算子数值域的研究可以追溯到1919年F. Hausdorff与O. Toeplitz的工作(见文献[1, 2]). 设$ \mathcal{H} $为复Hilbert空间, $ \mathcal{B}(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上全体有界线性算子构成的集合. 对任意的$ A\in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $, $ A $的数值域定义为

$ W(A)=\left\{\langle Ax, x\rangle : x \in \mathcal{H}, \| x \| =1\right\}. $

Hausdorff-Toeplitz定理(见文献[1, 2]) 指出, 算子的数值域总是一个凸集; 此外，当$ \mathcal{H} $为有限维Hilbert空间时, 矩阵的数值域是紧集. 矩阵的数值域总是包含其谱集, 但通常比谱集大得多. 例如, 若$ A $是正规矩阵, 则$ W(A) $是其谱集的凸包. 1964年, P. R. Halmos提出了算子的$ k $-数值域和算子组的联合数值域的概念. 当$ k\leq \dim\mathcal{H} $时, 有界线性算子$ A:\mathcal{H} \to \mathcal{H} $的$ k $-数值域定义为

$ W_k(A)=\left\{\frac{1}{k} \sum\limits_{i=1}^k\langle A x_i, x_i\rangle: x_1, \cdots, x_k \in \mathcal{H} \text{ 是相互正交的单位向量 }\right\}. $

文献[3] 表明对任意$ n $阶矩阵$ A $, $ W_k(A) $也是凸集. 设$ {\bf A}=(A_{1}, \ldots, A_{m}) \in\mathcal{B}(\mathcal{H})^{m} $, 算子组$ {\bf A} $的联合数值域定义为

$ W({\bf A})=\{(\langle A_{1}x, x\rangle, \dots, \langle A_{m}x, x\rangle): \; x\in\mathcal{H}, \; \|x\|=1\}. $

算子组的联合数值域同样具有单个算子数值域所具有的一些性质. 例如, 如果$ {\bf A} $是交换的正规算子组, 那么$ W({\bf A}) $是凸的, 并且$ {\bf A} $的数值域的闭包等于$ {\bf A} $的谱集的凸包(见文献[4]).

设$ \mathcal{P}(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上所有投影所构成的集合, $ \mathcal{P}_n(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上所有秩$ n $投影所构成的集合, $ \mathcal{P}_\infty(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上所有秩与余秩均为无穷的投影所构成的集合. 2004年, P. $ \mathrm{\check{S}} $emrl在文献[5] 中证明了$ \mathcal{P}_n(\mathcal{H}) $ (或$ \mathcal{P}_\infty (\mathcal{H}) $)上保持双边正交性的双射由一个酉算子或反酉算子诱导. 2016年, G. P. Geh$ \mathrm{\acute{\text{e}}} $r和P. $ \mathrm{\check{S}} $emrl在文献[6] 中进一步证明了$ \mathcal{P}_n(\mathcal{H}) $上保持双边正交性的满射由一个酉算子或反酉算子诱导. 2018年, G. P. Geh$ \mathrm{\acute{e}} $r和P. $ \mathrm{\check{S}} $emrl在文献[7] 中证明了$ \mathcal{P}_\infty(\mathcal{H}) $上的等距满射$ \Phi $具有形式$ \Phi(P)=U^\ast P U $或$ \Phi(P)=U^\ast (I-P) U $, 其中$ U $是$ \mathcal{H} $上的酉算子或反酉算子. 根据自伴算子的性质(详见式(2.1)), 保持投影对联合数值域的映射一定是等距映射. 因此, 在$ \mathcal{P}_n(\mathcal{H}) $和$ \mathcal{P}_\infty (\mathcal{H}) $上保持投影对联合数值域的满射已经被完全刻画. 一个自然的问题是: 如何刻画$ \mathcal{P}_n(\mathcal{H}) $上压缩投影对联合数值域的映射?

2025年, 邓年、钱文华和吴文明证明了如果$ \mathcal{H} $的维数有限, 那么$ \mathcal{P}(\mathcal{H}) $上压缩投影对联合数值域的满射由一个酉算子或反酉算子诱导. 基于此, 本文主要刻画了$ \mathcal{P}_1(\mathcal{H}) $上压缩投影对联合数值域的映射.

