曲线收缩流是黎曼流形上曲线长度泛函的$ L_2 $梯度流, 也是曲率流中最重要的流模型之一, Gage-Hamilton^[1], Grayson^[2]等人最先在平面情形进行研究, 其后的工作参见文献[3-5].如果外围空间变为曲面, 相关的工作参见文献[6-10], 特别地, Gage在文献[11]中研究了严格凸曲面上的一类曲线流, 并在文末提出如下猜想：

凸曲面上满足$\int_{X} k\, ds = 0$的简单闭曲线, 均可在演化方程

$ \begin{equation} X_t = \frac{k}{K} N, \end{equation} $

(1.1)

下收敛到一条简单闭测地线, 其中$ k $为测地曲率, $ K $为凸曲面在一点处的高斯曲率.

本文, 我们利用Bryan-Langford-Zhu^[12]建立的球面弦弧估计研究球面情形下的Gage猜想, 得到

定理1.1  球面上满足$\int_{X} k\, ds = 0$的简单闭曲线, 在演化方程(1.1)下收敛到一条简单闭测地线.

设正则曲线族$\{ \Gamma_t \}_{t \in I}$在二维球面上按(1.1)演化, 考虑光滑族$X(\cdot, t): M^1 \times I \to S^2$, 其中$\Gamma_t = X(M^1, t)$为时刻$ t $的嵌入曲线.

对于以弧长为参数的球面(半径为$ R $)曲线$ X $, 其Frenet公式可定义为

$ \begin{equation} \begin{cases} \dot{N} &= k T, \\ \dot{T} &= -k N + \tau X, \\ \dot{X} &= -\tau T, \end{cases} \end{equation} $

(2.1)

其中$T$为单位切向量, $N$为单位外法向量且满足$X = N\times T $, 挠率系数为$\tau$.

曲线$ X $的空间曲率$\overline{k}$, 测地曲率$k$测地曲率和法曲率$\frac{1}{R^2}$满足$ \overline{k}^2 = \frac{1}{R^2} + k^2. $

首先定义空间距离函数$ \ w(x, y)=\frac{x-y}{|x-y|} $, 其中$ x, y \in \Gamma \subseteq{S^2} $, $ d = |x-y| $为欧氏弦长, $ \rho $为球面弦长, 它们的关系满足$ \cos\rho =\langle x, y \rangle = 1 - \frac{d^2}{2} $, 特别地, $ \langle w, x \rangle = -\langle w, y \rangle = \frac{d}{2} $.

其次, 定义弧长关于位置向量的变分导数：

$ \begin{equation*} \frac{\partial l}{\partial x}(x, y) = \left.\frac{d}{dh}\right|_{h=0} l(x+h, y), \frac{\partial l}{\partial y} (x, y) = \left.\frac{d}{dh}\right|_{h=0} l(x, y+h), \end{equation*} $

其中$ l(x, y) $表示$ x, y $之间的劣弧长, $ L $为闭曲线总长度.对于曲线上任意给定的一对点, 满足$ l = y - x $, 且$ \frac{\partial l}{\partial x} = -1, \frac{\partial l}{\partial y} = 1 $.

最后, 定义弦弧轮廓函数$ \varphi_{\Gamma(z)} := \inf\left\{ d(x, y)|l(x, y) = z \right\} $, 且有

引理2.1^[12]  任给球面曲线$ \Gamma $, 有

$ \begin{equation} \varphi_{\Gamma(z)} = z - \frac{1}{24} \left( \max(k^2+1)z^3 + o(z^5) \right), \quad z \to 0. \end{equation} $

(2.2)

考虑辅助函数

$ \begin{equation} Z(x, y, t) := d(x, y)-L(t)\phi\left(\frac{l(x, y, t)}{L(t)}, t\right), \end{equation} $

(3.1)

其中$ l(x, y, t) $是$ \Gamma_t $的劣弧长, $ L(t) $为曲线$ \Gamma_t $总长度. 从而, 我们有下面的引理

引理3.1^[12]  $ \phi: [0, 1] \times [0, T) \to \mathbb{R} $是阻断函数, 并且满足以下四条性质：

(ⅰ) 对称性：$ \phi(1-z) = \phi(z), \ \forall z \in [0, 1] $;

