自对偶码是一类重要的码. 人们通过研究发现, 自对偶码与组合、群论和格论有密切关系. 对有限环上的自对偶码的研究 可以促进幺模格及非线性码的发展(见文献[1-3]), 从而导致了许多作者对各种类型的环中自对偶码的研究. Dougherty 等人在文献[4]研究了$R_{k}$与$F_{2}$上的自对偶码, Kim和Lee研究了Galois环上自对偶码的构造方法并用这种方法研究了Galois环上的MDS自对偶码(见文献[5]), 接着Dougherty等人将这种自对偶码的构造方法扩展到了有限链环上(见文献[6]). 最近, Yildiz和Karadeniz研究了有限非链环$F_{2}+uF_{2}+vF_{2}+uvF_{2}$ 上的自对偶码, 通过对这种环自对偶码的研究, 可以获得许多新的二元好码(见文献[7]).

本文的目的是研究环$R=F_{2}+uF_{2}+vF_{2}=\{ a+ub+vd\mid a, b, d\in F_{2}, u^{2}=v^{2}=uv=vu=0\} $上的自对偶码. 首先定义了一个从$R^{n}$到$F_{2}^{3n}$的Gray映射$\varphi$. 这个映射将$R$上长为$n$的自对偶码映射到$F_{2}$ 上长为$3n$ 的自对偶码. 通过给出$R$上长为$2$的自对偶码证明了$R$上存在任何偶长度的自对偶码. 最后, 给出了$R$上两种构造自对偶码的方法.

环$R=F_{2}+uF_{2}+vF_{2}$是一个特征为$2$且理想为

$ I_{0}=\{0\}\subseteq I_{u}, I_{v}\subseteq I_{u+v}, I_{1+v}\subseteq I_{1}=R $

的主理想环, 其中$I_{u}=\{0, u\}, I_{v}=\{0, v\}, I_{u+v}=\{0, u, v, u+v\}, I_{1+v}=\{0, u, 1+v, 1+u+v\}$. 且对于任意$a\in F_{2}+uF_{2}+vF_{2}$, 有

$ a^{2}=\left\{ \begin{array}{cc} 1, \mbox{当}a\mbox{是一个单位, }\\ 0, \mbox{否则.} \end{array} \right. $

(2.1)

如果$C$为$R$-模$R^{n}$的一个加法子模, 则称$C$为$R$上长为${n}$的线性码. 对于任意$x=(x_{1}, \cdots, x_{n})$, $y=(y_{1}, \cdots, y_{n})\in R^{n}$, 称$x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}$ 为$x$与$y$的内积, 记为$[x, y]$, 即$[x, y]=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}$. 定义$C^{\perp}=\{ x\in R^{n}\mid [x, y]=0, \forall y\in C\} $, 称$C^{\perp}$为$C$的对偶码. 若$C\subseteq C^{\perp}$, 则称$C$为自正交码; 若$C=C^{\perp}$, 则称$C$为自对偶码.

下来, 给出$R^{n}\longrightarrow F_{2}^{3n}$的Gray映射.

定义2.1  显然映射

$ \varphi :R\rightarrow F_{2}^{3} $

$ a+ub+vc\mapsto (c, b+c, a+b+c) $

是$R$到$F_{2}^{3}$的双射. 将其扩充$R^{n}$到$F_{2}^{3n}$仍记为

$ \varphi :R\rightarrow F_{2}^{3n} $

$ (x_{1}, \cdots, x_{n})\mapsto (\varphi (x_{1}), \cdots, \varphi (x_{n})), $

则$\varphi$也是$R^{n}$到$F_{2}^{3n}$的双射. 称这个映射$\varphi$为$R^{n}$到$F_{2}^{3n}$的Gray映射.

定义2.2  设$(x_{1}, \cdots, x_{n})\in R^{n}$, 称$W_{H}(\varphi (x_{1}), \cdots, \varphi (x_{n}))$为$R^{n}$中元素$(x_{1}, \cdots, x_{n})$的Lee重量, 记为$W_{L}(x_{1}, \cdots, x_{n})$. 即$W_{L}(x_{1}, \cdots, x_{n})=W_{H}(\varphi (x_{1}), \cdots, \varphi (x_{n}))$, 其中$W_{H}$表示$F_{2}^{3n}$中元素的Hamming重量.

显然, 我们有下面引理.

引理2.1  如果$C$是$F_{2}+uF_{2}+vF_{2}$上长为$n$, $|C|=2^{k}$, 且最小Lee重量为$d$的线性码, 则$\varphi (C)$是$F_{2}$上长为$3n$, 维数为$k$且最小Hamming重量为$d$的线性码.

