设$L$是一个泛代数, 我们用${\rm Con}(L)$表示$L$的同余关系形成的格.若对任意的$\theta, \delta \in {\rm Con}(L)$, 有$\theta \circ \delta =\delta \circ \theta $, 则称$\theta $和$\delta$可换; 若代数$L$上的任意两个同余关系都是可换的, 则称$L$是同余可换的.近年来已有不少学者研究了具有同余可换性的代数, 譬如Campercholi, 方捷和罗从文在文[1-3]中分别研究了MS-代数, 对称扩张的De Morgan代数, 对称扩张的MS -代数以及这些代数的同余可换性.在本文中我们提出了扩张的有界分配格的概念即一个具有$\langle 2, 2, 1, 0, 0\rangle$型的代数$\langle L;\vee, \wedge, f, 0, 1\rangle $, 其中$\langle L;\vee, \wedge, f, 0, 1\rangle $是一个带有自同态$f$的有界分配格, 我们把这一类代数记为eD.若$f^{2}=f$, 则这个代数称为幂等的, 我们把幂等扩张的有界分配格记为e$_{2}$D.然后介绍了幂等扩张的有界分配格的对偶理论, 最后借助对偶理论深入研究了幂等扩张的有界分配格的同余可换性, 得到了同余可换的幂等扩张的有界分配格的等价刻画条件.

下面我们先介绍扩张的有界分配格的对偶理论, 详细内容可参见文献[4-8].

设$P$是一个偏序集且$x, y\in P$, 若$x$和$y$不可比, 记为$x\parallel y$; 否则$x\nparallel y$, 也就是$x\geq y$或$x\leq y$.

一个拓扑空间$\langle P;\tau \rangle$, 若带有一个偏序关系, 则称它是序拓扑空间, 记为$\langle P;\tau, \leq \rangle$.序拓扑空间$\langle P;\tau, \leq \rangle$若对给定的$x, y\in P$且$x\not\leq y$, 存在$P$的既开又闭的子集$U$使得$y\in U$及$x\not\in U$, 则称为完全序不连通的.称一个紧致完全序不连通空间为Priestley空间; 若在Priestley空间上定义一个连续的保序映射$g$, 则称这个空间为扩张的Priestley空间.这是定义内容.

若$\langle P;g \rangle$是一个扩张的Priestley空间, $O(P)$是$P$的所有既开又闭的降集, 定义

$ f(A)=g^{-1}(A), $

则$O(P)$是一个扩张的有界分配格.

反过来, 若$\langle L;f \rangle$是一个扩张的有界分配格, $\wp (L)$表示$L$的所有素理想构成的集合, 定义$g(J)=\{a\in L|f(a)\in J\}, $则$\wp (L)$是一个扩张的Priestley空间.

显然, 对于一个幂等扩张的有界分配格, 它的对偶空间$P$是一个扩张的Priestley空间且满足$g^{2}=g.$

定义1.1 设$\langle L; f\rangle$是一个扩张的有界分配格, $\theta$是它的一个格同余关系, 若$(a, b)\in \theta \Rightarrow (f(a), f(b))\in \theta, $则称$\theta$是$L$的一个同余关系.

定义1.2 设$\langle L; f\rangle$是一个扩张的有界分配格, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$ g(Q)\subseteq Q$, 则称$P$的子集$Q$是一个$e$ -子集.

关于扩张的有界分配格的同余关系, 我们有如下结论:

(1) 如果$Q$是$P$的闭$e$ -子集, 则下面所定义的$O(P)(\simeq L)$上的关系$\theta_{Q}$:

$(A, B)\in \theta_{Q} \Leftrightarrow A\cap Q=B\cap Q$

是$O(P)(\simeq L)$上的同余关系.

(2) 设$E(P)$表示$P$的所有闭$e$ -子集的集合, 则映射$\theta :Q\rightarrow \theta_{Q}$是$E(P) \rightarrow {\rm Con} O(P)(\simeq {\rm Con} L)$的对偶格同构.

由对偶性可知, 下面的定理是显然的事实.

