最优消费和投资策略问题的研究一直是金融数学的基本问题, 受到国内外研究者的广泛关注. Gilboa和Schmeidler^[1]在1989年研究了最大最小预期效用模型; Merton^[2]在1971年研究了连续时间下的最优消费和投资问题. 后来最优消费和投资模型不断得到扩展. 近些年来, 研究者在此基础上考虑了决策者的信仰、Knight不确定及机制转换等因素对投资策略的 影响, 使得模型更为贴合实际. Chen和Epstein^[3]建立了多先验效用的连续时间跨期模型, 并对风险溢价和含糊溢价进行了 经济学解释. Fei^[4]于2007年研究了含糊和预期条件下的最优消费和投资组合问题; 韩立岩和周娟^[5]研究了Knight不确定环境下基于模糊测度的期权定价模型; Fei^[6]在2009年利用$\alpha$-最大最小预期效用($\alpha$-MEU)模型研究了在含糊环境下的最优消费和投资问题; 另一方面, 根据已有的研究成果, 我们可以看出机制转换环境对决策也存在 一定的影响; Kim 等^[7]研究了含糊及机制转换环境下的投资问题; 费为银和李淑娟^[8]研究了Knight不确定下带通胀的最优消费和投资模型. 而通过对已有经济数据的分析, 我们不难发现, 在现实经济环境中通货膨胀或通货紧缩对投资决策存在一定程度的影响. 本文在Kim等^[7]的基础上研究了Knight不确定及机制转换环境下带通胀的最优投资问题. 对其模型进行了推广, 不仅在理论上得出了在Knight不确定及机制转换环境下带通胀的项目估值公式, 并对相关结论进行了数值分析.

我们首先描述机制转换环境. 假设存在两种机制: 机制$E$和机制$C$, 其分别表示“扩张(expansion)”和“紧缩(contraction)”这两种机制. 发生跳时, 机制由$i$转变$j$, 其中$i\neq j, i, j\in \{E, C \}$.

现假设在概率空间$(\Omega, \mathscr {F}, P)$上定义两个标量Wiener过程$w_I(t)$和$w(t)$, $w_I(t)$构建通胀的随机状态, $w(t)$构建利润流的不确定性. P 表示单一的原始概率测度, 并且设定所有的随机过程都是适应的. 由于通货膨胀与市场相关, 因此$w_I(t)$和$w(t)$相关. 存在另一个独立于$w_I(t)$和$w(t)$的强度为$\lambda$的Poisson过程$N(t)$. 令$\mathscr{F}_t=\sigma\{w_I(s), w(s), N(s);s\leqslant t\}$, 由费为银和李淑娟^[8]可知对数消费篮子价格的动力学可以表示为

$ dL(t)=(\psi -\frac{1}{2} \xi^2)dt+\xi dw_I(t), L(0)=L_0, $

(2.1)

其中$\psi$与$\xi$为正的常数, 向量$\gamma$表示$w_I(t)$与$w(t)$间的相关系数, 即$E\big[dw(t)dw_I(t)\big]=\gamma dt$. $\psi$表示即期预期通货膨胀率, $\xi$表示通胀波动率, $L_0$为已知. 则机制转换环境和概率测度$P$下利润流$\pi(t)$由以下随机微分方程给出

$ \frac{d\pi(t)}{\pi(t)}=\mu(t)dt+\sigma(t)dB(t), $

(2.2)

且

$ \mu (t)= \begin{cases}\mu_E, \quad \ \ \text {扩张}, \\ \mu_C, \quad \ \ \text {紧缩}, \end{cases} ~~ \sigma (t)= \begin{cases}\sigma_E, \quad \ \ \text {扩张}, \\ \sigma_C, \quad \ \ \text {紧缩}, \end{cases} $

初始利润流$\pi(0)\in\mathscr R $且假设已知. 现刻画Knight不确定环境. 首先给定密度生成元集为

$ \Theta=\{ \theta=(\theta_t) \big| |\theta_t|\leq k, \forall t\in [0, T])\}, $

其中$k$为一个非负常数, 表示含糊的程度. 因此$\mathscr P=\big\{Q^\theta\big|\theta\in\Theta\big\}$, 其中$Q^\theta$由下式给出

$ \frac{dQ^\theta}{dP}=\exp \Big\{ -\frac{1}{2}\int_{0}^{T}|\theta(s)|^2ds-\int_{0}^{T}\theta(s)dB(s)\Big\}. $

通过Girsanov定理, $Q^\theta$下的标准布朗运动为

$ B(t)^\theta=B(t)+\int_{0}^{t}\theta(s)ds. $

(2.3)

