流形上抛物型偏微分方程的梯度估计是几何分析的重要课题之一. 1986年Li和Yau^[1]首次对黎曼流形上热方程的正解得到了梯度估计, 即若黎曼流形$ M $满足Ricci曲率非负, 则对于热方程

$ \begin{equation} u_t=\Delta u \end{equation} $

(1.1)

的正解$ u(x, t) $有估计：

$ \begin{equation} \frac{\left| \nabla u\right|^2}{u^2}-\frac{u_t}{u}\le \frac{n}{2t}. \end{equation} $

(1.2)

从该估计出发便能得到经典形式的Harnack不等式, 所以这一类型的梯度估计也称为微分Harnack不等式. 随后Hamilton^[2]应用Li-Yau的方法将结果(1.2)推广到全矩阵情形, 即$ M $是黎曼流形且满足Ricci张量平行、截曲率非负, 则

$ \begin{equation} H_{ij}=\nabla_i\nabla_ju-\frac{\nabla_iu\nabla_ju}{u}+\frac{u}{2t}g_{ij}\ge 0. \end{equation} $

(1.3)

之后Hamilton分别得到了Ricci流和平均曲率流的微分Harnack不等式^{[3, 4, 5]}. 由于这三位数学家在该领域中所作的开拓性的贡献, 微分Harnack不等式也被称之为Li-Yau-Hamilton估计.

后来, Chow先后得到了Guass曲率流^[6]和Yamabe流^[7]的Li-Yau-Hamilton估计, 曹怀东^[8]给出了Kähler-Ricci流的Li-Yau-Hamilton估计. 这些估计在相应曲率流的奇异性分析中起到了十分重要的作用.

在Kähler流形上，曹怀东和倪磊^[9]证明全纯双截曲率非负的条件下热方程的矩阵型Li-Yau-Hamilton估计, 随后Chow和倪磊^[10]研究了正向共轭热方程在Kähler-Ricci流下的矩阵型Li-Yau-Hamilton估计. 近来, 李小龙和张旗^[11]证明了Ricci流下热方程和共轭热方程新的矩阵型估计, 李小龙、刘浩月和任新安^[12]在Kähler-Ricci流下证明了类似的估计. 这些结果随后被推广到一般的抛物型偏微分方程上, 姚莎，刘浩月和任新安^[13]证明了如下的结果.

定理A  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为Ricci流的紧致解, 其截曲率非负, 并且$ R_{ij} \leq kg_{ij} $, 其中$ k $为正常数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta _{g(t)}v+|\nabla v|^{2}+f(v) \end{equation} $

(1.4)

的解, 其中$ f''(v)\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'(t)+2c^{2}(t)-(f'(v)+2k)c(t)\geq 0, \end{equation} $

(1.5)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_{j}v+c(t)g_{ij}\geq 0. \end{equation} $

(1.6)

定理B  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为$ \varepsilon $-Kähler-Ricci流

$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}}=-\varepsilon R_{i\bar{j}} \end{equation} $

(1.7)

的紧致解, 其全纯双截曲率非负, 并且$ R_{i\bar{j}} \leq kg_{i\bar{j}} $, 其中$ k $为正常数, $ 0\leq \varepsilon\leq 1 $是个参数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta _{g(t)}v+|\nabla v|^{2}+f(v) \end{equation} $

(1.8)

的解, 其中$ f''(v)\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'(t)+c^{2}(t)-(f'(v)+\varepsilon k)c(t)\geq 0, \end{equation} $

(1.9)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_{\bar{j}}v+c(t)g_{i\bar{j}}\geq 0. \end{equation} $

(1.10)

本文的主要目的是要考虑带有一般梯度项的非线性抛物方程的矩阵型Li-Yau-Hamilton估计, 我们主要得到了如下的定理。

定理1.1  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为Ricci流的紧致解, 其截曲率非负, 并且$ R_{ij} \leq k g_{ij} $, 其中$ k $为正常数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta _{g(t)}v+h(|\nabla v|^{2})+f(v) \end{equation} $

(1.11)

