x>x_0$上 $\psi(x)$为递增的正值函数且 $\sum\limits_{n>x_0}\frac{1}{n\psi(n)}$收敛.

对独立随机变量序列, Petrov (见文献[12]定理6.17) 得到如下结论.

定理A  设 $\{X_n, n\ge 1\}$是均值为零的独立随机变量序列, 且 $EX_n^2 < \infty, $ $ B_n=\sum\limits_{k=1}^n EX_k^2\uparrow \infty.$记 $S_n=\sum\limits_{k=1}^n X_k, $则 $\forall\, \psi(x)\in \Psi_c$都有

$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{S_n}{(B_n\psi(B_n))^{1/2}}=0\quad {\hbox{a.s.}}. $

进一步, Egorov在文[13]证明了

定理B  设 $\{X_n, n\ge 1\}$是均值为零的独立随机变量序列, 且 $EX_n^2<\infty, $ $ B_n=\sum\limits_{k=1}^n EX_k^2\uparrow \infty, $ $\{a_n, n\ge 1\}$为单调递增正数列且 $a_n\uparrow \infty, $如果存在 $n_0\in N\mbox{(自然数集)}, \alpha>0, D>0, $满足

$ B_n^{1/2}(\log B_n)^\alpha a_n^{-1}\le D, n>n_0. $

则

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{S_n}{a_n} =0\quad {\hbox{a.s.}} \end{equation} $

(1.1)

的充要条件是

$ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^\infty P(|X_n|>\varepsilon a_n) < \infty, \, \forall \varepsilon>0. \end{equation} $

(1.2)

特别取 $a_n=B_n^{1/2}(\log B_n)^\alpha, $则 $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{S_n}{B_n^{1/2}(\log B_n)^\alpha}=0\quad {\hbox{a.s.}}$成立的充要条件是

$ \sum\limits_{n=1}^\infty P(|X_n|>\varepsilon B_n^{1/2}(\log B_n)^\alpha) < \infty, \, \forall\, \varepsilon>0. $

王岳宝等在文[4]中把定理A推广到NA随机变量序列情形, 刘立新与程士宏于文[5]在 $a_n=B_n^{1/2}(\log B_n)^\alpha$的特殊场合将定理B推广到NA随机变量情形, 又于文[6]中在较一般的条件下将定理B推广到NA随机变量情形, 得到下面的定理C和定理D, 推广和改进了许多已知的结果.

定理C  设 $\{X_{n}, n\ge 1 \}$是均值为零的NA随机变量序列, $\{\sigma_n, n\ge 1\}$是正常数列满足

$ \begin{equation} EX_n^2 \le \sigma_n^2, \forall n\ge 1, \end{equation} $

(1.3)

以及

$ \begin{equation} B_n =\sum\limits_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty, \, n\to \infty. \end{equation} $

(1.4)

$\{a_n, n\ge 1\}$为单调递增正数列且 $a_n\uparrow \infty, $及存在子列 $\{n_k, k\ge 1\}\in N$和 $C_1>1, C_2>1, $满足

$ \begin{equation} C_1a_{n_k}\le a_{n_{k+1}}\le C_2 a_{n_k+1}. \end{equation} $

(1.5)

记 $B(k)=\sum\limits_{j=n_{k}+1}^{n_{k+1}} \sigma_j^2, $如果存在 $\beta>0, $使得 $ \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{B(k)}{a_{n_{k+1}}^2}\right )^\beta < \infty, $则(1.1) 式成立的充要条件是(1.2) 式成立.

定理D  设 $\{X_n, n\ge 1\}$, $\{\sigma_n, n\ge 1\}$如定理1所述且满足(1.3), (1.4) 式. $\{a_n, n\ge 1\}$为单调递增正数列且 $a_n\uparrow \infty.$如果存在 $\beta>1$, 使得 $ \sum\limits_{n=1}^\infty \sigma_n^2 B_n^{\beta-1}a_n^{-2\beta} < \infty, $则(1.1) 式成立的充要条件是(1.2) 式成立.

本文受文献[5]与文献[6]的启发, 进一步推广定理C与定理D, 得到更一般性的结论.所获结果推广和改进了Egorov在独立随机变量序列的结果和在NA随机变量序列已有的一些结果.

