导子是环与代数上的重要映射之一, 其与上同调理论有着密切的联系. 令$ \mathcal{R} $是环或代数. 假设$ \delta $是$ \mathcal{R} $上的可加或线性映射. 回忆, 若$ \delta $满足$ \delta(AB)=\delta(A)B+A\delta(B) $对所有$ A, B\in\mathcal{R} $成立, 则称$ \delta $是导子; 特别地, 若存在$ T\in\mathcal R $使得$ \delta(A)=AT-TA $对所有$ A\in\mathcal{R} $成立, 则称$ \delta $是内导子. 显然, 内导子一定是导子, 反之不一定成立. 关于不同环与代数上导子与内导子关系的刻画, 吸引了国内外许多学者对其展开研究. 譬如, Herstein在文献[1]中证明了满足一定条件的素环上的可加导子一定是内导子. Kadison在文献[2]中证明了von Neumann代数上的线性导子也是内导子. 令$ \mathcal{A} $是$ C^* $-代数, $ \mathcal{M} $是$ \mathcal{A} $上的Hilbert $ C^* $-模, $ {\rm End}_{\mathcal{A}}\mathcal{M} $是$ \mathcal{M} $上的有界线性$ \mathcal{A} $-同态全体构成的Banach代数. 在一些条件的假设下, Moghadam和Miri等人在文献[3]中得到$ {\rm End}_{\mathcal{A}}\mathcal{M} $上的线性导子也是内导子. 关于其它相关成果, 可参见文献[4–6]及其里面的参考文献.
注意到, 在许多情形, 我们只能得到关于映射的部分信息. 这样, 一个自然的问题是, 如何从这些部分信息中获得映射的完整信息. 近三十多年来, 国内外学者致力于研究在何种条件下, 环与代数上的导子可以完全由这类映射的某种局部行为来决定. Kadison与Larson, Sourour分别在文献[7]和[8]中独立地引入了局部导子的概念, 即称$ \delta $是局部导子, 若$ \delta $满足对任意$ A\in\mathcal{R} $, 总存在可加或线性导子$ \theta_A:\mathcal{R}\to\mathcal{R} $使得$ \delta(A)=\theta_A(A) $成立. Kadison在文献[7]中得到了从任意von Neumann代数到其对偶Banach双模的连续线性局部导子一定是导子. Larson和Sourour在文献[8]中证明了$ \mathcal B(X) $ (Banach空间$ X $上所有有界线性算子构成的代数)上的线性局部导子是导子. Johnson在文献[9]中证明了任意$ C^* $-代数到其Banach双模的连续线性局部导子也是导子. 上世纪九十年代末到本世纪初, 国内外学者从另一角度展开对导子的研究, 并取得了丰富的研究成果. 譬如, Brešar在文献[10]中证明了含非平凡幂等元的素环$ \mathcal{R} $上的可加映射$ \delta $若满足条件对任意元$ A, B\in \mathcal{R} $, $ AB=0 $蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=0 $成立, 则$ \delta(A)=d(A)+\lambda A $对所有$ A\in \mathcal{R} $成立, 其中$ d:\mathcal{R}\to\mathcal{R} $是可加导子, $ \lambda $是$ \mathcal{R} $的扩展中心中的元. 令$ X $是维数大于2的实或复Banach空间, $ \mathcal{L} $是$ X $上的$ \mathcal{J} $-子空间格且$ \rm {Alg}\mathcal{L} $是$ \mathcal{J} $-子空间格代数. Hou和Qi在文献[11]中证明了$ \rm {Alg}\mathcal{L} $上的线性映射$ \delta $满足对任意$ A, B\in \rm {Alg}\mathcal{L} $, $ AB=I $(单位算子)蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=\delta(I) $成立当且仅当$ \delta $是导子. 令$ \mathcal{A} $是含单位元和非平凡幂等元$ P $的Banach代数且$ \mathcal{M} $是含单位元的$ \mathcal{A} $双模. 在一些条件的假设下, Ghahramani在文献[12]中证明了可加映射$ \delta:\mathcal{A}\to\mathcal{M} $若满足对任意$ A, B\in \mathcal A $, $ AB=P $蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=\delta(P) $, 那么$ \delta $是导子. Zhu和Xiong等人在文献[13]中证明了$ \mathcal B(H) $ ($ H $为任意Hilbert空间)上的线性映射$ \delta $若满足对任意$ A, B\in \mathcal B(H) $, $ AB=C $蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=\delta(C) $成立(其中$ C\in\mathcal B(H) $为任意固定算子), 则$ \delta $是导子当且仅当$ C\ne 0 $. 令$ \mathcal{A} $是任意$ C^* $- 代数, $ X $是本性Banach $ \mathcal{A} $双模. 近来, Garcés和Khrypchenko在文献[14]中证明了有界线性映射$ \delta:\mathcal{A}\to\mathcal{A} $满足条件对任意$ A, B\in\mathcal A $, $ AB=0 $蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=0 $成立当且仅当存在线性导子$ d:\mathcal{A}\to X^{**} $和$ \xi\in X^{**} $ ($ X^{**} $表示$ X $的二次共轭空间)使得$ a\xi=\xi a $且$ \delta(a)=d(a)+\xi a $对所有$ a\in\mathcal{A} $成立. 对于其它相关研究成果, 可参见文献[15–22]及其里面的参考文献.
