在本文中$ \mathbb{K} $为一空间类满足若$ X $属于$ \mathbb{K} $, 则$ X $的每个闭子空间也属于$ \mathbb{K} $. 若对于$ X $中的任意非空闭集$ F $, 存在$ x\in F $使得$ X $的子空间$ F $中有点$ x $的邻域$ V_x\in\mathbb{K} $, 则空间$ X $称为$ \mathbb{K} $-散布[16].

若空间$ X $的每个非空子空间有孤立点, 则空间$ X $称为散布空间. 记$ \mathbb{C} $为所有紧空间构成的空间类. 若对空间$ X $中每个非空闭集$ F $, 存在$ F $中的一个点$ x $在子空间$ F $中有紧邻域, 则空间$ X $称为$ \mathbb{C} $-散布[16]. 由$ \mathbb{C} $-散布的定义, 我们知道若一个空间$ X $是散布的则$ X $也是$ \mathbb{C} $-散布的.

记$ 2^X $为空间$ X $的所有闭集构成的集族. 对任意$ F\in2^X $, 令$ F^*=\{x $: $ x $在子空间$ F $中没有$ \mathbb{K} $邻域$ \} $. 令$ X^{(0)}=X $, 对任意序数$ \alpha $, 令$ X^{(\alpha+1)}=(X^{(\alpha)})^* $. 若$ \lambda $是一个极限序数, 令$ X^{(\lambda)}=\bigcap\{X^{(\alpha)}:\alpha<\lambda\} $. 对任意$ \mathbb{K} $-散布空间, 存在某个序数$ \alpha $使得$ X^{(\alpha)}=\emptyset $. 定义$ \mathrm{rank}(X)=\inf\{\alpha:X^{(\alpha)}=\emptyset\} $. 若存在某个序数$ \alpha $使得$ \mathrm{rank}(X)=\alpha+1 $, 则$ X^{(\alpha)} $是$ X $的局部$ \mathbb{K} $闭子空间. 若$ X $是局部$ \mathbb{K} $空间, 则$ \mathrm{rank}(X)=1 $. 容易验证若$ X $是一个正则$ \mathbb{K} $-散布空间, 则对$ X $的每个非空闭子集$ F $, 存在$ x\in F $及$ x $的某个开邻域$ V_x $, 使得$ \overline{V_x}\cap F\in\mathbb{K} $.

$ X $是拓扑空间, 若$ A\subset X $且子空间$ A\in\mathbb{K} $, 则称$ A $是$ X $中的$ \mathbb{K} $集；设$ \mathcal{A} $是$ X $的某子集族, 若每个$ A\in\mathcal{A} $, $ A $是$ X $中的$ \mathbb{K} $集, 则称$ \mathcal{A} $是$ X $的$ \mathbb{K} $子集族. 记$ \mathbb{DK} $为所有可以表示为某离散的$ \mathbb{K} $闭集族之并的空间构成的类, 由定义易知$ \mathbb{DK} $空间类具有闭遗传性质. 相应的可定义空间$ X $的$ \mathbb{DK} $集和$ \mathbb{DK} $子集族.

设$ X $是拓扑空间, 若$ X $的每个开覆盖$ \mathcal{U} $存在开加细$ \mathcal{V} $满足：

(1) $ \{\bigcup\mathcal{V}_i:i\in\mathbb{N}\} $是$ \mathcal{U} $的点有限开加细；

(2) 每个$ x\in X $, 存在$ i\in\mathbb{N} $, 使得$ 1\leq|\{V:x\in V $且$ V\in\mathcal{V}_i\}|<\omega $,

则称$ X $是弱$ \overline{\theta} $-可加细空间[15], $ \mathcal{V} $称为$ \mathcal{U} $的弱$ \overline{\theta} $-加细. 由定义可知每个亚紧空间是弱$ \overline{\theta} $-可加细的空间. $ D $-空间的概念由van Douwen与Pfeffer在文献[5]中正式引入并讨论. 在拓扑空间$ (X, \mathcal{T}) $中, 一邻域指派$ \phi $是指一个映射$ \phi:X\rightarrow \mathcal{T} $, 使得对于任意的$ x\in X $, 有$ x\in\phi(x) $. $ X $是拓扑空间, 如果对于$ X $的任意邻域指派$ \phi $, 都存在闭离散子集$ D $, 使得$ X=\bigcup\{\phi(x):x\in D\} $, 则称$ X $是$ D $-空间[5]. 记$ \overline{\mathbb{D}} $为所有$ D $-空间构成的空间类. 文献[12]证明了每个正则弱$ \overline{\theta} $-可加细的$ \overline{\mathbb{D}} $-散布空间是$ D $-空间. 由于每个亚紧空间是弱$ \overline{\theta} $-空间, 因此每个正则的亚紧散布空间是$ D $-空间. 文献[13]中推论19证明了$ T_1 $弱$ \overline{\theta} $-可加细的$ \overline{\mathbb{D}} $-散布空间是$ D $-空间, 注意到上述结论中仅要求空间的$ T_1 $分离性. 如果对空间$ X $的任一开覆盖$ \mathcal{U} $, 都存在$ \sigma $-离散闭加细, 则称$ X $为次仿紧空间([6]与[3]). 因此有必要考虑某些不要求分离性或仅要求满足$ T_1 $分离性质的次仿紧$ \mathbb{K} $散布空间的拓扑性质.