设$ \{e_i: i\in \Lambda\} $是$ \mathcal{H} $的一组标准正交基, $ A\in \mathcal{B}(\mathcal{H}) $. 定义$ \mathrm{Tr}(A)=\sum\limits_{i\in \Lambda} \langle Ae_i, e_i \rangle, $称$ \mathrm{Tr}(A) $为算子$ A $的迹. 记$ P\wedge Q $为从$ \mathcal{H} $到$ P(\mathcal{H})\cap Q (\mathcal{H}) $上的投影, $ P\vee Q $为从$ \mathcal{H} $到$ \overline{P(\mathcal{H})} \overline{+Q(\mathcal{H})} $上的投影, 投影对$ (P, Q) $的联合数值域为

$ W(P, Q)=\{(\langle Px, x\rangle, \; \langle Qx, x\rangle):\; x\in\mathcal{H}, \; \|x\|=1\}. $

下面我们给出本文的主要定理:

定理2.1  设$ \mathcal H $为复Hilbert空间, $ \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上所有秩$ 1 $投影构成的集合, $ \Phi:\mathcal{P}_{1} (\mathcal{H})\rightarrow \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $压缩秩$ 1 $投影算子对的联合数值域, 即$ W(\Phi(P), \Phi(Q))\subseteq W(P, Q) $对任意$ P, Q\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $成立. 如果$ \mathrm{dim} (\mathcal{H})> 2 $且$ \Phi $是满射, 那么存在一个酉算子或反酉算子$ U $, 使得$ \Phi(P)=U^{*}PU $对任意$ P\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $成立. 如果$ \mathrm{dim} (\mathcal{H})= 2 $, 那么$ \Phi $为满射, 此时, 存在一个酉算子或反酉算子$ U $, 使得$ \Phi(P)=U^{*}PU $对任意$ P\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $成立.

为证明主要定理我们先给出本节的几个主要引理:

引理2.1设$ \mathcal{H} $是复Hilbert空间, $ \dim \mathcal{H} \geq 2 $, $ P, Q\in \mathcal{P}(\mathcal{H}) $, 则以下结论成立:

$ (1) $ $ P\wedge Q=0 $当且仅当$ (1, 1)\notin W(P, Q) $;

$ (2) $ $ P\vee Q=I $当且仅当$ (0, 0)\notin W(P, Q) $;

$ (3) $ $ PQ=0 $当且仅当$ a+b\leq 1, \ \forall(a, b)\in W(P, Q) $;

$ (4) $ $ P=Q $当且仅当$ a=b, \ \forall(a, b)\in W(P, Q) $;

$ (5) $ $ P+Q=I $当且仅当$ a+b= 1, \ \forall(a, b)\in W(P, Q) $.

证明: 由投影对联合数值域本身所具有的性质即可得证.

引理2.2  设$ \mathcal{H} $为复Hilbert空间且$ \mathrm{dim}(\mathcal{H})=2 $, $ \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $为$ \mathcal{H} $上所有秩$ 1 $投影构成的集合. 如果$ P, Q\in \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $且$ \mathrm{Tr}(PQ)=t, $其中$ t\in [0, 1], $那么

$ \begin{align*} W(P, Q)= \left\{ (x, y): \left(\sqrt{tx}- \sqrt{(1-t)(1-x)} \right)^2 \leq y \leq \left(\sqrt{tx}+ \sqrt{(1-t)(1-x)} \right)^2, 0\leq x\leq 1 \right\}. \end{align*} $

证  令

$ D=\left\{ (x, y): \left(\sqrt{tx}- \sqrt{(1-t)(1-x)} \right)^2 \leq y \leq \left(\sqrt{tx}+ \sqrt{(1-t)(1-x)} \right)^2, 0\leq x\leq 1 \right\}. $

接下来我们证明$ W(P, Q)=D $.

当$ \mathrm{Tr}(PQ)=1 $时, 有$ P=Q. $于是我们有

$ W(P, Q)=\{(x, x): 0\leq x\leq 1\}. $

当$ \mathrm{Tr}(PQ)=0 $时, 有$ PQ=0. $因为$ \mathrm{dim}(\mathcal{H})=2 $且$ P, Q\in \mathcal{P}_1(\mathcal{H}), $所以$ P+Q=I. $于是对于任意的$ (x, y)\in W(P, Q) $, 我们有$ x+y=1. $由于$ PQ=0 $, 于是$ (1, 0), (0, 1)\in W(P, Q). $由$ W(P, Q) $的凸性可知

$ W(P, Q)=\{(x, y): x+y=1, 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\}. $