为证本文结果, 需要如下引理.

引理1^[7]  设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$是均值为零的NA随机变量.若存在正数 $\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n$使得 $EX_k^2\le \sigma_k^2, k=1, 2, \cdots, n. $记 $M_n:=\sum\limits_{k=1}^n \sigma_k^2, $则 $\forall\, x>0, y_1, y_2, \cdots, y_n>0$和 $y\ge \max\{y_1, y_2, \cdots, y_n\}, 0 < M_n < \infty, $都有

$ P(\max\limits_{1\le k\le n}|S_k|\ge x)\le \sum\limits_{k=1}^n P(|X_k|>y_k)+2\exp\left\{1+\frac{x}{y}-\left(\frac{x}{y}+\frac{M_n}{y^2}\right)\ln\left(1+\frac{xy}{M_n}\right)\right\}. $

引理2^[12]  设 $\{a_n, n\ge 1\}$是非负数列, $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k, A_n\to \infty, $则对任意 $\psi(x)\in \Psi_c$都有 $\sum\limits_{n>x_0}\frac{a_n}{A_n\psi(A_n)}$收敛.

引理3^[14]  设 $\{b_n, n\ge 1\}$为常数列且 $0 < b_n\nearrow \infty$, 则对任意的 $M>1$, 存在子列 $\{m_k, k\ge 1\}\subset N$, 使得下式成立 $ Mb_{m_k}\le b_{m_{k+1}}\le M^3 b_{m_k+1}, \ \ k=1, 2, \cdots. $

以下总用 $C$代表与 $n$无关的正常数, 在不同的地方可表示不同的值, 即使在同一式中也是如此.

定理1  设 $\{X_{n}, n\ge 1 \}$是均值为零的NA随机变量序列, $g(x)$是 $R$上非负的偶函数, 在 $(0, +\infty)$上取正值且 $x/g(x)$和 $g(x)/x^2$均在 $(0, +\infty)$递减, $\{\sigma_n, n\ge 1\}$是正常数列满足(1.4) 式及

$ \begin{equation} Eg(X_n)\le \sigma_n^2, \forall n\ge 1, \end{equation} $

(2.1)

$\{a_n, n\ge 1\}$为定理C所述的满足(1.5) 式的正数列.记 $B(k)=\sum\limits_{j=n_{k}+1}^{n_{k+1}} \sigma_j^2.$如果存在 $\beta>0, $使得

$ \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{B(k)}{g(a_{n_{k+1}})}\right )^\beta < \infty, \end{equation} $

(2.2)

则(1.1) 式成立的充要条件是(1.2) 式成立.

证  必要性直接根据Mutula ^[3]的引理3可得.

下证充分性.由文[6]定理2.1的证明可知, 要证(1.1) 式, 只需证下式成立

$ \lim\limits_{k\to\infty}a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |S_n-S_{n_k}\right |=0\quad {\hbox{a.s.}}. $

由Borel-Cantelli引理可知要证上式成立, 只要证

$ \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^ \infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |S_n-S_{n_k}\right |>\varepsilon \right) < \infty, \forall \varepsilon>0. \end{equation} $

(2.3)

由(1.2) 式可构造数列 $\{b_n, n\ge 1\}$满足: $0 < b_n\le 1, b_n \downarrow 0, $且

$ \sum\limits_{n=1}^\infty P(|X_n|> b_n a_n) < \infty, $

$\forall j >n_1, $存在 $k\in N$, 使得 $ n_k < j\le n_{k+1}$, 令 $ c_j=\max \left\{b_{n_k}, \sqrt{\frac{B(k)}{g(a_{n_{k+1}})}}\right\}, $则由上式得

$ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^\infty P(|X_n|> c_n a_n) < \infty, \end{equation} $

(2.4)

由(2.2) 式及 $c_j$的定义可知

$ \begin{equation} \lim\limits_{j\to \infty}c_j=0. \end{equation} $

(2.5)

令

$ \begin{eqnarray*}&& Y_j=-c_j a_jI(X_j < -c_j a_j)+X_jI(|X_j|\le c_j a_j)+c_j a_jI(X_j>c_j a_j), \\ && Z_j=X_j-Y_j, n_k < j\le n_{k+1}, k\ge 1. \end{eqnarray*} $