(ⅱ) 有界性：$ |\phi| \leq 1 $;

(ⅲ) 凹凸性：$ \phi $是严格凹函数;

(ⅳ) 对于$ \forall\ L>0 $, 在$ z\in[0, 1] $上, 使得$ \lambda\phi(z)\le 2 $, 那么函数$ z\mapsto h(\lambda\phi(z)) $是严格凹函数, 其中$h(d):=\arccos\left(1-\frac{d^2}{2}\right).$

特别地, 选取阻断函数

$ \begin{equation} \phi(z) = a^{-1} \arctan\left(\frac{1}{\pi} \sin(\pi z)\right), \end{equation} $

(3.2)

并得到辅助函数$ Z $的各阶变分：

$ \begin{equation*} \frac{\partial Z}{\partial t} = \langle w, -k_x N_x+k_y N_y \rangle -L_t\left(\phi- \frac{l}{L}\phi^{'}\right)-L\phi_t-l\phi^{'}, \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \partial_x Z = \langle w, T_x \rangle + \phi', \qquad \partial_y Z = -\langle w, T_y \rangle - \phi', \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \frac{\partial^2 Z}{\partial x^{2}} = \frac{1}{d}\left(1 - \langle w, T_x \rangle^2 \right) + \langle w, -x-k_x N_x \rangle^2 -\frac{1}{L}\phi^{''}, \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \frac{\partial^2 Z}{\partial y^{2}} = \frac{1}{d}\left(1 - \langle w, T_y \rangle^2 \right) - \langle w, -y-k_y N_y \rangle^2 -\frac{1}{L}\phi^{''}, \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y } = -\frac{1}{d}\left(\langle T_x, T_y \rangle-\langle w, T_x\rangle \langle w, T_y \rangle \right) +\frac{1}{L}\phi^{''}. \end{equation*} $

在零极小值处, 可知

引理3.2^[12]  如果$x\neq y$, 在$Z(\cdot, \cdot, t)$的局部零极小值$(x, y)$处, 有

$ \begin{equation} \langle T_x, T_y\rangle = 2\phi'^2 - 1. \end{equation} $

(3.3)

接下来, 我们考虑流的微分不等式以及两个弦弧估计. 首先, 长度$ L(t) $的演化方程为

$ \begin{equation} L_t=-\int_X\frac{k^2}{K}ds =-\frac{1}{R^2}\int_X \overline{k}^2\, ds+\frac{L}{R^4}\leq -\frac{1}{L R^2}\left(\int_X \vert \overline{k}\vert ds\right)^2+\frac{L}{R^4}, \end{equation} $

(3.4)

利用Fenchel定理$\int_X \vert k\vert ds\geq 2\pi$, 得到如下微分不等式

$ \begin{equation*} L_t\leq\frac{L}{R^4}-\frac{4\pi^2}{L R^2}. \end{equation*} $

类似地, 我们定义$l[x:y]$是曲线$X$上连接$x$, $y$两点之间的劣弧长, 则有

$ \begin{equation} l_t= -\int_{[x:y]}\frac{k^2}{K}\, ds=-\frac{1}{R^2}\int_{[x:y]} \overline{k}^2\, ds+\frac{l}{R^4}\leq -\frac{1}{lR^2}\left(\int_{[x, y]} \vert\overline{k}\vert ds\right)^2+\frac{l}{R^4}, \end{equation} $

(3.5)

又因为$\int_{[x, y]} \vert\overline{k}\vert ds\geq \arccos\langle T_x, T_y\rangle$, 则

$ \begin{equation*} l_t\leq\frac{l}{R^4}-\frac{1}{lR^2}(\arccos\langle T_x, T_y\rangle)^2. \end{equation*} $