的解, 其中$ f''\geq 0 $, $ h''\geq 0 $, $ h'\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'+2h'c^{2}-f'c-2kc\geq 0, \end{equation} $

(1.12)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_{{j}}v+c(t)g_{i{j}}\geq 0. \end{equation} $

(1.13)

定理1.2  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为$ \varepsilon $-Kähler-Ricci流

$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}}=-\varepsilon R_{i\bar{j}} \end{equation} $

(1.14)

的紧致解, 其全纯双截曲率非负, 并且$ R_{i\bar{j}} \leq kg_{i\bar{j}} $, 其中$ k $为正常数, $ 0\leq \varepsilon\leq 1 $是个参数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta _{g(t)}v+h(|\nabla v|^{2})+f(v) \end{equation} $

(1.15)

的解, 其中$ f''\geq 0 $, $ h''\geq 0 $, $ h'\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'+c^{2}h'-(\varepsilon k+f')c\geq 0, \end{equation} $

(1.16)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_{\bar{j}}v+c(t)g_{i\bar{j}}\geq 0. \end{equation} $

(1.17)

在文中第4小节我们将会给出以上两个主要结论的证明. 在这之前, 由于不同文献会因为作者个人习惯而采用不同的记号, 为方便行文和阅读, 我们在第2节对本文的符号约定做简要阐述. 在第3小节则列出证明过程中需要的重要引理.

本小节介绍Riemann流形和Kähler流形上涉及到的一些基本事实. 设$ (M, g) $为Riemann流形, $ \nabla $为度量$ g $的Levi-Civita联络, 则Riemann曲率张量定义为

$ \begin{equation} R(X, Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_X Z-\nabla_{[X, Y]}Z. \end{equation} $

(2.1)

在局部坐标下, 它的分量为

$ \begin{equation} R(\frac{\partial}{\partial x^i}, \frac{\partial}{\partial x^j})\frac{\partial}{\partial x^k}=R^l_{ijk}\frac{\partial}{\partial x^l}. \end{equation} $

(2.2)

记

$ \begin{equation} R_{ijkl}=g_{lm}R^m_{ijk}. \end{equation} $

(2.3)

Ricci张量定义为

$ \begin{equation} R_{ij}=R^k_{kij}. \end{equation} $

(2.4)

数量曲率定义为

$ \begin{equation} R=g^{ij}R_{ij}. \end{equation} $

(2.5)

称$ M $具有非负截曲率, 如果对任意$ v, w\in T_xM $和任意$ x\in M $, 都有

$ \begin{equation} R_{kijl}v^iv^jw^kw^l\geq 0. \end{equation} $

(2.6)

为了交换协变微分的顺序, 我们需要下面的Ricci恒等式. 如果$ \alpha $是一个$ 1 $-形式, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_j\alpha_k=\nabla_j\nabla_i\alpha_k-R^l_{ijk}\alpha_l. \end{equation} $

(2.7)

设$ M $是Kähler流形, 其Kähler度量为$ g_{i\bar{j}} $, Kähler形式

$ \begin{equation} \omega=\frac{\sqrt{-1}}{2}g_{i\bar{j}}dz^i\wedge d\bar{z}^j \end{equation} $

(2.8)

是实的闭$ (1, 1) $-形式, 进而可以得到：

$ \begin{equation} \frac{\partial g_{i\bar{j}}}{\partial z^k}=\frac{\partial g_{k\bar{j}}}{\partial z^i}, \quad \frac{\partial g_{i\bar{j}}}{\partial \bar{z}^k}=\frac{\partial g_{i\bar{k}}}{\partial \bar{z}^j}. \end{equation} $

(2.9)

同样，与黎曼流形相对应的, Kähler流形的度量$ g_{i\bar{j}} $的Christoffel符号为：

$ \begin{equation} \Gamma^k_{ij}=g^{k\bar{l}}\frac{\partial g_{i\bar{l}}}{\partial z^j}, \quad \Gamma^{\bar{l}}_{\bar{i}\bar{j}}=g^{k\bar{l}}\frac{\partial g_{k\bar{j}}}{\partial \bar{z}^i}, \end{equation} $

(2.10)

其中$ g^{i\bar{j}}=(g_{i\bar{j}})^{-1} $。显然$ \Gamma^k_{ij} $关于$ i $和$ j $是对称的, 而$ \Gamma^{\bar{l}}_{\bar{i}\bar{j}} $关于$ \bar{i} $和$ \bar{j} $也是对称的.