另一方面, 由(2.1)和(2.2)式可得

$ d(e^{-L(t)})=-e^{-L(t)}dL(t)+\frac{1}{2}e^{-L(t)}\xi^2dt =-e^{-L(t)}( (\psi-\xi^2)dt+\xi dw_I(t)). $

又由于$ \widetilde\pi(t)\triangleq e^{-L(t)} \pi(t)$, 则

$ d( \widetilde\pi(t))=d(e^{-L(t)}\pi(t)) \\ =\pi(t)d(e^{-L(t)})+e^{-L(t)}d\pi(t)+d\pi(t)d(e^{-L(t)})\\ =\widetilde \pi(t)(\xi^2-\psi+\mu(t)-\sigma(t)\xi\gamma)dt+\widetilde\pi(t)(\sigma(t)dw(t)-\xi dw_I(t))\\ =\widetilde\pi(t)(\xi^2-\psi+\mu(t)-\sigma(t)\xi\gamma)dt+\widetilde\pi(t)\sqrt{\sigma^2(t)+\xi^2-2\sigma(t)\xi\gamma}dB(t), $

其中$dB(t)=\frac{\sigma(t)dw(t)-\xi dw_I(t)}{\sqrt{\sigma^2(t)+\xi^2-2\sigma(t)\xi\gamma}}$, $B(t)$为标准布朗运动.

因此$Q^\theta$下带通胀折现的利润流$\widetilde\pi(t)$动力学方程为

$ \frac{d\widetilde\pi (t)}{\widetilde\pi(t)}=\big(\widetilde\mu(t)-\widetilde\sigma(t)\big)dt+\widetilde\sigma(t)dB(t)^\theta, $

(2.4)

其中

$ \widetilde \mu (t)=\xi^2-\psi+\mu(t)-\sigma(t)\xi\gamma= \begin{cases}\xi^2-\psi+\mu_E-\sigma_E\xi\gamma, & \text {扩张}, \\ \xi^2-\psi+\mu_C-\sigma_C\xi\gamma, & \text {紧缩}, \end{cases}\\ \widetilde \sigma(t)=\sqrt{\sigma^2(t)+\xi^2-2\sigma(t)\xi\gamma}= \begin{cases}\sqrt{\sigma_E^2+\xi^2-2\sigma_E\xi\gamma}, & \text {扩张}, \\ \sqrt{\sigma_C^2+\xi^2-2\sigma_C\xi\gamma}, & \text {紧缩}, \end{cases} $

再通过ItÔ公式, 我们可以推导出在Knight不确定及机制转换环境下利润流的动力学方程为

$ \widetilde\pi(t)=\widetilde\pi(0)\exp\Big[\int_{0}^{t} \Big(\widetilde\mu(s)-\widetilde\sigma(s)\theta(s)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma^2(s)\Big)ds +\int_{0}^{t}\widetilde\sigma(s)dB(s)^\theta\Big], $

(2.5)

其中$\widetilde\mu$, $\widetilde\sigma$由(2.4)式给出.

以下对投资者决策问题进行描述. 在(2.5)式的基础上, 我们加入决策者信仰因素. 利用$\alpha$-MEU偏好模型, 研究决策者信仰对项目利润流所产生的影响. 随机函数$f(x)$的期望值为最好情形(权重为$\alpha$)与最坏情形 (权重为$1-\alpha$)的凸组合, 其中$\alpha\in[0,1]$表示决策者对同一事物的不同态度, 即决策者的信仰. 因此, 利用$\alpha$-MEU偏好框架可以检测决策者的含糊态度对投资的影响, 我们可以将$\alpha$-期望值写为

$ E^\alpha[f(x)]=\alpha\sup\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E_t^{Q^\theta} [f(x)|\sigma(t)=\sigma_i]+(1-\alpha)\inf\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E_t^{Q^\theta}[f(x)|\sigma(t)=\sigma_i], i=E, C, $

(2.6)

其中$E_t^{Q^\theta}[\cdot|\sigma(t)=\sigma_i]$表示此时期望值是依赖于给定机制$i$. 简单起见, 假定决策者已经知道在$t$时刻市场处于扩张或紧缩.

