本文研究如下四阶伪抛物型方程的初边值问题

$\begin{cases}u_t+\Delta^2 u+\alpha \Delta u-\omega \Delta u_t=|u|^{p-1} u, & (x, t) \in \Omega \times(0, T], \\ u=\Delta u=0, & (x, t) \in \partial \Omega \times(0, T], \\ u(x, 0)=u_0(x), & x \in \Omega,\end{cases}$

(1.1)

其中$ \Omega $是$ \mathbb{R}^n(n>2) $上具有光滑边界$ \partial \Omega $的有界区域, 参数$ \alpha $, $ \omega $和$ p $满足如下条件:

(ⅰ) $ \alpha<\lambda_1 $, $ \omega>0 $, 这里$ \lambda_1>0 $是$ -\Delta $在Dirichlet边界条件下的第一特征值;

(ⅱ) $ 1<p<+\infty(N=1, 2) $或$ 1<p<\frac{N+2}{N-2}(N\geq3) $.

伪抛物方程具有非常丰富的物理背景, 四阶抛物型方程可以应用于物理学的许多分支. 如在弹塑性板或梁的理论中, $ \alpha\Delta u $表示线性应变, $ \omega\Delta u_t $表示阻尼或强阻尼, 它们对能量的扩散起着重要的作用. 由于阻尼来自于系统与外界的相互作用或自身原因导致的系统能量的逐渐耗散, 在实际问题中往往不可避免, 因此高阶伪抛物方程的研究备受数学家的关注, 具体可参考[1-7].

在处理初边值问题解的存在性问题时, Payne和Sattinger等人在文[8] 中提出了势阱方法. 在文[9, 10] 中, 他们考虑了经典的伪抛物问题

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{llll}u_t-\Delta u_t-\Delta u=u^p, \quad &&(x, t)\in \varOmega, \, t>0, \\ u(x, 0) = {u_0}(x), \, && x\in \Omega, \\ u(x, t) =0, \, && x\in \partial\Omega, \, t\geq0, \end{array}\right. \end{eqnarray} $

(1.2)

通过构造一组势阱, 得到了解的全局存在和爆破的条件, 并得到整体解的渐近行为. 后来, Luo^[11]在适当的假设下估计了爆破解的爆破时间的下界和上界. 随后Xu和Zhou ^[12] 进一步研究了问题(1.2), 提出了一个新的爆破条件, 并估计了爆破时间的上界.

对于四阶波动方程

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{llll}u_{tt}+\Delta^2 u +\alpha\Delta u-\omega\Delta u_t+\beta u_t=|u|^{p-2} u \log|u|, \quad &&(x, t)\in \varOmega \times (0, T), \\ u(x, t) = \Delta u(x, t) = 0, \, &&(x, t)\in \varOmega\in \partial\Omega\times (0, T), \\ u(x, 0) =u_0(x), u_t(x, 0) =u_1(x), \, && x\in \varOmega, \, t\geq0, \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

Li和Fang^[13] 建立了低初始能量$ J(0)\leq d $和高初始能量$ J(0)>d $下解的渐近行为.

本文考虑四阶伪抛物型问题(1.1), 给出了低初始能量$ J(u_0)\leq d $下解的整体存在与爆破的条件, 并估计爆破时间的上界.

本节给出文中涉及到的一些记号和引理.

用$ \|\cdot\|_p( \; 1\leq p\leq \infty) $表示$ {L^{p}(\Omega)} $范数, 用$ \|\cdot\|_{H_0^1} $表示具有齐次Dirichlet边值的$ H_0^1 $范数, 用$ {(u, v)} $表示$ L^2{(\Omega)} $内积$ \displaystyle{\int}_{\Omega}uv $. 记$ {(u, v)}_{\ast}=(u, v)+\omega{(\nabla u, \nabla v)}, $相应地, $ \|u\|_{\ast}={(u, u)}_{\ast}^{\frac{1}{2}}=\left(\|u\|^2_{2}+\omega\|\nabla u\|^2_2\right)^{\frac{1}{2}}. $显然, 当$ \omega>0 $时, $ \|\cdot\|_{\ast} $等价$ \|\cdot\|_{H_0^1} $.

