Dirac方程是用来描述电子运动的基本模型, 近似的刻画了自旋粒子的运动. 随着几何与拓扑的发展, Atiyah和Singer给出了紧spin流形上整体定义的Dirac算子. 设$ (M, g) $为具有spin结构的紧致无边的黎曼流形, $ \Sigma M $为$ M $上复spinor丛, Dirac算子是一阶椭圆微分算子$ D:C^\infty(M, \Sigma M)\rightarrow C^\infty(M, \Sigma M) $, 局部上可表示为: $ Du=\sum^m_{i=1}e_i\cdot\nabla_{e_i}u, $其中$ u\in C^{\infty}(M, \Sigma M), $ $ \{e_i\}^m_{i=1} $是切丛$ TM $上的局部正交标架, $ \nabla $是旋量丛$ \Sigma M $上诱导的Levi-Civita联络. 关于spin几何的详细内容, 可以参阅[1]. 在文献[2]中, Nolder和Ryan在紧spin流形上首次引入了$ p $-Dirac算子和$ p $-Harmonic截面, 建立了这些算子的共形协方差, 得到了在球面$ S^N $上$ p $-Dirac方程和$ p $-Harmonic方程解的存在性. 在文献[3]中, Nolder给出了形式为$ DA(x, Du) =0 $的非线性$ A $-Dirac方程的解, 其中$ A $-Dirac方程可看作是$ A $-Harmonic型椭圆方程$ div A(x, \nabla u)= 0 $的非线性推广, 而$ p $-Dirac算子是$ A $-Dirac算子的一个特殊情形. 但是, 关于具有临界指数的拟线性Dirac方程解的存在性和多解性, 目前还没有结果. 因此, 本文研究了球面上具有临界指数的$ p $-Dirac方程解的存在性和多解性.

假设$ (S^{N}, g_{0}) $是标准球面$ ( N\geq 3) $, $ D_{p} u:=D{|Du|}^{p-2}Du $是$ p $-Dirac算子$ (1 < p < N) $. $ f:\Sigma S^N\rightarrow \Sigma S^{N} $是保纤维映射, 且具有一个$ u- $位势, 即存在实值函数$ F:\Sigma S^{N}\rightarrow \mathbb{R}, $使得$ F_u=f. $下面考虑非线性$ p $-Dirac方程

$ \begin{equation} D_{p} u = {|u|}^{p^{*}-2} u + f(u), \end{equation} $

(1.1)

其中$ p^*=\frac{Np}{N-p}. $则方程(1.1) 的弱解是如下能量泛函

$ \begin{equation} I(u)=\frac{1}{p}\displaystyle{\int}_{S^{N}} \langle D_{p}u, u \rangle dvol_g-\frac{1}{p^{*}}\displaystyle{\int}_{S^{N}}|u|^{p^{*}}dvol_g - \displaystyle{\int}_{S^{N}} F(u)dvol_g \end{equation} $

(1.2)

的临界点, 其中$ dvol_g $是$ (S^{N}, g) $上的黎曼体积测度, $ \langle \cdot , \cdot \rangle $是$ \Sigma S^{N} $上与度量相容的埃米特内积.

由Schr$ \ddot{o} $dinger-Lichnerowicz公式可知, 紧spin流形上Dirac算子$ D $和Laplace-Beltrami算子$ \triangle $的关系为

$ D^2 =\triangle +\frac{S}{4} , $

其中$ S $是紧spin流形的数量曲率. 因此, 当$ p=2, f(u)=0 $时, 方程(1.1) 简化为

$ \begin{equation*} \triangle u+\frac{S}{4} u = {|u|}^{p^{*}-2} u, \end{equation*} $

此方程可以看作是紧spin流形上的Yamabe方程[4].

关于紧spin流形上具有临界非线性Dirac方程的研究, 已有丰富的结果, 参考[5–9]等, 其中Ammann [5, 6] 研究了如下具有临界非线性Dirac方程解的存在性

$ \begin{equation} D\psi=\lambda|\psi|^\frac{2}{m-1}\psi, \end{equation} $

(1.3)

Maalaoui[8]利用球面$ S^{N} $上一个等距子群的作用, 研究了临界非线性Dirac方程的解的存在性. 但是目前关于$ p $-Dirac方程的研究很少, 只有Pan和Bao [10] 在欧式空间中的有界区域上, 证明了非临界$ p $-Dirac方程具有一列不减的正的特征值序列的存在性. 基于上述的研究结果, 本文研究球面上具有临界指数的$ p $-Dirac方程解的存在性与多解性, 通过借鉴$ p $-Laplace方程的研究方法和技巧, 主要克服了两点困难: 第一点, 由于非线性项的临界增长使得嵌入定理失紧, 导致无法使用通常的方法证明Palais-Smale条件成立, 因此利用球面具有较好的对称性和群作用, 克服临界增长的非线性项带来的失紧性; 第二点, 对于多解性的研究, 其困难在于空间$ W^{1, p}_{G_{k}}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $不是一个Hilbert空间, 且目前尚不清楚$ p $-Dirac算子谱的性质, 不能利用谱分解函数空间, 为此, 我们利用了可分Banach空间上的双正交系理论, 获得了$ p $-Dirac方程的多解性.

关于实值函数$ F:\Sigma S^{N}\rightarrow \mathbb{R}, $有以下假设:

$ (F1) $ 存在$ q \in (p, p^{*}), $使得对任意的$ u:S^{N}\rightarrow \Sigma S^{N}, $有$ |F_u(u)| \leq C(1+|u|^{q-1}), $其中$ p^{*}=Np / (N-p), \, 1<p<N $.

