几何流在过去几十年的时间里, 受到了广泛的关注, 其中最著名的工作是佩雷尔曼利用几何流证明庞加莱猜想. 其中曲线流是特殊的一种几何流, 因此曲线演化问题在过去几十年里也受到了广泛的关注. 其中, 最著名的就是Gage^[1], Gage-Hamilton^[2]和Grayson^[3]等人研究的平面曲线收缩流, 这个流有趣且重要, 因为它在流体力学、图像处理等方面有着诸多应用. 之后也有人研究保面积流^{[4, 5]}和保长度流^{[6, 7]}. 在文献[8] 中, Gao-Wang研究了一种新型曲线流

$ \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial X}{\partial t} \left(u, t \right)=\left(P-\frac{\int_{0}^{L}k^2ds}{\int_{0}^{L}k^3ds}\right)N \left(u, t\right) \\ X\left(u, 0\right)=X_0 \left(u\right) \end{cases} \end{align} $

(1.1)

其中, $ k $是曲线的相对曲率, $ P=-<X, N> $是支撑函数, $ X(u, t):S^1 \times [0, \infty)\rightarrow R^2 $是一族平面光滑闭凸曲线, $ N $是单位内法向量.

本文将研究一种新的非局部曲线流，设$ X\left(u, t\right):S^1\times\left[0, T\right)\to R^2 $是平面上一族光滑闭凸曲线, $ X\left(u, 0\right)=X_0 \left(u\right) $是一条简单闭曲线满足演化方程

$ \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial X}{\partial t} \left(u, t \right)=\left(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1\right)N \left(u, t\right) \\ X\left(u, 0\right)=X_0 \left(u\right) \end{cases} \end{align} $

(1.2)

本文的主要定理如下.

定理1：若闭凸曲线按照$ (1.2) $式演化, 则在演化过程中, 它始终会保持凸性, 且曲线的长度和面积单调递减, 最终随着时间趋于无穷, 演化曲线光滑的收敛到半径为$ \frac{2\pi}{E_2(0)} $的圆.

本文的结构如下, 在第二节我们将证明曲线的最终状态, 第三节将证明曲线的$ C^{\infty} $收敛性, 第四节将利用曲线流的性质证明几何不等式.

令$ g(u, t)=|X_u|=(x_u^2+y_u^2)^{\frac{1}{2}} $是曲线的度量，则根据弧长的定义可得：$ ds=g(u, t)du $. 此外, 曲线的切向量T、法向量N、方向角$ \theta $、曲率k、周长L和面积A的定义分别如下

$ \begin{equation*} T=\frac{\partial X}{\partial s}=\frac{1}{g} \frac{\partial X}{\partial u} , \; \; N=\frac{1}{k} \frac{\partial T}{\partial s}=\frac{1}{kg} \frac{\partial T}{\partial u}, \; \; \theta=\angle(T, x), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} k=\frac{\partial \theta}{\partial s}=\frac{1}{g} \frac{\partial \theta}{\partial u}, \; \; L(t)=\displaystyle\oint ds , \; \; A(t)=-\frac{1}{2}\displaystyle\oint <X, N>ds. \end{equation*} $

在文献[9, 10]中，证明了加上切向分量并不会对曲线的演化行为产生影响. 因此为了简便计算, 我们考虑与(1.2)式等价的演化方程

$ \begin{align} \begin{cases} \frac{\partial X}{\partial t} \left(u, t \right)=\alpha T+\left(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1\right)N \left(u, t\right) \\ X\left(u, 0\right)=X_0 \left(u\right) \end{cases} \end{align} $

(2.1)

其中$ T $是单位切向量, 加上切向量仅仅影响参数表示, 但不影响最终的形状. 同文献[11]中的计算方法一样, 可以得到下面的演化公式

$ \begin{equation*} \frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial \alpha}{\partial u}-kg(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1), \; \; \frac{\partial T}{\partial t}=(\frac{\partial }{\partial s}(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1)+\alpha k)N \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \frac{\partial T}{\partial t}=-[\frac{\partial }{\partial s}(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1)+\alpha k]T, \; \; \frac{\partial \theta}{\partial t}=\alpha k +\frac{\partial }{\partial s}(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1) \end{equation*} $