记$ \lambda_k{(k=1, 2, \cdots)} $和$ \Phi_k{(k=1, 2, \cdots)} $分别表示问题

$ \begin{cases}\Delta u+\lambda u=0, & x \in \Omega \\ u=0, & x \in \partial \Omega\end{cases} $

的特征值和对应的特征函数. 众所周知, $ \lambda_k $满足$ 0<\lambda_1<\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_k\to+\infty(k\to\infty) $, 且

$ \begin{align} \lambda_1=\inf\limits_{u\in{H_0^1}(\Omega)\backslash{\{0\}}}\frac{\|\nabla u\|_{2}^{2}}{\|u\|_{2}^{2}}. \end{align} $

(2.1)

因

$ \begin{align} \Delta^2 u + \alpha\Delta u=\Delta (\Delta u+\alpha u)=(\alpha-\lambda)\Delta u=\lambda(\lambda-\alpha)u, \end{align} $

(2.2)

从而特征值问题

$\begin{cases}\Delta^2 u+\alpha \Delta u=\mu u, & x \in \Omega, \\ u=\Delta u=0, & x \in \partial \Omega,\end{cases}$

有无穷多个特征值$ \mu_k $且$ \mu_k=\lambda_k(\lambda_k-\alpha). $记$ \mathcal{H}={\{u\in H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)|\Delta u=0\; {\rm on}\; \partial \Omega\}}, $赋于内积

$ (u, v)_\mathcal{H}=(\Delta u, \Delta v)-\alpha(\nabla u, \nabla v), $

构成一Hilbert空间. 相应地, 空间$ \mathcal{H} $上的范数$ \|\cdot\|_\mathcal{H} $为

$ \|u\|_{\mathcal{H}}={(u, u)}_{\mathcal{H}}^{\frac{1}{2}}={(\|\Delta u\|_2^2-\alpha\|\nabla u\|_2^2)}^{\frac{1}{2}}. $

在式(2.2) 两边同乘$ u $并在$ \Omega $上积分, 有

$ \begin{align} \|u\|_{\mathcal{H}}^{2}=\|\Delta u\|_2^2-\alpha\|\nabla u\|_2^2\geq(\lambda_1-\alpha){\|\nabla u\|_{2}^{2}}. \end{align} $

(2.3)

由此结合(2.1), 可以知道

$ \begin{align} \mu_1\colon=\inf\limits_{u\in{H}(\Omega)\backslash{\{0\}}}\frac{\| u\|_{\mathcal{H}}^{2}}{\|u\|_{2}^{2}}. \end{align} $

(2.4)

文中, 用$ C $和$ C_i{(i=0, 1, 2, \cdots)} $表示正常数, 它们可能在不同的位置表示不同的数值.

引理 2.1   对$ u\in\mathcal{H} $, $ 1<r<\frac{2N}{N-2}(N>2) $, 存在常数$ C_0 $, 使得

$ \|u\|_r\le C_0\|u\|_{\mathcal{H}}. $

证  利用Sobolev嵌入定理$ H_0^1(\Omega) $ $ \hookrightarrow $ $ L^r(\Omega) $, 并结合(2.3) 和(2.4) 可得

$ \begin{align*} \|u\|_r^2\leq C\|u\|_{H_0^1}^2=C\|u\|_2^2+C\|\nabla u\|_2^2 \le \frac{C}{\mu_1}\|u\|_{\mathcal{H}}^2+\frac{C}{\lambda_1-\alpha}\|u\|_{\mathcal{H}}^2\le C^2_0\|u\|_{\mathcal{H}}^2, \end{align*} $

其中$ C^2_0=\left(\frac{C}{\mu_1}+\frac{C}{\lambda_1-\alpha}\right) $.

