若$f(x)$是以$2l$为周期的可积函数, 通过变量置换$\frac{\pi x }{l}=t$或$x=\frac{lt}{\pi}$可以把$f(x)$变换成以$2\pi$为周期的函数$F(t)=f(\frac{lt}{\pi})=f(x)$.因而不妨设周期函数$f(x)$的周期为$2\pi$, $f(x)$的Fourier展开式为

$ f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx), $

(1.1)

其中

$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx ~dx, ~n=0, 1, 2, \cdots, $

(1.2)

$ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx ~dx, ~n=1, 2, \cdots. $

(1.3)

设$f(x), g(x)$是以$2\pi$为周期的可积函数, 则$f(x), ~g(x)$的Fourier展开式分别为

$ f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx), \\ g(x)\sim \frac{a^\prime_0}{2}+\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty(a^\prime_n\cos nx+b^\prime_n\sin nx), $

其Parseval恒等式分别为

$ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi|f(x)|^2dx= \frac{1}{2}|a_0|^2+\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty(|a_n|^2+|b_n|^2), \\ \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)dx=\frac{1}{2}a_0a^\prime_0+\mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty(a_na^\prime_n+b_nb^\prime_n). $

并且上述Parseval恒等式右端的级数绝对收敛(参见文献[8]).

为了证明本文的主要定理我们先引入以下引理.

引理1.1  设$f(x)$是连续函数且$\int_a^bf(x)dx=0$, 若对任意的$g(x)>0, ~ x\in[a, ~b]$, 都有$\int_a^bf(x)g(x)dx=0$, 则对任意$ x\in [a, ~b]$, 都有$ f(x)=0$.

证  由于$f(x)$是连续函数, 令$ A=\max\{ f(x): x \in [a, b] \}, $那么对任意的$\varepsilon >0$, 取$g(x) = A + \varepsilon - f(x)>0$, 则

$ \int_a^bf(x)g(x)dx = \int_a^b \left(A + \varepsilon - f(x)\right)f(x)dx\\ = \int_a^b(A + \varepsilon)f(x)dx - \int_a^b f^2(x)dx = - \int_a^b f^2(x)dx = 0, $

显然对任意$ x\in [a, ~b]$, 都有$ f(x)=0$, 证毕.

以下是本文的主要结果.

定理1.2  设$f_i(x) ~(i=1, 2)$是以$2\pi$为周期的函数, 满足$f_i(x)>0$且$f_i(x)+f_i^{\prime\prime}(x)> 0$, 则

$ \int_0^{2\pi}f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})dx\int_0^{2\pi}f_2(f_1+f_1^{\prime\prime})dx\geq \int_0^{2\pi}f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})dx\int_0^{2\pi}f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})dx $

(1.4)

等号成立当且仅当$f_1(x)=\lambda f_2(x), ~ \lambda>0$.

证  令$L_i=\displaystyle\int_0^{2\pi}f_i(x)dx$, $g(x)=\frac{f_1(x)}{L_1}-\frac{f_2(x)}{L_2}$, $g(x)$的Fourier展开式

$ g(x)=\frac{f_1(x)}{L_1}-\frac{f_2(x)}{L_2}\sim \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty \alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx. $

(1.5)

求$g(x)$二阶导数

$ g^{\prime\prime}(x)=\frac{f_1^{\prime\prime}(x)}{L_1} -\frac{f_2^{\prime\prime}(x)}{L_2}\sim \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty (-k^2)(\alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx), $

(1.6)

由(1.5) 和(1.6) 式得

$ g(x)+g^{\prime\prime}(x)=\frac{f_1(x)+f_1^{\prime\prime}(x)}{L_1} -\frac{f_2(x)+f_2^{\prime\prime}(x)}{L_2} $

(1.7)

$ \sim \mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty (1-k^2)(\alpha_k\cos kx+\beta_k\sin kx). $

(1.8)

由Parseval恒等式得

$ \int_0^{2\pi}g(x)(g(x)+g^{\prime\prime}(x))dx =\pi\mathop \sum \limits_{k = 1}^\infty(1-k^2)(\alpha_k^2+\beta_k^2), $

(1.9)

显然(1.9) 式小于等于0, 等号成立当且仅当$\alpha_k=\beta_k=0 ~(k\neq1)$.即

$ g(x)=\frac{f_1(x)}{L_1}-\frac{f_2(x)}{L_2}=\alpha_1\cos x+\beta_1\sin x. $

(1.10)

由(1.5) 和(1.7) 式知(1.9) 式等价于

$ \int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1^2}dx +\int_0^{2\pi}\frac{f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})}{L_2^2}dx- \int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})}{L_1L_2}dx- \int_0^{2\pi}\frac{f_2(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1L_2}dx\leq0. $

即

$ \int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})+ f_2(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1L_2}dx \geq \int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1^2}dx+ \int_0^{2\pi}\frac{f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})}{L_2^2}dx\\ \geq 2\sqrt{\int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1^2}dx \int_0^{2\pi}\frac{f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})}{L_2^2}dx}, $

其中第二个不等号成立当且仅当

$ \int_0^{2\pi}\frac{f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})}{L_1^2}dx= \int_0^{2\pi}\frac{f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})}{L_2^2}dx, $

(1.11)

进一步得

$ \left(\int_0^{2\pi}(f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})+ f_2(f_1+f_1^{\prime\prime}))dx\right)^2 \geq4\int_0^{2\pi}f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})dx \int_0^{2\pi}f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})dx. $

(1.12)

利用分步积分得

$ \int_0^{2\pi}f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})dx= \int_0^{2\pi}f_2(f_1+f_1^{\prime\prime})dx, $

(1.13)