当$ \mathrm{Tr}(PQ)=t\in (0, 1) $时, 由Halmos双投影定理[8]可知$ P, Q $可表示成如下形式:

$ P= \left( \begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0& 0 \\ \end{array} \right), \ \ Q= \left( \begin{array}{cc} t& \sqrt{t-t^2} \\ \sqrt{t-t^2}& 1-t \\ \end{array} \right). $

定义$ e_P=(1, 0)^T $, $ e_Q=(\sqrt{t}, \sqrt{1-t})^T. $于是$ P=e_P\otimes e_P $且$ Q=e_Q\otimes e_Q. $对任意的$ (x, y)\in W(P, Q), $存在单位向量$ (a_1, a_2)^T\in \mathcal{H} $, 使得

$ x=\left \langle \left( \begin{array}{cc} 1& 0 \\ 0& 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right) \right \rangle =|a_1|^2, $

$ y=\left \langle \left( \begin{array}{cc} t& \sqrt{t-t^2} \\ \sqrt{t-t^2}& 1-t \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \end{array} \right) \right \rangle =t|a_1|^2+ 2\sqrt{t-t^2} \mathrm{Re}(a_1\overline{a_2})+ (1-t)|a_2|^2. $

因为$ |a_2|^2=1-|a_1|^2, $所以

$ \begin{align*} y &\leq t \left|a_{1}\right|^{2} +2 \sqrt{t-t^{2}}\left|a_{1}\right| \left|a_{2}\right| +(1-t)\left|a_{2}\right|^{2} =\left(\sqrt{t}\left|a_{1}\right| +\sqrt{1-t}\left|a_{2}\right|\right)^{2}\\ &= \left(\sqrt{t}\left|a_{1}\right| +\sqrt{1-t} \sqrt{1-\left|a_{1}\right|^{2}}\right)^{2} =(\sqrt{t x} +\sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}, \end{align*} $

且

$ \begin{align*} y &\geq t \left|a_{1}\right|^{2} -2 \sqrt{t-t^{2}}\left|a_{1}\right| \left|a_{2}\right| +(1-t)\left|a_{2}\right|^{2} =\left(\sqrt{t}\left|a_{1}\right| -\sqrt{1-t}\left|a_{2}\right|\right)^{2}\\ &= \left(\sqrt{t}\left|a_{1}\right| -\sqrt{1-t} \sqrt{1-\left|a_{1}\right|^{2}}\right)^{2} =(\sqrt{t x} -\sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}. \end{align*} $

因此$ W(P, Q)\subseteq D. $

对任意$ {x \in\left[0, 1\right]} $, 取$ {\xi=(\sqrt{x}, \sqrt{1-x})^{T}} $, 我们有

$ \langle P \xi, \xi\rangle=x, \ \langle Q \xi, \xi\rangle =(\sqrt{t x}+ \sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}. $

于是$ \left(x, (\sqrt{t x} +\sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}\right) \in W(P, Q) $. 取$ {\eta=(\sqrt{x}, -\sqrt{1-x})^{T}} $, 我们有

$ \langle P \eta, \eta\rangle=x, \ \langle Q \eta, \eta\rangle =(\sqrt{t x}- \sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}. $

于是$ \left(x, (\sqrt{t x} -\sqrt{(1-t)(1-x)})^{2}\right) \in W(P, Q) $. 由$ W(P, Q) $的凸性可知$ D\subseteq W(P, Q) $. 综上所述, $ W(P, Q)=D $.

注  由引理2.2以及[9, Theorem 1.5] 可知, 当$ 0<t<\frac{1}{2} $时, $ W(P, Q) $是以$ (\frac{1+\sqrt{1-2t}}{2}, $ $ \frac{1-\sqrt{1-2t}}{2}) $和$ (\frac{1-\sqrt{1-2t}}{2}, \frac{1+\sqrt{1-2t}}{2}) $为焦点, 短轴长等于$ \sqrt{2t} $的椭圆盘, 其边界方程为$ \frac{(x-y)^2}{1-t}+ \frac{(x+y-1)^2}{t}=1. $当$ \frac{1}{2}<t<1 $时, $ W(P, Q) $是以$ (\frac{1-\sqrt{2t-1}}{2}, \frac{1-\sqrt{2t-1}}{2}) $和$ (\frac{1+\sqrt{2t-1}}{2}, \frac{1+\sqrt{2t-1}}{2}) $为焦点, 短轴长等于$ \sqrt{2(1-t)} $的椭圆盘, 其边界方程为$ \frac{(x-y)^2}{1-t}+ \frac{(x+y-1)^2}{t}=1. $当$ t= \frac{1}{2} $时, $ W(P, Q) $是以$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $为圆心, 半径等于$ \frac{1}{2} $的圆盘, 其边界方程为$ (x-\frac{1}{2})^2 +(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4} $.