如果假设$\rho$为一个投资者的主观贴现率, $T$为项目的退出时间, 那么基于$\alpha$-MEU偏好模型和Knight不确定及通胀环境, 可得利润流$\widetilde\pi(t)$投资在0时刻的$\alpha$期望值为

$ V_i(\pi(0)|\alpha)=E^\alpha[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds] =\alpha\sup\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds\big|\sigma(0)=\sigma_i]\nonumber\\ +(1-\alpha)\inf\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds\big|\sigma(0)=\sigma_i], i=E, C. $

(2.7)

因此, 投资者对项目的估值为

$ F_i(\pi(0)\big|\alpha)=\max\big\{V_i(\pi(0)\big|\alpha)-I, 0\big\}, i=E, C, $

(2.8)

其中$I$表示项目初始成本. 项目估值$F_i$将用于衡量是否进行投资, 若$F_i$为正, 表示项目存在收益则进行投资, 若$F_i$小于0, 表示项目亏损则放弃投资.

为了计算投资的期望值$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$, 我们定义一个随机过程$I_t$为$ I(t)\triangleq \begin{cases}1, \quad \ \ & \text {扩张}, \\ 0, \quad \ \ & \text {紧缩}. \end{cases} $我们定义一个在0到$t$时间内扩张期利润流的占位时(occupation time)

$ \varsigma(s)\triangleq\int_0^{s}I(t)dt. $

(3.1)

定理3.1  当利润流计算公式由(2.7)式给定时, 考虑通胀因素, 则以下等式成立

$ \sup\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds\big|\sigma(0)=\sigma_i]\\ =\pi(0)e^{-L_0}\int_0^{T}[\exp((-\rho+\widetilde\mu_C-k\widetilde\sigma_C)s)\int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du]ds, \nonumber $

(3.2)

$ \inf\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds\big|\sigma(0)=\sigma_i]\nonumber\\ =\pi(0)e^{-L_0}\int_0^{T}[\exp((-\rho+\widetilde\mu_C-k\widetilde\sigma_C)s)\int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du]ds, \nonumber $

(3.3)

其中$\widetilde\mu(s)$, $\widetilde\sigma(s)$由(2.4)式给出. 由Jang和Roh⁹可知$f_i(s, u)$是$\varsigma(s)$的概率密度函数, $\sigma(0)=\sigma_i$且满足

$ f_E(s, u)\triangleq e^{-\lambda_{E} s}\delta_0(s-u)+e^{-\lambda_C(s-u)-\lambda_Eu}\big((\frac{\lambda_E\lambda_C u}{s-u})^{\frac{1}{2}}I_1(2(\lambda_E\lambda_Cu(s-u))^{\frac{1}{2}}\big)\nonumber\\ +\lambda_EI_0(2(\lambda_E\lambda_Cu(s-u))^{\frac{1}{2}})), $

(3.4)

$ f_C(s, u)\triangleq e^{-\lambda_{C} s}\delta_0(s-u)+e^{-\lambda_C(s-u)-\lambda_Eu}\big((\frac{\lambda_E\lambda_C (s-u)}{u})^{\frac{1}{2}}I_1(2(\lambda_E\lambda_Cu(s-u))^{\frac{1}{2}}\big)\nonumber\\ +\lambda_CI_0(2(\lambda_E\lambda_Cu(s-u))^{\frac{1}{2}})). $

(3.5)

Bessel修正函数定义为$I_a(z)\triangleq(\frac{z}{2})^a\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(z/2)^{2n}}{n!\Gamma(a+n+1)}.$证明见附录A.

由上述定理可以推导出以下结论.

推论3.1  在机制$i\in\{E, C\}$时, 对于一个乐观的程度值为$\alpha\in[0,1]$的决策者来说, 项目的$\alpha$-期望值如下:

$ V_i(\pi(0)\big|\alpha)=\pi(0)e^{-L_0}\Big\{\alpha\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C+k\widetilde\sigma_C)s\big) \nonumber\\ \int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du\Big]ds\nonumber\\ +(1-\alpha)\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C-k\widetilde\sigma_C)s\big)\nonumber\\ \int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du\Big]ds\Big\}, $

(3.6)

其中$f_i(s, u)$ 由(3.4)和(3.5)式给出. 现令

$ \phi_i^{\alpha}=\alpha\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C+k\widetilde\sigma_C)s\big)\nonumber\\ \int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du\Big]ds\nonumber\\ +(1-\alpha)\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C-k\widetilde\sigma_C)s\big)\nonumber\\ \int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du\Big]ds, $

(3.7)

则由推论3.1可以得到$V_i(\pi(0)\big|\alpha)=\pi(0)e^{-L_0}\phi_i^{\alpha}.$

推论3.2(完全悲观)  在机制$i\in\{E, C\}$时, 对于一个乐观程度值$\alpha=0$的决策者来说, 项目的$\alpha$-期望值给定如下:

$ V_i(\pi(0)\big|\alpha)=\pi(0)e^{-L_0}\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C-k\widetilde\sigma_C)s\big)\nonumber\\ \int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)du\Big]ds, $

(3.8)

其中$f_i(s, u)$由(3.4)和(3.5)式给出.

