为了回答Lindenstrauss在文献[1]中提出的猜想, 即当$ p_{1}\neq p_{2}, \; 1\leq p_{1}, \; p_{2}\leq2 $时, 无限维的$ L_{p_1}(\mu) $和$ L_{p_2}(\mu) $不是一致同胚的, Enflo在文献[2]中引入了度量空间中“圆度”(roundness) 的几何概念：设$ (X, d) $是度量空间, 集合$ \Re\subset [0, \infty ) $. 对任意$ p\in\Re $以及任意$ y, z, k, w\in X $, 满足如下的四重不等式

$ \begin{equation} d^p\left(y, k\right)-d^p\left(y, w\right)-d^p\left(z, k\right)+d^p\left(z, w\right) \leq d^p\left(k, w\right)+d^p\left(y, z\right). \end{equation} $

(1.1)

我们称集合$ \Re $的上确界为$ (X, d) $的圆度.

在任何度量空间中, 当$ p=1 $时, 根据三角形不等式, (1.1) 式总成立. 若$ X $是Hilbert空间且$ p=2 $, 通过平行四边形法则也容易得到(1.1) 式. Enflo在文献[2]中证明了$ L_{p} $空间$ (1\leq p\leq2) $的圆度正好为$ p $. 这使得不同$ p $值的$ L_{p} $空间在一致同胚映射下无法满足小于$ p_{1}/p_{2} $阶的Lipschitz条件, 从而证明当$ 1\leq p_{1}\neq p_{2}\leq2 $时$ L_{p_{1}}(\mu) $和$ L_{p_{2}}(\mu) $空间不是同构的, 给出了Lindenstrauss猜想的肯定回答. 随后Enflo对圆度及其推广概念做了一系列研究, 如在文献[3]中, Enflo证明了若Banach空间的圆度为$ p $, 则当$ 1\leq q\leq p $, 不等式(1.1) 成立. 并指出对一般的度量空间, 该性质不成立. 利用圆度的概念, Enflo还刻画了拓扑群和Banach空间结构之间的关系(参见文献[2-5]). 我们注意到, Lennard等研究了Banach空间的圆度概念与几何概念余型之间的关系^[6]; 他们还证明了当$ 2<p<\infty $时, $ L_{p} $空间具有圆度$ p^{\prime} $, 其中$ {1}/{p}+{1}/{p^{\prime}}=1 $^[7].

事实上, 圆度及其推广概念在度量几何的研究中起着重要作用. Enflo的工作已被大量扩展到许多其他特殊类别的度量空间, 例如, 超度量空间[6, 8-11], 测地空间[12, 13]以及$ p $型度量空间[6, 8, 9, 14]等. 值得注意的是, 在Banach空间的设定下, 圆度与其他几何概念紧密地联系在一起, 包括Banach空间的型和余型、一致光滑性和一致凸性. 如前所述, Enflo关于圆度的第一项工作是关于经典的$ L_{p} $空间, 这些空间具有丰富的几何性质. Enflo在[15]中还证明了, Banach空间$ X $具有圆度$ p_{0}>1 $当且仅当$ X $对于某个$ p>1 $是$ p $一致光滑的. 在文献[16]中, Amini-Harandi证明了如果Banach空间具有大于$ 1 $的最大圆度, 那么它是一致光滑的；另一方面, 如果它的最小余圆度是有限的, 那么它是一致凸的.

最近, 在论文[17]中, Schötz推广了Hilbert空间上的四重不等式, 建立在平行四边形法则和Cauchy-Schwarz不等式上, 他将(1.1) 式中的$ d^p $替换成$ f(d) $, 这里的$ f $是任一具有凹导数的非负非减的凸函数(见下面的命题1.1). 实际上这一不等式在任何满足Cauchy-Schwarz不等式的度量空间上成立, 包括所有的CAT(0) 空间. Schötz^[18] 指出这一不等式可以应用到证明这些度量空间中广义Fréchet均值的收敛速率问题.

设$ S $是具有凹导数的非负、单调增加的凸函数构成的集合, 且$ S_{0}=\left\{f\in S:f\left(0\right)=0\right\} $. 在[17]中, Schötz在内积空间中的关键结果如下：

命题1.1^[17]  设$ (V, \langle\cdot, \cdot\rangle) $是一个内积空间, $ d $是由内积诱导的距离, 且$ f\in S_{0} $. 则对任意$ y, z, k, w\in V $, 有

$ \begin{equation} f\left(d\left(y, k\right)\right)-f\left(d\left(y, w\right)\right) -f\left(d\left(z, k\right)\right)+f\left(d\left(z, w\right)\right) \leq f\left(d\left(k, w\right)\right)+f\left(d\left(y, z\right)\right). \end{equation} $

(1.2)

最新的文献[19]中指出命题1.1中的集合$ S $中的函数$ f $等价于$ f $是非减、凸且$ 3 $凹的, 并且相关概念已被广泛研究(参见[20-23]), 并且作者把该不等式推广到一般的Banach空间框架下.