有了以上准备, 我们可以证明如下重要定理.

定理2.2  设$C$为$R$上长为$n$的线性码, $C^{\bot}$为它的对偶码, 则$\varphi (C^{\bot})=\varphi (C)^{\bot}$. 进而, 如果$C$为自对偶码, 则$\varphi (C)$也为自对偶码．

证  显然$C$中的任意码字$C$可以表示为$C=a+ub+vd$, 其中$a, b, d\in F_{2}^{n}$.

对于任意$c_{1}=a_{1}+ub_{1}+vd_{1}, c_{2}=a_{2}+ub_{2}+vd_{2}\in C$, 这里$a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, d_{1}, d_{2}\in F_{2}^{n}$, 若$[c_{1}, c_{2}]=0$, 则

$ [a_{1}, a_{2}]+[d_{1}, d_{2}]=0, [a_{2}, b_{2}]+[a_{2}, b_{1}]=0, [d_{1}, a_{2}]+[a_{1}, d_{2}]=0, $

因此

$ [\varphi (c_{1}), \varphi (c_{2})]=[a_{1}, a_{2}]+[d_{1}, d_{2}]+[a_{1}, b_{2}]+[a_{2}, b_{1}]+[d_{1}, a_{2}]+[a_{1}, d_{2}]=0, $

从而

$ \varphi (C^{\bot})\subseteq \varphi (C)^{\bot}. $

(2.2)

由引理2.1知, $\varphi (C)$是长为$3n$的二元线性码且$|\varphi (C)|=|C|$, 因此根据二元自对偶码的性质, 得$|\varphi (C)^{\bot}|=\frac{2^{3n}}{|\varphi (C)|}=\frac{2^{3n}}{|C|}$. 又$R$为Frobenius环, 故由文献[8]知$|C|\cdot |C^{\bot}|=2^{3n}$. 从而

$ |\varphi (C^{\bot})|=|\varphi (C)^{\bot}|. $

(2.3)

综合(2.2)式与(2.3)式, 得$\varphi (C^{\bot})=\varphi (C)^{\bot}$．

注  $R$中不存在长为$1$的自对偶. 若不然, 设$C$是$R$上长为$1$的自对偶码, 则$|C|=|C^{\bot}|$且$|C|\cdot |C^{\bot}|=8$, 这是不可能的．

取

$ C=\langle(1, 1)\rangle\\ = \{ (0, 0), (1, 1), (u, u), (v, v), (1+u, 1+u), (1+v, 1+v), (1+u+v, 1+u+v), (u+v, u+v)\}, $

则$C$是自正交码. 又$|C|=8$, 因此$|C^{\bot}|=8$. 故$C$是$R$上的自对偶码．

由文献[6]的引理3.2, 我们有如下定理.

定理2.3  $R$上存在任何偶数长度的自对偶码．

记$R$上$k$阶循环矩阵$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{1}&a_{2}&\ldots&a_{k}\\ a_{k}&a_{1}&\ldots&a_{k-1}\\ \vdots& &\ddots&\vdots\\ a_{2}&a_{3}&\ldots&a_{1} \end{array} \right)$为$A=[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}]$. 称分块矩阵$G=(I_{k}|A)$为$R$上的双循环矩阵, 其中$I_{k}$为$R$上单位矩阵．

下面我们考虑$R$上由$G$生成的自对偶码. 分两种情形讨论.

情形1  $k$为奇数, 令$k=2s+1$.

定理3.1  设$C$是$R$上由$G=(I_{2s+1}|A)$生成长为$4s+2$的线性码, 这里$A=[a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}, a_{s}, a_{s-1}, \cdots, a_{1}, h]$, 其中$a_{i}$是$R$的非单位元, $h$为$R$上的单位元. 则$C$是一个自对偶码．

证  记$G$的第$i$行为$G_{i}(i=1, 2, \cdots, 2s+1)$, 则

$ C=\{ x_{1}G_{1}+x_{2}G_{2}+\cdots +x_{2s+1}G_{2s+1}|x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{2s+1}\in R\}, $

从而

$ |C|=8^{2s+1}=\sqrt{8^{4s+2}}=|C^{\perp}|. $

(3.1)

分别用$e_{i}$与$A_{i}$表示$I_{2s+1}$与$A$的第$i$行$(i=1, 2, \cdots, 2s+1)$, 则$G_{i}=(e_{i}, A_{i})$. 注意到$[G_{i}, G_{j}]=[e_{i}, e_{j}]+[A_{i}, A_{j}]$, 而

$ [e_{i}, e_{j}]=\left\{ \begin{array}{cc} 1, i=j, \\ 0, i\neq j. \end{array} \right. $

为此来计算$[A_{i}, A_{j}]$．

当$i=j$时, $[A_{i}, A_{i}]=h^{2}+2\sum\limits_{i=1}^{s}{a_{i}^{2}}=1$.