$ (F2) $ 存在$ R>0, \mu>p, $对任意的$ u:S^{N}\rightarrow \Sigma S^{N}, $使得当$ |u| \geq R $时, 有$ 0< \mu F(u) \leq \langle u, f(u)\rangle. $

$ (F3) $ 当$ |u| \rightarrow 0 $时, $ F(u)=o(|u|^{p}) $.

$ (F4) $ 对任意的$ u:S^{N}\rightarrow \Sigma S^{N}, $有$ F(u)=F(-u). $

此外, 为了表达简便, 本文中用到的常数C均表示大于零的某个常数.

本文的主要结果如下:

定理1.1    假设$ F(u) $满足条件$ (F_1)-(F_3), $那么在$ W^{1, p}_{G_{k}}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中方程(1.1) 存在一个弱解.

定理1.2    假设$ F(u) $满足条件$ (F_1)-(F_4), $那么方程(1.1) 存在一列弱解$ \{u_k\}\subset W^{1, p}_{G_{k}}(S^{N}, \Sigma S^{N}), $且当$ k\rightarrow \infty $时, $ I(u_k)\rightarrow \infty $.

设光滑旋量$ u\in C^\infty(S^{N}, \Sigma S^{N}) $的范数定义为

$ \|u\|=(\displaystyle{\int}_{S^{N}}|Du|^{p}dvol_g)^{\frac{1}{p}}, $

$ u $关于此范数的完备化空间是Sobolev空间$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $.

据条件$ (F1), $易证(1.2) 式泛函$ I\in \mathcal{C}^{1}(E, R), $且对任意的$ \xi\in W^{1, p}(\Sigma S^{N}), $泛函$ I $在$ u $处的$ Gateaux $导数为

$ \langle I'(u), \xi \rangle = \displaystyle{\int}_{S^{N}} [ Re\langle D_{p}u, \xi \rangle - Re\langle |u|^{p^{*}-2}u , \xi \rangle - Re\langle f(u), \xi \rangle ] dvol_g，$

其中$ Re\, \langle \cdot, \cdot \rangle $表示取埃米特内积的实部, 为了书写方便, 本文中的$ Re\, \langle \cdot, \cdot \rangle, $均简记成$ \langle \cdot, \cdot \rangle. $

因此, $ p $-Dirac方程(1.1) 的弱解是如下泛函

$ \begin{eqnarray*} I(u) &=& \frac{1}{p}\displaystyle{\int}_{S^{N}} \langle D_{p}u, u \rangle dvol_g-\frac{1}{p^{*}}\displaystyle{\int}_{S^{N}} \langle |u|^{p^{*}-2}u , u \rangle dvol_g - \displaystyle{\int}_{S^{N}} F(u)dvol_g \\ &=& \frac{1}{p}\displaystyle{\int}_{S^{N}} |Du|^pdvol_g-\frac{1}{p^{*}}\displaystyle{\int}_{S^{N}} |u|^{p^{*}} dvol_g - \displaystyle{\int}_{S^{N}} F(u)dvol_g \end{eqnarray*} $

的临界点.

由于连续嵌入$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^{*}}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $不是紧的, 能量泛函$ I(u) $不满足Palais-Smale紧性条件. 容易证明$ S^{N} $的等距变换群是正交群$ O(N+1), $它是维数为$ \frac{N(N+1)}{2} $的紧李群. 下面利用紧李群$ O(N+1) $的子群在球面$ S^{N} $上的作用, 使Sobolev空间重新获得紧性.

定义群$ G: = O(N_1) \times O(N_2)\subset O(N+1) $在$ S^{N} $上的作用为: 对任意的$ (x, y) \in R^{N_1} \times R^{N_2}, \, g=(g_{1}, g_{2})\in G $有

$ g \cdot (x, y) = (g_{1}x, g_{2}y), $

其中$ N_1\geq N_2\geq 2, N_1+N_2=N+1. $根据

$ S^{N}\xrightarrow{id} R^{N+1}\xrightarrow{G} R^{N+1}, $

群作用$ G $可以提升到$ S^{N} $上, 且是等距群$ O(N+1) $的子群. 在文献[11]中, 利用这个群作用证明了变号Yamabe问题存在无穷多解. 在文献[12]中, 把球面$ S^{N} $看作是$ R^{N+1} $的一个子流形, 旋量丛$ \Sigma S^{N} $是$ \Sigma R^{N+1} $的子流形, 从而把等距子群$ G = O(N_1) \times O(N_2) $的作用提升到$ \Sigma S^{N} $上. 从而空间$ C^\infty(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的元素在等距子群$ G $作用下不变的元素构成的空间记为$ C^\infty_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}), $即

$ C^\infty_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) := \{ u \in C^\infty(S^{N}, \Sigma S^{N}) \, : \, \widetilde{g} \cdot u(x) =u(g \cdot x)=u(x) \, , \, \forall g \in G\, , \, x\in S^{N}\}, $

其中$ G $中的元素$ g $作用于$ S^{N} $, $ \widetilde{g} $是$ g $在$ \Sigma S^{N} $上的提升. 为了简便, 我们将用$ g \cdot u $代替$ \widetilde{g}\cdot u $.

类似的, 定义旋量空间$ L^q_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $和$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $分别为

$ L^q_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) := \{ u \in L^q(\Sigma S^{N}) \, : \, \widetilde{g} \cdot u(x) =u(g \cdot x)=u(x) \, , \, \forall g \in G\, , \, x\in S^{N}\}, $

$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) := \{ u \in W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \, : \, \widetilde{g} \cdot u(x) =u(g \cdot x)=u(x) \, , \, \forall g \in G\, , \, x\in S^{N}\}, $

该空间上的范数分别定义为

$ \|u\|_{q} = (\displaystyle{\int}_{S^{N}} |u|^{q} dvol_g)^{\frac{1}{q}} $

和

$ \|u\|=(\displaystyle{\int}_{S^{N}}|Du|^{p}dvol_g)^{\frac{1}{p}}. $

据[14, Lemma5.4]可知, 空间$ C^\infty_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $在$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中是稠密的.