在方程(2.1)下, 选取$ \alpha=-\frac{1}{k} \frac{\partial }{\partial s}\left(P\frac{\int_{0}^{L}k^3ds}{\int_{0}^{L}k^2ds}-1\right) $为切向分量. 此时方向角$ \theta $、T、N与时间$ t $无关. 为方便起见, 记$ E_n=\int_{0}^{L}k^n ds. $

引理 2.1  设曲线$ X_0 $是一条光滑闭凸曲线, 在流(2.1)下, 曲率的演化方程为

$ \begin{equation*} \frac{\partial k}{\partial t}=k^2\left(\frac{1}{k}\frac{E_3}{E_2}-1\right), k(\theta, 0)=k_0 (\theta) \end{equation*} $

证   直接计算可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} \frac{\partial k}{\partial t}=k^2\left(\frac{\partial^{2}P}{\partial \theta^2}\frac{E_3}{E_2}+p\frac{E_3}{E_2} -1\right) =k^2\left(\frac{1}{k}\frac{E_3}{E_2}-1\right). \end{aligned} \end{equation} $

(2.2)

下面讨论方程(2.2)的存在性, 因为方程(2.2)是一个积分-微分系统, 所以利用压缩映像原理可得引理2.2.

引理 2.2   柯西方程(2.2)整个时间区间$ \left[0, \omega \right) $上有唯一正解, 其中$ \omega $表示流在整个演化过程中存在的最大时间.

证   首先设$ m=\text{min}\left\{k_0\left(\theta \right)| \theta \in S^1\right\}, \; \; M=\text{max}\left\{k_0\left(\theta \right)|\theta \in S^1\right\} $并记$ \tilde{m}=\frac{1}{\lambda}m, \; \; \tilde{M}=\lambda M, \; \; Q_\omega =S^1 \times \left[0, \omega\right), $其中$ \lambda $是大于1的常数. 考虑满足初始条件$ u\left(\theta, 0\right)=k_0\left(\theta\right) $的方程

$ \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t}\left(\theta , t\right)=V\left(\theta , t\right)\frac{\int_{0}^{2 \pi}V^2\left(\theta , t\right)d\theta}{\int_{0}^{2 \pi}V\left(\theta , t\right)d\theta}-V^2 \left(\theta, t\right), \end{equation} $

(2.3)

其中$ \tilde{m} \leq V \leq \tilde{M}, \; \; V\in C\left(\bar{Q}_\omega\right) $. 选取时间$ \omega=\text{min}\left\{\frac{\left(1-\frac{1}{\lambda}\right)m}{\lambda^2 M^2}, \frac{m\left(\lambda -1\right)}{\lambda^4 M^3}, \frac{m}{4\lambda M \left(4\pi \lambda^3+m\right)}\right\}. $

由方程(2.3)可知

$\begin{gathered} u(\lambda, t) \leq k_0(\lambda)+\tilde{M} \frac{\tilde{M}^2}{\tilde{m}} t \leq M+\frac{\lambda^4 M^4}{m} t \leq \tilde{M} \\ u(\theta, t) \geq k_0(\theta)+\left(\tilde{m} \frac{\tilde{m}^2}{\tilde{M}}-\tilde{M}^2\right) t \geq m+\left(\frac{m^3}{\lambda^4 M}-\lambda^2 M^2\right) t \geq m-\lambda^2 M^2 t \geq \frac{m}{\lambda}=\tilde{m}. \end{gathered} $

因此有$ \tilde{m}\leq u \leq \tilde{M} $.$ u\in C\left(\bar{Q}_\omega\right) $现在引入如下集合

$ \begin{equation*} V=\{f\in C(\bar{Q}_\omega)| \tilde{m}\leq f(\theta, t)\leq \bar{M} \} \end{equation*} $

以及定义$ f $的范数为

$ \begin{equation*} \parallel f\parallel_{C(\bar{Q}_\omega)}=\text{max}\{|f(\theta, t)||(\theta, t)\in\bar{Q_\omega}\}. \end{equation*} $

因此方程(2.3)的解构成了自身到自身的算子$ \tau $. 接下来证明算子$ \tau $是压缩映射. 令$ v_1, v_2\in v $. 并且定义$ \tau u_i= v_i, i=1, 2. $由(2.3)可得

$ u=\displaystyle\int_{0}^{t}vdt \frac{\int_o^{2\pi} v^2(\theta, t)d\theta}{\int_o^{2\pi} v(\theta, t)d\theta}-\displaystyle\int_0^{2\pi}v^2(\theta, t)dt+k_0(\theta), $