设$ \mathbb{K} $为一类拓扑空间满足若$ X\in\mathbb{K} $则$ X $的每个闭子空间属于$ \mathbb{K} $. 我们证明了若空间$ X $为次仿紧的$ \mathbb{K} $-散布空间且每个$ \mathbb{K} $闭集为$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in\sigma\mathbb{DK} $. 我们证明了若$ X $是次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间, 则$ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间, 在上述结论的证明中我们没有要求空间的分离性质. 我们在本文中指出存在一个空间满足每个$ \mathbb{K} $闭集是$ G_{\delta} $-集但非所有$ \mathbb{DK} $闭集是$ G_{\delta} $-集. 在文献[11]中的定理3.9, Nyikos证明了正则的$ \sigma $-散布空间$ X $是半层空间当且仅当$ X $是$ \sigma $-闭离散空间. 在本文中我们推广了该结论, 证明了若$ X $是$ T_1 $空间且$ X $是可数个$ \omega $-散布子空间的并, 则$ X $是半层空间当且仅当$ X $是可数个闭离散子空间的并, 这推广了文献[11]中定理3.9.

令$ X $是一拓扑空间, $ {\mathcal F} $是$ X $的某些子集构成的一个集族, 如果对于空间$ X $中的任意一点$ x $及$ x $的任意开邻域$ V $都存在$ F\in {\mathcal F} $使得$ x\in F\subset U $, 则称$ {\mathcal F} $是$ X $的一个网络[7, p. 445]. 如果一空间$ X $具有一个$ \sigma $-离散闭网络, 则称$ X $是$ \sigma $-空间[7, 定义4.3]. 在文献[7]中, 上述定义中的闭性质没有, 原因是文献[7]中的空间都假定了正则性[7, p. 426].

在本文中我们最终得到如下结论：设$ H $是半层Hausdorff空间, 若$ H $满足下面条件之一, 则$ H $是$ \sigma $-空间：

a) $ H $是散布或$ \omega $-散布空间；

b) $ H $是可数个散布子空间的并；

c) $ H $是可数个$ \mathbb{C} $-散布子空间的并；

d) $ H $是可数个$ \omega $-散布子空间的并.

记所有正整数集为$ \mathbb{N} $, $ \omega=\mathbb{N}\cup\{0\} $. 关于符号和定义可参考[6].

定理2.1   若$ X $是次仿紧的$ \mathbb{K} $-散布空间且$ X $中每个$ \mathbb{K} $闭集为$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in\sigma\mathbb{DK} $.

证   因为$ X $是$ \mathbb{K} $-散布空间, 所以存在某个序数$ \gamma $使得$ \mathrm{rank}(X)=\gamma $, 即$ \gamma $是最小的序数使得$ X^{(\gamma)}=\emptyset $. 我们对$ \mathrm{rank}(X) $进行归纳地证明.

① $ \mathrm{rank}(X)=1 $, 则$ X $为局部$ \mathbb{K} $空间. 所以任意$ x\in X $, 存在点$ x $的邻域$ V_x\in\mathbb{K} $, 令$ \mathcal{V}=\{V_x^\circ:x\in X\} $, 则$ \mathcal{V} $为$ X $的一个开覆盖. 因为$ X $是次仿紧的, 所以$ \mathcal{V} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F} $, $ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in \mathbb{N}\} $, 对任意$ n\in \mathbb{N} $, $ \mathcal{F}_n $是离散的闭集族. 任意$ F\in \mathcal{F} $, 存在$ x\in X $使得$ F\subset V_x^\circ\subset V_x $. 因为$ \mathbb{K} $空间类具有闭集遗传性质, 所以$ F\in\mathbb{K} $. 于是$ X $是$ \sigma $-离散的$ \mathbb{K} $闭集族之并, 即$ X\in\sigma\mathbb{DK} $.

