循环矩阵在数学和物理等学科有许多应用.关于复域上循环矩阵的性质、特征值和特征向量、及其反问题的研究, 目前已有较完整的结果^[1-3].但关于四元数体上循环矩阵的讨论甚少. 2012年, 文献[4]给出了四元数体上循环矩阵的左右特征值表示以及左特征值反问题.

本文目的是在四元数体上讨论矩阵方程$XB=C$的循环解及其最佳逼近问题.

为讨论方便, 用$\mathbf{C}^{n\times n}, \mathbf{Q}^{n\times n}$分别表示全体$n \times n$复矩阵和四元数矩阵的集合; $A^T, \bar{A}, A^{*}$分别表示$A\in \mathbf{Q}^{n\times n}$的转置、共轭与共轭转置; $1, \omega_1, \cdots, \omega_{n-1}$表示复域上全体$n$次本原单位根, 即$\omega_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2k\pi}{n}~(k=0, 1, \cdots, n-1)$, $A^{+}$表示矩阵的Moore-Penrose广义逆; $\|A\|=({\hbox{tr}}A^{*}A)^{\frac{1}{2}}$表示四元数矩阵的Frobenius范数^[5].下面先给出有关定义和引理.

定义1.1  形如

$ A=\left[\begin{array}{cccc} q_0 & q_1 & \cdots & q_{n-1} \\ q_{n-1} & q_0 & \cdots & q_{n-2} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ q_1 & q_2 & \cdots & q_0 \end{array} \right]\in \mathbf{Q}^{n\times n} $

(1.1)

的矩阵称为$n$阶四元数循环矩阵, 记作$A=C(q_0, q_1, \cdots, q_{n-1})$.若记

$ D=\left[\begin{array}{cc} 0 & I_{n-1} \\ 1 & 0 \end{array} \right]\in \mathbf{R}^{n\times n}, $

则四元数循环矩阵(1.1) 可表示为

$ A=q_0I+q_1D+\cdots +q_{n-1}D^{n-1}. $

易知, 矩阵$D$的$n$个特征值正是复域上全体$n$次本原单位根: $\omega_0, \omega_1, \cdots, \omega_{n-1}. $令

$ \alpha_s=(1, \omega_s, \omega_s^2, \cdots, \omega_{s}^{n-1})^{T}\in \mathbf{C}^{n\times 1}, s=0, 1, \cdots, n-1, $

并取

$ U=\frac{1}{\sqrt{n}}(\alpha_0, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1})\in \mathbf{C}^{n\times n}, $

(1.2)

则$U$是酉矩阵, 即$U^{*}U=I.$

引理1.2^[3]  复域上矩阵$A=C(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1})$的充要条件是存在复数组$\{\lambda_i\}_{i=0}^{n-1}$, 使得

$ A=U{\hbox{diag}}(\lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1})U^{*}, $

其中$U$是如(1.2) 所示的酉矩阵, $\lambda_s=\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_j\omega_{s}^{j}~~(s=0, 1, \cdots, n-1). $

引理1.3^[6]  复域上矩阵方程$XB=C$有解的充要条件是$CB^{+}B=C. $此方程的一般解和最小二乘解集均可表示为

$ X=CB^{+}+Y(I-BB^{+}), $

其中$Y$是任意矩阵, 且存在唯一极小范数最小二乘解$X_0=CB^{+}.$

本文主要讨论如下3个问题:

问题Ⅰ  给定四元数矩阵$B, C\in \mathbf{Q}^{n\times m}$, 求循环矩阵$X\in \mathbf{Q}^{n\times n}$, 使得$XB=C$.

问题Ⅱ  对给定的四元数矩阵$B, C$, 求循环矩阵$X\in \mathbf{Q}^{n\times n}$, 使得$\|XB-C\|^2=\min.$

问题Ⅲ  设$S_E$是问题Ⅱ的解集合, $G\in \mathbf{Q}^{n\times n}$是已知循环矩阵, 求$X_0\in S_E$, 使得

$ \mathop {\min }\limits_{X \in {S_E}} \|X-G\|=\|X_0-G\|. $

(1.3)

设$X\in \mathbf{Q}^{n\times n}$是一个四元数循环矩阵, 它在复域$\mathbf{C}$上的分解式为

$ X=X_1+X_2j, $

其中$X_1=C(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}), X_2=C(b_0, b_1, \cdots, b_{n-1})$均是复循环矩阵.根据引理1.2, 存在两组复数$\{f_i\}_{i=0}^{n-1}$和$\{g_i\}_{i=0}^{n-1}$, 使得

$ X_1=U\Sigma_1U^{*}, X_2=U\Sigma_2U^{*}, $

(2.1)