引理2.3  设$ \mathcal H $为复Hilbert空间, $ \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $为$ \mathcal H $上所有秩$ 1 $投影构成的集合, $ \Phi:\mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $为压缩秩$ 1 $投影对的联合数值域的映射. 若$ P, Q\in\mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $, 则以下结论成立:

$ (1) $若$ P\wedge Q=0 $, 则$ \Phi(P) \wedge \Phi(Q)=0 $;

$ (2) $ $ \Phi $是单射;

$ (3) $ $ PQ=0 $当且仅当$ \Phi(P)\Phi(Q)=0 $;

$ (4) $如果$ \mathrm{dim}(\mathcal{H})=2 $, 那么$ W(\Phi(P), \Phi(Q))=W(P, Q). $

证  (1) 若$ P\wedge Q=0 $, 则由引理2.1以及$ \Phi $压缩投影对的联合数值域可知$ \Phi(P)\wedge \Phi(Q)=0 $.

(2) 假设$ P, Q\in \mathcal{P}_{1} (\mathcal{H}) $且$ P\neq Q $, 此时$ P\wedge Q=0 $. 由$ (1) $知$ \Phi(P)\wedge \Phi(Q)=0 $, 从而$ \Phi(P)\neq \Phi(Q) $, 因此$ \Phi $是单射.

(3) 若$ P, Q\in \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $且$ PQ=0 $, 则由引理2.1以及$ \Phi $压缩投影对的联合数值域可知$ \Phi(P) \Phi(Q)=0 $.

反之, 当$ \Phi(P)\Phi(Q)=0 $时, 存在单位向量$ x\in \Phi(Q)(\mathcal{H}) $, 使得$ \Phi(P)x=0 $且$ \Phi(Q)x=x $, 于是$ (0, 1)\in W(\Phi(P), \Phi(Q)) $. 由$ \Phi $压缩投影对的联合数值域可知$ (0, 1)\in W(P, Q) $, 从而存在单位向量$ y\in \mathcal{H} $, 使得$ Py=0 $且$ Qy=y $. 于是$ PQy=Py=0 $. 从而由$ Q\in \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}) $知$ PQ=0 $.

(4) 由引理2.2知当$ \mathrm{Tr}(P_1Q_1) \neq \mathrm{Tr}(P_2Q_2) $时, $ W (P_1, Q_1) $与$ W (P_2, Q_2) $之间不存在包含关系. 因此当$ W(\Phi(P), \Phi(Q)) \subseteq W(P, Q) $时, 必有$ \mathrm{Tr}(PQ)=\mathrm{Tr}(\Phi(P)\Phi(Q)) $, 从而$ W(\Phi(P), \Phi(Q))=W(P, Q) $.

定理2.1的证明  由引理2.3知$ \Phi $保持双边正交性. 如果$ \mathrm{dim} (\mathcal{H})>2 $且$ \Phi $是满射, 由文献[6, Theorem 1.2]可知, 存在一个酉算子或反酉算子$ U $, 使得

$ \Phi(P)=U^{*}PU, \ \forall P \in \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}). $

如果$ \mathrm{dim}(\mathcal{H})=2 $, 由引理2.3可知$ \Phi $保持秩$ 1 $投影对的联合数值域. 又因为对任意$ P, Q\in \mathcal{P}(\mathcal{H}), $我们有

$ \begin{align} \begin{aligned} ||P-Q||=& \mathrm{sup} \{|\langle (P-Q)x, x\rangle|: \Vert x \Vert=1, x\in \mathcal{H}\}\\ =& \mathrm{sup} \{|\langle Px, x\rangle - \langle Qx, x\rangle|: \Vert x \Vert=1, x\in \mathcal{H}\}\\ =& \mathrm{sup} \{|a - b|: (a, b)\in W(P, Q)\}, \end{aligned} \end{align} $

(2.1)

所以$ \Phi $为等距映射. 由[6, Theorem 1.1] 可知, 存在一个酉算子或反酉算子$ U $, 使得

$ \Phi(P)=U^{*}PU, \ \forall P \in \mathcal{P}_{1}(\mathcal{H}). $