在Banach空间中有诸多反映几何性质的不等式, 如Clarkson不等式, Hanner不等式, Pisier的$ p $光滑模和$ q $凸性模不等式等. 在[6]中, Lennard从[2]推导出具有圆度$ p $的Banach空间具有$ p $型. 显然, 在Banach空间的框架下(1.2) 是否成立与Banach空间的几何性质密切相关. 此外, 我们也必须考虑凸函数$ f $满足的合适条件. 在本文中, 我们主要讨论了$ p $一致光滑的Banach空间上的凸泛函不等式, 主要结果如下.

定理1.2  设$ 1\leq p\leq2 $. 设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减且凸的函数, 且$ t\mapsto {f(t)}/{t^p} $是非增的. 设Banach空间$ (X, \|\cdot\|) $是$ p $一致光滑的. 那么存在$ C>0 $, 使得对于任意四个点$ y, z, k, w\in X $, 有

$ \begin{equation} f\left(\left\|y-k\right\|\right)+f\left(\left\|z-w\right\|\right) \leq f\left(\left\|y-w\right\|\right)+f\left(\left\|w-k\right\|\right) +Cf\left(\left\|z-k\right\|\right)+Cf\left(\left\|y-z\right\|\right). \end{equation} $

(1.3)

定理1.2中$ f $满足的条件保证了结论的成立, 我们将在第二节详细证明涉及该凸函数的泛函不等式. 由于我们的结果联系于Banach空间的几何性质, 我们将在第三节介绍涉及Banach空间几何性质的概念和不等式, 并证明本文的主要结果及其它一些相关结论.

本节我们阐述一些关于凹(或凸)函数的有用性质. 首先, 若函数$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $满足对任意$ x, y \in[0, \infty) $, 有$ f(x+y)\leq f(x)+f(y) $, 则称函数$ f $是次可加的.

下面的引理是关于凹函数的一个基本事实.

引理2.1  设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是凹函数, 且$ a, b\in\bigl(0, \infty\bigr), a\geq b $. 那么对于$ x\geq0 $, 函数$ x\mapsto f\left(a+x\right)+f\left(b-x\right) $是非增的. 此外, 若$ f(0)\geq0 $, 则$ f $是次可加的.

以下关于凹函数的泛函不等式的引理在Schötz^[17]工作中至关重要. 为了内容的完整性, 我们将给出一个更详细的证明.

引理2.2  设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减且凹的函数. 取$ x_1, \cdots, x_6\in\left[0, \infty\right) $, 并假设$ \max\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\leq\max\left(x_{5}, x_{6}\right) $且$ x_{5}+x_{6}\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} $. 那么

$\begin{equation} f\begin{pmatrix}x_5\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_6\end{pmatrix} \leq f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_4\end{pmatrix}. \end{equation}$

(2.1)

证  我们假设$ x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq x_{4} $且$ x_{5}\leq x_{6} $. 根据条件$ \max\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\leq\max\left(x_{5}, x_{6}\right) $, 必然有$ x_{1}\leq x_{6} $. 接下来我们考虑两种情形.

情形一: $ x_{5}\leq x_{1} $. 在这种情形下, 我们有$ x_{5}\leq x_{1}\leq x_{6} $. 我们将$ x_{5} $增大到$ x_{5}^{'} $, 同时将$ x_{6} $减小到$ x_{6}^{'} $, 并且保持$ x_{5}+x_{6}=x_{5}^{'}+x_{6}^{'} $, 直到$ x_{5}^{'} $或者$ x_{6}^{'} $与某个$ x_{j}, 1\leq i\leq4 $相等.