能量泛函$ I $在$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $上的限制, 记为$ I\mid_{W^{1, p}_{G}}, $据对称临界点原理[13]可知$ I\mid_{W^{1, p}_{G}} $的临界点也是$ I $在$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的临界点. 为了简便, 下文中$ I\mid_{W^{1, p}_{G}} $仍记为$ I $.

首先, 证明紧嵌入定理, 如下:

定理3.1    (ⅰ)如果$ N_1>p, $那么对任意的实数$ 1\leq q\leq p_G^*, $嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续的, 当$ 1\leq q< p_G^* $时, 连续嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是紧的, 其中$ p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p} $.

(ⅱ)如果$ N_1\leq p, $那么对任意的实数$ 1\leq q $, $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续紧嵌入.

特别地, 对任意的$ p\geq1 $, $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续紧嵌入, 其中$ p^*=\frac{Np}{N-p} $.

证    由于$ k=\min_{x\in S^N}\dim O_G^x=\min\{N_1, N_2\}-1, $其中$ O_G^x $为点$ x $在群$ G $作用下的轨道, 据$ N_1\geq N_2 $可得$ k=N_2-1 $, 因此$ N-k=N-N_2+1=N_1, $从而$ p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p}. $据[14, Theorem5.6(2)]可知: 如果$ N_1>p, $那么对任意实数$ 1\leq q\leq p_G^*, $嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续的; 如果$ N_1\leq p, $那么对任意的实数$ 1\leq q, $ $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续的.

然后, 利用$ Arzel\grave{a}-Ascoli $定理即可证明连续嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是紧的.

显然$ p^*=\frac{Np}{N-p}<p_G^*=\frac{N_1p}{N_1-p}, $据上述讨论可知: 对任意的$ p\geq1 $, $ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是连续紧嵌入, 其中$ p^*=\frac{Np}{N-p}. $证毕.

下面, 基于文献[8]的启发, 利用集中紧性原理[15]给出了一种新的方法, 重新证明定理$ 3.1 $中: 连续嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{q}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是紧的.

引理3.2^[15]    (集中紧性原理)设$ \{u_{n}\} $是$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的有界序列, $ p \in [1, N). $假设$ u_{n} $在$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中弱收敛于$ u, $且$ |u|^{p^{*}} $弱收敛到测度$ \nu. $那么存在$ x_i\in S^{N} $和$ \nu_{i} \geq 0, $使得

$ \nu =|u|^{p^{*}} + \sum\limits_{i =1}^\infty\nu_{i}\delta_{x_{i}}, \quad \sum\limits_{i=1}^\infty\nu_{i}^{\frac{p}{p^{*}}} < \infty. $

命题    对任意的$ p\geq1, $连续嵌入$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) \hookrightarrow L^{p^*}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是紧的, 其中$ p^*=\frac{Np}{N-p} $.

证    设$ \{u_{n}\} $是$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的有界序列, 根据Sobolev嵌入定理知, 序列$ \{u_{n}\} $在$ L^{p^{*}}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中有界. 因此由$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $和$ L^{p^{*}}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的有界集的弱紧性可得: 存在有界测度$ \nu, $函数$ u $和$ \{u_{n}\} $的子序列, 仍记为$ \{u_{n}\}, $满足$ u_{n} $在$ W^{1, p}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中弱收敛于$ u, $且$ |u|^{p^{*}} $弱收敛到测度$ \nu. $根据引理$ 3.2 $可得

$ \nu = |u|^{p^{*}} + \sum\limits_{i =1}^\infty\nu_{i}\delta_{x_{i}}. $

由$ |u|^{p^{*}} $弱收敛到测度$ \nu $可知, 对任意的$ \phi \in L^{\infty} ({R^{n}}) \cap C({R^{n}}), $有

$ \displaystyle{\int}_{S^{N}}\phi |u_{n}|^{p^{*}}dvol_g \, \rightarrow \, \displaystyle{\int}_{S^{N}} \phi d\nu, $

取$ \phi\equiv 1, $得

$ \begin{equation} \displaystyle{\int}_{S^{N}} |u_{n}|^{p^{*}} dvol_g \rightarrow \displaystyle{\int}_{S^{N}} |u|^{p^{*}} dvol_g + \sum\limits_{i =1}^\infty\nu_{i}. \end{equation} $

(3.1)

但是对于任意的$ g \in G _{k}, $有

$ |g \cdot u_{n}|^{p^{*}} \rightharpoonup |g \cdot u|^{p^{*}} + \sum\limits_{i =1}^\infty\nu_{i}\delta_{gx_{i}}. $

且由于$ {u_{n}} $和$ u $在$ G $的作用下是等变的, 于是

$ \sum\limits_{i =1}^\infty \nu_{i}\delta_{gx_{i}} = \sum\limits_{i =1}^\infty\nu_{i}\delta_{x_{i}}, $

即$ \sum_{i =1}^\infty \nu_{i}(\delta_{gx_{i}} -\delta_{x_{i}})=0. $

由$ G $的连续作用可得$ \delta_{gx_{i}} -\delta_{x_{i}}\neq 0, $所以$ \nu_{i} = 0, \ i=1, 2, \cdot\cdot\cdot. $因此据(3.1) 可知

$ \displaystyle{\int}_{S^{N}} |u_{n}|^{p^{*}} dvol_g \rightarrow \displaystyle{\int}_{S^{N}} |u|^{p^{*}} dvol_g, $

即$ \{u_{n}\} $在$ L^{p^{*}}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中强收敛. 命题得证.