定义 1(弱解)   设$ u_0(x)\in\mathcal{H} $. 若函数$ u\in L^\infty(0, T;\mathcal{H}) $且$ u_t\in L^\infty(0, T;{L^2}(\Omega))\cap L^2(0, T;{H_0^1}(\Omega)) $满足

$ \begin{align} (u_t, v)_*+(u, v)_{\mathcal{H}}=(|u|^{p-1}u, v), \quad \forall v\in\mathcal{H}, \; t\in(0, T), \end{align} $

(2.5)

且$ u(x, 0)=u_0(x) $, 则称$ u $为问题(1.1) 的弱解. 特别地, 如果弱解$ u $对于任意$ T>0 $都成立, 则称$ u(x, t) $是问题(1.1) 的全局(弱)解.

命题 2.1(解的局部存在性)  设$ u_0(x)\in\mathcal{H} $, 则存在一个$ T_0 $使得问题(1.1) 存在唯一的弱解$ u\in L^\infty(0, T_0;\mathcal{H}) $且$ u_t\in L^\infty(0, T;{L^2}(\Omega))\cap L^2(0, T;{H_0^1}(\Omega)) $.

解的局部存在性和唯一性可通过Galerkin逼近法得到, 参见[13]. 具体证明过程在此略去.

定义 2(解的最大存在时间)  设$ u(t) $是方程(1.1) 的一个弱解. $ u(t) $的最大存在时间$ T $定义如下,

(ⅰ) 若$ 0\leq t< \infty $时, $ u(t) $都存在, 则$ T=+\infty $;

(ⅱ) 若存在$ t_0\in[0, \infty) $, 使得$ u(t) $在$ 0\leq t<t_0 $存在, 但在$ t=t_0 $处不存在, 则$ T=t_0 $.

定义 3(有限时刻爆破)  设$ u(t) $是方程(1.1) 的一个弱解, 如果最大存在时间$ T<+\infty $且$ \lim\limits_{t\rightarrow T^-}(\int_0^t\|u\|_{\ast}^2d\tau)=+\infty $, 我们称$ u(x, t) $有限时刻$ T $发生爆破.

定义能量泛函

$ \begin{align} J(u)=\frac{1}{2}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\frac{1}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}, \end{align} $

(2.6)

$ \begin{align} I(u)=\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\|u\|_{p+1}^{p+1}. \end{align} $

(2.7)

相应地Nehari流形$ \mathcal{N}=\{u\in\mathcal{H}\backslash{\{0\}}|I(u)=0\}, $势阱深度$ d=\mathop{\inf}_{u\in \mathcal{N}}J(u). $显然

$ \begin{align} J(u)=\frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^2+\frac{1}{p+1}I(u). \end{align} $

(2.8)

此外, 定义集合

$ \begin{align*} W=&\{u\in\mathcal{H}|I(u)>0, J(u)<d\}\cup\{0\}, \\ V=&\{u\in\mathcal{H}|I(u)<0, J(u)<d\}. \end{align*} $

在(1.1)方程两边同乘$ u_t $并在$ \Omega $上积分, 有$ \frac{d}{dt}{J}(u) =-\|u_t\|_{\ast}^2\leq 0. $再关于$ t $积分,

$ \begin{align} \displaystyle{\int}_0^t\|u_\tau\|_*^2d\tau+J(u)=J(u_0). \end{align} $

(2.9)

引理 2.2   设$ u\in\mathcal{H} $且$ \|u\|_{2}\neq0 $, 则下列结论成立,

(ⅰ) $ \lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}J(\lambda u) =0, \lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}J(\lambda u) =-\infty $;

(ⅱ) 存在唯一$ \lambda^\ast = \lambda^\ast(u)>0 $使得$ \frac{d}{d\lambda}J(\lambda u)|_{\lambda=\lambda^\ast}=0 $, 且$ J(\lambda u) $在$ 0<\lambda<\lambda^\ast $上严格单调递增, 在$ \lambda^\ast<\lambda<+\infty $上严格单调递减, 且当$ \lambda=\lambda^\ast $时达到最大;

(ⅲ) 当$ 0<\lambda<\lambda^\ast $时$ I(\lambda u)>0 $, 当$ \lambda^\ast<\lambda<+\infty $时$ I(\lambda u)<0 $且$ I(\lambda^\ast u)=0 $.