假设在某一时刻$t > 0$, 某一对非对角点$x\neq y$处, $Z$取得零极小值. 利用$Z$的变分公式和(3.4)与(3.5)可得

$ \begin{align*} 0&\geq\frac{\partial Z}{\partial t}-\left(\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}-2\frac{\partial^2 Z}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 Z}{\partial y^2}\right)\\ &=\langle w, x - y\rangle - L_t\left(\phi-\frac{l}{L}\phi'\right)-L\phi_t - l_t\phi'+\frac{4}{L}\phi''\\ &\geq\left(\frac{4\pi^2}{LR^2}-\frac{L}{R^4}\right)\left(\phi-\frac{l}{L}\phi'\right)+\left[\frac{1}{lR^2}(\arccos(2\phi'^2 - 1))^2-\frac{l}{R^4}\right]\phi'+d - L\phi_t+\frac{4}{L}\phi''\\ &=\left(\frac{4\pi^2}{LR^2}-\frac{L}{R^4}\right)\phi-\frac{l}{L}\phi'+\left[\frac{1}{lR^2}(2\arccos\phi')^2-\frac{l}{R^4}\right]\phi'+d - L\phi_t+\frac{4}{L}\phi'', \end{align*} $

因为$ (2\arccos\phi')^2 = 4(\arccos\phi')^2\geq4\left[\pi^2\left(\frac{l}{L}\right)^2-\frac{2\pi\frac{l}{L}}{\sin\left(\pi\frac{l}{L}\right)}\left(\phi'-\cos\left(\pi\frac{l}{L}\right)\right)\right] $所以

$ \begin{align*} L\phi_t&\geq\left(\frac{4\pi^2}{LR^2}-\frac{L}{R^4}\right)\left(\phi-\frac{l}{L}\phi'\right)+\frac{4\pi^2l\phi'}{R^2L^2}-\frac{8\pi\phi'}{R^2L\sin(\pi\frac{l}{L})}(\phi'-\cos(\pi\frac{l}{L}))-\frac{l\phi'}{R^4}+d+\frac{4}{L}\phi''\\ &=L^2\phi\left(1 - \frac{1}{R^4}\right)+4\left(\frac{\pi^2\phi}{R^2}+\phi''\right)+\frac{1}{R^2}\left(\frac{8\pi\phi'}{\tan(\pi\frac{l}{L})}-\frac{8\pi\phi'^2}{\sin(\pi\frac{l}{L})}\right), \end{align*} $

综上得到不等式在点$(x, y, t)$处有：

$ \begin{equation} L^2\phi_t\geq L^2\phi\left(1 - \frac{1}{R^4}\right)+4\left(\frac{\pi^2\phi}{R^2}+\phi''\right)+\frac{1}{R^2}\left(\frac{8\pi\phi'}{\tan(\pi - \frac{l}{L})}-\frac{8\pi\phi'^2}{\sin(\pi - \frac{l}{L})}\right). \end{equation} $

(3.6)

特别地, 在单位圆上有$ L^2\phi_t\geq 4\left(\pi^2\phi+\phi''\right)+\frac{8\pi\phi'}{\tan(\pi - \frac{l}{L})}-\frac{8\pi\phi'^2}{\sin(\pi - \frac{l}{L})} $. 由于$\phi$的严格凹性和Hölder不等式取等条件, 上述不等式应严格取不等号.

因球面的高斯曲率为常数$ K=\frac{1}{R} $, 为计算方便, 在接下来的计算中我们取$R = 1$, 亦即$K = 1$.

定理3.3  如果当$ t = 0 $, 对某个$ a>0 $, 有$ \frac{d}{L}\geq \frac{1}{a}\arctan(\frac{a}{\pi}\sin(\frac{\pi l}{L})) $, 那么对于$ t\in[0, T) $

$ \begin{equation} \frac{d}{L}\geq \frac{1}{ae^{-4\pi^{2}\tau}}\arctan\left(\frac{4e^{-a\pi^{2}\tau}}{\pi}\sin\left(\frac{\pi l}{L}\right)\right). \end{equation} $

(3.7)

恒成立, 其中$ \tau(t):=\int_{0}^{t}L^{-2}dt $.

证  假设存在$ t_0 > 0 $和$ x \neq y $, 使得$ Z(x, y, t_0) = d - L\phi\left( \frac{\ell}{L}, t_0 \right) < 0 $, 则$ Z $在$ (x, y, t_0) $处取局部负极小值, 满足$ \frac{\partial Z}{\partial x} = \frac{\partial Z}{\partial y} = 0 $, $ (Z) \geq 0 $.