② $ \mathrm{rank}(X)=\beta+1 $, 则$ X^{(\beta)} $是$ X $的局部$ \mathbb{K} $闭子空间. 任意$ x\in X^{(\beta)} $, 存在$ X $中点$ x $的邻域$ V_x $使得$ V_x\cap X^{(\beta)}\in\mathbb{K} $. 若令$ \mathcal{V}=\{V_x^\circ:x\in X^{(\beta)}\}\cup\{X\setminus X^{(\beta)}\} $, 则$ \mathcal{V} $是$ X $的一个开覆盖. 因为$ X $是次仿紧空间, 所以$ \mathcal{V} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in \mathbb{N}\} $, 其中每个$ \mathcal{F}_n $是离散的闭集族. 任意$ F\in \mathcal{F} $, 若$ F\subset X\setminus X^{(\beta)} $, 则$ \mathrm{rank}(F)\leq \beta $. 所以由归纳, $ F=\bigcup\mathcal{W}_F $, 其中$ \mathcal{W}_F=\bigcup\{\mathcal{W}_F(n):n\in \mathbb{N}\} $, 对每个$ n\in\mathbb{N} $, $ \mathcal{W}_F(n) $是离散的$ \mathbb{K} $闭集族. 若存在$ x\in X^{(\beta)} $使得$ F\subset V_x^\circ $且$ F\cap X^{(\beta)}\neq\emptyset $, 则$ F\cap X^{(\beta)}\subset V_x\cap X^{(\beta)} $且$ V_x\cap X^{(\beta)}\in\mathbb{K} $, 从而$ F\cap X^{(\beta)} $是$ \mathbb{K} $闭集. 由已知, $ F\cap X^{(\beta)} $是$ X $中$ G_{\delta} $-集, 则$ F\cap X^{(\beta)}=\bigcap\{V_m(F):m\in \mathbb{N}\} $, 其中对每个$ m\in\mathbb{N} $, $ V_m(F) $是$ X $中开集. 所以$ F=(\bigcup\{F\setminus V_m(F):m\in \mathbb{N}\})\cup(F\cap X^{(\beta)}) $. 任意$ m\in \mathbb{N} $, $ \mathrm{rank}(F\setminus V_m(F))\leq \beta $. 由归纳, $ F\setminus V_m(F)\in\sigma\mathbb{DK} $, 所以$ F=\bigcup\{\bigcup\mathcal{W}_F(n):n\in \mathbb{N}\} $, 其中任意$ n\in \mathbb{N} $, $ \mathcal{W}_F(n) $是离散的$ \mathbb{K} $闭集族. 若对每个$ n\in \mathbb{N} $, 令$ \mathcal{P}_n=\bigcup\{\mathcal{W}_F(n):F\in \mathcal{F}\} $, 则$ \mathcal{P}_n $是离散的$ \mathbb{K} $闭集族, 且$ X=\bigcup\{\bigcup\mathcal{P}_n:n\in \mathbb{N}\} $. 因此$ X\in\sigma\mathbb{DK} $.

③ $ \mathrm{rank}(X)=\gamma $是极限序数, 则$ \bigcap\{X^{(\alpha)}:\alpha<\gamma\}=\emptyset $且任意$ \alpha< \gamma $, $ X^{(\alpha)} $是闭的. 所以$ \mathcal{V}=\{X\setminus X^{(\alpha)}:\alpha<\gamma\} $是$ X $的一个开覆盖, 进而$ \mathcal{V} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in \mathbb{N}\} $, 其中每个$ \mathcal{F}_n $是离散的闭集族. 任意$ F\in \mathcal{F} $, 存在$ \alpha<\gamma $使得$ F\subset X\setminus X^{(\alpha)} $, 所以$ \mathrm{rank}(F)\leq\alpha<\gamma $. 由归纳, $ F\in\sigma\mathbb{DK} $. 令$ F=\bigcup\{\bigcup\mathcal{W}_F(n):n\in\mathbb{N}\} $, 其中对每个$ n\in\mathbb{N} $, $ \mathcal{W}_F(n) $是$ X $中的离散$ \mathbb{K} $闭集族. 任意$ n\in \mathbb{N} $, 若令$ \mathcal{P}_n=\bigcup\{\mathcal{W}_F(n):F\in\mathcal{F}_n\} $, 则$ \mathcal{P}_n $为离散的$ \mathbb{K} $闭集族且$ X=\bigcup\{\bigcup\mathcal{P}_n:n\in \mathbb{N}\} $. 因此$ X\in\sigma\mathbb{DK} $.

因此由定理2.1我们有下面的结论.

推论2.2   若$ X $是次仿紧的$ \mathbb{C} $-散布空间且$ X $中每个紧闭集为$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in\sigma\mathbb{DC} $.

满足紧子集是$ G_\delta $-集的空间类是十分丰富的, 文献[1]中详细讨论了这一空间类. 另外, 在文献[14]的引理3.8中证明了具有局部$ G_\delta $-对角线的空间满足每个紧子集是$ G_\delta $-集.

设$ X $是拓扑空间, $ \mathcal{T} $为空间$ X $的拓扑. 若存在函数$ G:\omega\times2^X\rightarrow \mathcal{T} $, 使得对于$ X $中的每个闭集$ H $、$ K $, 函数$ G $满足：

(i) $ H=\bigcap_{n\in\omega}G(n, H) $；

(ii) 任意$ n\in\omega $, $ H\subset K\Rightarrow G(n, H)\subset G(n, K) $.

则称$ X $是半层空间[4, 定义1.1].

一个$ T_1 $拓扑空间$ X $被称为单调正规空间[10], 如果存在一个函数$ G $, 它对于$ X $中任意一对不相交的闭集$ (H, K) $, 都指定一个开集$ G(H, K) $, 使得其满足以下条件:

$ (1) $ $ H\subset G(H, K)\subset \overline{G(H, K)}\subset X\setminus K $;

$ (2) $若$ (H', K') $是一对不相交的闭集且有$ H\subset H' $和$ K\supset K' $, 则$ G(H, K)\subset G(H', K') $.