由度量$ g_{i\bar{j}} $所定义的曲率张量：

$ \begin{equation} R^j_{ik\bar{l}}=\frac{\partial\Gamma^j_{ik}}{\partial \bar{z}^l}, \quad R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g_{p\bar{j}}R^p_{ik\bar{l}}. \end{equation} $

(2.11)

容易看出$ R_{i\bar{j}k\bar{l}} $关于$ i $和$ k $对称, 关于$ \bar{j} $和$ \bar{l} $对称. 特别地, $ i\bar{j} $与$ k\bar{l} $可交换. 由于相较于黎曼流形, Kähler流形中的曲率张量有更好的对称形式，因此，Bianchi恒等式也退化为更简便的形式：

$ \begin{equation} \nabla_p R_{i\bar{j}k\bar{l}}=\nabla_k R_{i\bar{j}p\bar{l}}, \quad \nabla_{\bar{q}}R_{i\bar{j}k\bar{l}}=\nabla_{\bar{l}}R_{i\bar{j}k\bar{q}}. \end{equation} $

(2.12)

此外, 若对任一点$ x\in M $处任意两个全纯切空间$ T_xM $中的向量$ v $, $ w $都成立：

$ \begin{equation} R_{i\bar{j}k\bar{l}}v^iv^{\bar{j}}w^kw^{\bar{l}}\geq 0, \end{equation} $

(2.13)

则称$ M $的全纯双截曲率非负.

参照黎曼流形, 对曲率张量取迹得到Ricci张量,

$ \begin{equation} R_{i\bar{j}}=g^{k\bar{l}}R_{{i\bar{j}k\bar{l}}}. \end{equation} $

(2.14)

再取迹得数量曲率：

$ \begin{equation} R=g^{i\bar{j}}R_{i\bar{j}}. \end{equation} $

(2.15)

本节最后, 给出Kähler流形上协变导数交换次序的公式, 同类指标直接可以交换顺序, 这是有别于黎曼流形的.

$ \begin{equation} \nabla_k\nabla_jv_i=\nabla_j\nabla_kv_i, \quad \nabla_{\bar{k}}\nabla_{\bar{j}}v_i=\nabla_{\bar{j}}\nabla_{\bar{k}}v_i. \end{equation} $

(2.16)

但是在不同类型的指标交换次序时应遵循下式：

$ \begin{equation} \nabla_k\nabla_{\bar{j}}v_i=\nabla_{\bar{j}}\nabla_kv_i-R_{k{\bar{j}}i{\bar{l}}}v_l. \end{equation} $

(2.17)

本文所讨论的是矩阵型的梯度估计, 其中证明的核心思想类似于函数型的梯度估计, 区别之处在于前者所用的是张量型极值原理, 后者只需应用普通的函数型极值原理即可. 因此, 我们首先给出如下的张量型极值原理, 这一重要引理是Hamilton在文^{[14, 15]}中证明得到的, 文献中有详细证明过程, 在此就不再赘述了.

引理1   设$ M $是紧致的黎曼流形, $ M_{ij}(x, t) $是定义在$ M\times [0, T] $上的光滑$ n $阶矩阵对称函数, 假设$ M_{ij} $满足方程

$ \begin{equation} \partial_tM_{ij}=\Delta M_{ij}+<M_{ij}, \cdot>+\varPhi (M_{ij}), \end{equation} $

(3.1)

且对于$ M_{ij} $的$ 0 $特征向量$ v $有$ \varPhi (M_{ij})(v, v)\ge 0 $, 那么如果当$ t=0 $时$ M_{ij}\ge 0 $, 则必在整个时间$ t\in [0, T] $也成立$ M_{ij}\ge 0. $

注1  将条件(3.1)中的“$ = $”改为“$ \ge $”结论同样成立.