然后, 我们去掉这个相等的点, 由于$ x_{5}+x_{6}\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} $这个条件, 剩下的点可以表示为$ x_{5}^{1}\leq x_{1}+x_{2}+x_{3} $. 根据引理2.1, 我们有

$ f\begin{pmatrix}x_5\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_6\end{pmatrix} \leq f\begin{pmatrix}x_5^{'}\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_6^{'}\end{pmatrix}. $

因为$ f $是非减且次可加的, 结合上述不等式, 则得到不等式

$ f\begin{pmatrix}x_5\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_6\end{pmatrix} \leq f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_4\end{pmatrix}. $

情形二: $ x_{5}>x_{1} $. 则有$ x_{1}<x_{5}\leq x_{6} $. 令$ s:={(x_{s}+x_{6})}/{2} $. 由$ f $的凸性, 可得

$ f\left(x_5\right)+f\left(x_6\right)\leq2f\left(s\right). $

再次利用本引理的条件可得$ x_{1}\leq s, 2s\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} $. 接下来, 只需证明

$ 2f\begin{pmatrix}s\end{pmatrix}\leq f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_4\end{pmatrix}. $

现在, 我们考虑在闭区间$ [0, s] $上的凹函数$ f $. 如果$ s-x_{1}\geq x_{4} $, 根据引理2.1, 我们得到

$ f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_4\end{pmatrix} \geq f\begin{pmatrix}x_1+x_4\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}. $

由于$ x_{2}\leq s, 2s\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} $, 则$ s-\bigl(x_{1}+x_{4}\bigr)\leq x_{3} $. 因此

$ f\begin{pmatrix}x_1+x_4\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix} \geq f\begin{pmatrix}s\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_1+x_3+x_4-s\end{pmatrix}. $

此外, 显然$ s-x_{2}\leq x_{1}+x_{3}+x_{4}-s $, 故

$ f\begin{pmatrix}x_1+x_3+x_4-s\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix}\ge f\begin{pmatrix}s\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_1+x_2+x_3+x_4-2s\end{pmatrix}\ge f\begin{pmatrix}s\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}. $

结合以上三个不等式, 可以得到

$ 2f\begin{pmatrix}s\end{pmatrix}+2f\begin{pmatrix}0\end{pmatrix} \leq f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +f\begin{pmatrix}x_3\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_4\end{pmatrix}. $

如果$ s-x_{1}\leq x_{4} $, 我们可以在区间$ \left\lceil0, s\right\rceil $上进行与上述类似的讨论. 那么同样可以得到上述不等式. 因此, 由$ f(0)\geq0 $可以得出结论.

利用Schötz的巧妙想法, 我们可以将前面的引理推广到更一般的情形.

引理2.3  设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减且凹的函数. 取$ x_1, \; \cdots, \; x_n, \; y_1, \; y_2\in\left[0, \infty\right) $, 并假设$ \max\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\leq\max\left(y_{1}, y_{2}\right) $且$ y_{1}+y_{2}\leq x_{1}+\cdots+x_{n} $. 那么

$\begin{equation} f\begin{pmatrix}y_2\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}y_1\end{pmatrix} \leq f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_2\end{pmatrix} +\cdots+f\begin{pmatrix}x_n\end{pmatrix}. \end{equation} $

(2.2)

证  我们始终假设$ x_{1}\geq x, \geq\cdots\geq x_{n} $且$ y_1\geq y_2 $.

当$ n=2 $时, 根据条件, 设$ y_{1}\geq x_{1}\geq x_{2}\geq y_{2} $, 因此我们有$ y_{1}-x_{1}\leq x_{2}-y_{2} $. 则这个结果可以直接从引理2.1得出. 当$ n=3 $时, 如同前面的引理一样, 我们只讨论情形二, 即$ x_{1}\leq y_{2} $. 由于$ s:={(y_1+y_2)}/2 $, 可得$ s-x_{1}\leq x_{3}, s-x_{2}\leq x_{1}+x_{3}-s $. 因此

$ \begin{aligned}&f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right) \geq f\left(s\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{1}+x_{3}-s\right) \\ \geq& f\left(s\right)+f\left(s\right)+f\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}-2s\right) \geq2f\left(s\right)+f\left(0\right) \geq f\left(y_{2}\right)+f\left(y_{1}\right)\end{aligned}. $

对于任意给定的$ n>4 $, 我们仍然只讨论$ x_{1}\leq y_{2} $的情况. 故$ 2s=y_{1}+y_{2}\leq x_{1}+\cdots+x_{n} $.

设$ m=\inf\left\{k:x_{1}+x_{n}+x_{n-1}\cdots+x_{k}<s, 3\leq k\leq n\right\} $. 则这样的设定意味着$ x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m}+x_{m-1}\geq s $. 我们反复应用引理2.1, 然后得到以下不等式

$\begin{equation} f\begin{pmatrix}x_1\end{pmatrix}+f\begin{pmatrix}x_n\end{pmatrix} +\cdots+f\begin{pmatrix}x_m\end{pmatrix} \geq f\begin{pmatrix}x_1+x_n+\cdots+x_m\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}n-m+1\end{pmatrix}f\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}. \end{equation}$

(2.3)

由于$ x_{m-1}\geq s-\left(x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m}\right) $, 我们有

$ \begin{equation} f\left(x_1+x_n+\cdots+x_m\right)+f\left(x_{m-1}\right) \geq f\left(s\right)-f\left(x_1+x_n+\cdots+x_m-s\right). \end{equation} $

(2.4)

我们进一步考虑以下两种情形.