其中$\Sigma_1={\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1}), \Sigma_2={\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})$, 且

$ {f_s} = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{a_j}} \omega _s^j,s = 0,1, \cdots ,n - 1, $

(2.2)

$ {g_s} = \sum\limits_{j = 0}^{n - 1} {{b_j}} \omega _s^j,s = 0,1, \cdots ,n - 1. $

(2.3)

根据$n$次本原单位根的互异性, 以及Vandermonde行列式性质可知, 对任意复数组$\{f_i\}_{i=0}^{n-1}$和$\{g_i\}_{i=0}^{n-1}$, 方程组(2.2) 和(2.3) 均可解.再设$B, C\in \mathbf{Q}^{n\times m}$在复域$\mathbf{C}$上的分解式为

$ B=B_1+B_2j, C=C_1+C_2j, $

则四元数矩阵方程$XB=C$等价于

$ (X_1+X_2j)(B_1+B_2j)=C_1+C_2j, $

(2.4)

将(2.4) 式左边展开, 得

$ (X_1B_1-X_2\bar{B}_2)+(X_1B_2+X_2\bar{B}_{1})j=C_1+C_2j. $

因此利用四元数矩阵复分解的唯一性^[5], 可得

$ \left\{\begin{array}{c} X_1B_1-X_2\bar{B}_2=C_1, \\ X_1B_2+X_2\bar{B}_1=C_2, \end{array} \right. $

(2.5)

再将(2.1) 代入(2.5), 整理得

$ \left\{ \begin{array}{c} \Sigma_1U^{*}B_1-\Sigma_2U^{*}\bar{B}_2=U^{*}C_1, \\ \Sigma_1U^{*}B_2+\Sigma_2U^{*}\bar{B}_1=U^{*}C_2, \end{array} \right. $

(2.6)

用$A(i)$表示矩阵$A$的第$i$行向量, 并记

$ \begin{aligned} M_i=\left[ \begin{array}{cc} (U^{*}B_1)(i) & (U^{*}B_2)(i) \\ -(U^{*}\bar{B}_2)(i) & (U^{*}\bar{B}_1)(i) \end{array} \right]\in \mathbf{C}^{2\times 2m}, \\ N_i=\left((U^{*}C_1)(i), (U^{*}C_2)(i)\right)\in \mathbf{C}^{1\times 2m}, \end{aligned} $

(2.7)

则方程组(2.6) 等价于

$ (f_{i-1}, g_{i-1})M_i=N_i, i=1, \cdots, n. $

(2.8)

因此关于问题Ⅰ, 有如下结果

定理2.1  给定四元数矩阵$B, C\in \mathbf{Q}^{n\times m}$, 则方程$XB=C$存在四元数循环矩阵解的充要条件是

$ N_iM_i^{+}M_i=N_i, i=1, \cdots, n $

有解时, 其一般解为

$ X=U{\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}+U{\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}j, $

其中$\{f_i\}_{i=0}^{n-1}$和$\{g_i\}_{i=0}^{n-1}$由下式给出

$ (f_{i-1}, g_{i-1})=N_iM_{i}^{+}+Y_i(I-M_iM_{i}^{+}), i=1, \cdots, n, $

这里$M_i, N_i$如(2.7) 所示, $Y_i=(\alpha_i, \beta_i)\in \mathbf{C}^{1\times 2}$是任意矩阵.

证  由方程组(2.8) 及引理1.3可知结论成立.

由定理2.1可知, 当$n$个复数对$(f_{i-1}, g_{i-1})_{i=1}^{n}$唯一时, 问题Ⅰ具有唯一解.于是有

推论2.2  问题Ⅰ具有唯一解的充要条件是

$ {\hbox{rank}} M_i={\hbox{rank}}\left[\begin{array}{c} M_i \\ N_i \end{array} \right]=2, i=1, \cdots, n. $