则有

$ u_1-u_2=\displaystyle\int_0^t(v_2^2-v_1^2)dt+\frac{\int_0^t v_1dt \int_0^{2\pi}v_1^2d\theta \int_0^{2\pi} v_2 d\theta-\int_0^t v_2dt \int_0^{2\pi}v_2^2d\theta \int_0^{2\pi} v_1 d\theta}{\int_0^{2\pi} v_1d\theta \int_0^{2\pi}v_2d\theta}, $

其中

$ \begin{align*} &|\displaystyle\int_0^t v_1dt \displaystyle\int_0^{2\pi}v_1^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_2 d\theta-\displaystyle\int_0^t v_2dt \displaystyle\int_0^{2\pi}v_2^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_1 d\theta| \\ &=\displaystyle\int_0^t (v_1-v_2)dt \displaystyle\int_0^{2\pi}v_1^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_2d\theta+(\displaystyle\int_0^{2\pi}v_1^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_2d\theta-\displaystyle\int_0^{2\pi}v_2^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_1 d\theta)\displaystyle\int_0^t v_1dt \\ &\leq 4\pi^2\tilde{M}^3\displaystyle\int_0^t |v_1-v_2|dt+(\displaystyle\int_0^{2\pi}v_1^2d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} (v_2-v_1)d\theta-\displaystyle\int_0^{2\pi}(v_1^2-v_2^2)d\theta \displaystyle\int_0^{2\pi} v_1 d\theta)\displaystyle\int_0^t v_1dt \\ &\leq 4\pi^2\tilde{M}^3 \parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}+[4\pi^2\tilde{M}^2\parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}+8\pi^2\tilde{M}\parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}]\tilde{M}t \\&= 16\pi^2\tilde{M}^3\parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}t, \end{align*} $

则可得

$ \begin{equation*} \parallel u_1-u_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)} \leq (\frac{8\pi\tilde{M}^3}{\tilde{m}}+2\tilde{M})\parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}t \leq\frac{1}{2}\parallel v_1-v_2 \parallel _{C(\bar{Q}_\omega)}. \end{equation*} $

因此, $ \tau $是自身到自身的压缩算子, 由Banach压缩映射原理可知, $ \tau $存在唯一一个不动点. 于是有$ k\in C(\bar{Q}_\omega) $使得$ \tilde{m} \leq k \leq \tilde{M} $且$ \tau(k)=k $成立, 从而说明了流在整个时间区间$ [0, \omega) $上有唯一正解.

推论 2.3   在流(2.1)下, 在整个时间区间[0, $ \omega $)有唯一正解.

引理 2.4   (保闭性) 如果$ k_0(\theta)=k(\theta, 0)>0 $满足$ \int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k_0 (\theta)}d\theta=0 $, 则对任意的$ t>0 $, $ (2.2) $式的解$ k(\theta, t) $都满足$ \displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k (\theta, t)} d\theta=0 $.

证   由(2.2)式我们可知

$ \begin{equation*} \frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k (\theta, t)}d\theta =-\frac{E_3}{E_2}\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k (\theta, t)}d\theta \end{equation*} $

积分可得

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k (\theta, t)} d\theta =\displaystyle\int_0^{2\pi} \frac{e^{i \theta}}{k (\theta, 0)} d\theta \cdot e^{-\frac{E_3}{E_2}}=0, \end{equation*} $

即曲线在演化过程中始终保持闭. 证毕.

引理 2.5   在流(2.1)下, 演化曲线的长度$ L(t) $和围成面积$ A(t) $是单调递减的. 并且$ E_2 (t)= \displaystyle\int_0^{2\pi} k(\theta, t)d\theta $是不变的.

证  

$ \begin{align*} \frac{dL}{dt}=-\displaystyle\oint k \left(P\frac{E_3}{E_2}-1\right) ds \leq2\pi-\frac{E_3}{E_2}L \leq2\pi-\frac{L^2}{2A} \leq 0, \end{align*} $

故演化曲线的长度随时间递减.

$ \begin{align*} \frac{dA}{dt}=-\displaystyle\oint (\frac{E_3}{E_2}P-1)ds =L-\frac{E_3}{E_2}\displaystyle\oint Pds =L-2A\frac{E_3}{E_2} \leq0, \end{align*} $

故演化曲线所围成的面积随时间递减.