情形一: $ s-x_{2}\leq x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m}-s $. 结合不等式(2.3)和(2.4), 可以得到

$ \begin{aligned} &f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+\cdots+f\left(x_n\right) \\ \geq& f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{m-1}\right) +f\left(x_{m}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right) \\ \geq& f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m-1}-s\right) +f\left(s\right)+\left(n-m+1\right)f\left(0\right) \\ \geq&2f\left(s\right)+f\left(x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m-1}-s\right) +\left(n-m+1\right)f\left(0\right) \\ \geq&2f\left(s\right)+\left(n-m+2\right)f\left(0\right) \geq2f\left(s\right)\geq f\left(y_{2}\right)+f\left(y_{1}\right). \end{aligned} $

情形二: $ s-x_{2}\geq x_{1}+x_{n}+\cdots+x_{m}-s $. 在这种情形下, 有

$ \begin{equation} f\left(x_2\right)+f\left(x_1+x_n+\cdots+x_{m-1}-s\right) \geq f\left(x_1+x_2+x_n+\cdots+x_{m-1}-s\right)+f\left(0\right). \end{equation} $

(2.5)

此外, 由于$ x_{1}+\cdots+x_{n}\geq2s $, 我们可以在$ x_{i} $中找到一个最大的数的下标$ 3\leq i\leq n $, 记为$ l $, 使得

$ x_{1}+x_{2}+x_{n}\cdots+x_{l}\geq2s\:, $

这意味着$ x_{1}+x_{2}+x_{n}+\cdots+x_{l+2}<2s $. 基于此, 结合不等式(2.3, 2.4和2.5), 则可得

$ \begin{aligned} &f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right) \\ \geq& f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{l}\right) +\cdots+f\left(x_{m-1}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right) \\ \geq& f\left(x_{l}\right)+\cdots+f\left(x_{1}+x_{2}+x_{n}+\cdots+x_{m-1}-s\right) +f\left(s\right)+\left(n-m+2\right)f\left(0\right) \\ \geq& f\left(x_{l}\right)+f\left(x_{1}+x_{2}+x_{n}+\cdots+x_{l+1}-s\right) +f\left(s\right)+\left(n-l+2\right)f\left(0\right) \\ \geq&2f\left(s\right)+f\left(x_{1}+x_{2}+x_{n}+\cdots+x_{l}-s\right) +\left(n-l+2\right)f\left(0\right) \\ \geq&2f\left(s\right)+\left(n-l+3\right)f\left(0\right) \geq f\left(y_{2}\right)+f\left(y_{1}\right). \end{aligned} $

至此, 引理2.3得证.

引理2.3建立的泛函不等式在我们的证明中起到关键作用. 从一个凸函数出发, 在一定条件下, 它和幂函数的复合函数可以构造一个新的凹函数, 具体反映为如下引理.

引理2.4  设$ 1\leq p<\infty $, $ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减的凸函数. 若$ t\mapsto {f\left(t\right)}/{t^p} $是非增的, 则$ t\mapsto f(t^{1/p}), t\in\left[0, +\infty\right) $, 是非负、非减且凹的.

证  由于$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负且非减的, 显然$ t\mapsto f(t^{1/p}), t\in\left[0, +\infty\right) $是非负且非减的. 我们知道, 若$ {f\left(t^{1/p}\right)}/{t} $关于$ t $是非增的且$ f(0)\geq0 $, 则$ t\mapsto f\left(t^{1/p}\right) $是凹的. 通过变量代换, 容易得到$ {f\left(t^{1/p}\right)}/{t} $关于$ t $是非增的当且仅当$ t\mapsto {f\left(t\right)}/{t^p} $是非增的. 故该引理得证.

注2.5  在引理2.4中, $ {f\left(t\right)}/{t^p} $是非增的条件反映了凸函数$ f $与$ t\mapsto t^p $之间的比较, 我们可以称该函数$ f $是$ p $一致光滑的. 如果假设函数$ f $是一阶或二阶可微的, 那么我们还有以下推论2.6和推论2.8.