空间$ X $的一个紧化[6]$ Y $是一个包含$ X $的紧$ T_2 $拓扑空间, 使得$ X $是$ Y $的子空间且$ \overline{X}=Y $.

文献[2]中的定理1.4中证明了下面的结论：设$ H $是半层空间且具有单调正规紧化, 若$ H $满足下面的条件之一则$ H $是可度量空间：

a) $ H $是$ \sigma $-局部有限的紧集族之并；

b) $ H $是散布空间.

由文献[8]中的定理5.5可知: 若$ H $是半层空间且具有单调正规紧化则$ H $是可度量空间. 文献[2]中的定理1.4的证明过程主要是证明在一定条件下一空间可以表示为$ \sigma $-局部有限的紧集族之并. 下面我们的目的是要讨论一空间在何种条件下可以表示为$ \sigma $-离散的闭紧集族之并, 最终给出了半层Hausdorff空间是$ \sigma $-空间的一些充分条件, 为此我们先给出一些引理及定理.

设$ X $是拓扑空间, 若对于$ X $中的每个非空闭集$ A $, 存在$ x\in A $及点$ x $的开邻域$ U_x $, 使得$ |U_x\cap A|\leq\omega $, 则称$ X $是$ \omega $-散布空间[9].

引理2.3   设$ X $是$ T_1 $拓扑空间, 则下述条件等价：

(1) $ X $可表示为由某些可数闭集构成的$ \sigma $-离散集族的并；

(2) $ X $可表示为由某些可数集构成的$ \sigma $-离散集族的并；

(3) $ X $可表示为可数个闭离散子空间的并.

证 $ \mathrm{(1)} \Rightarrow \mathrm{(2)} $是显然的.

下证$ \mathrm{(2)} \Rightarrow \mathrm{(3)} $. 由$ \mathrm{(2)} $可知, $ X=\bigcup\{\bigcup\mathcal{P}_n:n\in\omega\} $, 其中对每个$ n\in\omega $, $ \mathcal{P}_n $是$ X $的一个离散集族且$ \mathcal{P}_n $中的每个元是$ X $的一个可数子集. 对每个$ n\in\omega $及$ P\in\mathcal{P}_n $, 令$ P=\{x_k(P):k\in\omega\} $. 对每个$ n\in\omega $及$ k\in\omega $, 令$ X_{nk}=\{x_k(P):P\in\mathcal{P}_n\} $. 由于$ \mathcal{P}_n $是$ X $的离散集族且$ X $是$ T_1 $空间, 则$ X_{nk} $是$ X $的闭离散集, 同时$ X=\bigcup\{X_{nk}:n\in\omega, k\in\omega\} $. 这样$ \mathrm{(3)} $成立.

下证$ \mathrm{(3)}\Rightarrow \mathrm{(1)} $. 由$ \mathrm{(3)} $可知$ X=\bigcup\{X_n:n\in\omega\} $, 其中每个$ X_n $是$ X $的闭离散子空间. 对每个$ n\in\omega $, 若令$ \mathcal{P}_n=\{\{x\}:x\in X_n\} $, 则$ \mathcal{P}_n $是$ X $的由可数闭集构成的离散集族. 若令$ \mathcal{P}=\bigcup\{\mathcal{P}_n:n\in\omega\} $, 则$ X=\bigcup\mathcal{P} $且$ \mathcal{P} $是由某些可数闭集构成的$ \sigma $-离散集族. 因此$ \mathrm{(1)} $成立.

定理2.4   若$ X $是$ T_1 $的次仿紧$ \omega $-散布空间, 同时$ X $中的每个闭可数子集是$ G_\delta $-集, 则$ X $可表示为可数个闭离散集的并.

证   令$ \mathbb{W}=\{Y:Y $是可数空间$ \} $, 则$ X $是$ \mathbb{W} $-散布空间. 由已知若$ F\in\mathbb{W} $且$ F $是$ X $中闭集, 则$ F $是$ G_\delta $-集. 因此由定理2.1可知$ X $可表示为由某些可数闭集构成的$ \sigma $-离散集族的并. 再由引理2.3可知$ X=\bigcup\{X_n:n\in\omega\} $, 其中每个$ X_n $是$ X $的闭离散子空间.

由于每个半层空间是次仿紧空间[7, 定理5.11]且半层空间中的每个闭集是$ G_\delta $-集, 因此由定理2.4我们可得如下结论.

定理2.5   若$ X $是$ T_1 $的半层$ \omega $-散布空间, 则$ X $是可数个闭离散子空间的并.

定理2.6   若$ X $是$ T_1 $的$ \omega $-散布空间, 则$ X $是半层空间当且仅当$ X $是可数个闭离散子空间的并.