2018年, Catalano在文献[23]中将上述研究导子局部行为的问题进行了更一般化的讨论. 假设$ \mathcal R $是特征不为2的除环, $ C, D\in \mathcal{R} $是任意两个固定元且$ C\ne0 $. Catalano证明了, $ \mathcal R $上的可加映射$ \delta $若满足条件对任意$ A, B\in \mathcal{R} $, $ AB=C $蕴涵$ \delta(A)B+A\delta(B)=D $成立, 那么$ \delta(A)=d(A)+ZA $对所有$ A\in \mathcal{R} $成立, 其中$ d:\mathcal{R}\to\mathcal{R} $是可加导子, $ Z\in \mathcal{R} $是中心元.
受以上工作的启发, 本文将继续研究$ \mathcal B(H) $上导子的局部行为与导子之间的关系. 下面是本文的主要结果.
定理1 令$ H $是复数域$ \mathbb{C} $上的Hilbert空间, $ C, D\in\mathcal{B}(H) $是任意两个固定算子. 假设$ \phi:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H) $是可加映射. 则$ \phi $满足条件对任意$ A, B\in\mathcal{B}(H) $,
当且仅当存在可加导子$ \delta:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H) $与$ \lambda\in\mathbb{C} $使得$ \phi(C)+\lambda C=D $且$ \phi(A)=\delta(A)+\lambda A $对所有$ A\in\mathcal{B}(H) $成立.
注意到, 当$ H $是无限维Hilbert空间时, $ \mathcal{B}(H) $上的可加导子一定是内导子[24]. 利用定理1, 立得下面的结论.
定理2 令$ H $是复数域$ \mathbb{C} $上的无限维Hilbert空间, $ C, D\in\mathcal{B}(H) $是任意两个固定算子. 假设$ \phi:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H) $是可加映射. 则$ \phi $满足条件对任意$ A, B\in\mathcal{B}(H) $,
当且仅当存在$ T\in\mathcal{B}(H) $与$ \lambda\in\mathbb{C} $使得$ \phi(C)+\lambda C=D $且$ \phi(A)=AT-TA+\lambda A $对所有$ A\in\mathcal{B}(H) $成立.
当$ H $是复数域$ \mathbb{C} $上的有限维Hilbert空间时, 不妨假设$ \dim H=n $, 则通过固定$ H $的一组基, $ \mathcal{B}(H) $同构于$ \mathbb{C} $上的矩阵代数$ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. 根据文献[24]对$ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $上可加导子刻画的结论, 定理1可表述为:
定理3 假设$ \phi:\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\to\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $是可加映射且$ C, D\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $是任意两个固定矩阵. 则$ \phi $满足条件对任意$ A, B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $,
当且仅当存在$ T\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $, 可加导子$ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $与$ \lambda\in\mathbb{C} $使得$ \phi(C)+\lambda C=D $且$ \phi(A)=AT-TA+(f(a_{ij}))+\lambda A $对所有$ A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $成立, 其中$ A=(a_{ij}) $.