其次, 证明能量泛函$ I $满足Palais-Smale c-条件, 以下简称$ (PS)_{c} $条件. 在证明定理之前, 先给出相关的概念和引理, 如下：

定义3.3    称$ I(u) $满足$ (PS)_{c} $条件是指: 若$ \{u_{n}\} \subset E, $且

$ I(u_{n})\rightarrow c, \quad I'(u_{n})\rightarrow 0, $

则$ \{u_{n}\} $必有收敛子列.

引理3.4^[16]     令$ x, y\in R^{N}, $ $ \langle\cdot, \cdot\rangle $表示$ R^{N} $中的内积. 则

$ \langle |x|^{p-2}x-|y|^{p-2}y, x-y\rangle \, \geq \, \left\{ \begin{array}{ll} c_{p}|x-y|^{p}, & \quad p \geq 2, \\ c_{p}\frac{|x-y|^{2}}{(|x|+|y|)^{2-p}}, & \quad 1<p<2. \end{array} \right. $

注    由于本文中的内积均指实内积$ Re\, \langle \cdot, \cdot \rangle, $所以该不等式在本文中同样成立.

定理3.5    假设$ F $满足条件$ \left(F1\right)-\left(F3\right), $则泛函$ I $在$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $上满足$ (PS)_{c} $条件.

证    设$ \{u_n\} \subset W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是一个$ (PS)_{c} $序列, 即当$ n\rightarrow \infty $时, 有

$ \begin{equation} I(u_{n}) \rightarrow c, \end{equation} $

(3.2)

和

$ \begin{equation} \| I'(u_n)\|_*\rightarrow 0. \end{equation} $

(3.3)

首先证明$ \{u_n\} \subset W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是有界的.

据(3.3) 式, 对充分大的$ n, $以及任意的$ \varphi \in W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}), $有

$ \begin{equation} \langle I'(u_{n}), \varphi \rangle = \displaystyle{\int}_{S^{N}} [ \langle D_{p} u_{n}, \varphi \rangle - \langle |{u_{n}}|^{p^{*}-2} u_{n}, \varphi \rangle - \langle f(u_{n}), \varphi \rangle] dvol_g= o(1)\|\varphi\|. \end{equation} $

(3.4)

由$ (3.2) $式和$ (3.4) $式知

$ \begin{equation} \begin{array}{lll} C_1+o(1)\| u_n\| &\geq& pI(u_{n}) - \langle I'(u_{n}), u_{n} \rangle \\ & = & \frac{p}{N} \int_{S^{N}} |u_{n}|^{p^*} dvol_g + \int_{S^{N}} ( \langle f(u_{n}), u_{n} \rangle - pF(x, u_{n})) dvol_g \\ & = & \frac{p}{N} \int_{S^{N}} |u_{n}|^{p^*} dvol_g + \int_{S^{N}_1} ( \langle f( u_{n}), u_{n} \rangle - pF(u_{n})) dvol_g\\ &+ &\int_{S^{N}_2} ( \langle f( u_{n}), u_{n} \rangle - pF(u_{n})) dvol_g \end{array} \end{equation} $

(3.5)

其中$ S^N_{1} = \{x \in \Sigma S^{N} : |u_{n}(x)|\geq R_1 \}, $ $ S^N_{2} = \{x \in \Sigma S^{N} : |u_{n}(x)| < R_1 \}. $

根据条件$ (F1) $知, 当$ |u_n(x)|<R_1 $时, 有

$ \langle F(u_{n}) , u_{n} \rangle -F(u_{n})\, \geq \, -C_2. $

再根据条件$ (F2), $当$ |u_n(x)|\geq R_1 $时, 有

$ \langle f( u_{n}), u_{n} \rangle - pF(u_{n})\geq (\mu- p)F(u_{n})>0. $

因此, 据(3.5) 式, 可得

$ \begin{equation} \frac{p}{N} \displaystyle{\int}_{S^{N}} |u_{n}|^{p^*} dvol_g\leq C_1+C_2+o(1)\| u_n\|, \end{equation} $

(3.6)

故当$ n $充分大时, 有

$ \begin{equation} \|u_{n}\|^{p^*}_{p^*}\leq C+o(1)\| u_n\|. \end{equation} $

(3.7)

另一方面, 据(3.4), (3.7) 式, 条件$ (F1) $和嵌入定理可得

$ \begin{eqnarray} \|u_{n}\|^p &=& \displaystyle{\int}_{S^{N}} \mid Du_{n}\mid^pdvol_g \leq \displaystyle{\int}_{S^{N}}|{u_{n}}|^{p^*}dvol_g + \displaystyle{\int}_{S^{N}}|\langle F(u_{n}), u_{n} \rangle\mid dvol_g+ o(1)\|u_{n}\| \\ &\leq& \|u_{n}\|^{p^*}_{p^*} + \displaystyle{\int}_{S^{N}}C(1+|u_{n}|^{q-1})\mid u_{n}\mid dvol_g + o(1)\|u_{n}\| \\ &\leq& C+o(1)\| u_n\|+ \displaystyle{\int}_{S^{N}}C\mid u_{n}\mid dvol_g+ \displaystyle{\int}_{S^{N}}C|u_{n}|^q dvol_g\\ &\leq& C+o(1)\| u_n\|+ C\| u_n\|+C\|u_{n}\|_{p^*}^q\\ &\leq& C+o(1)\| u_n\|+ C\| u_n\|+Co(1)\|u_{n}\|^\frac{q}{p^*}. \end{eqnarray} $

(3.8)

因为$ p>1, p<q<p^* $, 所以$ \{u_{n}\} $是$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中的有界序列.