证 “$ \Leftarrow $”已知$ X $是可数个闭离散子空间的并, 记$ X=\bigcup\{X_n:n\in\omega\} $, 其中每个$ X_n $是$ X $的闭离散子空间. 令$ \mathcal{P}=\{\{x\}:x\in X_n, n\in\omega\} $, 则$ \mathcal{P} $是$ X $的$ \sigma $-离散闭网络. 由[7, 定理5.9]可知$ X $是半层空间.

“$ \Rightarrow $”已知$ X $是$ T_1 $的半层$ \omega $-散布空间, 由定理2.5, $ X $是可数个闭离散子空间的并.

在文献[11]定理3.9中, Nyikos证明了正则的$ \sigma $-散布空间$ X $是半层空间当且仅当$ X $是$ \sigma $-闭离散空间. 下面的结论推广了这个定理, 我们只要求空间满足$ T_1 $分离性质.

定理2.7   设$ X $是$ T_1 $空间且可以表示为可数个$ \omega $-散布子空间的并, 则$ X $是半层空间当且仅当$ X $可以表示为可数个闭离散子空间的并.

证 “$ \Leftarrow $”由定理2.6的证明可知每个$ T_1 $空间$ X $若可以表示为可数个闭离散子空间的并, 则$ X $是半层空间.

“$ \Rightarrow $”已知$ X $是$ T_1 $半层空间且可以表示为可数个$ \omega $-散布子空间的并, 记$ X=\bigcup\{X_n:n\in\omega\} $, 其中每个$ X_n $是$ X $的$ \omega $-散布子空间. 由于半层性质是遗传性质[4, 定理2.2], 所以每个$ X_n $是半层子空间, 利用定理2.6可知每个$ X_n $可表示为子空间$ X_n $中可数个闭离散集的并. 由于半层空间中每个开集是可数个闭集的并, 类似文献[18]中引理$ \mathrm{8.29} $的证明方法, $ X_n $中的每个离散子空间是$ X $中可数个闭离散空间的并. 因此$ X $可以表示为可数个闭离散子空间的并.

引理2.8 $ X $是$ T_2 $空间且$ Y\subset X $, 如果$ \mathcal{F} $是子空间$ Y $中的离散紧集族且$ X $中的每个开集是可数个闭集的并, 则$ \bigcup{\mathcal{F}} $可表示为由紧闭集构成的$ \sigma $-离散集族的并, 即$ \bigcup{\mathcal{F}}\in\sigma\mathbb{DC} $.

证   令$ \mathcal{F}=\{F_\alpha:\alpha\in\Lambda\} $, 满足当$ \alpha\neq\beta $时$ F_\alpha\neq F_\beta $. 由于$ \mathcal{F} $是子空间$ Y $中的离散紧集族, 由$ X $的$ T_2 $性质可知$ \mathcal{F} $中的每个元是$ X $中的闭紧集. 对每个$ \alpha\in\Lambda $, 令$ V_\alpha=Y\setminus \bigcup\{F_\beta:\beta\in\Lambda\setminus\{\alpha\}\} $, 则$ V_\alpha $是子空间$ Y $中开集. 令$ W_\alpha $是$ X $中开集满足$ W_\alpha\cap Y=V_\alpha $. 如果令$ W=\bigcup\{W_\alpha:\alpha\in\Lambda\} $, 则$ W $是$ X $中开集. 由已知$ W=\bigcup\{W_n:n\in\omega\} $, 其中每个$ W_n $是$ X $中闭集. 对每个$ n\in\omega $及$ \alpha\in\Lambda $, 令$ F_\alpha(n)=F_\alpha\cap W_n $, 则$ F_\alpha(n) $是$ X $中的紧闭集. 对每个$ n\in\omega $, 令$ \mathcal{F}_n=\{F_\alpha(n):\alpha\in\Lambda\} $, 对于$ X $中的任一点$ x $, 若$ x\in W $, 则存在$ \alpha\in\Lambda $, 使得$ x\in W_{\alpha} $, 因此, 当$ \beta\neq\alpha $时, $ W_{\alpha}\cap F_{\beta}(n)=\emptyset $. 若$ x\notin W $, 则$ x\notin W_n $. 此时令$ O_x=X\setminus W_n $, 则$ x\in O_x $且$ O_x $是$ X $中开集. 同时对任一$ \beta\in\Lambda $, $ O_x\cap F_{\beta}(n)=\emptyset $. 因此, 对所有$ n\in\omega $, $ \mathcal{F}_n $是$ X $中的离散紧闭集族且$ \bigcup\mathcal{F}=\bigcup\{\bigcup\mathcal{F}_n:n\in\omega\} $. 因此$ \bigcup\mathcal{F}\in\sigma\mathbb{DC} $.

有了上面的准备, 我们便有如下结论.

引理2.9   设$ H $是半层Hausdorff空间, 若$ H $满足下面条件之一, 则$ H $是$ \sigma $-离散的紧闭集族之并：

a) $ H $是散布或$ \omega $-散布空间；

b) $ H $是可数个散布子空间的并；

c) $ H $是可数个$ \mathbb{C} $-散布子空间的并；

d) $ H $是可数个$ \omega $-散布子空间的并.