特别地, 由以上结果可立得下面的推论, 即文献[13]中的结论.
推论4 令$ H $是复数域$ \mathbb{C} $上的Hilbert空间, $ C\in\mathcal{B}(H) $是任意固定算子. 假设$ \phi:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H) $是可加映射. 则$ \phi $满足条件对任意$ A, B\in\mathcal{B}(H) $,
当且仅当下列表述成立:
(1)若$ \dim H=\infty $, 则存在$ T\in\mathcal{B}(H) $与$ \lambda\in\mathbb{C} $使得$ \lambda C=0 $且$ \phi(A)=AT-TA+\lambda A $对所有$ A\in\mathcal{B}(H) $成立.
(2)若$ \dim H=n<\infty $, 则存在$ T\in{\mathcal B}(H)=\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $, 可加导子$ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} $与$ \lambda\in\mathbb{C} $使得$ \lambda C=0 $且$ \phi(A)=AT-TA+(f(a_{ij}))+\lambda A $对所有$ A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $成立.
注 由定理1的结论可以看出, $ C $与$ D $之间存在某种联系, 且$ C=0 $定蕴涵$ D=0 $; 但反过来, $ D=0 $并不一定蕴涵$ C=0 $. 因此, 我们的结论是对相关已有结果的进一步推广与改进.
本节将主要给出本文定理1的证明.
为证明定理1, 首先引入一个命题.
命题2.1 ([23, 命题2.0])令$ \mathcal{F} $是域且$ |\mathcal{F}|\ge3 $, $ \mathcal{V} $是$ \mathcal{F} $上的向量空间. 对任意固定元$ u, v, w\in\mathcal{V} $, 定义$ p(t)=ut^2+vt+w, t\in\mathcal{F}. $如果$ p(t)=0 $在$ \mathcal{F} $中有三个不同的根, 则$ u=v=w=0. $
定理1的证明 定理的充分性显然. 对于必要性, 我们分两种情形来证明之.
情形1 $ \overline{{\rm ran} C}\ne H $且$ \overline{{\rm ran} C}\ne 0. $
令$ P $是$ C $的值域投影. 那么$ P $是非平凡的, 且满足$ C=PC. $记$ Q=I-P $, $ \mathcal{B}_{11}=P\mathcal{B}(H)P $, $ \mathcal{B}_{12}=P\mathcal{B}(H)Q $, $ \mathcal{B}_{21}=Q\mathcal{B}(H)P $, $ \mathcal{B}_{22}=Q\mathcal{B}(H)Q $. 则$ \mathcal{B}(H)=\mathcal{B}_{11}+\mathcal{B}_{12}+\mathcal{B}_{21}+\mathcal{B}_{22}. $显然, 对任意算子$ A\in{\mathcal B}(H) $均可以表示为$ A=\sum\limits_{i, j=1, 2}A_{ij} $, 其中$ A_{ij}\in{\mathcal B}_{ij} $.
记$ C=C_{11}+C_{12}+C_{21}+C_{22} $. 利用条件$ C=PC $可得$ C=C_{11}+C_{12}. $
任取可逆元$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $, 任取$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, $ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $以及非零有理数$ t $. 直接计算可得
根据假设条件, 我们有$ \phi(A_{11}+tA_{11}A_{12})(A_{11}^{-1}C-A_{12}A_{22}+t^{-1}A_{22}) +(A_{11}+tA_{11}A_{12})\phi(A_{11}^{-1}C-A_{12}A_{22}+t^{-1}A_{22})=D. $利用$ \phi $的可加性, 上式整理得到
根据命题2.1, 可得
与
特别地, 在等式(2.3)中取$ A_{11}=P, A_{22}=Q $, 得到
另一方面, 由于$ A_{11}(A_{11}^{-1}C)=C $, 由题设条件可知$ D=\phi(A_{11})A_{11}^{-1}C+A_{11}\phi(A_{11}^{-1}C). $结合该式与等式(2.1), 可得
在等式(2.2)中, 利用$ 2A_{11} $来代替$ A_{11} $, 有
比较上式和等式(2.2), 即得
现令$ M=Q\phi(Q)P-P\phi(Q)Q $, 并定义映射$ \tau:{\mathcal B}(H)\rightarrow {\mathcal B}(H) $为$ \tau(A)=\phi(A)-(AM-MA)\ \ \mbox{对任意}\ \ A\in\mathcal{B}(H)\ \ \mbox{成立}. $易证$ \tau $是可加的; 满足条件对任意$ A, B\in{\mathcal B}(H) $,
且对任意可逆元$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $以及任意元$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $与$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $, 等式(2.2)–(2.3), 等式(2.5)–(2.6)对映射$ \tau $也成立. 此外, 等式(2.4)蕴涵
以下分几个断言证明$ \tau $是广义导子, 即$ \tau $满足$ \tau(AB)=\tau(A)B+A\tau(B)-\lambda AB $对所有$ A, B\in\mathcal B(H) $成立.
