在学术界, 最优再保险策略一直是一个热门课题. Borch^[1]从投保人的角度证明了停止损失再保险在一定条件下是最优的再保险策略. Kaluszka^[2]考虑了标准差原则和方差原则, 深化扩展了Borch的结论. Young^[3]根据王的保费原则最大化了保险公司财富的期望效用. 与此同时, 还有相当数量的论文讨论了停止损失再保险的性质, 从各个角度讨论了停止损失再保险的最优性(Kahn^[4], Vajda^[5], Olhin^[6], Lemaire^[7]).

Arrow^[8]证明了停止损失再保险对风险厌恶者的最优性. 然后Raviv^[9]研究帕累托最优合约并拓展了这个结果. Arrow通过最优控制理论和变分计算证明了Arrow定理. 而Zilcha、Chew^[10]以及Karni^[11]则使用随机占优来比较不同保险方案的优劣, 他们还证明了对于风险厌恶投资人而言, 期望效用最大化准则与二阶随机占优偏好准则是等价的. Gollier^[12]结合了Arrow^[13], Bühlmann和Jewell^[14], Blazenko^[15]等人在期望效用理论框架下研究的最优再保险策略, 将自己原有的结果^{[16, 17]}进行了增补修正. Gollier和Schlesinger^[18]同样从随机占优的角度给出了Arrow定理的另一个证明. Guerra et al.^[19]从投保人的角度, 在最大可能索赔原则下计算了被保险人的保费, 并说明了停止损失再保险可以最大化被保险人的预期效用和稳定性.

另外, 很多学者以平衡再保险公司与保险公司二者的共同利益为出发点, 讨论了此框架下的最优再保险策略. 刘红丽^[20]以保险人和被保险人风险支出VaR的凸组合作为目标函数, 研究了不同保费准则下的最优再保险策略；徐洋^[21]在其基础上, 将风险度量准则改为CTE, 然后研究了带上限的止损再保险与变换损失再保险. Cai et al.^[22]研究了保险人和被保险人的联合生存概率, 在一般保费原则下给出了存在最优再保险策略的充分条件. 还有很多学者站在保险人和被保险人的立场进行了最优再保险策略的研究, 如Cai et al.^[23], 黄娅等^[24], 孙星^[25], 王霞^[26].

本文在假定保险人与被保险人是风险厌恶的基础上, 从保险人的角度出发, 在期望效用理论的框架下研究了最优再保险策略. 基于保险人和被保险人利益相互冲突的事实, 本文以兼顾双方收益为目标来研究. 我们提出了两组充分条件, 可以分别使得停止损失再保险和超额损失再保险成为此时的最优再保险策略.

本文假设保险人的初始财富为$ w>0 $, 保费为$ p $, 设$ X $为概率空间$ (\Omega, \mathscr{F}, P) $中的非负连续型随机变量. 我们用$ X $代表保险人的损失并设其有本性上确界$ w $. 在本文中, 索赔函数用$ I(\cdot): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $表示, 且假设$ I(\cdot) $是几乎处处可导的, 则保险人终端财富$ Z $可表示为

本文站在风险厌恶投资人的立场寻找最优的索赔函数$ I(x) $的形式. 设个体的效用函数为$ u(\cdot): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, 鉴于风险厌恶投资人拥有凹的效用函数, 故我们假设$ u(\cdot) $二阶可导, 且为凹函数. 当$ X $为非负连续型随机变量时, 定义$ X $的期望效用如下

其中$ F_X(x)\triangleq P(X\leq x) $.

定义2.1  设有两个随机变量$ X, Y $, 称$ X $比$ Y $二阶随机占优(Second-order Stochastic dominance), 若

记为$ X \geq_{SSD} Y $. 易知, 若$ X \geq_{SSD} Y $, 则有$ U(X)\geq U(Y) $.

下面给出本文的一些基本假设. 对于风险头寸$ X $与索赔额$ I(X) $, 本文假设保费的数额非负且小于损失额：

以及随着$ x $的增长, $ I(x) $也增长, 但增长速度不会超过$ x $：

为了保证保险人的收益, 本文假设

$ E(I(X)) $为$ I(X) $的数学期望, $ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $为交易成本函数. 此时, 有如下性质：

定理3.1  在目标函数由(2.1)式表示时, $ I $的最优策略$ I^* $具有如下形式：

其中$ d\geq 0 $.

在定理3.1的证明之前, 本文先介绍两个引理.

引理1  假设保险人的终端财富$ Z $的数学期望是固定的, 则$ Z=w+p-I^*(X) $中的最优再保险策略$ I^*(x)=\text{min}(x, d) $, 其中$ d=w+p-\underline{z} $, $ \underline{z}\in[p, w+p) $且满足下式

这里, $ Y\triangleq w+p-X $, $ H_Y $是随机变量$ Y $的分布函数.

证明  先证明(3.1)式中$ \underline{z} $的存在性和唯一性. 定义函数$ g(x) $

我们希望证明$ g(x) $的零点存在且唯一. 因为$ X $是连续性随机变量, $ w, p $都是常数, 故$ Y=w+p-X $是连续性随机变量, 设其概率密度函数为$ h_Y(\cdot) $, 则

注意到$ P(p<Y<w+p)=1 $, 所以当$ x>p $时, $ g^{'}(x)=H_Y(x)>0 $. 另一方面, 我们有

于是$ g(x)=0 $在$ [p, w+p) $上有解且唯一.

现在来验证(3.1)式的合理性. 因为$ Y=w+p-X, \underline{z}=w+p-d $, 由全期望公式, 有

于是引理1得证.

引理2  $ G^* $是$ Z^*\triangleq w+p-I^*(X) $的分布函数, 其中

$ \underline{z} $即为引理中定义的$ \underline{z} $.

证明  由$ I^*(x)=\text{min}(x, d) \leq d $, 有$ w+p-I^* \geq w+p-d $, 即$ Z^* \geq \underline{z} $. 所以$ \forall z<\underline{z}, G^*(z)=P(Z^*\leq z)=0 $.

当$ z>\underline{z} $时, $ G^*(z)=G^*(\underline{z})+P(\underline{z}<Z^*\leq z) $, 又因为有:

所以在随机变量$ Z^* $取值大于$ \underline{z} $时, $ Z^* $与$ Y $具有相同的分布, 于是$ P(\underline{z}<Z^*\leq z)=P(\underline{z}<Y\leq z). $

于是有当$ z>\underline{z} $时, $ G^*(z)=G^*(\underline{z})+P(\underline{z}<Y\leq z)=H_Y(\underline{z})+P(\underline{z}<Y\leq z)=H_Y(z). $

综上所述, 命题得证. 下面, 我们证明定理3.1.

证明  我们用$ G $表示$ Z $的分布函数, 用$ G^* $表示$ Z^*=w+p-I^*(X) $的分布函数. 定义集合$ Q=\left\{G|0\leq I(x) \leq x, 0\leq I^{'}(x) \leq 1 \right \} $, 表示所有满足要求的$ Z $的分布函数.

$ \forall G \in Q $, 当$ Z^* \geq \underline{z} $时, 有$ I^*(X)=X, I(X)\leq X=I^*(X), Z\geq Z^*. $

所以在$ \underline{z} $的右侧, $ Z $比$ Z^* $一阶随机占优, 即$ G^*(z)\geq G(z), \forall z>\underline{z} $. 在维持$ EZ $不变的情况下, $ \exists z<\underline{z} $, $ s.t.G^*(z)\leq G(z) $. 这样$ Z $成为了$ Z^* $的均值保留展式(mean-preserving spread), 即$ Z^* $比$ Z $二阶随机占优(详见Rothschild et al^[27]). 于是拥有更大的期望效用.

Arrow定理从投保人的角度下(此时财富可表示为$ w-p-X+I(X) $)证明了最优的再保险策略是$ I(x)=\text{max}(x-d, 0) $; 在定理3.1中我们从保险人的角度下(此时财富可表示为$ w+p-I(X) $)证明了最优的再保险策略是$ I(x)=\text{min}(x, d) $. 在本节中, 我们同时考虑投保人和保险人的利益, 以双方的效用凸组合函数为最优目标函数, 研究最优再保险策略问题.

假设被保险人终端财富为$ Z_1 $, 保险人的终端财富为$ Z_2 $, $ U $为(2.2)式定义的期望效用函数. 本节我们探讨如下模型的最优再保险策略.

在介绍本节具体内容前, 先介绍一些符号. 我们分别用$ w_1, w_2 $表示投保人和保险人的初始财富, 用$ Z_1 $和$ Z_2 $表示投保人和保险人的终端财富. $ I^* $为最优再保险策略, $ Z^*_1, Z^*_2 $为投保人和保险人在最优再保险策略$ I^* $时的终端财富, 即$ Z_1, Z_2, Z^*_1, Z^*_2, I, I^* $具有如下关系：

定理4.1  针对(4.1)式, 存在$ d $, 使得$ I^*(x)=\text{max}(x-d, 0) $是模型(4.1)的最优再保险策略, 在如下条件下：

证明  定义如下函数

从而有

定义函数$ q(x)\triangleq u^{-1}[\lambda u(z_1(x))+(1-\lambda)u(z_2(x))] $, 其中$ u^{-1} $为$ u $的反函数, 以及定义$ Q\triangleq q(X) $. 对应地, 同样定义$ q^*(x)\triangleq u^{-1}[\lambda u(z^*_1(x))+(1-\lambda)u(z^*_2(x))] $, $ Q^*\triangleq q^*(X) $. 容易验证$ U(Q)=\lambda U(Z_1)+(1-\lambda)U(Z_2). $

现在我们给出$ d $的存在性, 假设$ Q $的期望是固定的, 则$ I^*(x)=\text{max}(x-d, 0) $中的$ d $是方程$ h_1(x)=0 $的解, 函数$ h_1(x) $定义如下：

容易验证$ h_1(x)=0 $的解是存在的.

计算$ u(q(x)) $对$ x $的偏导数:

最后一步是由于$ u $为凹函数, 所以有$ u^{'}>0 $; 又因为$ 0 \leq I^{'}(x) \leq 1 $, 所以\: $ (-1+I^{'}(x))\leq 0, (-I^{'}(x)) \leq 0 $. 所以偏导数非正.

另一方面, $ \forall x<d $, $ I^*(x)=0 $, 此时我们有

又由于$ w_1<w_2, p<<w_1 $, 所以有$ z^*_1(x)\leq z^*_2(x)-I(x) $, 又因为$ u $是凹函数, 以及$ \lambda\geq \frac{1}{2} $, 我们有$ u(z^*_1(x)+I(x))-u(z^*_1(x))\geq u(z^*_2(x))-u(z^*_2(x)-I(x))\geq 0, \quad \lambda \geq (1-\lambda) >0. $所以$ \lambda(u(z^*_1(x)+I(x))-u(z^*_1(x)))-(1-\lambda)(u(z^*_2(x))-u(z^*_2(x)-I(x)))\geq 0. $

于是$ \forall x<d, u(q(x))\geq u(q^*(x)) $, 因为$ u $是单调递增的, 所以$ q(x) \geq q^*(x) $. 又因为$ q(x) $ \: 关于$ x $单调不增, 所以$ x<d $即$ q(x)>q(d) $. 于是$ \forall X<d $, $ Q $比$ Q^* $一阶随机占优, 即$ \forall q\geq q(d), F_{Q^*}(q)\geq F_Q(q) $, 这里$ F_{Q^*}, F_Q $代表$ Q^*, Q $的分布函数. 为保证$ EQ $不变, $ \exists q\leq Q(d), F_{Q^*}(q)< F_Q(q) $. 使得\: $ Q $成为$ Q^* $的均值保留展式, 于是$ Q^* $比$ Q $二阶随机占优, 所以有更大的期望效用.

定理4.2  针对(4.1)式, 存在$ d $, 使得$ I^*(x)=\text{min}(x, d) $是模型(4.1)的最优再保险策略, 在如下条件下：

证明  如同定理4.1中证明过程一样定义$ z_1, z_2, z^*_1, z^*_2, q, Q, q^*, Q^* $, 则$ Q(x) $同样关于$ x $单调不增. 此时$ d $是方程$ h_2(x)=0 $的解, 函数$ h_2(x) $定义如下：

容易验证$ h_2(x)=0 $的解是存在的. $ \forall x<d $, $ I^*(x)=x $, 此时：

另一方面, 因为$ w_1>w_2, p<<w_2 $, 所以$ z^*_2(x)\leq z^*_1(x)-(x-I(x)) $, 又因为$ u $是凹函数, 且$ x-I(x)\geq 0 $, $ \lambda \leq \frac{1}{2} $, 所以$ u(z^*_2(x)+(x-I(x)))-u(z^*_2(x))\geq u(z^*_1(x))-u(z^*_1(x)-(x-I(x))), (1-\lambda) \geq \lambda >0. $因此$ (1-\lambda)[u(z^*_2(x)+(x-I(x)))-u(z^*_2(x))]-\lambda[u(z^*_1(x))-u(z^*_1(x)-(x-I(x)))]\geq 0. $

于是$ \forall x<d, u(q(x))\geq u(q^*(x)) $, 仿照定理4.1的证明过程即知结论成立.

Arrow定理证明, 在被保险人角度下的最优再保险策略是停止损失再保险$ I(x)=\text{max}(0, x-d) $, 而本文证明了, 在保险人角度下的最优再保险策略为超额损失再保险$ I(x)=\text{min}(x, d) $. 这里我们给出一个简单的展示(图 1), 从图中可以明显感受到被保险人和保险人利益的冲突性, 这两种再保险策略是关于一条直线对称的.

在考虑保险人与被保险人的效用凸组合的情况下, 我们找出了两组充分条件分别使得两种再保险策略成为最优. 从具体条件可以看出, 我们的结果是符合直观感受的：同样在保费远小于双方初始财富的情况下(即保费$ p $对财富$ w $的变化影响很小), 当保险人的财富小于被保险人, 且保险人的效用凸组合中所占权重更大时, 最优的再保险策略与只考虑保险人效用(即$ \lambda=0 $)的情况下相同；而当保险人的财富远大于被保险人, 且被保险人的效用在凸组合中权重更大时, 最优的再保险策略与只考虑被保险人效用(即$ \lambda=1 $)的情况下相同. 这是因为在风险厌恶假设下, 效用函数是凹函数, 而凹函数的边际效益是递减的. 若同时财富少的一方在组合效用中所占的比例更大的话, 结果就与$ \lambda $为极端值的情形相同了.