推论2.6  设$ f:[0, \infty)\mapsto\mathbb{R} $是非负、非减的凸函数, 且$ t\mapsto {f^{\prime}(t)}/{t^{p-1}} $非增, 那$ t\mapsto f\left(t^{1/p}\right) $是非负、非减且凹的.

证  按照引理2.4的证明思路, 我们只需要证明$ t\mapsto\frac{d}{dt}f\left(t^{1/p}\right) $是非增的. 由于

$ \frac{d}{dt}f\biggl(t^{1/p}\biggr) =\frac{1}{p}f^{\prime}\biggl(t^{1/p}\biggr)t^{1/{p-1}}. $

再通过变量代换$ t=u^{p} $可得结论成立.

当函数$ f $二阶可微时, 以上结论可以在更强的条件下成立, 该条件联系于通常定义的Orlicz函数的上行指标. 在此, 我们给出Orlicz函数的相关定义.

定义2.7  若函数$ \Phi:[0, +\infty)\to[0, +\infty) $满足以下条件, 则称其为Orlicz函数,

● $ \Phi $是连续的、凸的且非减的函数, 且$ \Phi(0)=0 $；

● $ \lim\limits_{t\to 0^+}\frac{\Phi(t)}{t}=0 $, 且$ \lim\limits_{t\to +\infty}\frac{\Phi(t)}{t}= +\infty $.

通常对$ \Phi $函数, 令$ p_\Phi = \sup_{t>0}\frac{t\Phi'(t)}{\Phi(t)} $, 称$ p_\Phi $为$ \Phi $的上行指标. 利用上行指标概念, 我们有如下推论.

推论2.8  设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减且二阶可微的. 那么若$ p_{{f}^{'}}\leq p-1 $, 则$ t\mapsto f\left(t^{1/p}\right) $是非负、单调递增且凹的.

证  令$ \phi(t) = f{\left(t^{1/p}\right)} $. 我们有

$ \phi^\prime (t) = \frac{1}{p}f^{'} (t^{1/p}) t^{1/p - 1}. $

则

$ \begin{align*} \phi^{''}(t)& =\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p} f^{''} (t^{1/p}) t^{2/p - 2} +\left(\frac{1}{p}-1\right)f^{'} (t^{1/p}) t^{1/p - 2} \right) \\ & = \frac{t^{1/p - 2} }{p}\left(\frac{1}{p}f^{''} (t^{1/p}) t^{1/p} -\left(\frac{p - 1}{p} \right)f^{'} (t^{1/p}) \right)\\ & = \frac{t^{1/p - 2}(p - 1)}{p^2}\left(\frac{1}{(p - 1)} f^{''} (t^{1/p}) t^{1/p} - f^{'} (t^{1/p}) \right). \end{align*} $

由$ f^{\prime}(0)\geq0 $以及$ p_{f^{\prime}}\leq p-1 $, 则有

$ \frac{1}{p-1}f''\biggl(t^{1/p}\biggr)t^{1/p}\leq f'\biggl(t^{1/p}\biggr). $

至此, 证明完毕.

注2.9  满足以上条件的具体例子如$ t^\alpha, \left(1+x^\alpha\right)^{1/\alpha}-1 $ ($ \alpha\leq p $) 等. 引理2.4给出的凸函数条件是我们的主要定理1.2中凸函数满足的主要条件, 而推论2.6和2.8分别给出了在一阶可微和二阶可微情形更具体的条件.

我们的主要结果建立了Banach空间几何性质与凸泛函的四重不等式之间的联系. 在这一小节, 我们首先介绍一些与Banach空间几何性质相关的概念. 这些几何概念主要参考[24](也可参考Pisier专著[25]中的第10章). 然后, 给出我们的一些主要结果和证明.

设$ 1\leq p\leq2 $. 我们称一个Banach空间$ (X, \|\cdot\|) $是$ p $一致光滑的, 当且仅当存在$ A>0 $使得

$\begin{equation} \forall u, v\in X, \; \left\|u\right\|^{p}+A\left\|v\right\|^{p} \geq\frac{\left\|u+v\right\|^{p}+\left\|u-v\right\|^{p}}{2}\:. \end{equation}$

(3.1)

如果取$ A\geq1 $, 则容易看到当Banach空间$ X $具有圆度$ p $时, 那么$ X $是$ p $一致光滑的. Enflo给出了一个逆命题^[15] : 如果Banach空间$ X $是$ p $一致光滑的, 那么$ X $的圆度大于1.