将(3.3)代入$ Z $的时间演化方程和二阶导数公式$ 0 \geq \frac{\partial^2 Z}{\partial t} - \left( \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} - 2\frac{\partial^2 Z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} \right) $结合$ L_t = -\int k^2 ds \leq -\frac{4\pi^2}{L} $阻断函数$ \phi $的微分条件, 化简得,

$ L^2 \phi_t'' > 4(\phi'' + \pi^2 \phi) + \frac{8\pi \phi'}{\tan\left( \pi \frac{\ell}{L} \right)} - 8\pi \phi'^2, $

但Chow等在文章[13]中已证明, 满足条件的$ \phi $必须满足

$ \begin{align*} L^2 \phi_t'' < 4(\phi'' + \pi^2 \phi) + \frac{8\pi \phi'}{\tan\left( \pi \frac{\ell}{L} \right)} - 8\pi \phi'^2, \end{align*} $

矛盾, 故$ Z \geq 0 $, 即(3.7)成立.

定理3.4   如果在$ t = 0 $, $ \exists a>0 $, 有$ \frac{d}{L}\geq \frac{1}{a}\arctan(\frac{a}{\pi}\sin(\frac{\pi l}{L})) $, 那么对于$ \forall t\in[0, T) $有

$ \begin{equation} k^{2}+1\leq \left(\frac{2\pi}{L}\right)^{2}\left(1 + \frac{2a^{2}}{\pi^{2}}e^{-8\pi^{2}\tau}\right). \end{equation} $

(3.8)

证  首先, 利用泰勒展开式得到

$ \arctan\left( \frac{a}{\pi} \sin\left( \frac{\pi \ell}{L} \right) \right) = \frac{a e^{-4\pi^2 \tau}}{L} \ell - \frac{a e^{-4\pi^2 \tau} (\pi^2 + 2a^2 e^{-8\pi^2 \tau})}{6 L^3} \ell^3 + o(\ell^3), $

再结合

$ \begin{align*} d = \phi_p(\ell) \geq L \cdot \frac{1}{a e^{-4\pi^2 \tau}} \left( \frac{a e^{-4\pi^2 \tau}}{L} \ell - \frac{a e^{-4\pi^2 \tau} (\pi^2 + 2a^2 e^{-8\pi^2 \tau})}{6 L^3} \ell^3 + o(\ell^3) \right), \end{align*} $

比较$ \ell^3 $项的系数：

$ -\frac{1}{24} \max(k^2 + 1) \geq -\frac{\pi^2 + 2a^2 e^{-8\pi^2 \tau}}{6 L^2}, $

最后化简即得(3.8).

引理4.1  球面上简单闭曲线, 在流(1.1)下演化将保持总测地曲率I(t)=$\int_{X} k\, ds = 0$不变.

证  由演化曲线所围的面积$ A(t) $的演化方程和球面高斯博内公式$ \int_{X} k\, ds=2\pi-KA(t) $可得

$ \begin{equation*} \frac{dA(t)}{dt}=-\int_{X} \frac{k}{K}ds=-\frac{1}{K}(2\pi-KA(t)), \end{equation*} $

又

$ \begin{equation*} \frac{d I(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\int_{X} k\, ds\right)=-K \frac{dA}{dt}=\left(\int_{X} k\, ds\right)= I(t), \end{equation*} $

即

$ \begin{equation*} I(t)=I(0)e^t. \end{equation*} $

由于初始曲线满足$ I(0)=0 $, 从而$ I(t)=0 $.