注2  Kähler流形中张量型极值原理同样成立.

下面, 我们给出在定理的证明中需要用到的演化方程。

设$ M $是紧致的黎曼流形, $ g(t) $是Ricci流

$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2 R_{ij} \end{equation} $

(3.2)

的一个解. 我们研究非线性抛物方程

$ \begin{equation} ({\partial_t}- \Delta )v=h(|\nabla v|^2)+f(v). \end{equation} $

(3.3)

为简单起见, 记$ H_{ij}:=\nabla_i\nabla_{j}v $, 并且$ \Delta_{L} $为如下定义的Lichnerowicz-Laplace算子,

$ \begin{equation} \Delta_{L}h_{ij}=\Delta h_{ij}+2R_{ikjl}h_{kl}-R_{ik}h_{jk}-R_{jk}h_{ik}. \end{equation} $

(3.4)

引理2   $ H_{ij} $的演化方程为

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{ \Delta_L})H_{ij}=&h'(|\nabla v|^2)(2H_{ik}H_{kj}+2R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v+2\nabla_{k}H_{ij}\nabla_{k}v) \\&+h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_j|\nabla v|^2+f''(v)\nabla_iv\nabla_{j}v+f'(v)H_{ij}. \end{split} \end{equation} $

(3.5)

证  对任何光滑函数$ f(x, t) $, 有

$ \begin{equation} ({\partial_{t}}-{ \Delta _{L}})(\nabla_i\nabla_{j}f)=\nabla_i\nabla_{j}(({\partial_{t}}-{ \Delta})f), \end{equation} $

(3.6)

所以

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta_L})H_{ij}=&\nabla_i\nabla_{j}\left(h(|\nabla v|^2)+f(v)\right) \\=&h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_j|\nabla v|^2+h'(|\nabla v|^2)\nabla_i\nabla_{j}|\nabla v|^2 \\&+f''(v)\nabla_iv\nabla_{j}v+f'(v)\nabla_i\nabla_{j}v. \end{split} \end{equation} $

(3.7)

因为

$ \begin{equation} \begin{split} \nabla_i\nabla_{j}|\nabla v|^2 =&\nabla_i\nabla_{j}\left(\nabla_{k}v\nabla_{k}v\right)\\=&\nabla_i\left(\nabla_{j}\nabla_{k}v\nabla_{k}v+\nabla_{k}v\nabla_{j}\nabla_{k}v\right) \\=&2\nabla_i\left(\nabla_{j}\nabla_{k}v\nabla_{k}v\right) \\=&2\nabla_k\left(\nabla_i\nabla_{j}v\right)\nabla_{k}v+2R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v+2H_{ik}H_{kj} \\=&2H_{ik}H_{kj}+2R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v+2\nabla_{k}H_{ij}\nabla_{k}v, \end{split} \end{equation} $

(3.8)

所以

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{ \Delta_L})H_{ij}=&h'(|\nabla v|^2)(2H_{ik}H_{kj}+2R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v+2\nabla_{k}H_{ij}\nabla_{k}v) \\&+h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_j|\nabla v|^2+f''(v)\nabla_iv\nabla_{j}v+f'(v)H_{ij}. \end{split} \end{equation} $

(3.9)

设$ M $是紧致的Kähler流形, $ g(t) $是$ \varepsilon $-Kähler-Ricci流

$ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}g_{i\bar{j}}=-\varepsilon R_{i\bar{j}} \end{equation} $

(3.10)

的一个解. 我们研究非线性抛物方程

$ \begin{equation} ({\partial_t}- \Delta )v=h(|\nabla v|^2)+f(v). \end{equation} $

(3.11)

为简单起见, 记$ H_{ik}:=\nabla_i\nabla_{k}v $, $ H_{i\bar{k}}:=\nabla_i\nabla_{\bar{k}}v $, $ H_{\bar{j}\bar{k}}:=\nabla_{\bar{j}}\nabla_{\bar{k}}v $. 用$ \Delta_{L} $表示如下定义的复Lichnerowicz-Laplace算子,