下面我们讨论四元数矩阵方程$XB=C$在循环矩阵约束条件下的最小二乘解.事实上, 根据前面的分析过程及(2.4)-(2.7) 式, 可得

$ \|XB-C\|^2 = \|(X_1B_1-X_2\bar{B}_2-C_1)+(X_1B_2+X_2\bar{B}_1-C_2)j\|^2 \nonumber\\ =\|X_1B_1-X_2\bar{B}_2-C_1\|^2+\|X_1B_2+X_2\bar{B}_1-C_2\|^2 \nonumber\\ =\|\Sigma_1U^{*}B_1-\Sigma_2U^{*}\bar{B}_2-U^{*}C_1\|^2+\|\Sigma_1U^{*}B_2+\Sigma_2U^{*}\bar{B}_1-U^{*}C_2\|^2 \nonumber \\ = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n[\|f_{i-1}\cdot (U^{*}B_1)(i)-g_{i-1}\cdot (U^{*}\bar{B}_2)(i)-(U^{*}C_1)(i)\|^{2}\nonumber\\ + \|f_{i-1}\cdot (U^{*}B_2)(i)+g_{i-1}\cdot (U^{*}\bar{B}_1)(i)-(U^{*}C_2)(i)\|^{2}]\nonumber\\ =\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \|(f_{i-1}, g_{i-1})\cdot \left[\begin{array}{cc} (U^{*}B_1)(i)&(U^{*}B_2)(i) \\ -(U^{*}\bar{B}_2)(i)& (U^{*}\bar{B}_1)(i) \end{array}\right] -((U^{*}C_1)(i), (U^{*}C_2)(i))\|^2 \nonumber\\ =\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \|(f_{i-1}, g_{i-1})\cdot M_i-N_i\|^2. $

(2.9)

于是关于问题Ⅱ, 我们有如下结果

定理2.3  给定四元数矩阵$B, C\in \mathbf{Q}^{n\times m}$, 则在$X$是循环矩阵的约束条件下,

$ \|XB-C\|^2=\min $

的解集合为

$ S_E=\left\{\begin{array}{c} X=U{\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}+U{\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}j, \\ (f_{i-1}, g_{i-1})=N_iM_i^{+}+Y_i(I-M_iM_{i}^{+}), i=1, \cdots, n \end{array} \right\}. $

证  由(2.9) 式得

$ \|XB-C\|^2=\min\Leftrightarrow \|(f_{i-1}, g_{i-1})\cdot M_i-N_i\|^2=\min, $

又由引理1.3得

$ (f_{i-1}, g_{i-1})=N_iM_i^{+}+Y_i(I-M_iM_{i}^{+}), i=1, \cdots, n. $

故结论成立.

最后, 我们讨论问题Ⅲ的解.若$G\in \mathbf{Q}^{n\times n}$是已知循环矩阵, 不妨设

$ G=U\tilde{\Sigma}_1U^{*}+U\tilde{\Sigma}_2U^{*}j, $

(2.10)

其中$\tilde{\Sigma}_1={\hbox{diag}}(h_0, h_1, \cdots, h_{n-1}), \tilde{\Sigma}_2={\hbox{diag}}(k_0, k_1, \cdots, k_{n-1}).$于是由定理2.3, 得

$ \|X-G\|^2 = \|U {\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}+U {\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}j \nonumber \\ -U {\hbox{diag}}(h_0, h_1, \cdots, h_{n-1})U^{*}-U {\hbox{diag}}(k_0, k_1, \cdots, k_{n-1})U^{*}j\|^2 \nonumber \\ = \|U {\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}-U {\hbox{diag}}(h_0, h_1, \cdots, h_{n-1})U^{*}\|^2 \nonumber \\ +\|U {\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}-U {\hbox{diag}}(k_0, k_1, \cdots, k_{n-1})U^{*}\|^2 \nonumber \\ = \| {\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})- {\hbox{diag}}(h_0, h_1, \cdots, h_{n-1})\|^2 \nonumber\\ +\| {\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})- {\hbox{diag}}(k_0, k_1, \cdots, k_{n-1})\|^2 \nonumber\\ = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \|(f_{i-1}, g_{i-1})-(h_{i-1}, k_{i-1})\|^2 \nonumber\\ = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \|(N_iM_i^++Y_i(I-M_iM_i^+)-(h_{i-1}, k_{i-1})\|^2, $

(2.11)

因此关于问题Ⅲ, 我们有如下结果.

定理2.4  设$S_E$是问题Ⅱ的解集合, $G\in \mathbf{Q}^{n\times n}$是形如(2.10) 的四元数循环矩阵, 则存在$X_0\in S_E$使得(1.3) 成立, 其中

$ \left\{\begin{array}{l} X_0=U{\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}+U{\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}j, \\ (f_{i-1}, g_{i-1})=N_iM_i^{+}+Y_i(I-M_iM_{i}^{+}), i=1, \cdots, n, \end{array} \right. $

(2.12)

$ Y_i=\left\{\begin{array}{l} [(h_{i-1}, k_{i-1})-N_iM_i^+](I-M_iM_i^+)^+, M_iM_i^+\neq I, \\ 0, M_iM_i^+= I, \end{array} \right.i=1, \cdots, n.\nonumber $

证  由(2.11) 式得

$ \|X-G\|^2=\min \Leftrightarrow \| N_iM_i^{+}+Y_i(I-M_iM_{i}^{+})-(h_{i-1}, k_{i-1})\|^2=\min, $

再由引理1.3知, $Y_i$可按下式选取

$ Y_i=\left\{\begin{array}{l} [(h_{i-1}, k_{i-1})-N_iM_i^+](I-M_iM_i^+)^+, M_iM_i^+\neq I, \\ 0, M_iM_i^+= I, \end{array} \right.i=1, \cdots, n. $

于是存在$X_0\in S_E$使得(1.3) 成立, 并且$X_0$由(2.12) 式给出.