下面证明$ (PS)_{c} $序列$ \{u_{n}\} $具有强收敛的子列.

由$ \{u_{n}\} $的有界性, 据定理$ 3.1 $知: 存在子序列, 不妨记为$ \{u_{n}\}, $使得在$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中$ u_{n}\rightharpoonup u, $在$ L^r_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $中$ u_{n}\rightarrow u, $且$ u_{n}\rightarrow u $几乎处处于$ S^{N} $中, 其中$ 1\leq r\leq p^* $.

据$ (3.4) $可得

$ \begin{array}{l} \int_{S^{N}}\langle D_{p}u_{n}-D_{p}u, u_{n} - u \rangle dvol_g = \int_{S^{N}}\langle |u_{n}|^{p^{*}-2}u_{n} - |u|^{p^{*}-2}u , u_{n}- u \rangle dvol_g \\ + \int_{S^{N}} \langle F(u_{n}) -f(u), u_{n}-u \rangle dvol_g + o(1)\|u_{n}- u \|, \end{array} $

(3.9)

利用H$ \ddot{o} $lder不等式得

$ \begin{equation} \left| \displaystyle{\int}_{S^{N}}\langle |u_{n}|^{p^{*}-2}u_{n} - |u|^{p^{*}-2}u , u_{n}- u \rangle dvol_g\right|\leq (\parallel u_{n}\parallel_{p^{*}}^{p^{*}-1}+\parallel u\parallel_{p^{*}}^{p^{*}-1})\parallel u_{n}- u \parallel_{p^{*}}=o(1), \end{equation} $

(3.10)

据条件$ (F1), $利用H$ \ddot{o} $lder不等式得

$ \begin{equation} \left| \displaystyle{\int}_{S^{N}} \langle F(u_{n}) -f(u), u_{n}-u \rangle dvol_g\right|\leq \parallel u_{n}-u\parallel_1+\parallel u_{n}\parallel_q^{q-1}\parallel u_{n}- u \parallel_q=o(1), \end{equation} $

(3.11)

因此, 据$ (3.9) $, $ (3.10) $, $ (3.11) $可得

$ \begin{equation} \displaystyle{\int}_{S^{N}}\langle D_{p}u_{n}-D_{p}u, u_{n} - u \rangle dvol_g=o(1). \end{equation} $

(3.12)

然后, 利用引理$ 3.4, $可得:

当$ p\geq 2 $时, 有

$ c_{p}\displaystyle{\int}_{S^{N}}|D(u_{n}-u)|^{p}dvol_g \leq \displaystyle{\int}_{S^{N}}\langle D_{p}{u_{n}}-D_{p}u , u_{n} - u \rangle dvol_g \, = \, o(1). $

当$ 1<p<2 $时, 利用$ H\ddot{o}lder $不等式有

$ \begin{array}{lll} &&c_{p}\int_{S^{N}}|D(u_{n}-u)|^{p}dvol_g \\ & \leq &c_{p}[{\int_{S^{N}} (\frac{|D(u_{n}-u)|}{(|Du_{n}|+|Du|)^{\frac{p(2-p)}{2}}})}^{\frac{2}{p}}dvol_g]^{\frac{p}{2}}[\int_{S^{N}} (|Du_{n}|+|Du|)^{{\frac{p(2-p)}{2}\cdot \frac{2}{2-p}}}dvol_g]^{\frac{2-p}{2}} \\ {} & \leq & c_{p}(\int_{S^{N}}\frac{|D(u_{n}-u)|^{2}}{(|Du_{n}|+|Du|)^{2-p}}dvol_g)^\frac{p}{2}(\int_{S^{N}}(|Du_{n}|+|Du|)^{p}dvol_g)^{\frac{2-p}{2}}\\ {} & \leq & C(\int_{S^{N}}\langle D_{p}{u_{n}}-D_{p}u , u_{n} - u \rangle dvol_g)^{\frac{p}{2}} \\ {} & = & o(1). \end{array} $

综上, 当$ n \rightarrow \infty $时, $ \|u_{n}-u\| \rightarrow 0, $即定理$ 3.5 $证毕.

下面给出定理$ 1.1 $和定理$ 1.2 $的证明.

下面利用山路定理, 证明定理$ 1.1. $为此, 先给出山路定理, 如下:

定理4.1    (山路定理)设$ E $是Banach空间, $ I \in \mathcal{C}^{1}(E, R) $, $ I(0)=0 $且满足条件:

$ (i) $存在$ r, \rho >0 $使得当$ u \in S_{r}=\{u\in E:\|u\|=r\} $时, $ I(u) \geq \rho. $

$ (ii) $存在$ e \in E $使得当$ \|e\|>r $时, $ I(e)\leq 0. $

令

$ c=\inf\limits_{\gamma \in \Gamma} \max\limits_{t \in [0, 1]} I(\gamma(t)), $

其中$ \Gamma =\{\gamma \in \mathcal{C}([0, 1], E):\gamma(0)=0, \gamma(1)=e\}. $则$ I $存在一个$ (PS)_{c} $序列. 进一步, 若$ I $满足$ (PS)_{c} $条件, 则$ c $是$ I $的临界值, 即存在$ z \in E, $使得$ I(z)=c $及$ I'(z)=0. $

引理4.2    存在$ r, \rho > 0, $使得当$ u\in S_{r}=\{u\in W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}):\|u\|=r\} $时, $ I(u) \geq \rho. $