接下来证明定理1.1：首先通过弦弧估计定理研究面积守恒和长度递减性, 由引理4.1显然可知面积$ A(t)\equiv 2\pi $, 又由(3.4)可以得$ L'(t) \le 0 $, 故$ L(t) $单调递减, 所以根据球面等周不等式给出$L(t) \ge 2\pi (\forall t \ge 0)$, 因此存在极限

$ \begin{equation} L_\infty = \lim\limits_{t\to\infty} L(t) \ge 2\pi, \end{equation} $

(4.1)

运用定理3.4, 有

$ \int_X (k^2 + 1) ds \leq \frac{4\pi^2}{L}\left(1 + \frac{2a^2}{\pi^2} e^{-8\pi^2 \tau}\right) \int_X 1 ds, $

又因为$ L(t)L_t = \frac{1}{2} \frac{d}{dt}(L^2) $, 所以

$ -\frac{1}{2} \frac{d}{dt}(L^2) + L^2 \le 4\pi^2 \left(1 + \frac{2a^2}{\pi^2} e^{-8\pi^2 \tau(t)}\right), $

整理得微分不等式：

$ \begin{equation} \frac{d}{dt}(L^2) \ge 2L^2 - 8\pi^2 \left(1 + \frac{2a^2}{\pi^2} e^{-8\pi^2 \tau(t)}\right), \end{equation} $

(4.2)

由于$ e^{-8\pi^2 \tau(t)} $随时间递减, 可得简化不等式：

$ \begin{equation} \frac{d}{dt}(L^2) \ge 2L^2 - \Delta, \quad \Delta = 8\pi^2\left(1 + \frac{2a^2}{\pi^2}\right), \end{equation} $

(4.3)

又由(4.2), 当$ t $充分大时, $ e^{-8\pi^2 \tau(t)} $趋于0, 故对任意$ \varepsilon > 0 $, 存在$ T_\varepsilon $使当$ t \ge T_\varepsilon $时

$ \frac{d}{dt}(L^2) \ge 2L^2 - 8\pi^2 - \varepsilon. $

若$ L_\infty^2 > 4\pi^2 $, 取$ \varepsilon $足够小可使右端正, 则$ L^2 $增长, 与$ L $递减矛盾. 故$ L_\infty^2 \le 4\pi^2 $, 即$ L_\infty \le 2\pi $. 结合(4.1)得$ L_\infty = 2\pi $.

其次, 估计曲率的衰减. 由(3.8)可得：

$ \begin{equation} \int_{\Gamma_t} k^2 \, ds \le \frac{4\pi^2}{L(t)} \left(1 + \frac{2a^2}{\pi^2} e^{-8\pi^2 \tau(t)}\right) - L(t), \end{equation} $

(4.4)

当$ t \to \infty $时, $ e^{-8\pi^2 \tau(t)} \to 0 $, 代入上式得到

$ \lim\limits_{t\to\infty} \int_{\Gamma_t} k^2 \, ds \le \frac{4\pi^2}{2\pi}(1+0) - 2\pi = 2\pi - 2\pi = 0, $

又$ \int k^2 ds \ge 0 $, 故

$ \begin{equation} \lim\limits_{t\to\infty} \int_{\Gamma_t} k^2 \, ds = 0. \end{equation} $

(4.5)

最后, 利用Bernstein估计与高阶衰减证明光滑收敛到测地线.

引理4.2 (Bernstein型估计)  存在常数$ C_m > 0 $(依赖于初始曲线与阶数$ m $)和$ \lambda > 0 $, 使得

$ \max\limits_{\Gamma_t} |\nabla^m k| \le C_m e^{-\lambda t}, \quad m = 0, 1, 2, \dots $

证  [13]中的Bernstein估计给出$ k $及其各阶导数的$ L^\infty $估计, 结合(4.5)与抛物方程的正则性理论, 可推出指数衰减.

结合(1.1)和(4.4), 在$ C^\infty $意义下, 对任意$ m \ge 0 $：

$ \|\partial_t X\|_{C^m(\Gamma_t)} \le C_m e^{-\lambda t}, $

因此$ X(\cdot, t) $在$ C^\infty $范数下是Cauchy列, 存在光滑极限

$ X_\infty = \lim\limits_{t\to\infty} X(\cdot, t). \quad $

综上, 极限曲线$ \Gamma_\infty = X_\infty(\mathbb{S}^1) $满足：$ L_\infty = 2\pi $, $ k_\infty \equiv 0 $且演化过程保持简单性. 因此$ \Gamma_\infty $是$ S^2 $上的一条简单闭测地线(大圆), 定理1.1得证.