所以(1.12) 等价于

$ \int_0^{2\pi}f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})dx \int_0^{2\pi}f_2(f_1+f_1^{\prime\prime})dx =\int_0^{2\pi}f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})dx \int_0^{2\pi}f_1(f_2+f_2^{\prime\prime})dx\\ \geq\int_0^{2\pi}f_1(f_1+f_1^{\prime\prime})dx \int_0^{2\pi}f_2(f_2+f_2^{\prime\prime})dx. $

以上不等号成立条件均为当且仅当(1.10) 和(1.11) 同时成立, 即

$ f_1(x) = L_1(\alpha_1\cos x+\beta_1\sin x)+\frac{L_1}{L_2}f_2(x), \\ \int_0^{2\pi}f_1(x)(f_1(x)+f_1^{\prime\prime}(x))dx = \frac{L_1^2}{L_2^2}\int_0^{2\pi}f_2(x)(f_2(x)+f_2^{\prime\prime}(x))dx. $

整理可得

$ \int_0^{2\pi}(\alpha_1\cos x+\beta_1\sin x)(f_2(x)+f_2^{\prime\prime}(x))dx=0, $

由引理1.1则$g(x)=\frac{f_1(x)}{L_1}-\frac{f_2(x)}{L_2}=\alpha_1\cos x+\beta_1\sin x=0$, 也即$f_1(x)=\frac{L_1}{L_2}f_2(x)$.证毕.

欧氏平面$R^2$中的点集$K$称为凸集, 如果任意两点$x, y\in K$及$0\le \lambda\le 1, ~\lambda x+ (1-\lambda)y \in K$.两凸集$K$与$L$的Minkowski加及数乘分别定义为

$ K+L=\{x+y: ~x\in K, ~ y\in L\}, \\ \lambda K=\{\lambda x: ~x\in K\} \ \ (\lambda \geq 0). $

设$K$为平面内一有界闭凸域, 任选一坐标系xOy, 从原点$O$引出一条射线$OR$, 作垂直于$OR$且与$K$相遇的任一直线$G_1(p_1, ~\phi)$, 记$p$为

$ p=\sup\{p_1:~G_1(p_1, \phi)\cap K\neq\varnothing\}, $

平面上与$p$相应的直线$G(p, ~\phi)$为$K$的支持线, 称为$K$沿$\phi$方向的支持线.而函数$p(\phi)$即为凸集$K$的支持函数.则$K$的周长和面积的可表示为

$ L=\int_{\partial k}ds=\int_0^{2\pi}(p+p^{\prime\prime})d\phi=\int_0^{2\pi}pd\phi, $

(2.1)

$ A=\frac{1}{2}\int_{\partial K}pds=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}p(p+p^{\prime\prime})d\phi. %%%=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(p^2-p^{\prime2})d\phi. $

(2.2)

设$K_1$, $K_2$为两平面凸集, 分别关于参考点$O_1$, $O_2$的支持函数分别为$p_1(\phi)$, $p_2(\phi)$.设$p_1(\phi)$, $p_2(\phi)\in C^2$, 由于凸集是由支持函数所唯一确定的(吴大任就凸集边界为卵形线情形给出详细论证, 参见文献[12]), 故而考虑函数$p(\phi)=p_1(\phi)+p_2(\phi)$.由于$p+p^{\prime\prime}=(p_1+p_1^{\prime\prime})+(p_2+p_2^{\prime\prime})>0$, 所以$p(\phi)$必为一凸集的支持函数.以$p(\phi)=p_1(\phi)+p_2(\phi)$为支持函数的凸集的面积为

$ A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left[p_1+p_2\right] \left[(p_1+p_2)+(p_1+p_2)^{\prime\prime}\right] d\phi =A_1+A_2+2A_{12}, $

(2.3)

其中

$ A_{12}=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(p_1p_2-p_1^\prime p_2^\prime)d\phi=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}p_1(p_2+p^{\prime\prime}_2)d\phi $

(2.4)

称为凸集$K_1$与$K_2$的Minkowski混合面积.

可以验证

$ A_{12}=A_{21}. $

(2.5)

定义2.1  若$p_1(\phi)$, $p_2(\phi)$满足$p_1(\phi)=\lambda p_2(\phi), ~\lambda>0$, 则称$K_1$与$K_2$位似.

定理2.2  设$K_i$$(i=1, 2)$为平面凸集, 周长记为$L_i$, 面积记为$A_i$, 支持函数记为$p_i(\phi)$, 记$K_1$, $K_2$的混合面积为$A_{12}$, 则有

$ A_{12}^2\geq A_1A_2 $

(2.6)

等号成立当且仅当$K_1$与$K_2$位似.

证  不失一般性, 将确定支持函数的参考点选在凸域内, 则$p_i(\phi)>0$.由定理1.2知

$ \int_0^{2\pi}p_1(p_2+p_2^{\prime\prime})d\phi \int_0^{2\pi}p_2(p_1+p_1^{\prime\prime})d\phi\geq \int_0^{2\pi}p_1(p_1+p_1^{\prime\prime})d\phi \int_0^{2\pi}p_2(p_2+p_2^{\prime\prime})d\phi, $

(2.7)

由(2.2)-(2.5) 式知(2.6) 式等价于(2.7) 式.证毕.

特别地, 当$K_1$为半径为$r$的圆盘时, $A_{12}=\frac{r}{2}L_2, $由(2.6) 式便得到

$ A_{12}^2-A_1A_2=\frac{r^2}{4}(L_2^2-4\pi A_2)\geq0 $

等号成立当且仅当$K_2$为圆盘.

即经典的等周不等式$L^2\geq4\pi A$是关于混合面积的Minkowski不等式的直接推论.