由于 $EX_j=0$, 于是要证(2.3) 式, 只需要证下二式

$ \begin{eqnarray} && \sum\limits_{k=1}^\infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |\sum\limits_{j=n_k+1}^n(Y_j-EY_j)\right |>\varepsilon/2\right ) < \infty, \forall\varepsilon>0; \end {eqnarray} $

(2.6)

$ \begin{eqnarray} && \sum\limits_{k=1}^\infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |\sum\limits_{j=n_k+1}^n (Z_j-EZ_j)\right |>\varepsilon/2\right ) < \infty, \forall\varepsilon>0. \end {eqnarray} $

(2.7)

先证(2.7) 式.为此先证 $a_{n_{k+1}}^{-1}\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} E|Z_j| \to 0, k\to\infty.$注意到当 $0 < d\le 1$时有 $ d a_n\le a_n, $而 $g(x)/x^2$在 $(0, +\infty)$上递减, 故有 $g(d a_n)/(d a_n)^2\ge g(a_n)/a_n^2, $即

$ \begin{equation} g(d a_n)\ge d^2 g(a_n). \end{equation} $

(2.8)

因此, 由 $x/g(x)$在 $(0, +\infty)$上递减和(2.1), (2.2), (2.8), (2.4), (2.5) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} && {a_{n_{k+1}}^{-1}\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} E|Z_j| \le 2 a_{n_{k+1}}^{-1}\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}}E|X_j|I(|X_j|>c_j a_j)} \nonumber\\ & \le & 2a_{n_{k+1}}^{-1}\left\{\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} E|X_j|I(|X_j|>c_j a_{n_{k+1}})+\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} E|X_j|I(c_j a_j < |X_j|\le c_j a_{n_{k+1}})\right \} \nonumber\\ & \le & 2\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} E\frac{ c_jg(X_j)}{g(c_j a_{n_{k+1}})}I(|X_j|> c_j a_{n_{k+1}})+2\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}}c_jP(|X_j|>c_j a_j)\nonumber\\ & \le & 2\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} \frac{\sigma_j^2 }{c_j g(a_{n_{k+1}})}+ 2\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}}c_jP(|X_j|>c_j a_j)\nonumber\\ & \le & 2\sqrt{ \frac{ B(k) }{g(a_{n_{k+1}})}}+2\max \left\{b_{n_k}, \sqrt{\frac{B(k)}{g(a_{n_{k+1}})}}\right\}\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}}P(|X_j|>c_j a_j)\to 0, k\to \infty, \end{eqnarray*} $

从而 $\forall \varepsilon>0$, 由(2.4) 式有

$ \begin{eqnarray*} && {\sum\limits_{k=1}^\infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |\sum\limits_{j=n_k+1}^n (Z_j-EZ_j)\right |>\varepsilon/2\right)} \\ & \le & C+\sum\limits_{k=1}^\infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left |\sum\limits_{j=n_k+1}^n Z_j\right |>\varepsilon/4\right) \\ & \le & C+\sum\limits_{k=1}^\infty P\left(a_{n_{k+1}}^{-1}\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} \left | Z_j\right |>\varepsilon/4\right)\\ & \le & C+\sum\limits_{k=1}^\infty P\left(\cup_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} (\left | Z_j\right |\neq 0)\right)\\ & \le & C+\sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}} P\left(| X_j |>c_j a_j\right)\\ & = & C+\sum\limits_{k=n_1+1}^\infty P\left(| X_k |>c_k a_k\right) < \infty. \end{eqnarray*} $

因此(2.7) 式成立.