$ \begin{equation} \Delta_{L}h_{i\bar{j}}:=\Delta h_{i\bar{j}}+R_{i\bar{j}l\bar{k}}h_{k\bar{l}}-\frac{1}{2}R_{i\bar{l}}h_{l\bar{j}}-\frac{1}{2}R_{k\bar{j}}h_{i\bar{k}}. \end{equation} $

(3.12)

引理3   $ H_{i\bar{j}} $满足的演化方程为

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}=& h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_{\bar{j}}|\nabla v|^2 \\&+ h'(|\nabla v|^2)(H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+H_{ik}H_{\bar{j}\bar{k}}+R_{i\bar{k}l\bar{j}}\nabla_k v\nabla_{\bar{l}} v) \\ &+ h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)\\ &+f''(v)\nabla_iv\nabla_{\bar{j}}v+f'(v)\nabla_i\nabla_{\bar{j}}v. \end{split} \end{equation} $

(3.13)

证  先计算

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}=&\nabla_i\nabla_{\bar{j}}(({\partial_{t}}-{\Delta})v)\\=&\nabla_i\nabla_{\bar{j}}( h(|\nabla v|^2)+f(v)) \\=&\nabla_i\nabla_{\bar{j}}h(|\nabla v|^2)+\nabla_i\nabla_{\bar{j}}f(v), \end{split} \end{equation} $

(3.14)

交换协变微分的顺序得

$ \begin{equation} \begin{split} \nabla_i\nabla_{\bar{j}}|\nabla v|^2 =&H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+H_{ik}H_{\bar{j}\bar{k}}+R_{i\bar{k}l\bar{j}}\nabla_k v\nabla_{\bar{l}}v+\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v. \end{split} \end{equation} $

(3.15)

所以有

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}=& h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_{\bar{j}}|\nabla v|^2 +h'(|\nabla v|^2)(H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+H_{ik}H_{\bar{j}\bar{k}}+R_{i\bar{k}l\bar{j}}\nabla_k v\nabla_{\bar{l}} v) \\ &+h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)+f''(v)\nabla_iv\nabla_{\bar{j}}v+f'(v)\nabla_i\nabla_{\bar{j}}v. \end{split} \end{equation} $

(3.16)

有了以上准备, 我们开始证明本文的主要定理.

定理4.1  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为Ricci流的紧致解, 其截曲率非负, 并且$ R_{i{j}} \geq kg_{i{j}} $, 其中$ k $为正常数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta v+h(|\nabla v|^{2})+f(v) \end{equation} $

(4.1)

的解, 其中$ f''(v)\geq 0 $, $ h''(|\nabla v|^2)\geq 0 $, $ h'(|\nabla v|^2)\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'+2h'c^{2}-f'c-2kc\geq 0, \end{equation} $

(4.2)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_j v+c(t)g_{ij}\geq 0. \end{equation} $

(4.3)

证  由引理2,

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{ \Delta_L})H_{ij}=&h'(|\nabla v|^2)(2H_{ik}H_{kj}+2R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v+2\nabla_{k}H_{ij}\nabla_{k}v) \\&+h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_j|\nabla v|^2+f''(v)\nabla_iv\nabla_{j}v+f'(v)H_{ij}. \end{split} \end{equation} $

(4.4)

利用条件$ R_{ikjl}\nabla_{l}v\nabla_{k}v\geq 0 $, $ h''(|\nabla v|^2)\geq 0 $, $ h'(|\nabla v|^2)\geq 0 $和$ f''(v)\geq 0 $得

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{ \Delta_L})H_{ij}\geq &h'(|\nabla v|^2)(2H_{ik}H_{kj}+2\nabla_{k}H_{ij}\nabla_{k}v)+f'(v)H_{ij}. \end{split} \end{equation} $

(4.5)

令

$ \begin{equation} Z_{ij}:=H_{ij}+c(t)g_{ij}. \end{equation} $

(4.6)

则

$ \begin{equation} 2H_{ik}H_{kj}=2Z_{ik}Z_{kj}-4cZ_{ij}+2c^{2}g_{ij}. \end{equation} $

(4.7)