推论3.3(不考虑Knight不确定)  当一个决策者只考虑一个概率测度时, 他对含糊的不确定程度将为0, 等价于$k=0$. 通胀动力学方程由(2.1)式给出, 利润流的动力学方程由方程(2.3)和(2.4)给出. 在$k=0$条件下利用公式(3.6), 可以得到

$ V_i(\pi(0)\big|\alpha)=\pi(0)e^{-L_0}\int_0^{T}\Big[\exp\big((-\rho+\widetilde\mu_C)s\big)\int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C)u\}f_i(s, u)du\Big]ds, $

(3.9)

其中$f_i(s, u)$由(3.4)和(3.5)式给出.

现刻画投资利润流的临界现值$\pi_i^{*}$, $i\in\{E, C\}$, 其被定义为使得投资的期望值恰好等于初始成本时的$\pi(0)$值, 即$F_i(\pi(0)\big|\alpha)=0$. 显然若当前利润流大于$\pi_i^{*}$, 决策者就乐于投资; 否则放弃投资.

现令$L(0)=L_0=0$, 则有如下结论.

(1)考虑机制转换及Knight不确定环境下带通胀的利润流的临界现值计算公式为

$ \pi_i^{*}=\frac{I}{\phi_i^\alpha},i\in\{E,C\},\alpha\in[0,1]. $

(3.10)

(2)考虑$\alpha=0$及机制转换环境下带通胀的利润流的临界现值为

$ \pi_i^{*}=\frac{I}{\phi_i^{\alpha=0}}, i\in\{E, C\}. $

(3.11)

(3)仅考虑机制转换环境下带通胀的利润流的临界现值(即不考虑Knight不确定)为

$ \pi_i^{*}=\frac{I}{\phi_i}, i\in\{E, C\}. $

(3.12)

现给定参数值$\lambda_E=0.29, \lambda_C=3.413, \mu_E=0.056349723, \mu_c=0.03069200, \sigma_E=0.14, \sigma_C=0.3, $ $\rho=0.1, \pi(0)=1, I=10, \gamma=1, \mu=0.049548513, \psi=0.2, L_0=0, \xi=0.3$. 利用Matlab软件, 我们可以得到以下结论(图见附录B).

(1)图 1和图 4可知在扩张及紧缩情形下且$T=5$时, 随$k$值增大, 当$\alpha=1, \alpha=0, \alpha=0.5$时, 投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$随$k$值变化呈下降趋势; 当$T=450$时扩张及紧缩情形下数值趋向一致; 图 2中利润流的临界现值$\pi_i^{*}$变化趋势与图 1中投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$相反.

(2)图 3可知在扩张及紧缩情形下且$T=5$时, 随$\alpha$增大, 当$k=0$时, 投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$不受$\alpha$的影响; 当$k=0.1$时, 投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$呈较缓上升趋势; $k=0.2$时, 投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$呈上升趋势.

(3)图 5和图 6可知, 投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$随$\psi$ (即期预期通胀率)增长而降低；投资平均收益$V_i(\pi(0)\big|\alpha)$随$\xi$(通胀波动率)增长而增加.

(4)图 7可知, 利润流的临界现值$\pi_i^{*}$随$\xi$(通胀波动率)的增大而减小, 且在扩张机制下减幅较大.

本文研究了投资者在Knight不确定及机制转换环境下带通胀的最优投资决策问题. 对现有模型进行了推广, 利用随机分析方法, 推导出带有通胀因素的项目投资利润流的动力学方程. 并利用matlab软件对数值进行了分析, 得出各因素对投资利润流均值的影响. 所得模型更加符合实际, 为项目投资提供参考依据, 问题的研究具有现实经济意义.

首先给出证明过程中所需引理及相应证明.

定义$X(t)=\displaystyle\int_0^{t}I(s)dB(s)^\theta$. 类似文献[7]中的引理4可得下列结论.