证  (ⅰ) 根据(2.6) 中$ J(u) $的定义,

$ J(\lambda u)=\frac{\lambda^2}{2}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\frac{\lambda^{p+1}}{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}. $

对于$ p>1 $结论显然成立.

(ⅱ) 经计算

$ \frac{d}{d\lambda}J(\lambda u)=\lambda\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\lambda^p\|u\|_{p+1}^{p+1} =\lambda(\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\lambda^{p-1}\|u\|_{p+1}^{p+1}). $

令

$ \lambda^\ast= \left(\frac{\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}}{\|u\|_{p+1}^{p+1}}\right)^{\frac{1}{p-1}}>0, $

结论显然成立.

(ⅲ) 因

$ I(\lambda u)=\lambda^2\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-\lambda^{p+1}\|u\|_{p+1}^{p+1}=\lambda\frac{d}{d\lambda}J(\lambda u), $

由(ⅱ) 可得相应结论.

引理 2.3  设$ u(x, t) $是问题(1.1)的弱解, 且$ u_0(x)\in \mathcal{H} $.

(ⅰ) 如果$ u_0\in W $, 则$ u(t)\in W $, 且对于$ t \in [0, T) $, $ \frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}<d $

(ⅱ) 如果$ u_0\in V $, 则$ u(t)\in V $, 且对于$ t \in [0, T) $, $ \frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}>d $.

证  (ⅰ) 当$ u_0\in W $时, 由(2.9) 可知$ J(u)<d $. 下面只需证明$ I(u)>0 $. 利用反证法, 假设结论不成立, 则存在$ t_0\in (0, T) $使得$ I(u(t_0))=0 $且当$ t \in [0, t_0) $时, $ I(u)>0 $. 从而$ u(t_0)\in \mathcal{N} $. 根据$ d $的定义$ J(u(t_0))\geq d $, 与$ J(u)<d $矛盾. 因此, 当$ t \in [0, T) $时, $ u(t)\in W $. 即$ J(u)<d $, $ I(u)>0 $. 因此由(2.8) 可知

$ \frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}<\frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}+\frac{1}{p}I(u) =J(u)<d. $

(ⅱ) 类似可得当$ u_0\in V $时, $ u(t)\in V $. 根据2.2 (ⅲ), 当$ I(u)<0 $时, 存在$ \overline{\lambda}\in(0, 1) $, 使得$ I(\overline{\lambda}u)=0 $, 即$ \overline{\lambda}u\in\mathcal{N} $. 由(2.8), 可得

$ \frac{p-1}{2(p+1)}\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}>\frac{p-1}{2(p+1)}\|\overline{\lambda}u\|_{\mathcal{H}}^{2}+\frac{1}{p}I(\overline{\lambda}u) =J(\overline{\lambda}u)\geq d. $

引理 2.4  ^[14] 对于$ \theta>0 $, 若函数$ \varphi(t) $二次可微且满足不等式

$ \varphi^{''}(t)\varphi(t)-(1+\theta)(\varphi^{'}(t))^2 \geq0, \quad \forall t\geq 0, $

且$ \varphi(0)>0 $, $ \varphi^{'}(0)>0 $, 则$ \varphi(t) $在$ T $时刻爆破, 且$ T\leq\frac{\varphi(0)}{\theta\varphi^{'}(0)}<+\infty $.

定理 1  设$ u_0\in \mathcal{H} $, 且$ u_0\in W $, 则问题(1.1) 有唯一全局弱解$ u\in L^{\infty}(0, \infty; \mathcal{H}) $, $ u_t\in L^\infty(0, \infty;{L^2}(\Omega))\cap L^2(0, \infty;{H_0^1}(\Omega)) $.