断言1 $ \tau(\mathcal B_{22})\subseteq\mathcal{B}_{22} $.
在等式(2.3)中取$ A_{22}=Q $, 得到$ \tau(A_{11})Q+A_{11}\tau(Q)=0 $对任意可逆元$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $成立. 该式结合等式(2.7), 可得$ \tau(A_{11})Q=A_{11}\tau(Q)=0\ \mbox{对任意可逆元}\ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} \ \mbox{成立}. $上式与等式(2.3)又蕴涵
特别地, 我们有
在等式(2.5)中取$ A_{11}=P $, 则有
对所有元$ \ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $与$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $成立. 在等式(2.11)的右边乘以$ P $, 可得
特别地, 在上式中取$ A_{22}=Q $, 并结合等式(2.7), 得到
因此, 对任意$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $与$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $, 我们有
即
注意到$ \mathcal{B}(H) $是素代数. 上式蕴涵$ Q\tau(A_{22})P=0 $. 结合该式与等式(2.10), 即得$ \tau(A_{22})\in\mathcal{B}_{22} $.
断言2 存在数$ \lambda\in\mathbb C $使得$ \tau(P)=\lambda P $且$ \tau(Q)=\lambda Q $.
对任意的$ A_{12}\in\mathcal B_{12} $, 等式(2.11)成立. 在该式中取$ A_{22}=Q $, 并左边乘以$ P $且右边乘以$ Q $, 得到
即得
进而, 对任意$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $, 等式(2.13)蕴涵
利用$ \mathcal{B}(H) $的素性, $ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $的任意性以及断言1, 知存在数$ \lambda\in\mathbb C $使得$ \tau(Q)=\lambda Q $. 该式与等式(2.13)结合, 可得$ P\tau(P)P=\lambda P $.
断言3 对任意的$ A_{22}, B_{22}\in\mathcal{B}_{22} $, 我们有$ \tau(A_{22}B_{22})=\tau(A_{22})B_{22}+A_{22}\tau(B_{22})-\lambda A_{22}B_{22} $.
任取$ A_{22}, B_{22}\in\mathcal{B}_{22} $. 对任意的$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, 利用等式(2.11), 有
比较等式(2.14)和等式(2.15), 并利用断言2, 可得
对所有$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $成立. 现再次利用$ \mathcal{B}(H) $的素性, 即得
断言4 对任意的$ A_{11}, B_{11}\in\mathcal{B}_{11} $, 我们有
任取可逆元$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $. 对任意的$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, 在等式(2.5)中令$ A_{22}=Q $, 并结合断言2, 知
注意到$ \mathcal{B}_{11} $中的每个元$ A_{11} $, 均存在正整数$ n $使得$ nP-A_{11} $在$ \mathcal{B}_{11} $中是可逆的. 利用这一事实以及$ \tau $的可加性, 上式蕴涵
对所有$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $和$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $成立. 进而, 对任意元$ A_{11}, B_{11}\in\mathcal{B}_{11} $与任意元$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, 根据等式(2.12)和等式(2.16), 可得
结合上式与等式(2.16), 我们有
比较等式(2.17)和等式(2.18), 得到
进而得到
对所有元$ A_{11}, B_{11}\in\mathcal{B}_{11} $成立. 该断言成立.
断言5 $ \tau(\mathcal B_{11})\subseteq\mathcal{B}_{11} $.