引理A.1  对于常数$a, b, c$来说, 有

$ E^{Q^\theta}\Big[\exp\{a\varsigma(s)+bB(s)^\theta+cX(s)\}\big|\sigma_0=\sigma_i\Big]ds =\int_0^{s}\exp\Big\{(\frac{b^2}{2})s+(a+bc+\frac{c^2}{2})u\Big\}f_i(s, u)du. $

定理3.1证明  对于任意$\theta(t)\in[-k, k]$, 由引理A.1可得

$ E^{Q^\theta}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)-\theta(t)\widetilde\sigma(t)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s}\widetilde\sigma(t)dB(t)^\theta\Big\}ds\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]\\ =\int_0^{T}\exp\Big\{(-\rho+\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}\widetilde\sigma_C^2)s\Big\}E^{Q^\theta}\Big[\exp\big\{ (\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}(\widetilde\sigma_E^2-\widetilde\sigma_C^2))\varsigma(s)\\-\int_0^{s}\theta(t)\widetilde\sigma(t)dt+\widetilde\sigma_CB(s)^\theta+(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C) \int_0^{s}I(t)dB(t)^\theta\Big\}\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]ds\\ \leq\int_0^{T}\exp\Big\{(-\rho+\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}\widetilde\sigma_C^2)s\Big\}E^{Q^\theta}\Big[\exp\Big\{ (\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}(\widetilde\sigma_E^2-\widetilde\sigma_C^2))\varsigma(s)\\ +\int_0^{s}k\widetilde\sigma(t)dt+\widetilde\sigma_CB(s)^\theta+(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C)\int_0^{s}I(t) dB(t)^\theta\Big\}\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]ds\\=\int_0^{T}\exp\Big\{(-\rho+\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}\widetilde\sigma_C^2+k\widetilde\sigma_C)s\Big\}E^{Q^\theta} \Big[\exp\Big\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}(\widetilde\sigma_E^2-\widetilde\sigma_C^2)+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C)) \varsigma(s)\\ +\widetilde\sigma_CB(s)^\theta+(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C)\int_0^{s}I(t)dB(t)^\theta\big| \widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big\}\Big]ds\\ =\int_0^{T}\exp\{(-\rho+\widetilde\mu_C+k\widetilde\sigma_C)s\}\cdot\int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde \mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)duds. $

另一方面,

$ E^{Q^{-k}}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)-\theta(t)\widetilde \sigma(t)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s}\widetilde\sigma(t)dB(t)^{-k}\Big\}ds \big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]\\ =\int_0^{T}\exp\Big\{(-\rho+\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}\widetilde\sigma_C^2+k\widetilde\sigma_C)s \Big\}E^{Q^{-k}}\\ \Big[\exp\Big\{(\widetilde\mu_E-\widetilde\mu_C-\frac{1}{2}(\widetilde\sigma_E^2-\widetilde\sigma_C^2)+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))\varsigma(s)\\ +\widetilde\sigma_CB(s)^{-k}+(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C)\int_0^{s}I(t)dB(t)^{-k} \big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big\}\Big]ds\\ =\int_0^{T}\exp\{(-\rho+\widetilde\mu_C+k\widetilde\sigma_C)s\}\cdot\int_0^{s}\exp\{(\widetilde \mu_E-\widetilde\mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)duds. $

因此

$ E^{Q^\theta}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)-\theta(t)\widetilde \sigma(t)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s}\widetilde\sigma(t)dB(t)^\theta\Big\}ds\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]\\ \leq E^{Q^{-k}}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)+k\widetilde\sigma(t)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s} \widetilde\sigma(t)dB(t)^{-k}\Big\}ds\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]. $

又由于$\theta(t)\in[-k, k]$, 所以

$ \sup\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}\Big[\int_0^{T}e^{-\rho s-L(s)}\pi(s)ds\big|\sigma(0)=\sigma_i\Big]\\ =\widetilde\pi(0)\sup\limits_{Q^\theta\in \mathscr {P}}E^{Q^\theta}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)-\theta(t)\widetilde\sigma(t)\\-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s}\widetilde\sigma(t)dB(t)^\theta\Big\}ds\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]\\ =\widetilde\pi(0)E^{Q^{-k}}\Big[\int_0^{T}\exp\Big\{-\rho s+\int_0^{s}(\widetilde\mu(t)+k\widetilde\sigma(t)-\frac{1}{2}\widetilde\sigma(t)^2)dt+\int_0^{s} \widetilde\sigma(t)dB(t)^{-k}\Big\}ds\big|\widetilde\sigma(0)=\widetilde\sigma_i\Big]\\ =\widetilde\pi(0)\int_0^{T}\exp\{(-\rho+\widetilde\mu_C+k\widetilde\sigma_C)s\}\cdot\int_0^{s}\exp\{(\widetilde\mu_E-\widetilde \mu_C+k(\widetilde\sigma_E-\widetilde\sigma_C))u\}f_i(s, u)duds. $

同样, 我们也可以得到(3.3)式.