证   我们先证c). 令$ H=\bigcup\{H_n:n\in\omega\} $是半层Hausdorff空间, 其中每个$ H_n $是$ \mathbb{C} $-散布空间. 由文献[7]的定理5.10可知, 半层空间具有遗传性质. 由于每个半层空间是次仿紧空间[7, 定理5.11]且半层空间的每个闭集是$ G_\delta $-集, 对每个$ n\in\omega $, $ H_n $是半层$ \mathbb{C} $-散布空间, 因此$ H_n $是次仿紧$ \mathbb{C} $-散布空间且$ H_n $中每个紧集为$ H_n $中的$ G_\delta $-集. 这样由推论2.2可知对每个$ n\in\omega $, $ H_n $是某些紧集构成的$ H_n $中的$ \sigma $-离散集族的并. 这样由引理2.8可知对每个$ n\in\omega $, $ H_n $是$ H $中的可数个离散紧集族的并. 于是$ X\in\sigma\mathbb{DC} $, $ H $是$ \sigma $-离散的紧集族之并.

下证d). 令$ H=\bigcup\{H_n:n\in\omega\} $是半层Hausdorff空间, 其中对每个$ n\in\omega $, $ H_n $是$ H $的$ \omega $-散布子空间. 因此对每个$ n\in\omega $, $ H_n $是$ T_1 $半层$ \omega $-散布空间, 这样由定理2.5可知子空间$ H_n $是可数个$ H_n $中的闭离散子空间的并, 即$ H_n=\bigcup\{H_{nm}:m\in\omega\} $, 其中的每个$ H_{nm} $是$ H $中的离散子空间. 由$ H $中的每个开集是$ F_\sigma $-集, 因此对$ n\in\omega $, $ m\in\omega $, $ H_{nm}=\bigcup\{H_{nmk}:k\in\omega\} $, 其中的$ H_{nmk} $是$ H $中的闭离散子空间. 于是$ H=\bigcup\{H_{nmk}:n\in\omega, m\in\omega, k\in\omega\} $, 即$ H $是可数个闭离散子空间的并. 任意$ n\in\omega $, $ m\in\omega $, $ k\in\omega $, 令$ \mathcal{F}_{nmk}=\{\{x\}:x\in H_{nmk}\} $, 则$ \mathcal{F}_{nmk} $是$ X $中的离散紧集族, 且$ X=\bigcup\{\bigcup\mathcal{F}_{nmk}:n\in\omega, m\in\omega, k\in\omega\} $, 这样$ H $是$ \sigma $-离散的紧集族之并.

下证a)与b). 由于每个散布空间是$ \omega $-散布的, 因此若$ H $是散布、$ \omega $-散布空间或是可数个散布子空间的并, 则$ H $是可数个$ \omega $-散布子空间的并, 因此由d)可知$ H $是$ \sigma $-离散的紧闭集族之并.

定理2.10   设$ H $是半层Hausdorff空间, 若$ H $满足下面条件之一, 则$ H $是$ \sigma $-空间：

a) $ H $是散布或$ \omega $-散布空间；

b) $ H $是可数个散布子空间的并；

c) $ H $是可数个$ \mathbb{C} $-散布子空间的并；

d) $ H $是可数个$ \omega $-散布子空间的并.

证   由引理2.9可知, 满足上述的任意一条则$ H $是$ \sigma $-离散的紧闭集族$ {\mathcal F} $之并. 由文献[7]中的定理2.13我们知道每个具有$ G_\delta $-对角线的紧Hausdorff空间是可度量空间. 由文献[7]的定理5.11可知每个半层Hausdorff空间具有$ G_\delta $-对角线. 因此对每个$ F\in {\mathcal F} $, $ F $是$ H $的紧可度量子空间, 因此$ F $具有可数闭网络. 这样空间$ H $具有$ \sigma $-离散闭网络, 因此$ H $是$ \sigma $-空间.

推论2.11   设$ H $是半层正则空间, 若$ H $满足下列条件之一, 则$ H $是$ \sigma $-空间：

(1) $ H $可表示为$ \sigma $-局部有限$ \mathbb{C} $-散布闭子空间的并；

(2) $ H $可表示为$ \sigma $-局部有限$ \omega $-散布闭子空间的并；

证   令$ H=\bigcup\{\bigcup\mathcal{F}_n:n\in\omega\} $, 对每个$ n\in\omega $, $ \mathcal{F}_n $是$ X $中的局部有限集族且对每个$ F\in\mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in\omega\} $, $ F $是$ H $的$ \mathbb{C} $-散布($ \omega $-散布)子空间. 由于半层空间具有遗传性, 因此由定理2.10可知对每个$ F\in\mathcal{F} $, $ F $是$ H $的$ \sigma $-子空间. 因此对每个$ F\in\mathcal{F} $, $ \mathcal{F} $具有$ \sigma $-离散网络$ \mathcal{B}(F) $. 若$ \mathcal{B}=\bigcup\{\mathcal{B}(F):F\in\mathcal{F}\} $, 则由$ \mathcal{F} $的$ \sigma $-局部有限性易知$ \mathcal{B} $是$ X $的$ \sigma $-局部有限网络. 这样由文献[7]中的定理4.11可知, $ H $是$ \sigma $-空间.