因此

$ \begin{equation} \begin{split} &(\partial_{t}-\Delta_L)Z_{ij}\\=&(\partial_{t}-\Delta_L)(H_{ij}+c(t)g_{ij})\\=&(\partial_{t}-\Delta_L)H_{ij}+(\partial_{t}-\Delta_L)(c(t)g_{ij}) \\\geq&h'(2Z_{ik}Z_{kj}-4cZ_{ij}+2c^{2}g_{ij}+2\nabla_{k}Z_{ij}\nabla_{k}v) +f'(v)Z_{ij}-f'cg_{ij}+c'g_{ij}-2cR_{ij} \\=&2h'Z_{ik}Z_{kj}-4ch'Z_{ij}+2h'\nabla_{k}Z_{ij}\nabla_{k}v+f'(v)Z_{ij}+(c'+2h'c^{2}-f'c-2kc)g_{ij} +2c(kg_{ij}-R_{ij}). \end{split} \end{equation} $

(4.8)

利用条件$ R_{i\bar{j}}\leq kg_{i\bar{j}} $, 再加上$ c(t) $满足

$ \begin{equation} c'+2h'c^{2}-f'c-2kc\geq 0, \end{equation} $

(4.9)

可以得出

$ \begin{equation} \begin{split} (\partial_{t}-\Delta_{L})Z_{i{j}}-2h'\nabla_{k}Z_{ij}\nabla_{k}v\geq& 2h'Z_{ik}Z_{kj}-4ch'Z_{ij}+f'(v)Z_{ij}. \end{split} \end{equation} $

(4.10)

如果$ Z_{ij}w^j=0 $, 则

$ \left(2h'Z_{ik}Z_{kj}-4ch'Z_{ij}+f'(v)Z_{ij}\right)w^iw^j\geq 0, $

即上式右边满足零特征向量条件, 并且当$ t\to 0 $时, $ Z_{ij}(x, t) $ $ \to\infty $, 因此由引理1可以得到$ Z_{ij}(x, t)\geq0 $.

定理4.2  设$ (M^{n}, g(t)) $, $ t\in [0, T] $为$ \varepsilon $-Kähler-Ricci流的紧致解, 其全纯双截曲率非负, 并且$ R_{i\bar{j}} \leq kg_{i\bar{j}} $, 其中$ k $为正常数. 设$ v: M^{n}\times[0, T]\to\mathbb R $为非线性热方程

$ \begin{equation} v_{t}=\Delta v+h(|\nabla v|^{2})+f(v) \end{equation} $

(4.11)

的解, 其中$ f''(v)\geq 0 $, $ h''(|\nabla v|^2)\geq 0 $, $ h'(|\nabla v|^2)\geq 0 $. 假设$ c(t) $是一个光滑函数满足常微分不等式

$ \begin{equation} c'+c^{2}h'-(\varepsilon k+f')c\geq 0, \end{equation} $

(4.12)

并且当$ t\to 0 $时, $ c(t)\to +\infty $, 则

$ \begin{equation} \nabla_i\nabla_{\bar{j}}v+c(t)g_{i\bar{j}}\geq 0. \end{equation} $

(4.13)

证  在(3.13)式中令$ \delta=1, \theta=0 $, 则$ H_{i\bar{j}} $满足

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}=& h''(|\nabla v|^2)\nabla_i|\nabla v|^2\nabla_{\bar{j}}|\nabla v|^2 \\&+ h'(|\nabla v|^2)(H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+H_{ik}H_{\bar{j}\bar{k}}+R_{i\bar{k}l\bar{j}}\nabla_k v\nabla_{\bar{l}} v) \\ &+ h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)\\ &+f''(v)\nabla_iv\nabla_{\bar{j}}v+f'(v)\nabla_i\nabla_{\bar{j}}v. \end{split} \end{equation} $

(4.14)

利用条件$ R_{i\bar{k}l\bar{j}}\nabla_{\bar{l}}v\nabla_{k}v\geq 0 $, $ h''(|\nabla v|^2)\geq 0 $, $ h'(|\nabla v|^2)\geq 0 $和$ f''(v)\geq 0 $得