$ \begin{align*} \frac{dE_2}{dt}=\displaystyle\int_0^{2\pi} k_td\theta =\displaystyle\int_0^{2\pi} (k\frac{E_3}{E_2}-k^2)d\theta =0, \end{align*} $

即$ E_2(t)=E_2(0). $结合Gage不等式可知$ E_2(0)= \displaystyle\int_0^{2\pi}k d\theta\geq \frac{4\pi^2}{L(t)} $, 因此可得周长和面积的一致上下界

$ \begin{equation*} \frac{4\pi^2}{E_2 (0)}\leq L(t)\leq L(0), \; \; \; \; \frac{4\pi^3}{E_2^2 (0)}\leq A(t)\leq A(0). \end{equation*} $

由曲率的演化方程(2.2)式可得$ \frac{\partial k}{\partial t}=k^2\left(\frac{1}{k}\frac{E_3}{E_2}-1\right)\geq -k^2 $, 积分可得$ k(\theta, t)\geq \frac{1}{\frac{1}{k(\theta, 0)}+t}>0 $. 显然演化曲线一直保持凸性.

引理 2.6   (曲率一致有界性) 流(2.1)下的曲率$ k(\theta, t) $对于任意的$ (\theta, t)\in S^1\times [0, \omega) $上, 都有$ k_{\text{min}}(0)<k(\theta, t)<\frac{E_2(0)}{2\pi}e^c $.

证   考虑函数$ \log(k_{\text{min}}) $的单调性. 结合Lin-Tsai不等式可得

$ \begin{equation*} \frac{\partial \log k}{\partial t}=\frac{k_t}{k} =\frac{E_3}{E_2}-k \geq \frac{L}{2A}-k. \end{equation*} $

又因为$ k_{\text{min}}\leq \frac{2\pi}{L}, $所以$ \frac{\partial \log(k_{\text{min}})}{\partial t}\geq \frac{L}{2A}-\frac{2\pi}{L}\geq 0 $故$ k_{\text{min}} (t)\geq k_{\text{min}} (0)> 0 . $从而可说明曲率$ k $有一致下界. 再考虑$ k $有一致的正上界. 在某个区间上有$ (\frac{\partial k}{\partial \theta})^2 \geq 0 $成立. 则

$ \begin{equation*} \frac{\partial \log(\frac{\partial k}{\partial \theta})^2}{\partial t} =2\frac{E_3}{E_2}-4k. \end{equation*} $

那么有

$ \begin{equation*} \frac{\partial (\log(\frac{\partial k}{\partial \theta})^2-\log k^2)}{\partial t} =2\frac{E_3}{E_2}-4k-2\frac{E_3}{E_2} +2k=-2k\leq 0. \end{equation*} $

则可得

$ \begin{equation*} (\frac{\partial k}{\partial \theta})^2\leq (\frac{\partial k_0}{\partial \theta})^2\frac{k^2}{k_0^2}. \end{equation*} $

于是有Harnack型估计

$ \begin{align*} \log k_{\text{max}} (t)- \log k_{\text{min}}(t) &=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{1}{k(\theta, t)}\frac{\partial k}{\partial \theta}(\theta, t)d\theta \leq \displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{1}{k(\theta, t)}\frac{\partial k}{\partial \theta}(\theta, t)d\theta \\& \leq \sqrt{2\pi}\sqrt{\frac{1}{k^2(\theta, t)}|\frac{\partial k}{\partial \theta}|^2 (\theta, t)d\theta} \leq \sqrt{2\pi}\sqrt{\frac{1}{k^2(\theta, 0)}|\frac{\partial k}{\partial \theta}|^2 (\theta, 0)d\theta} \\& =c. \end{align*} $

其中$ c $为常数, 从而可得曲率的一致上界

$ \begin{equation*} k_{\text{max}}(t)\leq k_{\text{min}}(t)e^c\leq \frac{2\pi}{L(t)}e^c\leq \frac{E_2(0)}{2\pi}e^c. \end{equation*} $

因此对任意的$ (\theta, t)\in S^1\times[0, \omega) $, 曲率$ k(\theta, t) $有一致上下界.

定理 2.7   在流(2.1)下，演化曲线的等周差随着时间趋于无穷会收敛到零, 即曲线最终会收敛到一个圆.

