本文要用到以下符号, 见文[1], 对$ \forall k>0 $
对$ \forall k\in \mathbb{N} $
对整数$ 0\leq k\leq n, $ $ q $-二项式系数定义为
对固定$ q>1 $, $ q $-导数定义为
若$ |q|>1 $或$ 0<|q|<1 $且$ |z|<\frac{1}{1-q} $, 则$ q $-指数函数定义为
当$ |q|>1 $时, 有
算子在紧圆盘的复逼近相关研究已有很多, 如文[2-4]分别研究了复Baskakov-Stancu算子、复Szász-Durrmeyer算子和复Bernstein-Schurer算子在紧圆盘上对解析函数的逼近性质, 但关于$ q $-算子在紧圆盘上逼近性质的相关研究较少. 1997年Philips[5]首次引入并研究了$ q $-Bernstein算子, 之后$ q $-算子的逼近理论成为算子逼近理论的主要研究内容之一. Gupta和Wang[6]引入并研究了$ 0<q<1 $时的$ q $-Durrmeyer算子, 而Agarwal和Gupta[7]将算子扩展到了复空间, 研究了Voronovskaja型结论, 并给出复算子在紧圆盘上对解析函数的精确估计.
复Bernstein-Durrmeyer算子[8]定义为
其中
文[8]研究了上述算子在紧圆盘上的同时逼近, Voronovskaja型结论和等价定理, 同时文[9]已对$ q $-Bernstein-Durrmeyer算子的Voronovskaja型结论进行了初步研究. 本文主要借鉴文[8]和[10]的研究方法及研究思路, 对$ q $-Bernstein-Durrmeyer算子在紧圆盘上的复逼近性质做进一步研究, 文[11]已给出$ q $-Bernstein-Durrmeyer算子在复空间的定义.
设$ f:\overline{D_{R}}\rightarrow \mathbb{C} $且在$ {D_{R}} $内解析,
其中$ {D_{R}}=\{z\in\mathbb{C}: |z|<R\}, z\in\mathbb{C}, 0<q<1, \rho>0, n\in\mathbb{N}. $
$ B(x, y) $是Euler Beta函数.
当$ q=1 $时, Bernstein-Durrmeyer算子等于$ q $-Bernstein-Durrmeyer算子, 但是为了研究$ q $-Bernstein-Durrmeyer算子在紧圆盘上的复逼近相关性质, 本文限制$ 0<q<1. $
令$ e_{m}(z)=z^m, M_{n, q}^\rho(f;z)=\sum_{k=0}^{n}F_{n, k}^\rho(f)P_{n, k}(q;z), $其中
令$ H(D_{R}) $为$ D_{R} $上所有解析函数构成集合, 由$ f\in H(D_{R}) $可知
主要结果如下. 下面定理给出了$ M_{n, q}^\rho(f;z) $在单位圆盘上的Voronovskaja型结论.
定理1.1 设$ f:\overline{D_{R}}\rightarrow \mathbb{C} $, 且$ f\in H(D_{R}), 1<R, \rho>0, 0<q<1, $对所有的$ |z|\leq 1 $, $ n\in\mathbb N, $ $ m\in\mathbb N^*, $有
定理1.2 设$ 0<q<1, R>1, D_{R}=\big\{z\in\mathbb{C}:|z|<R\big\}, f:D_{R}\rightarrow \mathbb{C} $且$ \rho>0 $, 若$ f $不是一个次数小于等于1的多项式, 那么对任意$ r\in [1, R) $, 有
其中$ \|f\|_{r}=\max\big\{|f(z)|:|z|\leq r\big\} $, 常数$ C_{r, \rho}(f) $依赖于$ f, r, \rho, $但与$ n $无关.
下面给出算子在复空间的等价定理.
定理1.3 设$ 0<q<1, f:D_{R}\rightarrow \mathbb{C}, $使$ R>1, D_{R}=\big\{z\in\mathbb{C}:|z|<R\big\}, $且$ \rho>0 $, 若$ f $不是一个次数小于等于1的多项式, 那么对任意$ r\in [1, R) $, 有
其中$ \|f\|_{r}=\max\big\{|f(z)|;|z|\leq r\big\}. $
定理1.4 设$ 0<q<1, D_{R}=\big\{z\in\mathbb{C}:|z|<R\big\}, f:D_{R}\rightarrow \mathbb{C}, $在$ D_{R} $中是解析的, 若$ f $不是一个次数为1的多项式, 那么对任意$ r\in [1, R) $, 有
其中等价中的常数取决于$ f, r, r_{1}, p, $但与$ n $无关.
为了证明上述定理, 先给出一些引理.
引理2.1[9] 设$ f:\overline{D_{R}}\rightarrow \mathbb{C} $, 且$ f\in H(D_{R}), 1<R, 1<r<R, \rho>0, 0<q<1, |z|\leq r, $ $ n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N^{*}} $有
其中$ M_{r}(f)=\frac{1}{2}r^{2}(1+r)^{2}\sum_{m=3}^{\infty}|a_{m}|\bigg\{(m-1)^3\bigg[m(3\rho+1)+\bigg(\frac{4}{1-q}-6\bigg)\rho\bigg]\bigg\}r^{m-4}. $
引理2.2[12] 解析函数$ f(z) $的导数仍为解析函数, 它的$ n $阶导数为
其中$ C $为$ f(z) $解析区域$ D_{R} $内围绕$ z_{0} $的任何一条正向简单曲线, 且它的内部全含$ D_{R} $.