证  首先用Galerkin逼近法证明弱解$ u $的全局存在性. 选择空间$ H_0^2(\Omega) $上的一组正规正交基$ \omega_j(x) $. 构造问题(1.1) 的近似解

$ \begin{align*} u^m(x, t)=\sum\limits_{j=1}^{m}g_{j}^{m}(t)\omega_j(x), \quad m=1, 2, \dots, \end{align*} $

满足

$ \begin{align} (u_t^m, \omega_j)_*+(u^m, \omega_j)_\mathcal{H}=(|u^m|^{p-1}u^m, \omega_j), \quad j=1, 2, \dots, m, \end{align} $

(3.1)

和

$u^m(x, 0)=\sum_{j=1}^m b_j^m \omega_j \rightarrow u_0(x), \quad \text { 于 } \mathcal{H}(\Omega) \text {. }$

(3.2)

问题(3.1), (3.2) 局部解的存在性可由Peano定理得到. 在(3.1) 两边乘以$ \frac{d}{dt}g_j^m(t) $, 并对$ j=1, 2, \dots m $求和, 且关于$ t $积分, 可得

$ \begin{align*} \displaystyle{\int}_{0}^{t}\|u_\tau^m\|_{*}^2d\tau+J(u^m)=J(u^m(0)), \quad 0\leq t<\infty. \end{align*} $

在$ \mathcal{H}(\Omega) $中, $ u^m(x, 0)\to u_0(x)(m\to \infty) $, 且$ u_0\in W $, 因此$ m\to \infty $时

$ J(u^m(x, 0))\rightarrow J(u_0(x))<d, \quad I(u^m(x, 0))\rightarrow I(u_0(x))>0. $

所以, 对足够大的$ m $,

$ \begin{align} \displaystyle{\int}_{0}^{t}\|u_\tau^m\|_{*}^2d\tau+J(u^m)=J(u^m(x, 0))<d, \quad I(u^m(x, 0))>0, \end{align} $

(3.3)

从而$ u^m(x, 0)\in W $. 根据引理2.3(ⅰ), $ u^m(x, t)\in W $. 故$ I(u^m(x, t))>0 $,

$ J(u^m)=\frac{p-1}{2(p+1)}\|u^m\|_{\mathcal{H}}^2+\frac{1}{p+1}I(u^m)>\frac{p-1}{2(p+1)}\|u^m\|_{\mathcal{H}}^2. $

结合(3.3), 有

$ \begin{align*} \displaystyle{\int}_{0}^{t}\|u_\tau^m\|_\ast^2d\tau+\frac{p-1}{2(p+1)}\|u^m\|_{\mathcal{H}}^2<d. \end{align*} $

因此,

$ \left\|u^m\right\|_{\mathcal{H}}^2 \leq \frac{2 d(p+1)}{p-1}, \quad \text { 且 } \quad \displaystyle{\int}_0^t\left\|u_\tau^m\right\|_*^2 d \tau <d, \quad 0 \leq t <\infty \text {. }$

根据引理2.1, 和引理2.3(ⅰ),

$ \begin{align*} \||u^m|^{p-1}u^m\|_{\frac{p+1}{p}}=\|u^m\|_{p+1}^p\leq C_0^{p}\left(\frac{2(p+1)}{p-1}d\right)^\frac{p}{2}, \quad 0\leq t<\infty. \end{align*} $

因此, 存在子序列$ \{u^m\} $和函数$ u\in L^{\infty}(0, \infty;\mathcal{H}) $且$ u_t\in L^\infty(0, \infty;{L^2}(\Omega))\cap L^2(0, \infty;{H_0^1}(\Omega)) $使得当$ m\to \infty $时,

$\left\{\begin{array}{l} u^m \rightarrow u \quad \text { 弱收敛于 } L^{\infty}(0, \infty ; \mathcal{H}(\Omega)), \\ u_t^m \rightarrow u_t \quad \text { 弱收敛于 } L^2\left(0, \infty ; L^*(\Omega)\right), \\ \left|u^m\right|^{p-1} u^m \rightarrow|u|^{p-1} u \quad \text { 收敛于 } L^{\frac{p+1}{p}}(\Omega \times(0, \infty)) . \end{array}\right.$

对任意$ j $, 令$ m\to \infty $, 由(3.1) 可得,

$ \begin{align*} (u_t, \omega_j)_*+(u, \omega_j)_\mathcal{H}=(|u|^{p-1}u, \omega_j). \end{align*} $

因此, 对任意$ {l_j(t)}\in C^1([0, T]) $, 令

$ \begin{align} v(x, t)=\sum\limits_{j=1}^{m}l_j(t)\omega_j(x)\in C^1([0, T];\mathcal{H}(\Omega)), \end{align} $

(3.4)

有$ (u_t, v)_*+(u, v)_\mathcal{H}=(|u|^{p-1}u, v). $由于(3.4)中的函数$ v $在$ L^2(0, T;\mathcal{H}(\Omega)) $是稠密的, 从而极限函数$ u $是问题(1.1) 的弱解.