定理A 设$L$是一个扩张的有界分配格, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$L$是同余可换的当且仅当对于$P$的任意两个闭$e$ -子集$Q_{0}$和$Q_{1}$, 以及既开又闭降集$A, B, C\subseteq P$, 只要$A\cap Q_{0} =B\cap Q_{0}$及$B\cap Q_{1}=C\cap Q_{1}$, 则存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1}$及$D\cap Q_{0} =C\cap Q_{0}$.

定理2.1 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若对任意$x, y\in P$, $x>y$蕴含$x\geq g(x)=g(y)\geq y$, 则$L$是同余可换的.

证 要证明$L$是同余可换的, 只需证明$L$的每对紧同余关系可换.设$\theta_{0}$和$\theta_{1}$是$L$的两个紧同余关系且分别对应$P$的闭$e$ -子集$Q_{0}$和$Q_{1}$.不失一般性, 设$\theta_{0}\cap \theta_{1}= \bigtriangleup$, 这里$\triangle$表示${\rm Con}(L)$的最小元. (若$L$满足定理中的素理想条件, 则$L/(\theta_{0}\cap \theta_{1})$也满足; 若$\theta_{0}/(\theta_{0}\cap \theta_{1})$和$\theta_{1}/(\theta_{0}\cap \theta_{1})$可交换, 则$\theta_{0}$和$\theta_{1}$可交换).假设$a, b, c\in L, a\equiv b(\theta_{0})$和$b\equiv c(\theta_{1})$.则$A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0}$及$B\cap Q_{1}=C\cap Q_{1}$, 其中$A, B, C$为$P$中既开又闭降集且分别对应于$a, b, c$.令$D=(C\cap Q_{0})\cup(A\cap Q_{1}).$显然$D$是既开又闭的集合且$D\cap Q_{0}=C\cap Q_{0}$及$D\cap Q_{1}=A\cap Q_{1}.$

接下来证明$D$是降集.设$x\in D$且$ x>y$, 则我们需要考虑下面两种可能情况:

(1) 如果$x\in C\cap Q_{0} $, 则因$C$是降集, 故$y\in C$.若$y\in Q_{0}$, 则$y\in C\cap Q_{0} \subseteq D$.若$y\not\in Q_{0} $, 则因$\theta_{0}\cap \theta_{1}= \bigtriangleup$, 故$Q_{0}\cup Q_{1} =P$, 因此$y\in Q_{1}$.又$x\in Q_{0} $且$ x\geq g(x)=g(y)\geq y$, 则有

$g(x)=g(y)\in C\cap Q_{0}\cap Q_{1} =A\cap Q_{0}\cap Q_{1} .$

也就是$g(y)\in A$.因$g(y)\geq y$, 故$y\in A$, 因此$y\in A\cap Q_{1}\subseteq D$.

(2) 如果$x\in A\cap\ Q_{1} $, 类似于(1), 我们很容易证明$D$是降集.

综上所述, 存在$d\in L$, 使得$a\equiv d(\theta_{1})$和$d\equiv c(\theta_{0})$.由定理A可知, $L$是同余可换的.

定理2.2 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$l(P)=0$, 则$L$是同余可换的.

证 设$\theta_{0}$和$\theta_{1}$是$L$的两个同余关系且分别对应$P$的闭$e$ -子集$Q_{0}$和$Q_{1}$.假设$a, b, c\in L, a\equiv b(\theta_{0})$和$b\equiv c(\theta_{1})$.则$A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0}$及$B\cap Q_{1}=C\cap Q_{1}$, 其中$A, B, C$为$P$中既开又闭降集且分别对应于$a, b, c$.令$D=(C\cap Q_{0})\cup(A\cap Q_{1})$, 显然$D$是既开又闭的, 且有$D\cap Q_{0} =C\cap Q_{0}, D\cap Q_{1} =A\cap Q_{1}.$因为$l(P)=0$, $D$是降集, 因此存在$d\in L$使得$a\equiv d(\theta_{1})$和$d\equiv c(\theta_{0})$.由定理A可知$L$是同余可换的.