引理2.3[9] 设$ f:\overline{D_{R}}\rightarrow \mathbb{C} $, 且$ f\in H(D_{R}), 1<r<R, \rho>0, 0<q<1, |z|\leq r, $$ n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N^{*}} $有
引理2.4(同时逼近) 设$ f:\overline{D_{R}}\rightarrow \mathbb{C} $, 且$ f\in H(D_{R}) $, 对任意固定$ 1\leq r<r_{1}<R, \rho>0, 0<q<1, |z|\leq r, m\in\mathbb{N^{*}}, n, p\in\mathbb{N} $, 有
其中$ C_{r_{1}}(f)=\frac{1}{2}r(1+r)\sum_{m=2}^{\infty}|a_{m}|m(m-1)r^{m-2}. $
证 定义$ T $是圆心为$ O $, 半径为$ r_{1}>r $的圆, 对所有$ |z|\leq r $和$ v\in T $有$ |v-z|\geq r_{1}-r, $由引理2.3, 对于任意的$ |z|\leq r, n\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N^{*}} $有
定理1.1的证明
令$ E_{n, m}(z)=M_{n, q}^\rho(e_{m};z)-z^m-\frac{(\rho+1)m(m-1)}{2(1+\rho[n]_{q})}z^{m-1}(1-z), $其中$ E_{n, m}(z) $是次数小于等于$ m $的多项式.
由参考文献[9]可得等式
又因
则
从而得
由公式(1)且$ m\geq 2 $可得
现研究$ m\geq 2 $时$ |D_{q}E_{n, m-1}(z)| $的情况, 由于$ E_{n, m-1}(z) $是次数小于等于$ m-1 $的多项式, 则有
又因$ 0<q<1, m\geq 2 $时, 有$ [m-1]_{q}\leq m-1, $且由已知$ |z|\leq1 $, 得
最后有
又因$ E_{n, 0}(z)=E_{n, 1}(z)=E_{n, 2}(z)=0, $则由$ m=3, 4, 5, \cdots $逐步推导可得
即
定理1.2的证明
对所有$ z\in D_{R}, n\in\mathbb N $, 有
由$ \|F+G\|_{r}\geq\big|\|F\|_{r}-\|G\|_{r}\big|\geq\|F\|_{r}-\|G\|_{r} $可得
其中$ \|f\|_{r}=\max\{|f(z)|;|z|\leq r\}. $由假设知, $ f $不是一个在$ D_{R} $上次数小于等于1的多项式, 即$ ||e_{1}(1-e_{1})f''||_{r}>0 $, 若相反, 则对所有$ z\in\overline{D_{R}} $, 有$ z(1-z)f''(z)=0, $显然可以得出$ f''(z)=0 $, 即$ f $是次数小于等于1的多项式, 与假设矛盾.
由引理2.1有
存在$ n_{1} $(仅依赖于$ f $和$ r $), 当$ n\geq n_{1} $时有
当$ 1\leq n\leq n_{1}-1 $时, 有
对所有$ n $, 有$ C_{r, \rho}(f)=\min\big\{T^{\rho}_{r, 1, q}(f), \cdots, T^{\rho}_{r, n-1, q}(f), \frac{1}{2}\big\|e_{1}(1-e_{1})f''\big\|_{r}\big\}. $
定理1.3的证明
结合定理1.2和文[9]中的不等式
其中, $ C_{r}(f)=\frac{1}{2}r(1+r)\sum_{m=2}^{\infty}|a_{m}|m(m-1)r^{m-2}, $即可得证.
定理1.4的证明
定义$ T $是圆心为$ O $, 半径为$ r_{1}>r\geq1 $的圆, 对所有$ |z|\leq r $和$ v\in T $有$ |v-z|\geq r_{1}-r. $ 由引理2.4, 对任意$ |z|\leq r, m\in\mathbb{N^{*}}, n, p\in\mathbb{N} $, 有
下面证明$ ||M_{n, q}^{\rho(p)}(f)-f^{(p)}||_{r} $的下限估计, 根据定理1.2的证明, 对所有$ v\in T $和$ n, p\in\mathbb{N} $有
现对$ ||\cdot||_{r} $进行研究,
由引理2.1得
根据$ f $的假设, 有$ ||[e_{1}(1-e_{1})f'']^{(p)}||_{r}>0 $, 反之, $ z(1-z)f''(z) $是次数$ \leq p-1 $的多项式.
若$ p=1 $, 则$ z(1-z)f''(z)=C $, 即$ f''(z)=\frac{C}{z(1-z)}(|z|\leq r, r\geq1) $, 但$ f''(z) $在$ |z|\leq r $上解析, 所以$ C=0 $, 即$ f $是次数$ \leq1=\max\{1, p-1\} $的多项式, 矛盾.
若$ p=2 $, 则$ z(1-z)f''(z)=Az+B $, 即$ f''(z)=\frac{Az+B}{z(1-z)}(|z|\leq r) $, 但$ f''(z) $在$ |z|\leq r $上解析, 所以$ A=B=0 $, 即$ f $是次数$ \leq1=\max\{1, p-1\} $的多项式, 矛盾.
若$ p\geq3 $, 则$ z(1-z)f''(z)=U_{p-1}(z), U_{p-1}(z) $是一个次数$ \leq p-1 $的多项式, 即$ f''(z)=\frac{U_{p-1}(z)}{z(1-z)}(|z|\leq r) $, 但$ f''(z) $在$ |z|\leq r $上解析, 所以$ U_{p-1}(z)=z(1-z)Q_{p-3}(z), Q_{p-3}(z) $是一个次数$ \leq p-3 $的多项式, 因此$ f''(z)=Q_{p-3}(z) $, 即$ f $是次数$ \leq p-1=\max\{1, p-1\} $的多项式, 矛盾.
综上所述, $ ||[e_{1}(1-e_{1})f'']^{(p)}||_{r}>0 $, 按照定理1.2的方法继续推理即可得出结论.