接下来, 证明有界解的唯一性. 假设$ u $和$ v $都是问题(1.1) 的有界弱解, 则对任意$ \varphi\in \mathcal{H}(\Omega) $,

$ (u_t, \varphi)_*+(u, \varphi)_\mathcal{H}=(|u|^{p-1}u, \varphi), $

和

$ (v_t, \varphi)_*+(v, \varphi)_\mathcal{H}=(|v|^{p-1}u, \varphi). $

令$ \varphi=u-v\in \mathcal{H}(\Omega) $, 上两式相减, 且$ t $从$ (0, t) $积分, 则有

$ \begin{align} \frac{1}{2}\displaystyle{\int}_0^t\frac{d}{d\tau}\|\varphi\|_*^2d\tau+\displaystyle{\int}_0^t\|\varphi\|^2_\mathcal{H}d\tau =\int_0^t\displaystyle{\int}_\Omega(|u|^{p-1}u-|v|^{p-1}v)(u-v)dxdt. \end{align} $

(3.5)

由中值定理, 存在$ \theta\in(0, 1) $, $ \xi=\theta u+(1-\theta v) $, 使得$ |u|^{p-1}u-|v|^{p-1}v=p \xi^{p-1}(u-v)\le C(u-v) $. 由(3.5) 可得

$ \|\varphi(x, t)\|^2_2\le\|\varphi(x, t)\|^2_*\leq C\displaystyle{\int}_0^t\|\varphi(x, t)\|^2_2dt, $

又$ \varphi(x, 0)=0 $, 由Gronwall's不等式,

$ \|\varphi(x, t)\|^2_2=0, $

这意味着, 在$ \Omega\times(0, \infty) $中, $ \varphi=0 $几乎处处成立. 从而证得有界解的唯一性.

定理 2  设$ u $是问题(1.1) 在$ u_0(x)\in \mathcal{H}(\Omega) $时的弱解. 如果$ u_0\in V $, 则存在有限时间$ T $使得$ u $在时刻$ T $发生爆破, 且

$ T\leq\frac{4\|u_0\|_*^2}{(p-1)^2(d-J(u_0))}. $

证  利用Levine的凹性理论. 对足够大的$ \tilde{T}>0 $, 令

$ \begin{align*} M(t)=\displaystyle{\int}_0^t\|u\|_{\ast}^2d\tau+(\tilde{T}-t)\|u_0\|_{\ast}^2+a(t+b)^2, \quad 0<t<\tilde{T}, \end{align*} $

这里的参数$ a, b>0 $在下面被确定. 经计算$ M'(t)=\|u\|_{\ast}^2-\|u_0\|_{\ast}^2+2a(t+b)=\int_0^t\frac {d}{d\tau}\|u\|_{\ast}^2d\tau+2a(t+b). $在式(2.5) 中取$ v=u $, 则$ \frac{d}{dt}\|u\|_{\ast}^2=2\|u\|_{p+1}^{p+1}-2\|u\|_\mathcal{H}^2 $. 由(2.7), (2.8), (2.9), 并根据引理2.3(ⅱ), 可得

$ \begin{align*} M''(t)&=\frac{d}{dt}\|u\|_{\ast}^2+2a=2\|u\|_{p+1}^{p+1}-2\|u\|_\mathcal{H}^2+2a=-2I(u)+2a\\ &=(p-1)\|u\|_{\mathcal{H}}^{2}-2(p+1)J(u)+2a\\ &>2(p+1)d+2(p+1)\left(\displaystyle{\int}_0^t\|u_\tau\|_{\ast}^2d\tau-J(u_0)\right)+2a\\ &=2(p+1)(d-J(u_0))+2(p+1)\displaystyle{\int}_0^t\|u_\tau\|_{\ast}^2d\tau+2a\\ &>2(p+1)(d-J(u_0))+2(p+1)\displaystyle{\int}_0^t\|u_\tau\|_{\ast}^2d\tau. \end{align*} $