证    根据条件$ (F1) $和$ (F3) $知, 对任意$ \varepsilon>0, $存在常数$ C(\varepsilon) > 0, $使得

$ \begin{equation} |F(u)| < \varepsilon |u|^{p} + C(\varepsilon)|u|^{q}. \end{equation} $

(4.1)

于是, 由$ Sobolev $嵌入定理和$ H\ddot{o}lder $不等式有

$ \begin{equation} \begin{array}{lll} I(u) & = & \frac{1}{p} {\int_{S^{N}} \langle D_{p}u, u \rangle dvol_g} -\frac{1}{p^{*}} {\int_{S^{N}} \langle |u|^{p^{*}-2}u, u \rangle dvol_g} - \int_{S^{N}} F(x, u) dvol_g \\ & \geq & \frac{1}{p} \|u\|^p - \frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}}_{p^{*}} - \varepsilon\|u\|_p^p - C(\varepsilon)\|u\|_q^q \\ & \geq & \frac{1}{p} \|u\|^p - C_3\frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}} - C_4\varepsilon\|u\|^p - C_5C(\varepsilon)\|u\|^q \\ & = & \|u\|^p(\frac{1}{p}-C_{3}\frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}-p}-C_4\varepsilon- C_5C(\varepsilon)\|u\|^{q-p}) \\ & \geq & \|u\|^p(\frac{1}{2p}- C_6\|u\|^{q-p}), \end{array} \end{equation} $

(4.2)

其中$ \varepsilon<\frac{1}{2pC_4}, \; C_6=C_{3}\frac{1}{p^{*}}+C_5C(\varepsilon), $且取充分小的$ \|u\| = r < (\frac{1}{4pC_6})^{\frac{1}{q-p}}, $得到

$ I(u) \geq \frac{r^p}{4p} > 0. $

取$ \rho = \frac{r^p}{4p} $即可. 引理得证.

引理4.3    存在$ e\in E, \; \|e\|>r $使得$ I(e) \leq 0 $.

证    根据条件$ (F2) $知, 存在常数$ C_{7}, C_{8}> 0, $使得

$ \begin{equation} F(u) \geq C_{7}|u|^\mu - C_{8}. \end{equation} $

(4.3)

取$ e \in E, \, e \neq 0, $则

$ \begin{array}{lll} I(te) & = & \frac{1}{p} t^{p} {\int_{S^{N}}} |De|^{p} dvol_g -\frac{1}{p^{*}} t^{p^{*}} {\int_{S^{N}}} |e|^{p^{*}} dvol_g - \int_{S^{N}} F(x, te) dvol_g\\ {} & \leq & \frac{1}{p} t^{p} {\int_{S^{N}}} |De|^{p} dvol_g - \frac{1}{p^{*}} t^{p^{*}}{\int_{S^{N}}} |e|^{p^{*}} dvol_g - C_{7} t^\mu {\int_{S^{N}}} |e|^\mu dvol_g + C_{8}|S^{N}| \\ {} & \leq & \frac{1}{p} t^{p}C_{9} \|e\|^p - C_{10} \frac{1}{p^{*}} t^{p^{*}} \|e\|^{p^*} - C_{11}C_{7}t^\mu\|e\|^\mu+C_{8}|S^{N}|. \end{array} $

因为$ p^*>p, \mu>p, $所以当$ t \rightarrow + \infty $时, $ I(te) \rightarrow - \infty . $故必存在$ t_{0}, $使得$ I(t_{0}e) \leq 0 $成立, 且$ \|t_{0}e\| > r . $

定理1.1的证明     据引理$ 4.2 $, 引理$ 4.3 $可知: 山路定理$ 4.1 $的条件$ (i), (ii) $成立. 另外, 据定理$ 3.5, $可知泛函$ I $在$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $上满足$ (PS)_{c} $条件. 因此, 据山路定理可得定理$ 1.1 $成立.

下面利用双正交系理论和喷泉定理来证明定理$ 1.2. $

首先引入双正交系理论, 参考([17], p.42-43), 如下:

定义4.4^[17]     设$ E $是一个Banach空间. $ E^* $是$ E $的对偶空间. $ \{x_n\}_{n=1}^\infty $和$ \{x^*_n\}_{n=1}^\infty $分别是$ E $和$ E^* $中的序列. 如果$ x^*_m(x_n)=\delta_n^m, $则称$ (x_n, x^*_n) $是双正交系. 如果存在序列$ \{x^*_n\}_{n=1}^\infty\subset E^* $使得$ (x_n, x^*_n) $是双正交系, 则称$ \{x_n\}_{n=1}^\infty\subset E $是极小的.

定义4.5^[17]     设$ \{x_n\}_{n=1}^\infty $是$ E $中的极小系, 如果对所有的$ n $, $ x^*(x_n)=0 $蕴含$ x^*=0, $则称$ \{x_n\}_{n=1}^\infty $是基本的; 设$ \{x_n^*\}_{n=1}^\infty $是$ E^* $中的极小系, 如果对所有的$ n $, $ x_n^*(x)=0 $蕴含$ x=0, $则称$ \{x_n^*\}_{n=1}^\infty $是完全的.

引理4.6^[17]     设$ E $是可分的Banach空间. 那么$ E $有一个基本的极小系, 且它的双正交泛函是完全的.