设$ 2\leq q<+\infty $. 我们称Banach空间$ X $是$ q $一致凸的, 当且仅当存在$ A>0 $使得

$\begin{equation} \forall u, v\in X, \; \frac{\left\|u\right\|^{q}+\left\|v\right\|^{q}}{2} \geq\left\|\frac{u+v}{2}\right\|^{q} +A^{-1}\left\|\frac{u-v}{2}\right\|^{q}. \end{equation}$

(3.2)

众所周知, 一致光滑性与一致凸性是对偶的. 那么, 对于$ 1<p\leq2\leq q<+\infty, q={p}/{(p-1)} $, Banach空间$ X $是$ p $一致光滑的当且仅当它的对偶空间$ X^{*} $是$ q $一致凸的^[15].

为了阐明Banach空间的几何性质, 我们经常考察具体的例子$ X=L_{p}\left(\Omega, \sigma, \mu\right) $, 简记为$ L_{p} $, 其中$ \left(\Omega, \sigma, \mu\right) $是任意测度空间.

以下引理中给出的不等式反映了$ L_{p} $空间上一致光滑性和一致凸性的一些基本事实, 这些不等式通常被称为Clarkson不等式.

引理3.1^[26]  设$ 1<p\leq2\leq q<+\infty $, 则我们有

$\begin{equation} \forall u, v\in L_p, \; 2^{p-1}\left(\left\|u\right\|_p^p+\left\|v\right\|_p^p\right) \leq\left\|u+v\right\|_p^p+\left\|u-v\right\|_p^p; \end{equation}$

(3.3)

$\begin{equation} \forall u, v\in L_q, \; 2^{q-1}\left(\left\|u\right\|_q^q+\left\|v\right\|_q^q\right) \geq\left\|u+v\right\|_q^q+\left\|u-v\right\|_q^q. \end{equation} $

(3.4)

注3.2  当$ 1\leq p\leq2 $时, $ L_{p} $空间是一致光滑的; 当$ 2\leq q\leq+\infty $时, $ L_{p} $空间是一致凸的. 我们的第一个主要结果定理1.2是关于$ p $一致光滑Banach空间上的四重不等式(1.3).

与Clarkson不等式相关, 我们关于$ L_{p} $空间的主要结果如下.

定理3.3  设$ 1\leq p\leq2 $. 设$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减的凸函数, 且$ t\mapsto {f(t)}/{t^p} $是非增的. 那么对于任意四个点$ y, \; z, \; k, \; w\in L_{p} $, 有

$ f\left(\left\|y-k\right\|_p\right)+f\left(\left\|z-w\right\|_p\right) \leq f\left(\left\|y-w\right\|_p\right)+f\left(\left\|w-k\right\|_p\right) +f\left(\left\|z-k\right\|_p\right)+f\left(\left\|y-z\right\|_p\right).$

(3.5)

注3.4  不等式(3.5) 中对凸函数$ f $的设定对应于Schötz在[17]的主要定理中对函数$ f $设定的条件(Schötz证明了函数$ t\mapsto f\left(t^{1/2}\right) $是非负、非减且凹的), 由引理2.4, 我们可以得出函数$ t\mapsto f\left(t^{1/p}\right) $也是非负、非减且凹的. 最简单的例子是$ f(t)=t^{\alpha}, \; \alpha\leq p $. 如果我们进一步要求函数$ f $是一阶或二阶可微的, 那么我们可以给出$ f $满足的更具体的条件, 见推论2.6和推论2.8.

定理3.3的证明参考[17, Theorem 3] 的证明思路, 其证明思想来源于[3, Proposition 4.2].

定理3.3的证明  设$ u, v\in L_{p}\left(\Omega\right) $. 取

$ x_{1}=x_{2}=\left\|u+v \right\|_{p}^{p}, x_{3}=x_{4}=\left\|{(u-v)}/{2}\right\|_{p}^{p}, x_{5}=\left\|u\right\|_{p}^{p}, x_{6}=\left\|v\right\|_{p}^{p}. $

实际上, 以$ (0, {(u+v)}/{2}, u, {(u-v)}/{2}) $为顶点构成了一个平行四边形, 而对角线为$ u $和$ v $. 容易看到, 该平行四边形最大的边长一定小于最大的对角线长, 即得$ \max\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)\leq\max\left(x_{5}, x_{6}\right) $.