$ \begin{equation} \begin{split} ({\partial_{t}}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}\geq h'(|\nabla v|^2)H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+ h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)+f'(v)\nabla_i\nabla_{\bar{j}}v. \end{split} \end{equation} $

(4.15)

令

$ \begin{equation} Z_{i\bar{j}}:=H_{i\bar{j}}+c(t)g_{i\bar{j}}. \end{equation} $

(4.16)

则

$ \begin{equation} \begin{split} H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}=Z_{i\bar{k}}Z_{k\bar{j}}-2c(t)Z_{i\bar{j}}+c^{2}(t)g_{i\bar{j}}. \end{split} \end{equation} $

(4.17)

因此

$ \begin{equation} \begin{split} (\partial_{t}-{\Delta}_{L})Z_{i\bar{j}}=&(\partial_{t}-{\Delta}_{L})(H_{i\bar{j}}+c(t)g_{i\bar{j}})\\=&(\partial_{t}-{\Delta}_{L})H_{i\bar{j}}+(\partial_{t}-{\Delta}_{L})(c(t)g_{i\bar{j}}) \\\geq& h'(|\nabla v|^2)H_{i\bar{k}}H_{k\bar{j}}+ h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k H_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} H_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)\\ &+f'(v)\nabla_i\nabla_{\bar{j}}v+c'(t)g_{i\bar{j}}-\varepsilon c(t)R_{i\bar{j}} \\= &h'(|\nabla v|^2)Z_{i\bar{k}}Z_{k\bar{j}}+ h'(|\nabla v|^2)(\nabla_k Z_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} Z_{i\bar{j}}\nabla_{k} v) +[f'(v)-2c(t)h'(|\nabla v|^2)]Z_{i\bar{j}}\\&+\left[c'(t)+c^{2}(t)h'(|\nabla v|^2)-(\varepsilon k+f'(v))c(t)\right]g_{i\bar{j}}+\varepsilon c(t)\left(kg_{i\bar{j}}-R_{i\bar{j}}\right). \end{split} \end{equation} $

(4.18)

利用条件$ R_{i\bar{j}}\leq kg_{i\bar{j}} $, 再加上$ c(t) $满足

$ \begin{equation} c'+c^{2}h'-(\varepsilon k+f')c\geq 0, \end{equation} $

(4.19)

可以得出

$ \begin{equation} \begin{split} (\partial_{t}-\Delta_{L})Z_{i\bar{j}}- h'(\nabla_k Z_{i\bar{j}}\nabla_{\bar{k}} v+\nabla_{\bar{k}} Z_{i\bar{j}}\nabla_{k} v)\geq& h'Z_{i\bar{k}}Z_{k\bar{j}}+(f'-2ch')Z_{i\bar{j}}. \end{split} \end{equation} $

(4.20)

如果$ Z_{i\bar{j}}w^{\bar{j}}=0 $, 则

$ \left(h'Z_{i\bar{k}}Z_{k\bar{j}}+(f'-2ch')Z_{i\bar{j}}\right)w^iw^{\bar{j}}\geq 0, $

即上式右边满足零特征向量条件,

这样上式右边满足零特征向量条件，并且当$ t\to 0 $时, $ Z_{i\bar{j}}(x, t) $ $ \to\infty $, 因此由引理1可以得到$ Z_{i\bar{j}}(x, t)\geq0 $.

下面我们通过注记的形式给出定理4.1与定理4.2的两个例子.

注4.1  在定理4.1中, 令$ f(v)=e^{av} $, 其中$ a $为负常数, $ h(|\nabla v|^{2})=|\nabla v|^{2} $, 则函数

$ c(t)=\frac{k}{1-e^{-2kt}} $

满足定理4.1中的不等式(4.2).

注4.2  在定理4.2中, 令$ f(v)=av $, 其中$ a $为正常数, $ h(|\nabla v|^{2})=|\nabla v|^{2} $, 则函数

$ c(t)=\frac{\varepsilon k+a}{1-e^{-(\varepsilon k+a)t}} $

满足定理4.2中的不等式(4.12).