定理2.3 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$L$是同余可换的, 则对任意$x, y\in P, x>y$及$g(x)=g(y)$, 有$x\geq g(x)=g(y)\geq y$.

证 假设$L$是同余可换的且对任意$x, y\in P, x>y$及$g(x)=g(y)$.令$Q_0=\{x, g(x)\}$, $Q_1 = \{y, g(y) \}$, 则$Q_{0}$和$Q_{1}$是$P$的闭$e$ -子集.

我们需要考虑下面两种可能性:

(1) 如果$g(x)\not\leq x$, 则由$x>y$可得$g(x)=g(y)\nleq y$, 这样我们可以找到既开又闭降集$A, B$使得$y\in A, x, g(x)=g(y)\not\in A$及$y, x\in B, g(x)=g(y)\not\in B.$因此$\emptyset\cap Q_{0}=A \cap Q_{0} $及$A\cap Q_{1} =B\cap Q_{1}$.于是存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$\emptyset\cap Q_{1} =D\cap Q_{1}$及$D\cap Q_{0}=B \cap Q_{0} $.因为$y<x\in B\cap Q_{0}$, 所以$y\in D$, 矛盾!

(2) 如果$g(x)< x$及$y \not\leq g(x)$, 则存在既开又闭降集$A, B$使得$g(x)\in A, x, y\not\in A$及$g(x), y\in B, x\not\in B.$

这样, $A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0} $及$B\supseteq Q_{1} $.因此存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1} $及$D\supseteq Q_{0}$.注意到$y\not \in A$, 因此$y\not\in A\cap Q_{1} =D\cap Q_{1}$, 即$y\not \in D$.又因$y<x\in Q_{0} \subseteq D$, 则$y\in D$, 矛盾!综上即有$x\geq g(x)=g(y)\geq y$.

定理2.4 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$L$是同余可换的且对任意$x, y\in P, x>y$及$g(x)>g(y)$则$x=g(x)$当且仅当$y=g(y)$.

证 令$Q_0=\{x, g(x)\}$, $Q_1 = \{y, g(y) \}$, 则$Q_{0}$和$Q_{1}$是$P$的闭$e$ -子集.

假设$x=g(x)$而$y\neq g(y)$.考虑下面两种不同的情况:

(1) 如果$g(y)\nleq y$, 则存在既开又闭降集$A$满足下面条件:

$y\in A, x, g(y)\not\in A$

且由$x=g(x)>g(y), x>y$, 则存在既开又闭降集$B$使得$ y, g(y)\in B, x\not\in B.$

显然$A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0} $且$B\supseteq Q_{1} $.由定理A可知存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1} $及$D\supseteq Q_{0}$.注意到$g(y)\not \in A$, 因此$g(y) \not \in A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1}$, 即$g(y)\not \in D$; 但由于$x\in Q_{0} \subseteq D$且$x>g(y)$, 故$g(y)\in D$矛盾!从上面分析可得$g(y)\leq y$.

(2) 如果$g(y)<y$, 则存在既开又闭降集$A, B$使得$g(y)\in A, x, y \not \in A $及$y, g(y)\in B, x\not \in B.$

因而, $A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0} $及$B\supseteq Q_{1}$.这样存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1} $及$D\supseteq Q_{0}$.注意到$y\not\in A$, 因此$y\not\in A\cap Q_{1} =D\cap Q_{1}$, 即$y\not\in D$.但由于$y<x\in Q_{0} \subseteq D$, 故$y\in D$, 矛盾!因此$y=g(y)$.

类似地, 由$y=g(y)$可得$x=g(x)$.

定理2.5 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$L$是同余可换的, 则对任意$x, y\in P, x>y$且$g(x)>g(y)$, 有$x=g(x)$及$y=g(y)$.