证   直接计算可得

$ \begin{align*} \frac{d(L^2-4\pi A)}{dt} =2L(2\pi-\frac{E_3}{E_2}L) -4\pi(L-2A\frac{E_3}{E_2}) = -2\frac{E_3}{E_2}(L^2-4\pi A) \leq 0. \end{align*} $

积分可得

$ \begin{equation*} L^2-4\pi A=(L_0^2-4\pi A_0)e^{-2\frac{E_3}{E_2}t}. \end{equation*} $

当$ t\rightarrow \infty $时, $ L^2-4\pi A $收敛到零, 即演化曲线收敛为圆.

定理 2.8   在演化过程中, 若曲线不发生奇点, 则在Hausdorff度量下, 当时间趋于无穷时曲线收敛为一个有限圆.

证   由Gage不等式可知$ E_2(0)= \displaystyle\int_0^{2\pi}k d\theta\geq \frac{4\pi^2}{L(t)} $. 结合引理2.7可得极限圆的半径为$ \frac{2\pi}{E_2(0)}. $

第二节证明了曲线流的全局存在性. 在本节, 将给出演化曲线曲率的$ C^{\infty} $收敛性.

定理3.1   在流(2.1)下, 演化曲线的曲率半径收敛到常数$ \frac{L_{\infty}}{2\pi} $, 曲率半径$ \rho (\theta, t) $关于$ \theta $的任意阶导数$ \frac{\partial^i \rho}{\partial \theta^i} $收敛到0，其中$ i $的取值为所有正整数.

证   直接计算可得$ \frac{\partial \rho}{\partial t}(\theta, t)=1-\rho\frac{E_3}{E_2}. $所以

$ \begin{equation*} \frac{d}{dt}(\rho(\theta, t) -\frac{L(t)}{2\pi})=-\frac{E_3}{E_2}(\rho (\theta, t) -\frac{L(t)}{2\pi}). \end{equation*} $

积分可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} (\rho(\theta, t) -\frac{L(t)}{2\pi})=(\rho(\theta, 0) -\frac{L(0)}{2\pi})e^{-\frac{E_3}{E_2}t}. \end{aligned} \end{equation} $

(3.1)

所以当$ t\rightarrow \infty $时, $ \lim_{t\rightarrow \infty} \rho(\theta, t)=\frac{L_{\infty}}{2\pi}. $对(3.1)求导可得

$ \begin{equation*} \frac{\partial^i \rho}{\partial \theta^i}(\theta, t)=\frac{\partial^i \rho}{\partial \theta^i}(\theta, 0)e^{-\frac{E_3}{E_2}t}. \end{equation*} $

则当$ t\rightarrow \infty $时, $ \frac{\partial^i \rho}{\partial \theta^i}(\theta, t) $收敛到0.

本节将利用流(2.1)的性质, 给出以下几何不等式的证明.

定理 4.1   令$ X_0\left(\theta\right) $是平面上光滑且严格凸曲线, 令$ \theta $是曲线的切向角, 记$ P_0\left(\theta\right)=-<X_0\left(\theta\right), N\left(\theta\right)> $为曲线$ X_0 $的支撑函数, 对于曲线$ X_0 $有下面不等式成立

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_{0}^{2\pi}P_0^2 \geq \frac{8\pi^3}{E_2^2}+\frac{1}{2\pi}\left(L_0^2-4\pi A_0\right), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} L^2-4\pi A \leq \frac{8\pi^3}{E_2^2}\left(L_0-\frac{4\pi^2}{E_2}\right), \end{equation*} $

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi}\log (k\sqrt{\frac{A(t)}{\pi}})d\theta \geq 0, \end{equation*} $

其中$ L(t), A(t) $分别是曲线X(t)的长度和所围区域的面积, $ L_0, A_0 $分别是曲线$ X_0 $的长度和所围区域的面积. 等号成立时当且仅当演化曲线为圆.