引理4.7^[16]     设$ E_{0} $是Banach空间, $ E $是可分的Banach空间, $ [x^*_{1} , \; \cdots , \; x^*_{n}]_{\bot}:=\{x|x\in E, x^*_{1}(x) =\; \cdots = x^*_{n}(x)=0\} $, $ E $紧嵌入于$ E_{0} $. 设$ \beta_{n} = \inf_{x\in K_{n} } \|x\|_{E}, $其中$ K_{n} = \{ x \; \big{|}\; x \in E, \, \|x\|_{E_{0}} = 1, \, x\in [x^*_{1} , \; \cdots , \; x^*_{n}]_{\bot} \} $. 则对任意的$ x\in [x^*_{1} , \; \cdots , \; x^*_{n}]_{\bot}, $有$ \|x\|_{E_{0}} \leq \beta_{n}^{-1}\|x\|_{E}, $且当$ n \rightarrow \infty $时, $ \beta_{n} \rightarrow \infty. $

证    用反证法.若$ \beta_{n} $有界, 则存在一列$ \{x_{n}\}, $使$ \|x_{n}\|_{E_{0}} = 1, \;\, x_{n} \in [x^*_{1} , \; \cdots , \; x^*_{n}]_{\bot}, $而$ \|x_{n}\|_{E} \leq C. $因为$ E $是自反的, 故存在子列, 仍记为$ \{x_{n}\}, $使$ x_{n} \rightharpoonup x, \;\, {在}E{中}. $因为$ E $是紧嵌入于$ E_{0}, $有$ x_{n} \rightarrow x, \;\, {在} E_{0} {中}. $由Mazur定理知, 若$ x_{n} \rightharpoonup x $则必有$ \sum\limits_{j=n}^{k_{n}}\alpha^{(n)}_{j}x_{j} \rightarrow x, \;\, {在}E{中}. $其中$ \alpha^{(n)}_{j} \geq 0, \, \sum \limits_{j=n}\limits^{k_{n}}\alpha^{(n)}_{j} =1 , \forall n \in N^{+}. $因而, 对任意的$ i $有

$ x^*_{i}(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} x^*_{i}(\sum\limits_{j=n}^{k_{n}}\alpha^{(n)}_{j}x_{j})= \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{j=n}^{k_{n}} \alpha^{(n)}_{j}x^*_{i}(x_{j}) = 0. $

因为$ \{ x^*_{n} \} $是完全的, 故$ x=0, $但是$ \|x_{n}\|_{E_{0}} = 1, $而$ x_{n} \rightarrow x $在$ E_{0} $中, 故$ \|x\|_{E_{0}} = 1. $这就得到矛盾.引理$ 4.7 $证毕.

其次, 给出喷泉定理, 如下: 假设$ X $是一个以$ \{ e_{j}\}_{j=1}^{\infty} $为基的Banach空间, 即$ X=\overline{\bigoplus_{j = 1 }^{\infty} e_{j} } $, 取$ Y_{k} = \bigoplus_{j = 1 }^{k}e_j, \; Z_{k} = \overline{\bigoplus_{j = k }^{\infty} e_{j} } . $

定理4.8^[18]    (喷泉定理)设$ X=Y_k+Z_k $, $ I $满足$ (PS)_{c} $条件, $ I \in \mathcal{C}^{1}(X, R) $是一个偶泛函. 如果对每一个$ k, $存在$ \rho_k>r_k>0 $使得

$ (i) $ $ a_{k} := \max\{ I(u) \; \big{|} \; u \in Y_{k}, \; \|u\| = \rho_k \}\leq 0. $

$ (ii) $当$ k\rightarrow \infty $时, $ b_{k} := \inf\{ I(u) \; \big{|} \; u \in Z_{k}, \; \|u\| = r_k\}\rightarrow +\infty. $

则$ I $有无界的临界值序列.

根据双正交系理论, 由于$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是可分的Banach空间, 特别地, 取$ \{ u_{n}\}_{n=1}^{\infty} $是$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $的$ Schauder $基, 据引理$ 4.6 $可得: 存在一个双正交系$ (u_{n}, u_{n}^{*}), $其中$ \{ u_{n}\}_{n=1}^\infty \subset W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $, $ \{ u_{n}^{*}\}_{n=1}^\infty \subset (W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}))^{*} $且$ \|u_{n}\|=1. $此外, $ \{u_{n}^{*}\} $关于$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是完全的双正交泛函, 即

$ \{ u \; \big{|}\; u \in W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}), \, (u_{n}^{*}, u) = 0, \, n=1, 2, \cdots\} =\{ 0 \}. $

记

$ Y_{k} = span\{u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{k} \}, \quad Z_{k} = \overline{span\{u_k, u_{k+1} , u_{k+2} , \cdots \}}, $

且

$ [u_{1}^{*}, \; u_{2}^{*}, \; \cdots , \; u_{k-1}^{*} ]_{\bot} = \{ u \in E\mid \; u_{1}^{*}(u) \; = \; \cdots = \; u_{k-1}^{*}(u) =\; 0 \}. $

显然,

$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})= Y_{k} + Z_{k}, \ \, Z_{k} \subset [u_{1}^{*}, \; u_{2}^{*}, \; \cdots , \; u_{k-1}^{*} ]_{\bot}. $

首先证明喷泉定理中的条件$ (i) $成立.