由Cauchy-Schwarz不等式可得,

$ \begin{align*} \displaystyle{\int}_0^t \frac{d}{dt}\|u\|_{\ast}^2dt=2\displaystyle{\int}_0^t(u, u_\tau)_*d\tau\leq 2\displaystyle{\int}_0^t\|u\|_*\|u_\tau\|_*d\tau\leq 2\left(\displaystyle{\int}_0^t\|u\|_*^2d\tau\right)^{\frac{1}{2}}\left(\displaystyle{\int}_0^t\|u_\tau\|_*^2d\tau\right)^{\frac{1}{2}}. \end{align*} $

因此,

$ \begin{align*} (M'(t))^2&=4\left(\frac{1}{2}\displaystyle{\int}_0^t \frac{d}{dt}\|u\|_{\ast}^2dt+a(t+b)\right)^2\\ &\leq 4\left(\displaystyle{\int}_0^t \|u\|_*^2d\tau+a(t+b)^2\right)\left(\displaystyle{\int}_0^t \|u_\tau\|_*^2d\tau+a\right)\\ &=4\left(M(t)-(\tilde{T}-t)\|u_0\|_*^2\right)\left(\displaystyle{\int}_0^t \|u_\tau\|_*^2d\tau+a\right)\\ &\leq 4M(t)\left(\displaystyle{\int}_0^t \|u_\tau\|_*^2d\tau+a\right). \end{align*} $

从而

$ \begin{aligned} & M^{\prime \prime}(t) M(t)-\frac{p+1}{2}\left(M^{\prime}(t)\right)^2 \\ > & M(t)\left(2(p+1)\left(d-J\left(u_0\right)\right)+2(p+1) \int_0^t\left\|u_\tau\right\|_*^2 d \tau\right) \\ & \quad-M(t)\left(2(p+1) \int_0^t\left\|u_\tau\right\|_*^2 d \tau+2 a(p+1)\right) \\ = & 2(p+1) M(t)\left(d-J\left(u_0\right)-a\right) \end{aligned}$

选取$ a\in (0, d-J(u_0)) $, $ M''(t)M(t)-\frac{p+1}{2}(M'(t))^2>0. $又$ M(0)=T\|u_0\|_*^2+ab^2>0 $, $ M'(0)=2ab>0 $, 故由引理2.4可知$ M(t) $在有限时刻$ T $爆破, 且

$ T\leq \frac{2M(0)}{(p-1)M'(0)}=\frac{b}{p-1}+\frac{\|u_0\|_*^2}{(p-1)ab}\tilde{T}. $

取$ \tilde{T}=T $, $ b\in \left(\frac{\|u_0\|_*^2}{(p-1)a}, +\infty\right) $, 则$ T\leq \frac{ab^2}{(p-1)ab-\|u_0\|_*^2}. $令

$ \begin{align*} c:=ab\in \left(\frac{\|u_0\|_*^2}{(p-1)a}, (d-J(u_0))b\right), \end{align*} $

上式可写为

$ \begin{align} T\leq \frac{bc}{(p-1)c-\|u_0\|_*^2}=:g_1(b, c). \end{align} $

(4.1)

因为函数$ g_1(b, c) $关于$ c $连续单调递减, 因此

$ \inf\limits_c g_1(b, c)=g_1\left(b, (d-J(u_0))b\right)=\frac{(d-J(u_0))b^2}{(p-1)(d-J(u_0))b-\|u_0\|_*^2}:=g_2(b). $

函数$ g_2(b) $在$ b^*=\frac{2\|u_0\|_*^2}{(p-1)(d-J(u_0))} $时取到最小值, 由(4.1) 可知

$ T\leq g_2(b^*)=\frac{4\|u_0\|_*^2}{(p-1)^2(d-J(u_0))}. $