由断言4知,
对所有$ A_{11}, B_{11}\in\mathcal{B}_{11} $成立. 现在上式中左乘$ Q $并令$ A_{11}=P $, 利用断言2, 可得$ Q\tau(B_{11})=0 $对所有$ B_{11}\in\mathcal{B}_{11} $成立; 在上式中右乘$ Q $并令$ B_{11}=P $, 再次利用断言2, 可得$ \tau(A_{11})Q=0 $对所有$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $成立. 因此$ \tau(\mathcal B_{11})\subseteq\mathcal{B}_{11} $.
断言6 $ \tau(\mathcal B_{12})\subseteq\mathcal{B}_{12} $; 且对任意元$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $与$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $, 我们有
和
任取$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $. 一方面, 注意到等式(2.16)成立. 那么, 在该式左边乘以$ Q $, 并取$ A_{11}=P $, 利用断言2, 我们有
另一方面, 由于等式(2.6)对映射$ \tau $亦成立, 在该等式中取$ A_{11}=P $且$ A_{22}=Q $, 可得
在上式左边乘以$ Q $, 并利用等式(2.12), 即得$ \tau(A_{12})A_{12}=A_{12}\tau(A_{12})=0 $对所有$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $成立. 进而, 对任意$ A_{12}, B_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, 我们有
在上式右边乘以$ \tau(A_{12}) $, 得到
即有
利用$ \mathcal{B}(H) $的素性, 知$ Q\tau(A_{12})P=0 $对所有$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $成立. 现结合等式(2.12)和等式(2.19), 可得$ \tau(A_{12})\in\mathcal{B}_{12} $.
最后, 利用等式(2.11), 等式(2.16)与上面所证事实, 即知$ \tau(A_{12}A_{22})=\tau(A_{12})A_{22}+A_{12}\tau(A_{22})-\lambda A_{12}A_{22} $与$ \tau(A_{11}A_{12})=\tau(A_{11})A_{12}+A_{11}\tau(A_{12})-\lambda A_{11}A_{12} $对任意元$ A_{11}\in\mathcal{B}_{11} $, $ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $和$ A_{22}\in\mathcal{B}_{22} $成立.
该断言成立.
断言7 $ \tau(\mathcal B_{21})\subseteq\mathcal{B}_{21} $; 且对任意元$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $与$ A_{21}\in\mathcal{B}_{21} $, 我们有
任取$ A_{21}\in\mathcal{B}_{21} $. 由于$ P(C+A_{21})=PC=C $, 所以
化简可得
利用断言2, 得到
对任意元$ A_{12}\in\mathcal{B}_{12} $, 由于$ (P+A_{12})(C-A_{12}A_{21}-A_{12}+A_{21}+Q)=PC=C $, 所以
利用断言2, 断言5-6, 等式(2.13)和等式(2.20), 上式可化简为
在等式(2.21)右边乘以$ Q $, 并结合断言5, 可知
这蕴涵$ Q\tau(A_{21})Q=0 $. 该式结合等式(2.20), 可得$ \tau(A_{21})\in\mathcal{B}_{21} $. 该断言成立.
断言8 对任意元$ A_{11}\in{\mathcal B}_{11} $与$ A_{21}\in{\mathcal B}_{21} $, 我们有
任取$ A_{11}\in{\mathcal B}_{11} $, $ A_{12}\in{\mathcal B}_{12} $与$ A_{21}\in{\mathcal B}_{21} $. 利用断言4与断言7, 我们有
比较上面两个等式, 则有
由于$ A_{12} $的任意性, 上式蕴涵
断言9 对任意元$ A_{12}\in{\mathcal B}_{12} $与$ A_{21}\in{\mathcal B}_{21} $, 我们有
对任意元$ A_{12}, B_{12}\in{\mathcal B}_{12} $与$ A_{21}\in{\mathcal B}_{21} $, 利用断言6-7, 得到
由于$ B_{12} $是任意的, 上式蕴涵
类似地, 利用断言6-7通过两种方式计算$ \tau(A_{12}A_{22}A_{21}) $, 可证下面断言成立.