由文献[7]中的例9.10可知一个半层空间不一定是$ \sigma $-空间.

R. Telgársky[17]引入并研究了拓扑对策$ G(\mathbb{K}, X) $. 关于$ G(\mathbb{K}, X) $的详细内容可参考[17]. 设$ X $是拓扑空间, $ \mathbb{K} $为一类拓扑空间, 例如$ \mathbb{K}=\mathbb{C} $, 其中$ \mathbb{C} $为所有紧空间构成的空间类. 在对策$ G( $$ \mathbb{K} $$ , X) $中, 两个选手分别在第$ n\in\omega $轮中取出$ X $的闭子集$ E_n $和$ F_n $, 依次为$ E_0, F_0, E_1, F_1, ... $. 选手Ⅰ取$ E_n\in\mathbb{K} $满足$ E_n\subset F_{n-1} $, 其中$ F_{-1}=X $. 选手Ⅱ取$ F_n $满足$ F_n\subset F_{n-1}\backslash E_n $. 最后, 若$ \bigcap_{n\in\omega}F_n=\emptyset $则选手Ⅰ可赢. 若在对策$ G( $$ \mathbb{K} $$ , X) $中, 选手Ⅰ有可赢的策略, 则称$ X $为$ \mathbb{K} $-似空间. 相应的可定义$ \mathbb{DK} $-似空间.

下面我们证明对于次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间$ X $, 若每个$ \mathbb{DK} $闭集是$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in \sigma\mathbb{DK} $.

引理2.12 ([17, 定理4.7])如果$ X=\bigcup\{X_i:i\in \mathbb{N}\} $, 其中每个$ X_i $是$ X $的闭$ \mathbb{K} $-似子空间, 则$ X $是$ \mathbb{K} $-似空间.

引理2.13 ([17, 引理9.2])$ X $是拓扑空间, 如果存在闭子空间$ F\in\mathbb{K} $使得对于$ X $中包含$ F $的任一开集$ U $, 都有$ X\setminus U $是$ \mathbb{K} $-似空间, 则$ X $是$ \mathbb{K} $-似空间.

在[17]中证明了每个正则次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间$ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间, 下面的结论说明上述结论中的正则性不需要.

定理2.14   如果$ X $是次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间, 则$ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间.

证   我们按$ X $的$ \mathbb{K} $-散布的秩$ \mathrm{rank}(X) $来归纳证明.

① $ \mathrm{rank}(X)=1 $. 则对任一$ x\in X $存在点$ x $的邻域$ V_x $使得$ V_x\in\mathbb{K} $. 这样$ X=\bigcup\{V_x^\circ : x\in X\} $. 由$ X $的次仿紧性, $ \{V_x^\circ:x\in X\} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in \omega\} $, 其中对每个$ n\in\omega $, $ \mathcal{F}_n $是离散闭集族. 对任一$ F\in \mathcal{F} $, 存在$ x_F\in X $使得$ F\subset V^\circ_{x_F}\subset V_{x_F} $. 于是$ F\in\mathbb{K} $. 这样$ X\in \sigma\mathbb{DK} $. 由引理2.12, $ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间.

不妨设对任一序数$ \alpha $及任一次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间$ Y $, 若$ \mathrm{rank}(Y)< \alpha $, 则$ Y $是$ \mathbb{DK} $-似空间.

② $ \mathrm{rank}(X)=\alpha=\beta+1 $. 则$ X^{(\beta)} $是$ X $的局部$ \mathbb{K} $闭子空间. 对任一$ x\in X^{(\beta)} $存在$ x $的邻域$ V_x $, 使得$ V_x\cap X^{(\beta)}\in\mathbb{K} $. 则$ \mathcal{U}=\{V_x^\circ:x\in X^{(\beta)}\}\cup\{X\setminus X^{(\beta)}\} $是$ X $的开覆盖. 由$ X $的次仿紧性, $ \mathcal{U} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in \omega\} $. 对任一$ F\in\mathcal{F} $, 若$ F\cap X^{(\beta)}=\emptyset $, 则$ F $是次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间且$ \mathrm{rank}(F)\leq\beta<\alpha $. 由归纳$ F $是$ \mathbb{DK} $-似空间. 若$ F\in\mathcal{F} $且$ F\cap X^{(\beta)}\neq\emptyset $, 则存在$ x\in X^{(\beta)} $使得$ F\cap X^{(\beta)}\subset V_x^\circ\cap X^{(\beta)}\subset V_x\cap X^{(\beta)} $且$ V_x\cap X^{(\beta)}\in\mathbb{K} $. 所以$ F\cap X^{(\beta)} \in\mathbb{K} $. 对于$ F $中的任一闭子集$ B $, 若$ B\cap(F\cap X^{(\beta)})=\emptyset $, 则$ B\cap X^{(\beta)}=\emptyset $. 因此$ \mathrm{rank}(B)\leq\beta<\alpha $. 由归纳$ B $是$ \mathbb{DK} $-似空间. 这样由引理2.13, $ F $是$ \mathbb{DK} $-似空间. 很容易知道$ \mathbb{DK} $-似空间的直和是$ \mathbb{DK} $-似空间. 因此对任一$ n\in\omega $, $ \bigcup\mathcal{F}_n $是$ X $的$ \mathbb{DK} $-似闭子空间. 再由引理2.12, $ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间.