当$i\neq j$时, 不妨设$i<j$. 设$\tau $表示对$A$中行向量的循环位移, 则$A_{i}=\tau ^{i-1}(A_{1})$, 且$[A_{i}, A_{j}]=[\tau (A_{i}), \tau (A_{j})]$, 于是

$ [A_{i}, A_{j}]=[\tau ^{i-1}(A_{1}), \tau ^{j-1}(A_{1})]=[A_{1}, \tau ^{j-i}(A_{1})]. $

易验证, 在$[A_{1}, \tau ^{j-i}(A_{1})]$中, 如果$a_{l}$与$a_{t}$配对, 那么$a_{t}$也与$a_{l}$配对; 如果$h$与$a_{r}$配对, 那么$a_{r}$也与$h$配对. 由于$A$的行中总元素个数为奇数, 所以总有一个元素$a_{q}$与它自身配对. 因此$[A_{i}, A_{j}]=[A_{1}, \tau ^{j-i}(A_{1})]$的表达式是由形为$2a_{r}h, 2a_{l}a_{t}$和$a^{2}_{q}$的项组成, 故$[A_{i}, A_{j}]=0$．

根据以上计算, 有

$ [G_{i}, G_{j}]=0. $

(3.2)

综合(3.1)式与(3.2)式知, $C$为自对偶码．

情形2  $k$为偶数. 令$k=2s$．

定理3.2  设$C$是$R$上由$G=(I_{2s}|B)$生成的长为$4s$的线性码, 这里

$ B=[b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s-1}, b_{s}, b_{s-1}, \cdots, b_{1}, y], $

其中$b_{i}$是单位且$y$是非单位或$b_{i}$是非单位且$y$是单位, 则$C$是$R$上的自对偶码．

证  类似于定理3.1的证明, 易证$|C|=|C^{\perp }|$. 因此, 要证明$C$是自对偶码, 只需证$C$是自正交码.同样, 类似于定理3.1的证明, 只需证

$ [B_{i}, B_{j}]=\left\{ \begin{array}{cc} 1, i=j, \\ 0, i\neq j, \end{array} \right. $

其中$B_{i}, B_{j}$分别表示$B$的$i, j$行．

当$i=j$时, $[B_{i}, B_{j}]=2(b_{1}^{2}+\cdots +b_{s-1}^{2})+b_{s}^{2}+y^{2}=1$.

当$i\neq j$时, 不妨设$i<j$, 同样有

$ [B_{i}, B_{j}]=[B_{1}, \tau ^{j-i}(B_{1})]. $

易验证, 在$[B_{1}, \tau ^{j-i}(B_{1})]$ 中, 如果$b_{l}$与$b_{t}$配对, 那么$b_{t}$也与$b_{l}$配对. 也可能发生$b_{r}$与它自身配对, 由于$B_{1}$中的坐标个数为偶数, 因此与自身配对的$b_{r}$的个数为偶数. 故$[B_{i}, B_{j}]=[B_{1}, \tau ^{j-i}(B_{1})]=0$.

例1  取$G_{1}=\left( \begin{array}{cccccccccc} 1&0&0&0&0&u&v&v&u&1+u\\ 0&1&0&0&0&1+u&u&v&v&u\\ 0&0&1&0&0&u&1+u&u&v&v\\ 0&0&0&1&0&v&u&1+u&u&v\\ 0&0&0&0&1&v&v&u&1+u&v \end{array} \right)$，则由定理3.1知, $G_{1}$生成$R$上长为$10$ 且码字个数为$8^{5}$的自对偶码$C_{1}$, 再由定理2.2知$\varphi (C_{1})$是$F_{2}$上长为$30$且维数为$15$的自对偶码．

例2  取$G_{2}=\left( \begin{array}{cccccccc} 1&0&0&0&1+u+v&1+v&1+u+v&1+u\\ 0&1&0&0&1+u&1+u+v&1+v&1+u+v\\ 0&0&1&0&1+u+v&1+u&1+u+v&1+v\\ 0&0&0&1&1+v&1+u+v&1+u&1+u+v \end{array} \right)$, 则由定理3.2知, $G_{2}$生成$R$上长为$8$且码字个数为$8^{4}$的自对偶码$C_{2}$, 再由定理2.2知$\varphi (C_{2})$是$F_{2}$上长为$24$且维数为$12$的自对偶码．