再证(2.6) 式.由 $x/g(x)$在 $(0, +\infty)$上递减可知, $g(x)$在 $(0, +\infty)$上严格递增, 再由(2.1), (2.5) 和(2.8) 式及 $g(x)/x^2$在 $(0, +\infty)$上递减可得, 当 $k$充分大时, $\forall n_k < j\le n_{k+1}$, 都有

$ \begin{eqnarray*} && {E(Y_j-EY_j)^2 \le EY_j^2} \\ & = & EX_j^2I(|X_j|\le c_j a_j)+(c_j a_j)^2 EI(|X_j|>c_j a_j)\\ & \le & \frac{(c_j a_j)^2 Eg(X_j)}{g(c_ja_j)}\le \frac{(c_j a_{n_{k+1}})^2 \sigma_j^2}{g(c_j a_{n_{k+1}})}\le \frac{ a_{n_{k+1}}^2 \sigma_j^2}{g(a_{n_{k+1}})}. \end{eqnarray*} $

由NA随机变量的性质(文[2])知 $\{Y_n-EY_n, n\ge 1\}$是NA随机变量序列, 由引理1并注意到

$ M(k)=\sum\limits_{j=n_k+1}^{n_{k+1}}\frac{ a_{n_{k+1}}^2 \sigma_j^2}{g(a_{n_{k+1}})}=a_{n_{k+1}}^2 B(k)/g(a_{n_{k+1}}), $

于是对 $\forall\varepsilon>0, $令 $x=2\beta\varepsilon a_{n_{k+1}}, y=2\varepsilon a_{n_{k+1}}, y_j=2\varepsilon a_j, j=n_k+1, n_k+2, \cdots, n_{k+1}$, 由(2.5) 式, 对 $\forall\varepsilon>0, $当 $k$充分大时, 有

$ \begin{eqnarray*} && {P\left( \max\limits_{n_k < n\le n_{k+1}} \left|\sum\limits_{j=n_k+1}^n (Y_j-EY_j)\right|\ge 2\beta\varepsilon a_{n_{k+1}}\right)} \nonumber\\ &\le & 2 \exp\left\{ 1+\beta-\left( \beta+\frac{B(k)}{4\varepsilon^2 g(a_{n_{k+1}})}\right )\ln \left (1+\frac{4\beta\varepsilon^2g(a_{n_{k+1}})}{B(k)}\right)\right\}\nonumber\\ & \le & C\exp\left\{ -\beta \ln \left (1+\frac{4\beta\varepsilon^2g(a_{n_{k+1}})}{B(k)}\right)\right\}\nonumber\\ & \le & C \left(\frac{B(k)}{g(a_{n_{k+1}})}\right)^\beta. \end{eqnarray*} $

从而由上式及(2.2) 式可得(2.6) 式成立, 从而(2.3) 式成立.

注1  令 $g(x)=x^2, $则由定理1可得定理C.但定理1比定理C条件要弱.例如:

设 $1 < p < 2, \{X, X_n, n\ge 1\}$是同分布的NA随机变量序列, 其密度函数为

$ f(x)= \bigg \{\begin{array}{ll} \frac{D}{|x|^{p+1}(\ln |x|)^p}, & x\in (-\infty, -4]\cup [4, +\infty), \\ 0, & x\in (-4, 4), \end{array} $

其中 $D=1/\left(2\displaystyle\int_4^\infty \left(x^{p+1}(\ln x)^p\right)^{-1} dx \right). $故

$ EX_n=0, E|X_n|^p =2D(\ln 4)^{1-p}/(p-1). $

取 $g(x)=|x|^p, a_n=n, \sigma_n^2=E|X_n|^p, n_k=2^k, \beta=1.$则定理1条件满足.但 $EX_n^2=+\infty, $因此, 定理C条件(1.3) 式不成立.

推论1  设 $\{X_{n}, n\ge 1 \}$, 函数 $g(x)$和数列 $\{\sigma_n, n\ge 1\}$如定理1所述且满足(1.4), (2.1) 式. $\{a_n, n\ge 1\}$为单调递增正数列且 $a_n\uparrow \infty, $若存在 $\beta>1$满足

$ \begin{equation} \sum\limits_{n=1}^\infty \sigma_n^2 B_n^{\beta-1} \left(g(a_n)\right)^{-\beta} < \infty, \end{equation} $

(2.9)

则(1.1) 式成立的充要条件是(1.2) 式成立, 其中 $ B_n =\sum\limits_{k=1}^n \sigma_k^2$, 下同.

证  类似文[6]定理2.2(即上定理D)的证明可知存在子列 $\{n_k, k\ge 1\}\in N$和 $C_1>1, $ $C_2>1, $使(1.5) 式和(2.2) 式成立, 从而由定理1知推论1成立.

注2ⅰ) 令 $g(x)=x^2, $我们由推论1可得定理D.