根据上述讨论结果, 我们给出问题Ⅰ-Ⅲ的求解步骤如下.

第一步  写出四元数矩阵$B, C$的复分解和酉矩阵$U$, 即

$ B=B_1+B_2j, C=C_1+C_2j, U=\frac{1}{\sqrt{n}}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \omega_0 & \omega_1 & \cdots & \omega_{n-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \omega_0^{n-1} & \omega_1^{n-1} & \cdots & \omega_{n-1}^{n-1} \end{array} \right] $

第二步  计算$M$和$N$, 即

$ M_i=\left[ \begin{array}{cc} (U^{*}B_1)(i) & (U^{*}B_2)(i) \\ -(U^{*}\bar{B}_2)(i) & (U^{*}\bar{B}_1)(i) \end{array} \right], N_i=\left((U^{*}C_1)(i), (U^{*}C_2)(i)\right), i=1, \cdots, n. $

第三步  

检验条件$N_iM_i^+M_i=N_i(i=1, \cdots, n)$是否成立.

$(1)$若条件成立, 说明存在循环矩阵$X\in \mathbf{Q}^{n\times n}$使得$XB=C$, 并写出其一般解:

$ \left\{\begin{array}{l} X=U{\hbox{diag}}(f_0, f_1, \cdots, f_{n-1})U^{*}+U{\hbox{diag}}(g_0, g_1, \cdots, g_{n-1})U^{*}j, \\ (f_{i-1}, g_{i-1})=N_iM_i^{+}+(\alpha_i, \beta_i)(I-M_iM_{i}^{+}), i=1, \cdots, n. \end{array} \right. $

$(2)$若条件不成立, 说明问题Ⅰ无解, 这时可写出$XB=C$的约束最小二乘解集$S_E$.

第四步  写出循环矩阵$G$的复分解式(2.10), 再按(3.12) 式取得$S_E$与$G$的最佳逼近解$X_0. $

给定下列四元数矩阵

$ B=\left[\begin{array}{ccc} -1-j & 0.5i+0.5k & i+k \\ -1-j &-0.5-0.5j & -i-k \\ -1-j & -0.5i-0.5k & i+k \\ -1-j & 0.5+0.5j & -i-k \end{array} \right], C=\left[\begin{array}{ccc} 1+j & 2+2j & 2.5+2.5j \\ 1+j & 2i+2k &-2.5-2.5j \\ 1+j &-2-2j & 2.5+2.5j \\ 1+j &-2i-2k &-2.5-2.5j \end{array} \right]. $

讨论是否存在循环矩阵$X\in \mathbf{Q}^{4\times 4}$, 使得$XB=C$.

解  首先写出四元数矩阵$B, C$的复分解和酉矩阵$U, $

$ B=B_1+B_2j, C=C_1+C_2j, $

其中

$ B_1=B_2=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0.5i & i \\ -1 &-0.5 & -i \\ -1 & -0.5i & i \\ -1 & 0.5 & -i \end{array} \right], C_1=C_2=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2.5 \\ 1 & 2i &-2.5 \\ 1 &-2 & 2.5 \\ 1 &-2i & -2.5 \end{array} \right], \\ U=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \cos\frac{2\pi}{4}+i\sin\frac{2\pi}{4} & \cos\frac{4\pi}{4}+i\sin\frac{4\pi}{4} & \cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4} \\ 1 & \cos\frac{4\pi}{4}+i\sin\frac{4\pi}{4} & \cos\frac{8\pi}{4}+i\sin\frac{8\pi}{4} & \cos\frac{12\pi}{4}+i\sin\frac{12\pi}{4} \\ 1 & \cos\frac{6\pi}{4}+i\sin\frac{6\pi}{4} &\cos\frac{12\pi}{4}+i\sin\frac{12\pi}{4} & \cos\frac{18\pi}{4}+i\sin\frac{18\pi}{4} \end{array} \right]. $

其次计算$M_i, N_i$, 并直接验算可知

$ N_iM_i^+M_i=N_i(i=1, \cdots, 4), $

因此由定理2.1可知, 四元数矩阵方程$XB=C$存在循环矩阵解, 其一般解为

$ X=U{\hbox{diag}}(-1, -4i, -2.5i, \alpha)U^{*}+U{\hbox{diag}}(0, \beta, 0, 0)U^{*}j, $

其中$\alpha, \beta\in \mathbf{C}$任意.