根据引理3.1, 即对任意$ u, v\in L_{_p}\left(\Omega\right), 1<p\leq2 $, 有

$ 2^{p-1}\left(\left\|u\right\|_p^p+\left\|v\right\|_p^p\right) \leq\left\|u+v \right\|_p^p+\left\| u - v \right\|_p^p, $

则得

$ \left\|u\right\|_p^p+\left\|v\right\|_p^p \leq2\left(\left\|\frac{u+v}{2}\right\|_p^p +\left\|\frac{u-v}{2}\right\|_p^p\right). $

这对应于$ x_{5}+x_{6}\leq x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} $. 至此, 我们给出了引理2.2的条件. 故根据引理2.2, 得

$\begin{equation} f\left(\left\|u\right\|_p\right)+f\left(\left\|v\right\|_p\right) \leq2\Bigg(f\Bigg(\left\|\frac{u+v}{2}\right\|_p\Bigg) +f\Bigg(\left\|\frac{u-v}{2}\right\|_p\Bigg)\Bigg). \end{equation}$

(3.6)

根据Minkowski不等式, 对于任意$ x\in X $, 有

$ \left\|{\frac{u+v}{2}}\right\|_p\leq{\frac{\left\|v+x\right\|_p +\left\|u-x\right\|_p}{2}}, \:{ \rm{有}}\; \left\|{\frac{u-v}{2}}\right\|_p \leq{\frac{\left\| x\right\|_p+\left\|u-v-x\right\|_p}{2}}\:. $

由于$ f $是非减且凸的, 则得到

$ \begin{equation} f\left(\left\|\frac{u+v}{2}\right\|_p\right) \leq f\left(\frac{\left\|v+x\right\|_p+\left\|u-x\right\|_p}{2}\right) \leq\frac{1}{2}\left(f\left(\left\|v+x\right\|_p\right) +f\left(\left\|u-x\right\|_p\right)\right), \end{equation}$

(3.7)

并且

$\begin{equation} f\left(\left\|\frac{u-v}{2}\right\|_p \right) \leq f\left(\frac{\left\|x\right\|_p +\left\|u-v-x\right\|_p}{2}\right) \leq\frac{1}{2}\Big(f\left(\left\|x\right\|_p\right) +f\left(\left\|u-v-x\right\|_p\right)\Big). \end{equation} $

(3.8)

综合以上不等式(3.9), (3.7)和(3.8), 得

$ \begin{equation*} f\left(\left\|u\right\|_p\right)+f\left(\left\|v\right\|_p\right) \leq f \left(\|v+x\|_p\right) + f\left(\|u-x\|_p\right) +f\left(\|x\|_p\right) + f\left(\|u-v-x\|_p\right). \end{equation*} $

最后, 我们再将上面的结果推广到任意四个点$ y, \; z, \; k, \; w\in L_p $, 通过在上述不等式中选取特定值$ u=k-y, \; v=z-w $以及$ x=k-z $, 得到如下结果

$ f\left(\left\|y-k\right\|_p\right)+f\left(\left\|z-w\right\|_p\right) \leq f\left(\left\|y-w\right\|_p\right)+f\left(\left\|w-k\right\|_p\right) +f\left(\left\|z-k\right\|_p\right)+f\left(\left\|y-z\right\|_p\right). $

定理3.3得证.

注3.5  除了经典的$ L_{p} $空间, 实际上还有其他一些重要的空间也具有Clarkson不等式的类似形式. 例如, 某些非交换$ L_{p}(M) $空间和也满足Clarkson不等式(参见Pisier和Xu的[27], 至少是Schatten $ p $- 类$ S_{p} $). 我们在这里再提及一个通过复插值方法得到的Banach空间. 设$ B $是Banach空间, $ H $等距同构于一个Hibert空间, $ \left(B, H\right)_{\theta} $ $ 0<\theta<1 $是由$ B $和$ H $经内插方法得到的Banach空间(参见Pisier [28]). 我们可以看到, 当$ {1}/{p}={\theta}/{1}+({1-\theta})/{2} $, 即$ q={2}/{\theta} $时, 这样的空间$ X $满足Clarkson不等式(3.3)和(3.4). 因此, 空间$ \left(B, H\right)_{\theta} $具有定理3.3中相同的结论.

接下来我们来证明本文的主要定理1.2.