引理4.9    存在$ \rho_k> 0 , $使得对任意的$ u \in Y_{k}, \, \|u\| \geq \rho_k, $有$ I(u) \leq 0. $

证    据(4.2) 式有

$ \begin{array}{lll} I(u) & = & \frac{1}{p} {\int_{S^{N}}} |Du|^{p} dvol_g - \frac{1}{p^{*}} {\int_{S^{N}}} |u|^{p^{*}} dvol_g - \int_{S^{N}} F(u) dvol_g\\ {} & \leq & \frac{1}{p} \|u\|^{p} - \frac{1}{p^{*}} \|u\|_{p^{*}}^{p^{*}}- C_{7} \|u\|_\mu^\mu + C_{8}|S^{N}|. \end{array} $

因为$ dim( Y_{k})=k<\infty, $据有限维空间上所有的范数是等价的, 所以存在$ C_1(k), C_2(k)> 0, $使得

$ \|u\|_{p^{*}}^{p^{*}} \geq C_1(k) \|u\|^{p^{*}}, \; \|u\|_\mu^\mu \geq C_2(k) \|u\|^\mu $

从而,

$ I(u) \, \leq \, \frac{1}{p} \|u\|^{p} -C_1(k) \frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}} -C_{7}C_2(k) \|u\|^\mu+ C_{8}|S^{N}|. $

由于$ p^{*} > p, \mu>p, $因此存在足够大的$ \rho_k>0, $当$ u \in Y_{k}, \, \|u\| \geq \rho_k $时, 有

$ \begin{array}{lll} I(u) & \leq & \frac{1}{p} {\rho_k}^{p} -C_1(k) \frac{1}{p^{*}}\rho_k^{p^{*}} -C_{7}C_2(k) \rho_k^\mu+ C_{8}|S^{N}| \\ {} & \leq & 0. \end{array} $

引理$ 4.9 $证毕.

引理4.10    存在$ r(m) > 0, $使得当$ m \rightarrow \infty $时, 有

$ b_{k} = \inf\{ I(u) \; \big{|} \; u \in Z_{k}, \; \|u\| = r(m) \}\rightarrow + \infty. $

证    据(4.2) 式和$ L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N})\hookrightarrow L^{q}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $可知:

$ \begin{eqnarray} I(u) & \geq & \frac{1}{p} \|u\|^p - \frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}}_{p^{*}} - \varepsilon\|u\|_p^p - C(\varepsilon)\|u\|_q^q \\ & \geq & \frac{1}{p} \|u\|^p - \frac{1}{p^{*}}\|u\|^{p^{*}}_{p^{*}}- \varepsilon\|u\|_p^p - C_9C(\varepsilon)\|u\|_{p^{*}}^q . \end{eqnarray} $

(4.4)

令$ \beta_{k} = \inf_{u \in Z_{k}} \| u \|, $对每一个$ u\in Z_{k}, $由于$ W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $嵌入$ L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $是紧的, 因此把$ L^{p^*}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $看作引理$ 4.7 $中的$ E_0, $据引理$ 4.7, $从(4.4) 式可得

$ \begin{equation} I(u) \geq \frac{1}{p} \|u\|^{p} - \frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} \|u\|^{p^{*}} - \varepsilon \beta_{k}^{-p}\|u\|^{p} - C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q}\|u\|^{q}, \end{equation} $

(4.5)

对足够大的$ k, $使得$ \varepsilon\beta_{k}^{-p} \leq \frac{1}{2p}, $且令$ \|u\|:=r(k)>1, $据(4.5) 式和$ q<p^* $可得

$ \begin{eqnarray} I(u) &\geq& \frac{1}{2p}{r(k)}^{p} - \frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} {r(k)}^{p^{*}} - C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q}{r(k)}^{q} \\ &\geq& \frac{1}{2p}{r(k)}^{p} - \frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} {r(k)}^{p^{*}} - C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q}{r(k)}^{p^{*}}\\ &\geq& \frac{1}{2p}{r(k)}^{p} - [\frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} +C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q}]{r(k)}^{p^{*}}. \end{eqnarray} $

(4.6)

因为函数

$ {r(k)} \mapsto \frac{1}{2p}{r(k)}^{p} - [\frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} + C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q}]{r(k)}^{p^{*}} $

在$ {r(k)} = [2p^*(\frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} +C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q})]^{\frac{1}{p-p^*}} $处取得最大值

$ \frac{p^*-p}{2pp^*}([2p^*(\frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} +C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q})]^{\frac{p}{p-p^*}}). $

因此, 据引理$ 4.7 $和$ p<p^* $可知: 当$ k\rightarrow \infty $时, 有

$ b_{k} = \inf\limits_{\substack{u \in Z_{k} \\ \|u\| = {r(k)}} }I(u) \geq \frac{p^*-p}{2pp^*}([2p^*(\frac{1}{p^{*}} \beta_{k}^{-p^{*}} +C_9C(\varepsilon) \beta_{k}^{-q})]^{\frac{p}{p-p^*}}\rightarrow +\infty. $

证毕.

定理1.2的证明     显然, 泛函$ I $是一个偶泛函.取足够大的$ \rho(k), $使得对每个$ k, $有$ \rho(k)>r(k) $.

$ B_k:=\{u\in Y_{k}:\|u\| \leq \rho_k \}, $

令

$ \Gamma_k: =\{ \gamma \in \mathcal{C}(B_k, W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N})): \gamma(u)=\gamma(-u), \gamma \big{|}_{\partial B_k }=id \}, $

$ c_k:=\inf\limits_{\gamma\in \Gamma_k}\max\limits_{u\in B_k}I(\gamma(u)). $

据定理$ 3.5, $引理$ 4.9, $以及引理$ 4.10 $可知: 存在一个序列$ \{u_{n}\} \subset W^{1, p}_{G}(S^{N}, \Sigma S^{N}) $满足

$ I(u_{n}) \rightarrow c_{k}\; , \qquad I'(u_{n}) \rightarrow 0, $

其中$ c_{k} $是$ I $的临界值, 当$ k \rightarrow \infty $时, $ c_{k} \geq b_{k}, \; b_{k} \rightarrow +\infty, $则定理$ 1.2 $证毕.