③ $ \mathrm{rank}(X)=\alpha $, 且$ \alpha $是极限序数. 则对任一$ \beta<\alpha $, $ X^{(\beta)} $是$ X $中闭集且$ \bigcap_{\beta<\alpha}X^{(\beta)}=\emptyset $. 因此$ \mathcal{U}=\{X\setminus X^{(\beta)}:\beta<\alpha\} $是$ X $的一开覆盖. 由$ X $的次仿紧性, $ \mathcal{U} $存在$ \sigma $-离散闭加细$ \mathcal{F}=\bigcup\{\mathcal{F}_n:n\in\omega\} $. 对任一$ F\in\mathcal{F} $, 存在$ \beta<\alpha $使得$ F\subset X\setminus X^{(\beta)} $. 因此$ \mathrm{rank}(F)\leq\beta<\alpha $, 由归纳假设$ F $是$ \mathbb{DK} $-似空间. 这样对任一$ n\in\omega $, $ \bigcup\mathcal{F}_n $是$ X $的闭$ \mathbb{DK} $-似闭子空间. 再由引理2.12, $ X $是$ \mathbb{DK} $-似空间.

引理2.15 ([17, 定理6.3])若$ X $是$ \mathbb{K} $-似空间且对$ X $的任一具有性质$ \mathbb{K} $的闭集是$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in \sigma\mathbb{K} $.

推论2.16   若$ X $是次仿紧$ \mathbb{K} $-散布空间且$ X $中的每个具有$ \mathbb{DK} $性质的闭集是$ G_{\delta} $-集, 则$ X\in \sigma\mathbb{DK} $.

证   可由定理2.14及由引理2.15得到, 或者可由定理2.1直接得到.

注记 在定理2.1和推论2.16证明中我们没有要求空间的分离性质.

例2.17   下面的空间满足其中的每个$ \mathbb{K} $集是$ G_\delta $-集但存在$ \mathbb{DK} $集不是$ G_\delta $-集, 其中$ \mathbb{K} $是单点空间类.

设$ \mathbb{R}=\mathbb{P}\cup\mathbb{Q} $为实数集, 其中$ \mathbb{P} $和$ \mathbb{Q} $分别代表无理数集和有理数集. 任意$ x\in\mathbb{P} $, 令$ \mathcal{B}(x)=\{\{x\}\} $为$ x $的开邻域基. 任意$ x\in\mathbb{Q} $, 令$ \mathcal{B}(x)=\{\{x\}\cup((x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n})\backslash\mathbb{Q}):n\in\mathbb{N}\} $为$ x $的开邻域基. 设$ X $为$ \mathbb{R} $由每个点的上述开邻域基生成的拓扑空间.

设$ \mathbb{K} $为单点集构成的空间类. 易知$ X $的每个单点集是$ G_\delta $-集, 同时$ \mathbb{Q}\in\mathbb{DK} $且$ \mathbb{Q} $是$ X $中闭集, 但$ \mathbb{Q} $却不是$ G_\delta $-集. 不然, 假若存在$ X $中的可数开集族$ \{G_n:n\in\mathbb{N}\} $, 使得$ \mathbb{Q}=\bigcap\{G_n:n\in\mathbb{N}\} $. 任意$ n\in\mathbb{N} $, 任意$ q\in\mathbb{Q} $, 存在$ n_q\in\mathbb{N} $使得$ \{q\}\cup((q-\frac{1}{n_q}, q+\frac{1}{n_q})\backslash\mathbb{Q})\subset G_n $. 则$ W_n=\bigcup\{\{q\}\cup((q-\frac{1}{n_q}, q+\frac{1}{n_q})\backslash\mathbb{Q}): q\in\mathbb{Q}\}=\bigcup\{(q-\frac{1}{n_q}, q+\frac{1}{n_q}):q\in\mathbb{Q}\}\subset G_n $, 而每个$ n\in\mathbb{N} $, $ \mathbb{Q}\subset W_n $, 且$ W_n $为$ \mathbb{R} $在通常拓扑下的开集. 于是$ \mathbb{Q}=\bigcap\{W_n:n\in\mathbb{N}\} $, 因此$ \mathbb{Q} $可以表示为$ \mathbb{R} $在通常拓扑中的可数个开稠集的交, 所以$ \mathbb{P} $在通常拓扑下可以表示为可数个无处稠密集之并, 与$ \mathbb{P} $是第二纲集矛盾.