断言10 对任意元$ A_{21}\in{\mathcal B}_{21} $与$ A_{22}\in{\mathcal B}_{22} $, 我们有
断言11 对任意元$ A, B\in{\mathcal B}(H) $, 我们有
对任意元$ A=\sum_{ij}A_{ij}, B=\sum_{ij}B_{ij}\in{\mathcal B}(H) $, 结合断言3-10与$ \tau $的可加性, 容易验证$ \tau(AB)=\tau(A)B+A\tau(B)-\lambda AB $成立.
现在, 定义映射$ d:\mathcal B(H)\rightarrow \mathcal B(H) $为:
易验证$ d $是可加导子. 再由$ \tau $的定义, 可令$ \delta(A)=d(A)+AM-MA $对任意$ A\in{\mathcal B}(H) $成立. 显然, $ \delta $也是$ \mathcal B(H) $上的可加导子, 且$ \phi(A)=\delta(A)+\lambda A $对任意$ A\in{\mathcal B}(H) $成立.
情形2 $ \overline{\operatorname{ran}C}=\{0\} $或$ \overline{\operatorname{ran}C}=H $.
如果$ \overline{\operatorname{ran}C}=\{0\} $, 则$ C=0 $. 任取$ A\in\mathcal{B}(H) $. 由于$ 0 \cdot A=C $, 所以$ \phi(0)\cdot A+0\cdot\phi(A)=D $. 根据$ \phi $的可加性, 可知$ \phi(0)=0 $. 因而$ D=0 $. 现利用文献[25, 定理2.2], 可知此时结论成立.
如果$ \overline{\operatorname{ran}C}={H} $, 则$ C $是稠值域算子.
首先, 对任意可逆元$ A\in\mathcal{B}(H) $, 因为$ A^{-1}AC=C $, 所以$ \phi(A^{-1})AC+A^{-1}\phi(AC)=D $, 即
接着, 定义映射$ \Phi:\mathcal{B}(H)\to\mathcal{B}(H) $为
显然, $ \Phi $是可加的, 且满足
再次, 对任意可逆元$ A\in\mathcal B(H) $, 选择适当的整数$ n $使得$ A-nI $是可逆元. 注意到
上式作用$ \Phi $, 并利用$ \Phi $的可加性, 可得
对上式利用等式(2.22), 有
又因为$ C $是$ \mathcal{B}(H) $中的稠值域算子, 上式蕴涵
在上式两边同乘$ (A-nI)A=A(A-nI) $, 可得
利用$ \phi $的可加性, 上式化简得到
注意到$ \mathcal{B}(H) $中每一个元都可以表示为$ \mathcal{B}(H) $中两个可逆元的和. 对上式利用该事实, 易知$ \phi(A^2)=\phi(A)A+A\phi(A)-A\phi(I)A\ \mbox{对任意元}\ A\in\mathcal B(H)\ \mbox{成立}, $即有
对任意元$ A\in\mathcal B(H) $成立.
对任意元$ A\in\mathcal B(H) $, 令$ \delta(A)=\phi(A)-\phi(I)A. $表明$ \delta $是$ \mathcal B(H) $上的可加Jordan导子, 即$ \delta(A^2)=\delta(A)A+A\delta(A) $对所有$ A\in\mathcal B(H) $成立. 根据文献[26], $ \delta $是导子.
最后, 仍需验证$ \phi(I)\in\mathbb{C}I $. 为此, 任取$ A, B\in\mathcal B(H) $. 若$ AB=C $, 则$ \phi(A)B+A\phi(B)=D $, 即
因为$ D $是$ \mathcal{B}(H) $中的任意固定元, 上式蕴涵$ \mbox{当}\ AB=C \ \mbox{时}, \ \ A\phi(I)B\ \mbox{也是}\ \mathcal{B}(H)\ \mbox{中的固定元}. $特别地, 取$ A $为任意可逆元. 那么$ A^{-1}AC=IC=C $. 因此, 由上式得到$ A^{-1}\phi(I)AC=\phi(I)C $, 即$ \phi(I)AC=A\phi(I)C\ \mbox{对所有可逆元}\ A\in\mathcal B(H)\ \mbox{成立}. $现在, 对上式利用$ C $的稠值域性可知, $ \phi(I)A=A\phi(I) $对所有$ A\in\mathcal{B}(H) $成立, 进而得到$ \phi(I)\in\mathbb{C}I $.
定理得证.