ⅱ) 在定理1与推论1的其它条件都满足的条件下, (2.2) 式严格弱于(2.9) 式.例如:设 $\{X_n, n\ge 1\}$是同分布的NA序列, $1\le p\le 2, g(x)=|x|^p, $对一切 $n, $

$ Eg(X_n)=E|X_n|^p=1=\sigma_n^2. $

当 $1\le n\le 8$时, 令 $ a_n=1, $当 $n\ge 9 $时, 令 $ a_n=\left(n \ln \ln n\right)^{1/p}$.则 $\forall\beta>1$, 都有

$ \sum\limits_{n=9}^\infty \sigma_n^2 B_n^{\beta-1} \left(g(a_n)\right)^{-\beta}=\sum\limits_{n=9}^\infty \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\ln\ln n}\right)^\beta=+\infty. $

即(2.9) 式不成立.

下面证明(2.2) 式成立.对于 $\{a_n, n\ge 1\}$的子列 $\{b_k=3^{3^k}\ln\ln 3^{3^k}, k\ge 1\}$, 根据引理3, 对任意的 $M>1$, 存在子列 $\{m_l, l\ge 1\}$满足

$ Mb_{m_l}\le b_{m_{l+1}}\le M^3 b_{m_l+1}, l=1, 2, \cdots, $

即对于子列 $\{ 3^{3^{m_l}}, l\ge 1\}\subset N$, 有

$ M3^{3^{m_l}}\ln\ln 3^{3^{m_l}}\le 3^{3^{m_{l+1}}}\ln\ln 3^{3^{m_{l+1}}}\le M^3 3^{3^{m_l+1}}\ln\ln 3^{3^{m_l+1}}, l=1, 2, \cdots, $

因此(1.5) 式成立.此时 $\forall\beta>1$, 有

$ \sum\limits_{l=1}^\infty \left(\frac{\sum\limits_{j=3^{3^{m_l}}+1}^{ 3^{3^{m_{l+1}}}}1}{g(a_{3^{3^{m_{l+1}}}})}\right )^\beta < \sum\limits_{l=1}^\infty \left(\frac{1}{m_{l+1}\ln 3}\right )^\beta\le \sum\limits_{l=1}^\infty C\left(\frac{1}{m_{l+1}}\right )^\beta\le C \sum\limits_{l=1}^\infty \left(\frac{1}{l}\right )^\beta < \infty, $

因此(2.2) 式成立.

推论2  设 $\{X_{n}, n\ge 1 \}$, 函数 $g(x)$和数列 $\{\sigma_n, n\ge 1\}$如定理1所述且满足(1.4), (2.1) 式, 存在 $\beta>1$使 $(\psi(x))^\beta\in \Psi_c.$ $\{a_n, n\ge 1\}$为单调递增正数列且 $a_n\uparrow \infty, $存在 $n_0\in N, D>0$满足

$ \begin{equation} g^{-1}(B_n\psi(B_n)) a_n^{-1}\le D, n\ge n_0, \end{equation} $

(2.10)

则(1.1) 式成立的充要条件是(1.2) 式成立, 其中 $g^{-1}$是函数 $g(x)$的反函数.

证  不失一般性, 不妨设 $n_0=1, D=1$.由 $x/g(x)$在 $(0, +\infty)$上递减可知, $g(x)$在 $(0, +\infty)$上严格递增, 因此 $g^{-1}$在 $x>0$存在, 由(2.10) 式和引理2可得

$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sigma_n^2 B_n^{\beta-1}}{(g(a_n))^\beta}\le \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sigma_n^2 B_n^{\beta-1}}{(B_n\psi(B_n))^\beta}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sigma_n^2 }{B_n(\psi(B_n))^\beta} < \infty. $

再由推论1可知推论2成立.

注3(ⅰ) 令 $g(x)=x^2, \psi(x)=(\log x)^{2\alpha}, \alpha>0$, 就把独立随机变量情型的定理B推广到NA随机变量情形.

(ⅱ) 令 $g(x)=x^2, \psi(x)=(\log x)^\alpha, \alpha>0, a_n=(B_n \log^\alpha B_n)^{1/2}$, 由推论2我们就得到文[5]的主要结果定理2.1.