证 令$Q_0=\{x, g(x)\}$, $Q_1 = \{y, g(y) \}$, 则$Q_{0}$和$Q_{1}$是$P$的闭$e$ -子集.假设$x\neq g(x)$, 则由定理2.4可知$y\neq g(y)$.很容易看出$x\not \leq g(y)$及$g(x)\not \leq y$.若$g(y)\not \leq y$, 则由下面的不等式

$x\not\leq y, g(y)\not\leq y, x\not\leq g(y), g(x)\not\leq g(y), $

可以找到$P$的既开又闭降集$A, B_{1}$, 使得$y\in A, g(y), x, g(x)\not \in A$及$g(y)\in B_{1}, x, g(x)\not\in B_{1}.$令$B=A\cup B_{1}$, 则$B$是既开又闭降集, 且$y, g(y) \in B, x, g(x)\not\in B$.

这样, $A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0} $及$B\supseteq Q_{1}$.因此存在既开又闭降集$D\subseteq P$使得$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1} $及$D\supseteq Q_{0}$.注意到$g(y)\not\in A$, 因此$g(y)\not\in A\cap Q_{1} =D\cap Q_{1}$, 即$g(y)\not \in D$.但$g(y)<g(x)\in Q_{0} \subseteq D$, 故$g(y)\in D$, 矛盾!

因此, $g(y)\leq y$.若$g(y)<y$, 则存在既开又闭降集$A, B\subseteq P$使得

$g(y)\in A, y, x, g(x)\not\in A$

及

$y, g(y)\in B, x, g(x)\not\in B.$

注意到$A\cap Q_{0}=B\cap Q_{0} $及$B\supseteq Q_{1} $.因此存在既开又闭降集$D\subseteq P$满足$A\cap Q_{1}=D\cap Q_{1} $及$D\supseteq Q_{0}$.因为$y\not\in A$及$y\not\in A\cap Q_{1} =D\cap Q_{1}$, 所以$y\not\in D$.又$y<x\in Q_{0} \subseteq D$, 故$y\in D$, 矛盾!

综上所述, $y=g(y)$, 由定理2.4可知$x=g(x)$.

定理2.6 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间.若$L$是同余可换的, 则$l(P)=0$或者对$P$中每一个二元链$x>y$, 有$x\geq g(x)=g(y)\geq y$.

证 假设$l(P)>0$, 则存在$x, y\in P$使得$x>y$, 因此$g(x)\geq g(y)$.若$ g(x)=g(y)$, 则由定理2.3可知$x\geq g(x)=g(y)\geq y;$若$ g(x)>g(y)$, 则由定理2.5可知$ x=g(x), y=g(y).$令$Q_{0}=\{x\}, Q_{1}=\{y\}$, 则$Q_{0}$和$Q_{1}$是$P$的闭$e$ -子集, 且分别对应$L$的两个不同的同余关系$\vartheta _{0}$和$\vartheta _{1}$.因$x>y$, 故存在既开又闭降集$A\subseteq P$使得$y\in A, x\not\in A$.

因此$\emptyset\cap Q_{0}=A \cap Q_{0} $及$A \supseteq Q_{1}$.这样存在既开又闭降集$B\subseteq P$使得$\emptyset \cap Q_{1}=B\cap Q_{1} $且$B\supseteq Q_{0}$.注意到$y<x\in Q_{0}\subseteq B$, 所以$y\in B$; 但$y\in B \cap Q_{1}=\emptyset \cap Q_{1}= \emptyset$, 矛盾!即证.

结合定理2.1, 2.2以及定理2.6, 我们得到本文的主要结论.

定理2.7 设$L\in$ e$_{2}$D, $\langle P;g\rangle $是它的对偶空间, 则$L$是同余可换的当且仅当$l(P)=0$或者对$P$中每一个二元链$x>y$, 有$x\geq g(x)=g(y)\geq y$.

我们尤其感兴趣的是同余可换的有限幂等扩张的有界分配格的刻画.若一个幂等扩张的有界分配格$L$是有限的, 则它的对偶空间$\langle P;g\rangle $也是有限的, 在这种情况下, 拓扑$\tau$是离散的.$L$同构于那样一些有限幂等扩张的有界分配格的直积, 即其对偶空间可以表示成有限多个$g$封闭序连通分支的并.而每个$g$封闭序连通分支是下面五种类型之一:一个单点集; 一个无序对, 其上$g$非平凡; 两个二元链, 一个三元链.它们的Hasse图如下图所示: