光滑映射的奇点理论主要内容是研究在各种等价关系下的映射芽。决定性问题是光滑映射的奇点理论中的基本论题.

在文献[5] 中, Mather从微分拓扑观点出发给出了光滑映射芽$ f:(\mathbf{R}^n, , 0)\rightarrow \mathbf{R}^p $在群$ \mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{A}, \mathcal{K} $作用下的等价关系。考虑了一个基本问题：什么条件下一个光滑映射芽等价到它自身的泰勒多项式？这就是的有限决定性问题。而无限决定性概念是有限决定性的延伸, 无限决定性涉及光滑映射芽在平坦扰动下的稳定性问题. 在文献[1–2]中，Wilson刻划了光滑映射芽在群$ \mathcal{J}=\mathcal{L}, \mathcal{R}, \mathcal{C}, \mathcal{K} $作用下的无限决定性问题及$ \mathcal{K} $有限决定映射芽关于群$ \mathcal{A} $作用下的无限决定性问题. Brodersen在文献[6]中证明了当映射芽不满足$ \mathcal{K} $有限决定性条件时，^[2]中结论仍成立. 文献[7] 研究了带参数的函数芽的无限决定性问题. 对于非孤立奇点的情况, Sun和Wilson在文[8]中研究了带有线孤立奇点的光滑函数芽的无限相对决定性。随后这项工作在文[9–10] 中被推广到其非孤立奇点集包含有更一般子集的光滑函数芽的情形。

新近Donghe Pei在文[3] 中讨论了两种新等价关系下的光滑函数芽的无限相对决定性.此外, 文献[11–12] 研究了关于作用群$ \mathcal{R} $的一些子群$ \mathcal{R}_N $和$ \mathcal{R}_I $的光滑映射芽的有限性问题.

受上述文献的启发, 在本文中, 当$ G $是一线性Lie群时, 我们利用$ G $定义了光滑映射芽中$ \mathcal{R}_{G}- $等价关系, 考虑了光滑映射芽在群$ \mathcal{R}_G $作用下的轨道切空间, 而轨道切空间是轨道的无穷小逼近，然后利用乘积积分理论（^[13]）研究光滑映射芽关于$ \mathcal{R}_{G}- $等价关系下的无限决定性问题, 给出了映射芽的无限决定的充要条件.

记$ \varepsilon_n $为所有光滑函数芽$ f:(\mathbf{R}^n, 0)\rightarrow \mathbf{R} $构成的环, $ m_n $为所有光滑函数芽$ f:(\mathbf{R}^n, 0)\rightarrow (\mathbf{R}, 0) $构成的理想, 它是$ \varepsilon_n $的极大理想. 如果将$ \varepsilon_n $中的所有平坦函数芽构成的理想记为$ m_n^\infty $, 那么$ m_n^\infty=\bigcap\limits_{k=1}^\infty {m_n^k} $. 对于芽$ f $, 记$ {j^k}f(x) $为芽$ f $在$ x $处的$ k $阶Taylor多项式. 特别地, 当$ k=\infty $时, 将$ {j^\infty}f(x) $看作芽$ f $在$ x $处的Taylor级数.

文献[5] 中, Mather定义了右等价群$ \mathcal{R}=\{h:(\mathbf{R}^n, 0)\rightarrow (\mathbf{R}^n, 0) $是微分同胚芽$ \} $, 两个映射芽$ f, g\in\varepsilon_n $是$ \mathcal{R} $ - 等价的当且仅当存在一个微分同胚芽$ h\in\mathcal{R} $, 使得$ f\circ h=g $, 其中$ h=(h_1, h_2, \cdots, h_n)^T $. 因为$ h(0)=0 $, 所以$ h_i(0)=0, \ i=1, 2, \cdots, n $. 从而$ h_i(x)={\sum\limits_{j=1}^n}a_{ij}(x)x_j $, 其中$ x=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T\in\mathbf{R}^n $, 且$ a_{ij}(x)\in\varepsilon_n $. 因此$ h(x)=A[x]\cdot x $, 其中$ A(x)=(a_{ij}(x))_{n\times n} $. 因为$ h $在$ x=0 $处的Jacobian矩阵为$ J(h)|_{x=0}=A[0] $, 并且$ h $是可逆的, 所以$ A[0] $是非奇异的. 由此, 函数芽$ f, g\in\varepsilon_n $是$ \mathcal{R} $ - 等价的当且仅当存在一个矩阵芽$ A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n} $, 其中$ A[0] $非奇异, 使得$ f(A[x]\cdot x)=g(x) $.

设$ R =\{A\ | \ A:(\mathbf{R}^n, 0) \rightarrow GL(\mathbf{R}, n) $是光滑映射芽$ \} $, 及$ \mathcal{R}=\{A[x]\cdot x | A \in R\} $.

定义2.1  设$ G\subset\mathrm{GL}(n, \mathbf{R}^n) $是一线性Lie群.

$ R_G=\{A\in R \ | \ A[x]\in G, x\in(\mathbf{R}^n, 0)\}, $

以及$ \mathcal{R} $的子群

$ \mathcal{R}_G=\{A[x]\cdot x \ | \ A\in R_G, \}. $

这里$ R_G $是$ R $的子群同时$ \mathcal{R}_G $是微分同胚芽构成的$ \mathcal{R} $的子群.

例  对于给定矩阵$ N\in\mathbf{R}^{n\times n} $,

$ G=\{X \in GL(\mathbf{R}, n)\ | \ X \cdot N\cdot X^T=N, x\in(\mathbf{R}^n, 0)\}, $

是$ GL(\mathbf{R}, n) $是一线性Lie群(参见文[11–12])

如果$ N=I_n, \left(\begin{array}{cc} {I_r} & 0 \\ 0 & {-I_r} \end{array}\right) $和$ \left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) $, 那么$ G $分别为实正交群, Lorentz群和$ R $自身. 特别地, 当$ n=2m $且$ N= \left(\begin{array}{cc} 0 & {I_m}\\ {-I_m} & 0 \end{array}\right) $时, $ G=Sp(2m, \mathbf{R}) $为实辛群. 相应的$ R_G $和$ \mathcal{R}_G $分别记为相应的$ R_N $和$ \mathcal{R}_N $

$ G=SO(n)\subset GL(n, \mathbf{R}), \; G=SL(n, \mathbf{R})\subset GL(n, \mathbf{R}) $是一线性Lie群. 由主对角线上元素为1的上三角矩阵构成的线性Lie群G. 可得相应的$ R_G $和$ \mathcal{R}_G $.

又若记$ \varepsilon_n^p $为所有光滑映射芽$ f:(\mathbf{R}^n, 0)\rightarrow \mathbf{R}^p $构成的环, $ m_n\varepsilon_n^p $为所有光滑映射芽$ f:( \mathbf{R}^n, 0)\rightarrow (\mathbf{R}^p, 0) $构成的理想. 对于$ f\in m_n \varepsilon_n^p $, 用$ V(f) $表示所有沿$ f $的光滑向量场组成的$ \varepsilon_n $模. 这个模通过它的自由基$ {\frac{\partial}{\partial y_1}\circ f, \cdots, \frac{\partial}{\partial y_p}\circ f} $可以等同于$ \varepsilon_n^p $. 特别地, 如果$ f $分别是$ (\mathbf{R}^n, 0) $, $ (\mathbf{R}^p, 0) $到自身的恒同映射芽, 此时的$ V(f) $分别就是秩为$ n $的自由$ \varepsilon_n $模$ V(\mathbf{R}^n) $, 秩为$ p $的自由$ \varepsilon_p $模$ V(\mathbf{R}^p) $. 定义$ tf:V(\mathbf{R}^n)\rightarrow V(f) $为$ tf(X)(x)={\rm D}f(x)(X(x)), \ X\in V(\mathbf{R}^n), \ x\in(\mathbf{R}^n, 0) $, 它是两个自由$ \varepsilon_n $模之间的线性映射, 其中$ {\rm D}f $是$ f $的Jacobian矩阵(参见文[14]).

定义2.2   $ f $与$ g $是$ \mathcal{R}_G $ - 等价的意指存在$ A[x]\cdot x\in\mathcal{R}_G $使得$ f(A[x]\cdot x)=g(x) $ $ ( $记为$ f\circ A=g) $.

注1  若记$ \mathcal{R}_G\cdot f $表示芽$ f $在群$ \mathcal{R}_G $作用下的轨道, 则芽$ f $与$ g $是$ \mathcal{R}_G $ - 等价的当且仅当$ f $与$ g $是属于同一个$ \mathcal{R}_G $ - 轨道.

定义2.3  设$ f\in m_n\varepsilon_n^p $, $ f $是无限$ \mathcal{R}_G $ - 决定的, 意指对任意的芽$ g\in m_n \varepsilon_n^p $满足$ j^\infty f(0)=j^\infty g(0) $, 都有$ f $与$ g $是$ \mathcal{R}_G $ - 等价的. 即对于$ f\in\varepsilon_n $, $ f $是$ \mathcal{R}_G $ - 无限决定的意指对于任意的$ u\in m^{\infty} $, 存在原点处的一个光滑微分同胚芽$ \phi $使得$ f+u=f\circ \phi $, 简记为

$ f+m^{\infty}\subset f\circ\mathcal{R}_{G}. $

定义2.4   $ V_{G}(\mathbf{R}^{n})=\{A \ | \ A: (\mathbf{R}^n, 0) \rightarrow \mathbf{L}G\} $, 其中$ \mathbf{L}G $是$ G $的切空间. $ \mathcal{V}_{G}(\mathbf{R}^{n})=\{A[x]\cdot x \ | A[x]\in \mathbf{L}G, x \in (\mathbf{R}^n, 0)\} $

例   (参见文[15])$ G=\{X \in GL(\mathbf{R}, n)\ | \ X \cdot N\cdot X^T=N \}, $的切空间$ \mathbf{L}G=\{A \ | A\in M_{n}(\mathbf{R}), A\cdot N+N\cdot A^T=0\}, $ $ V_{G}(\mathbf{R}^{n})=\{A[x]\cdot x \ | \ A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n}, A[x]\cdot N+N\cdot (A[x])^T=0\} $. $ SO(n)\subset GL(n, \mathbf{R}) $的切空间为$ \mathcal{SO}(n)=\{X\in M_{n}(\mathbf{R})| X^{t}=-X\}, \; \; $ $ V_{SO(n)}(\mathbf{R}^{n})=\{A \ | \ A[x]\in \mathcal{SO}(n), x\in(\mathbf{R}^n, 0) \} $ $ \; SL(n, \mathbf{R})\subset GL(n, \mathbf{R}) $的切空间为$ \mathcal{SL}(n, \mathbf{R})=\{X\in M_{n}(\mathbf{R})| \; trace X=0\}, $ $ V_{SL(n, \mathbf{R})}(\mathbf R^n)=\{A\ | \ A[x]\in \mathcal{SL}(n, \mathbf{R}), x\in(\mathbf{R}^n, 0) \} $由主对角线上元素为1的上三角矩阵构成的线性Lie群G, 它的切空间为严格上三角矩阵构成Lie代数$ \mathbf{L}G, $也有相应$ V_{G}(\mathbf{R}^{n}) $.

注2  对线性Lie群$ G $, $ \mathcal{V}_{G}(\mathbf{R}^n) $不一定是$ \mathcal{E}_{n}- $模.

引理2.1   (Nakayama引理)(参见文[14]) 设$ A $是一个具有单位元(记为1) 的交换环, $ I $为$ A $中的理想且具有下列性质: 对每一$ \alpha\in I, \ 1+\alpha $是$ A $中的可逆元, 假设$ M $是有限生成的$ A $ - 模, $ N $为$ M $的$ A $ - 子模. 若$ N+I\cdot M=M $, 则$ N=M $.

现考虑轨道$ {\mathcal{R}_G}\cdot f $的切空间.

设$ f\in m_n \varepsilon_n^p $, 记$ {\mathcal {R}_G}\cdot f:=\{\phi\cdot f \ | \ {\mbox{对任意的}}\phi\in\mathcal {R}_G\} $为$ f $在$ \mathcal {R}_G $作用下的轨道.

若现取$ \varepsilon_{n+1}^p $中的光滑映射芽$ \gamma $, 设$ \gamma_t(x)=\gamma(x, t) $, 当$ t $足够小时, $ \gamma_t\in\varepsilon_n^p $. 假设$ \gamma_0=f $和$ \gamma_t\in\mathcal {R}_G\cdot f $, 则对每个$ t $, 存在$ \psi_t\in\mathcal {R}_G $使得$ \gamma_t=\psi_t\circ f $, 但这不能确保我们所选取的$ \psi_t $使得$ \psi:(x, t)\rightarrow \psi(x, t)=\psi_t(x) $是$ (\mathbf{R}^{n+1}, 0)\rightarrow (\mathbf{R}^n, 0) $的一个光滑映射芽.

因此, 为了研究轨道$ {\mathcal{R}_G}\cdot f $的切空间, 应先考虑导网空间中的轨道$ {\mathcal{R}^k_G}\cdot j^kf $的切空间.

引理2.2  记$ R_G^k=\{j^k\phi \ | \ \phi\in R_G\} $, \ $ V_G^k(\mathbf{R}^n)=\{j^k\varphi \ | \ \varphi\in V_G(\mathbf{R}^n)\} \ (k\geq1) $, $ T_eR_G^k $表示单位元$ e $处的切空间, 则有

$ T_eR_G^k=V_G^k(\mathbf{R}^n)={V_G(\mathbf{R}^n)}/{m_{n}^{k+1}}. $

证  因为$ R^k $是Lie群, $ R_G^k $是$ R^k $的闭子群, 所以由Lie群的闭普通子群必是Lie子群得, $ R_G^k $是Lie子群. 因此$ R_G^k $的李代数为$ R_G^k $在单位元$ e $处的切空间$ T_eR_G^k $, 且可证明

$ T_e{R_G^k}=V_G^k(\mathbf{R}^n)={V_G(\mathbf{R}^n)}/{m_n^{k+1}}. $

事实上, 取一可微曲线$ \alpha :(-\varepsilon, \varepsilon)\rightarrow R_G^k $, 满足$ \alpha(0)=I_n $, 则$ \alpha(t)=A(t) $, 并且$ \frac{{\rm d}{\alpha(t)}}{{\rm d}t}|_{t=0}\in T_eR_G^k $, 其中$ A(t)\in R_G^k $, 即存在$ \breve{A}(t)\in R_G $满足: 当$ x\in(\mathbf{R}^n, 0) $时, $ \breve{A}(t)[x]\in G, j^{k}\breve{A}(t)[x]=A(t)[x] $

对$ \breve{A}(t) $关于$ t $求导, 且由$ {\frac{{\rm d}{\breve{A}(t)}}{{\rm d}t}|}_{t=0}[x]\in \mathbf{L}G $, 且

$ j^{k}({\frac{{\rm d}{\breve{A}(t)[x]}}{{\rm d}t}|}_{t=0})={\frac{{\rm d}{(j^{k}\breve{A}(t)[x]})}{{\rm d}t}|}_{t=0}=\frac{{\rm d}{\alpha(t)}[x]}{{\rm d}t}|_{t=0}, $

故$ T_e{R_N^k}\subset {V_N^k(\mathbf{R}^n)} $.

另一方面, 若$ A\in V_G^k(\mathbf{R}^n) $, 则存在$ \check{A}\in V_G(\mathbf{R}^n) $使得$ \check{A}[x]\in \mathbf{L}G $和$ j^{k}\check{A}=A $. 对任意$ \varepsilon >0 $, 我们考虑曲线$ \alpha:(-\varepsilon, \varepsilon)\rightarrow R_{G}, \ \alpha(t)=\exp(t\check{A}) $和$ \exp(t\check{A})[x]=\exp(t\check{A}[x]) $, 由Lie群与其切空间构成的Lie代数之间的指数映射保证了Lie群G的Lie代数$ \mathbf{L}G $内一定存在一个包含0的开凸集W, 使得exp是W到G内开核U上的一个微分同胚.(参见文献[16]第三章定理5) 以致$ e^{t\check{A}[x]}\in G $

从$ j^{k}\alpha(t)\in R_G^k $, 且$ \frac{d(j^{k}\alpha(t))}{dt}=j^{k}(\frac{d(\alpha(t))}{dt}) $. 故$ T_e{R_G^k}\supset V_G^k(\mathbf{R}^n) $. 由此$ T_e{R_G^k}=V_G^k(\mathbf{R}^n) $.

注3  进一步类似上面可证明$ T_e{\mathcal{R}_G^k}={\mathcal{V}_G^k(\mathbf{R}^n)} $.

引理2.3   (参见文[17]) 设$ G $是代数作用在一个光滑代数簇$ M $上的代数群, 则对应的轨道是$ M $中的光滑拟代数子集.

命题2.1  设$ f\in m_n \varepsilon_n^p $, 对任意的整数$ k\; (k\geq 1) $, 若记$ \mathcal{R}_G^k:=\{j^k\phi \ | \ \phi\in\mathcal{R}_G \}, \ J^k(n, p):=\{j^k f \ | \ f\in\varepsilon_n^p\} $, 则轨道$ \mathcal{R}_G^k\cdot {j^k{f}} $在$ j^k{f} $处的切空间满足

$ T_{j^k{f}}{\mathcal{R}_G^k\cdot {j^k{f}}}={tf(\mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n))}/{m_n^{k+1}}. $

证  因为$ \mathcal{R}_G^k $是Lie群, 所以$ \mathcal{R}_G^k $在$ J^k(n, p) $上的作用是代数作用. 当$ j^k f\in J^k(n, p) $时, 若$ \mathcal{R}_G^k\cdot {j^k f} $表示$ j^k f $在$ \mathcal{R}_G^k $作用下的轨道, 则由引理2.3知$ \mathcal{R}_G^k\cdot {j^k f} $是$ J^k(n, p) $中的光滑子流形. 因此轨道$ \mathcal{R}_G^k\cdot {j^kf} $在$ j^kf $处有切空间.

已知$ \mathcal{R}_G^k $的李代数$ T_e{\mathcal{R}_G^k}={\mathcal{V}_G^k(\mathbf{R}^n)}=\{j^k(A[x])\cdot x \ | \ A[x]\in\mathbf{L}G, x\in(\mathbf{R}^n, 0)\} $. 现设$ \exp: T_e{\mathcal{R}_G^k}\rightarrow \mathcal{R}_G^k $表示指数映射, 则

$ \begin{eqnarray*} T_{j^k{f}}{\mathcal{R}_G^k\cdot {j^k{f}}}&=&\{{{\frac {\rm d}{{\rm d}t}}j^k(f(\exp(tj^k(A[x]\cdot x))))|}_{t=0} \ | \ A\in T_e{R_G}=V_G(\mathbf{R}^n)\}, \\&=&j^k({\frac {\rm d}{{\rm d}t}(f(\exp (t(A[x]\cdot x))))|}_{t=0}). \end{eqnarray*} $

其中$ A[x]\cdot x\in \mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n) $, 由注2及指数映射的性质, 有$ \exp(t(A[x]\cdot x))=g_t\in\mathcal{R}_G $, 从而

$ \begin{eqnarray*} j^k({\frac {\rm d}{{\rm d}t}(f(\exp (t(A[x]\cdot x))))|}_{t=0}) & = & j^k({\frac {\rm d}{{\rm d}t}(f\circ g_t)(x)|}_{t=0})\\ & = & j^k({\rm D}f (x)(A[x]\cdot x))\in {tf(\mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n))}/{m_n^{k+1}}. \end{eqnarray*} $

定义2.5  设$ f\in m_n\varepsilon_n^p $, 轨道$ \mathcal{R}_G\cdot f $在$ f $处的切空间$ T{\mathcal{R}_Gf} $定义如下:

$ T{\mathcal{R}_Gf}=tf(\mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n)). $

由命题2.1知, 这个定义是合理的.

此部分将给出光滑映射芽的$ \mathcal{R}_G $ - 无限决定的充要条件.

定义3.1  设$ f\in m_n\varepsilon_n^p $, $ f $是无限$ \mathcal{R}_G $ - 决定的, 意指对任意的芽$ g\in m_n \varepsilon_n^p $满足$ j^\infty f(0)=j^\infty g(0) $, 都有$ f $与$ g $是$ \mathcal{R}_G $-等价的.

定理3.1  设$ f\in m_n \varepsilon_n^p $及$ tf\mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n) $是$ \mathcal{\varepsilon}_{n}- $有限生成的, 则$ f $是无限$ \mathcal{R}_G $ - 决定的当且仅当

$ \begin{align} m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T{\mathcal{R}_Gf}. \end{align} $

(*)

证  假设$ f $是无限$ \mathcal{R}_G $ - 决定的. 任取$ u\in m_n^\infty\varepsilon_n^p $. 定义

$ F(t, x)=f(x)+tu(x), \ \ \ \ \ t\in \mathbf{R} $

且$ F_t(x):=F(t, x) $. 由假设条件, $ F_t(x)\in \mathcal{R}_G\cdot f $. 又$ F_0(x)=f(x) $, 因此$ {\frac{{\rm d}F}{{\rm d}t}|}_{t=0}=u(x)\in T\mathcal{R}_Gf $. 所以

$ m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T\mathcal{R}_Gf. $

反之, 对任意给定$ t_0\in [0, 1] $, 设$ g\in m_n \varepsilon_n^p $满足$ j^{\infty}f(0)=j^{\infty}g(0) $, 定义

$ F:(\mathbf{R}\times {\mathbf{R}^n}, t_0\times0)\rightarrow \mathbf{R}^p $

为$ F(t, x)=f(x)+t(g(x)-f(x)), \ \ F_t(x):=F(t, x) $.

欲证$ g $是$ \mathcal{R}_G $ - 等价于$ f $的. 只需证明对于充分接近$ t_0 $的$ t, \ F_t(x) $是$ \mathcal{R}_G $-等价于$ F_{t_0}(x). $

因为$ F_{t_0}(x)-f(x)=t_0(g(x)-f(x)) $且$ g-f\in m_n^\infty\varepsilon_{n+1}^p $, 得

$ T\mathcal{R}_GF_{t_0}\subset T\mathcal{R}_Gf, $

再利用$ (*) $, 得

$ T\mathcal{R}_Gf\subset T\mathcal{R}_GF_{t_0}+m_n(T\mathcal{R}_Gf), $

根据Nakayama引理, 对于任意的$ t_0 $, 都有

$ T\mathcal{R}_GF_{t_0}=T\mathcal{R}_Gf. $

又$ \frac{\partial F_t}{\partial t}=g(x)-f(x)\in m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T\mathcal{R}_Gf=T\mathcal{R}_GF_t=tF_t(\mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n)) $, 由此可知, 存在$ \xi\in \mathcal{V}_G(\mathbf{R}^n) $使得

$ \begin{align} \frac{\partial F_t}{\partial t}=tF_t(\xi), \Rightarrow \frac{\partial{F_t(x)}}{\partial t}-{\rm D}F_t(x)(\xi(x))=0, \end{align} $

(**)

其中$ \xi=\sum\limits_{i=1}^n\xi_i\frac{\partial}{\partial x_i}=(\xi_1, \cdots, \xi_n)=A[x]\cdot x, A[x]\in \mathbf{L}G, x\in (\mathbf{R}^n, 0). $

记$ \widetilde A $是$ -\xi $的具有初始条件$ \widetilde A_{t_0}(x)=x $的积分, 那么由流的性质有$ \frac{\partial\widetilde A_t}{\partial t}\circ \widetilde A_t^{-1}(x)=A[x]\cdot x $. 从而有$ \frac{\partial\widetilde A_t(x)}{\partial t}=A[\widetilde A_t(x)]\cdot \widetilde A_t(x) $.

由于$ A[x]\in \varepsilon_{n}^{n\times n} $, 所以该微分方程存在唯一解$ h_t(x) $. 因此$ \frac{\partial\widetilde A_t(x)}{\partial t}=A[h_t(x)]\cdot \widetilde A_t(x). $利用乘积积分的知识(参见文[1]定理2.1), 得到$ h_t(x) $的另一表达形式

$ \widetilde A_t(x)=\prod\limits_{t_0}^t {e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}\cdot \widetilde A_{t_0}(x)}=\prod\limits_{t_0}^t {e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}\cdot x}=\lim\limits_{\mu\rightarrow 0}\prod\limits_{k=1}^n{ e^{A[h_{t_k}(x)]{\Delta t_k}}\cdot x}, $

这里$ \mu $是区间$ [t_0, t] $划分$ t_0\leq t_1\leq \cdots\leq t_n $中子区间长度的最大值, $ \Delta t_k=t_k-t_{k-1} $. 因此$ \widetilde A_t $可以用矩阵形式表示为$ \widetilde A_t(x)=\widetilde A_t[x]\cdot x, \widetilde A_t[x]=\prod\limits_{t_0}^t {e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}} $. 因为

$ A[h_s(x)]\in\mathbf{L}G, $

由Lie群与其切空间构成的Lie代数之间的指数映射保证了Lie群G的Lie代数$ \mathbf{L}(G) $内一定存在一个包含0的开凸集W, 使得exp是W到G内开核U上的一个微分同胚.(参见文[15]第三章定理5) 以致$ e^{A[h_{t_k}(x)]{\Delta t_k}}\in G $，再由Lie群定义与性质知

$ \lim\limits_{\mu\rightarrow 0}\prod\limits_{k=1}^n{ e^{A[h_{t_k}(x)]{\Delta t_k}}}=\prod\limits_{t_0}^t e^{A[h_s(x)]{\rm d}s}\in G, $

即$ \widetilde A_t[x]\in G. $且$ (\widetilde A_t[x])^{-1}\in G. $故$ \widetilde A_t\in \mathcal{R}_{G}. $

又由

$ \frac{\partial{F_t\circ {\widetilde{A}_t}}}{\partial t}={\frac{\partial{F_t}}{\partial t}}\circ {\widetilde{A}_t}+t{F_t}\circ {\frac{\partial{\widetilde{A}_t}}{\partial t}}=(\frac{\partial{F_t}}{\partial t}+t{F_t}\circ {\frac{\partial{\widetilde{A}_t}}{\partial t}}\circ {\widetilde{A}_t^{-1}})\circ {\widetilde{A}_t}=(\frac{\partial{F_t}}{\partial t}-t{F_t}(\xi))\circ{\widetilde{A}_t}=0, $

则这蕴含$ \frac{{\rm d}(F_t\circ \widetilde A_t)}{\partial t}=0. $从而当$ t $充分接近$ t_0 $时, 有$ F_t\circ \widetilde A_t=F_{t_0} $.

因为$ [0, 1] $是紧集, 所以$ [0, 1] $的任意开覆盖必有有限子覆盖. 而对于有限子覆盖的每一个开集来说, 均有$ F_t\circ \widetilde A_t=F_{t_0} $. 因此该等式可由充分小的$ t_0 $邻域延拓到$ [0, 1] $区间, 从而有$ F_1\circ \widetilde A_1=F_0 $, 即$ g\circ \widetilde A_1=f $, 这就证明了$ g $是$ \mathcal{R}_G $-等价于$ f $的.

推论3.1  当取$ G=SO(n), G=SL(n, \mathbf{R}) $和$ G=\{X \in M_{n}(\mathbf{R})| X\cdot N\cdot X^{T}=N\}, $其中$ N $是一给定矩阵时, 则$ f $是无限$ \mathcal{R}_G $ - 决定的当且仅当

$ \begin{align} m_n^\infty\varepsilon_n^p\subset T{\mathcal{R}_Gf}. \end{align} $

证  当取$ G=SO(n) $时, $ G=SO(n) $的切空间为$ \mathcal{SO}(n)=\{X\in M_{n}(\mathbf{R})| X^{T}=-X\}, \; \; $因为$ V_{SO(n)}(\mathbf{R}^{n})=\{A \ | \ A[x]\in \mathcal{SO}(n) \} $, 故$ tf(\mathcal{V}_{SO(n)}(\mathbf{R}^{n}))=\{Df\cdot A[x]\cdot x| A[x]^{T}=- A[x], x\in (\mathbf{R}^{n}, 0)\} $设

$ A[x] = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 &a_{12}(x) &a_{13}(x) &\cdots & a_{1n}(x) \\ - a_{12}(x) & 0 & a_{23}(x)\; & \cdots & a_{2n}(x)\; \\ \vdots & \vdots & \vdots\; & \vdots\; & \vdots\; \\ \vdots & \vdots & \vdots\; & \vdots\; & \vdots\; \\ -a_{1n}(x)& -a_{2n}(x) & -a_{23}(x) & \cdots & 0 .\\ \end{array} \right], $

则

$ \begin{gathered} D f \cdot A[x] \cdot x=\left[\begin{array}{cccc} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{array}\right] \bullet \\ {\left[\begin{array}{c} a_{12}(x) x_2+a_{13}(x) x_3+\cdots+a_{1 n}(x) x_n \\ -a_{12}(x) x_1+a_{23}(x) x_3+\cdots+a_{2 n}(x) x_n \\ \vdots \\ -a_{1 n}(x) x_1-a_{2 n}(x) x_2-\cdots-a_{n-1 n}(x) x_{n-1} \end{array}\right]} \\ =a_{12}(x)\left(x_2 \frac{\partial f}{\partial x_1}-x_1 \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+a_{13}(x)\left(x_3 \frac{\partial f}{\partial x_1}-x_1 \frac{\partial f}{\partial x_3}\right)+\cdots+a_{n-1 n}(x)\left(x_n \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}-x_{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) . \end{gathered} $

所以$ tf(\mathcal{V}_{SO(n)}(\mathbf{R}^{n})) $是由$ \{(x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{j}}- x_{j}\frac{\partial f}{\partial x_{i}})\}_{1\leq i<j\leq n} $生成的有限生成的$ \mathcal{E}_{n}- $模.满足定理4.1条件.

而对于$ G=SL(n, \mathbf{R})\subset GL(n, \mathbf{R}), SL(n, \mathbf{R}) $的切空间为

$ \mathcal{SL}(n, \mathbf{R})=\{X\in M_{n}(\mathbf{R})| \; trace X=0\}, , V_{SL(n, \mathbf{R})}(\mathbf R^n)=\{A\ | \ A[x]\in \mathcal{SL}(n, \mathbf{R}) \}. $

故$ tf(\mathcal{SL}(n, \mathbf{R}))=\{Df\cdot A[x]\cdot x|\; trace A[x]=0, x\in (\mathbf{R}^{n}, 0)\} $设

$ A[x] =(a_{ij}(x) $且$ a_{nn}(x)=\sum_{i=1}^{n-1}a_{ii}(x), $则

$ \begin{gathered} D f \cdot A[x] \cdot x=\left[\begin{array}{llll} \frac{\partial f}{\partial x_1} & \frac{\partial f}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{array}\right] . \\ {\left[\begin{array}{c} a_{11}(x) x_1+a_{12}(x) x_2+a_{13}(x) x_3+\cdots+a_{1 n}(x) x_n \\ a_{21}(x) x_1+a_{22}(x) x_2+a_{23}(x) x_3+\cdots+a_{2 n}(x) x_n \\ \vdots \\ -a_{n 1}(x) x_1+a_{n 2}(x) x_2+\cdots+a_{n n}(x) x_n \end{array}\right]} \\ =a_{11}\left((x)_1 \frac{\partial f}{\partial x_1}-x_n \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)+a_{n-1 n-1}\left((x)_{n-1} \frac{\partial f}{\partial x_{n-1}}-x_n \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)+ \\ +\cdots+\sum\limits_{i=2^n} a_{1 i}(x)_i \frac{\partial f}{\partial x_1}+\cdots+\sum\limits_{i=2^n} a_{n i}(x) x_i \frac{\partial f}{\partial x_n} . \end{gathered} $

所以$ tf(\mathcal{V}_{SL(n)}(\mathbf{R}^{n})) $是由$ \{(x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{j}}\}_{2\leq i\leq n; 1\leq j\leq n} $和$ ((x)_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}- x_{n}\frac{\partial f}{\partial x_{n}})_{1\leq i\leq n-1} $生成的有限生成的$ \mathcal{E}_{n}- $模.满足定理4.1条件.

如果又取$ G=\{X \in M_{n}(\mathbf{R})| X\cdot N\cdot X^{T}=N\} $时，其切空间为$ \mathbf{L}G=\{X \in M_{n}(\mathbf{R})| X\cdot N+\cdot X^{T}=O\}, $同时$ V_{G}(\mathbf{R}^{n}))=\{A\ | \ A[x]\in\mathcal{G} $及$ tf(\mathcal{G})=\{Df\cdot A[x]\cdot x|\; A[x]\cdot N+\cdot A[x]^{T}=O, x\in (\mathbf{R}^{n}, 0)\}. $使用上面类似方法可证$ tf(\mathcal{V}_{G}(\mathbf{R}^{n})) $是有限生成的$ \mathcal{E}_{n}- $模, 满足定理4.1条件.则有文[4]的定理4.1.