定理1.2的证明  由于$ X $是$ p $一致光滑的, 则有不等式(3.1), 即存在常数$ A>0 $, 使得对任意$ u, v \in X $, 有

$ \left\|u\right\|^p+\left\|v\right\|^p \leq2\Bigg(\left\|\frac{u+v}{2}\right\|^p +A\Bigg\|\frac{u-v}{2}\Bigg\|^p\Bigg). $

设$ C=[A]+1 $, 并取

$ x_{1}=x_{2}=\left\|\frac{u+v}{2}\right\|^{p}, x_{3}=\cdots \cdots=x_{2C+2}=\left\|\frac{u-v}{2}\right\|^{p}, y_{1}=\left\|u\right\|^{p}, y_{2}=\left\|v\right\|^{p}. $

由于函数$ f $是非负、非减的凸函数, 且$ t\mapsto {f\left(t\right)}/{t^p} $是非增的, 由引理2.4得出$ t\mapsto f\left(t^{1/p}\right) $是非负、单调递增且凹的. 再根据引理2.3, 得

$\begin{equation} f\left(\left\|u\right\|\right)+f\left(\left\|v\right\|\right) \leq2 \Bigg(f\Bigg(\left\|\frac{u+v}{2}\right\|\Bigg) +C f\Bigg(\left\|\frac{u-v}{2}\right\|\Bigg)\Bigg). \end{equation} $

(3.9)

接下来类似于定理3.3的证明, 建立在$ f $是非减, 凸的且次可加的条件下, 由上式并对任意$ x\in X $, 我们有

$ f(\|u\|) + f(\|v\|) \leq f(\|v+x\|) + f(\|u-x\|)+Cf(\|x\|) + Cf(\|u-v-x\|). $

而对任意四个点$ y, \; z, \; k, \; w\in X $, 选取特定值$ u=k-y, \; v=z-w $以及$ x=k-z $, 由上式即得

$ f\left(\left\|y-k\right\|\right)+f\left(\left\|z-w\right\|\right) \leq f\left(\left\|y-w\right\|\right)+f\left(\left\|w-k\right\|\right) +Cf\left(\left\|z-k\right\|\right)+Cf\left(\left\|y-z\right\|\right). $

定理1.2证明完毕.

注3.6  定理1.2和定理3.3实际上都联系于Banach空间的$ p $一致光滑性条件, 此时$ 1\leq p\leq2 $. 而当$ 2\leq q<\infty $时, $ L_{q}(\Omega) $空间和非交换的$ L_{q}(M) $空间都是$ q $一致凸的. 并有如下估计(参见Pisier和Xu在专著[27]中的Theorem 5.3(ⅱ)). 也就是说, 建立在下面的一个重要引理的基础上, 可以证明$ q $一致凸的Banach空间$ L_{q}(M) $是$ 2 $一致光滑的.

引理3.7  设$ q\in\left[2, \infty\right) $, 存在常数$ C_{q} $, $ C_{q} $仅仅依赖于$ q $, 则

$ \left(\frac{\left\|x+y\right\|_q^2+\left\|x-y\right\|_q^2}{2}\right)^{\frac{1}{q}} \leq\left(\left\|x\right\|_q^2+C_q\left\|y\right\|_q^2\right)^{\frac{1}{2}}, \quad x, y\in L_q(M) $

由此我们可以得到以下不等式.

$ \frac{\left\|x+y\right\|_q^2+\left\|x-y\right\|_q^2}{2} \leq\left\|x\right\|_q^2+C_q\left\|y\right\|_q^2. $

建立在以上结论上, 类似于定理1.2和定理3.3的证明, 或直接建立在命题1.1 (参见[17]中Schötz的Theorem 3)的基础上, 可以得到如下的$ 2 $一致光滑性的结论.

推论3.8  设$ q\in\left[2, \infty\right) $且$ f:[0, \infty)\to\mathbb{R} $是非负、非减且凸的函数使得$ f(0)=0 $. 则存在常数$ C_q>0 $, 使得对任意$ y, z, k, w \in L_q(M) $, 有

$ f\left(\left\|y-k\right\|_q\right)+f\left(\left\|z-w\right\|_q\right) \leq f\left(\left\|y-w\right\|_q\right)+f\left(\left\|w-k\right\|_q\right) +C_qf\left(\left\|z-k\right\|_p\right)+C_qf\left(\left\|y-z\right\|_q\right). $

该文完成了在Banach空间上对四重不等式的证明, 它推广了Enflo的圆度不等式^{[2, 3]}及Schötz在Hilbert空间上的凸泛函四重不等式^[17]. 一方面, 我们明确了不等式的成立联系于Banach空间的几何性质, 特别地, 我们的主要结论紧密联系于Banach空间的$ p $一致光滑性. 另一方面, 我们凸泛函不等式的成立也密切联系于凸函数的一致光滑性, 我们借助函数及其导数满足的凸凹性, 推导出关键引理, 其在定理证明中发挥关键作用. 具体联系于交换和非交换的$ L_{p} $空间, 建立在Clarkson不等式上, 推导出更具体的结果, 非富了$ L_{p} $空间理论内涵. 研究成果在理论上有助于深化对Banach空间理解, 并为凸几何提供解决问题新支持.