证   支撑函数的演化方程为$ \frac{\partial P}{\partial t}(\theta, t)=1-P \frac{E_3}{E_2}. $则

$ \begin{align*} \frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^{2\pi} P^2d\theta \leq-\frac{2\pi}{A_0 E_2}(L^2-4\pi A) \leq \frac{2\pi}{E_2L}\frac{d}{dt}(L^2-4\pi A) \leq \frac{1}{2\pi}\frac{d}{dt}(L^2-4\pi A). \end{align*} $

积分可得

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} P^2d\theta-\displaystyle\int_0^{2\pi} P_0^2d\theta \leq \frac{1}{2\pi}[(L^2-4\pi A)-(L_0^2-4\pi A_0)]. \end{equation*} $

又因为$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}P(\theta, t)=\frac{L_{\infty}}{2\pi}=\frac{2\pi}{E_2}, $所以

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} P_0^2d\theta \geq \frac{8\pi^3}{E_2^2}+\frac{1}{2\pi}(L_0^2-4\pi A). \end{equation*} $

当$ X_0 $为圆时, 等式显然成立; 由柯西施瓦兹不等式和Gage不等式可知

$ \begin{equation*} \frac{L_0^2}{2\pi}\leq \displaystyle\int_0^{2\pi} P_0^2 d\theta \leq \frac{8\pi A_0^2}{L_0^2}+\frac{1}{2\pi}(L_0^2-4\pi A_0). \end{equation*} $

由此可得

$ \begin{equation*} \frac{4\pi A_0}{L_0^2}-1\geq 0, \end{equation*} $

结合经典的等周不等式有

$ \begin{equation*} L_0^2-4\pi A_0=0. \end{equation*} $

所以有

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi}P_0^2d\theta=\frac{8\pi^3}{E_2^2}. \end{equation*} $

又因为$ \frac{L_0^2}{2\pi}\leq \displaystyle\int_0^{2\pi} P_0^2 d\theta , \frac{L_0^2}{2\pi}\geq \frac{8\pi^3}{E_2^2} $由柯西施瓦兹不等式可知P是常数, 即曲线是圆. 得证第一个不等式

$ \begin{align*} \frac{d}{dt}\displaystyle\int_0^{2\pi}Pd\theta \leq 2\pi -\frac{L^2}{2A} \leq \frac{1}{2L} \frac{d}{dt}(L^2-4\pi A) \leq \frac{E_2}{8\pi^3}\frac{d}{dt}(L^2-4\pi A). \end{align*} $

由此可得

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} P d\theta -\displaystyle\int_0^{2\pi} P_0 d\theta\leq \frac{E_2}{8\pi^3}[(L^2-4\pi A)-(L_0^2-4\pi A_0)]. \end{equation*} $

又因为

$ \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow \infty} P=\frac{L_{\infty}}{2\pi}=\frac{2\pi}{E_2}. \end{equation*} $

因此可得

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} P_0 d\theta\geq \frac{4\pi^2}{E_2}+\frac{E_2}{8\pi^3}(L_0^2-4\pi A_0). \end{equation*} $

于是

$ \begin{equation*} L_0^2-4\pi A_0\leq\frac{8\pi^3}{E_2}(L_0-\frac{4\pi^2}{E_2}). \end{equation*} $

当曲线为圆时, 等式自然成立; 与等一个不等式证明类似, 可得

$ \begin{equation*} \displaystyle\int_0^{2\pi} P_0d\theta=\frac{4\pi^2}{E_2}, \quad E_2=\frac{4\pi^2}{L_0}\geq \frac{\pi L_0}{A_0}. \end{equation*} $

因此曲线是圆. 得证第二个不等式. 设$ \psi(t)= \displaystyle\oint k\log (k\sqrt{\frac{A(t)}{\pi}}ds)= \displaystyle\int_0^{2\pi}\log (k\sqrt{\frac{A(t)}{\pi}})d\theta $.

$ \begin{equation*} \frac{\partial }{\partial t}(\displaystyle\int_0^{2\pi}\log (k\sqrt{\frac{A(t)}{\pi}}d\theta) =\displaystyle\int_0^{2\pi}(\frac{k_t}{k}+\frac{A_t}{2A})d\theta \leq 0. \end{equation*} $

又因为$ \psi(0)\geq 0 $. 结合上述不等式可知$ \forall t\in[0, \omega) $, 都有$ \psi(t)\geq0 $. 下面说明等号成立. 充分性显然成立, 下证必要性. 当$ \psi(t)=0 $时, $ \frac{d}{dt}(\psi(t))=0 $, 此时有$ \displaystyle\oint k^2ds=\frac{\pi L}{A} $, 结合Gage不等式取等条件可知此时X为圆. 得证.