具有较小点数区本原对称设计的分类


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	占莉雯

	詹小秦

具有较小点数区本原对称设计的分类

占莉雯, 詹小秦

华东交通大学理学院, 江西南昌 330013

收稿日期：2024-08-05; 接收日期：2024-09-23

基金项目：国家自然科学基金资助(12361004);江西省自然科学基金资助(20224BAB211005, 20242BAB25005).

作者简介：占莉雯(2001—), 女, 研究生, 研究方向: 置换群与组合设计.E-mail: 2731976870@qq.com.

通讯作者：詹小秦(1988—), 男, 副教授, 主要研究方向: 置换群与组合设计.E-mail: zhanxiaoqinshuai@163.com.

摘要：研究区传递2-设计的分类是置换群与组合设计领域中的重要课题之一. 目前关于区传递2-设计的分类主要集中在自同构群具有旗传递性和点本原性上. 本文研究了区本原2-$ (v, k, \lambda) $对称设计的分类问题, 并证明了当设计的点数不大于200且自同构群不为仿射型时, 在同构意义下只存在54个这样的设计.

关键词：区本原自同构群对称设计几乎单型乘积型

THE CLASSIFICATION OF BLOCK-PRIMITIVE SYMMETRIC DESIGNS WITH SMALL POINTS NUMBER

ZHAN Li-wen, ZHAN Xiao-qin

School of Science, East China Jiao Tong University, Nanchang 330013, China

Abstract: The study of the classification of block-transitive 2-designs is one of the important topics in the field of permutation group and combinatorial designs. At persent, the classification of block-transitive 2-designs mainly focuses on the flag-transitivity and point-primitivity. In this article, we study the classification of block-primitive 2-$ (v, k, \lambda) $ symmetric designs, and prove the following result: Let $ D $ be a 2-$ (v, k, \lambda) $ symmetric design with $ v\leq200 $, and $ G $ be a block-primitive automorphism group of $ D $. If $ G $ is not of affine type, then up to isomorphism there are only 54 such designs.

Keywords: Block-primitive automorphism symmetric design almost simple product type

1 引言

一个2-$ (v, k, \lambda) $设计$ \cal D $是指满足下列条件的关联结构$ (\cal P, \cal B) $:

(1) $ \cal P $是由$ v $个元素组成的一个集合, $ \cal P $中的元素称为点;

(2) $ \cal B $是由$ \cal P $中的$ k $元子集组成的一个集族, $ \cal B $中的元素称为区组或者区;

(3) $ \cal P $中任意两个点恰好包含在$ \cal B $中的$ \lambda $个区组内.

在一个2-$ (v, k, \lambda) $设计$ \cal D $中, 通常用$ b $来表示$ \cal B $中元素的个数, 即$ |\cal B| $=$ b $, 用$ r $来表示$ \cal P $中任意一点所在区组的个数. 以上所给出的参数都是正整数, 若参数满足$ 3<k<v-1 $, 则称设计$ \cal D $是非平凡设计. 此外, 若参数还满足$ b<\binom{v}{k} $, 则称设计$ \cal D $是非完全设计. 特别地, 当$ b=v $时, 称$ \cal D $为对称设计.

设计$ \cal D $到自身的同构称为它的自同构, 显然它是保持$ \cal B $不变的$ \cal P $上的一个置换. 一个设计的所有自同构组成一个群, 称其为这个设计的全自同构群, 记为$ Aut(\cal D) $. 其中它的任意一个子群$ G $称为$ \cal D $的一个自同构群, 记为$ G\leq Aut(\cal D) $. 若$ G $作用在点集$ \cal P $上是传递(本原) 的, 则称$ G $是点传递(点本原) 的, 或称设计$ \cal D $是点传递(点本原) 的. 若$ G $作用在区集$ \cal B $上是传递(本原) 的, 则称$ G $是区传递(区本原) 的, 或称设计$ \cal D $是区传递(区本原) 的. 类似地还有旗(反旗) 传递的定义, 旗和反旗都是$ \cal D $上的一个点区对$ (\alpha, B) $, 其中旗满足$ \alpha\in B $; 而反旗满足$ \alpha\notin B $. 若自同构群$ G $是区(旗) 传递的, 则称设计$ \cal D $中的任意一个区为基区. 令$ \cal B^{\prime} $=$\{ \cal P\setminus \mathrm B|\mathrm B\in \cal B \}$, 则称关联结构$ \cal D^{\prime} $=($ \cal P, \cal B^{\prime} $) 为$ \cal D $的补设计, 且$ \cal D^{\prime} $是一个2-$ (v, v-k, b-2k+\lambda) $设计.

在研究组合设计的分类问题时, 我们常常赋予该设计某种传递性, 比如旗传递、区传递、点传递、区本原、点本原、点非本原等等, 由上面给出的相关定义可知, 若2-$ (v, k, \lambda) $设计的自同构群$ G $是旗传递的, 则$ G $即是点传递的也是区传递的. 1967年Block^[1]证明了区传递自同构群一定是点传递的, 特别地, 对于对称设计而言, 其自同构群作用在点上和区上的轨道数相等, 因此, 对称设计自同构群的区传递性与点传递性等价. 然而, 自同构群的旗传递性、区传递性或区本原性都不能推导出点本原性. 因此学者们在研究这部分内容时往往要对设计的参数或者设计的自同构群类型加以限制. 早在1961年Higman和McLaughlin^[2]证明了2-$ (v, k, 1) $设计的旗传递自同构群是点本原的. 1989年Delandtsheer和Doyen^[3]证明了当$ v>(\binom{k}{2}-1)^{2} $时, $ t $-$ (v, k, \lambda) $设计的区传递自同构群是点本原的. 同年Delandtsheer^[4]证明了若2-$ (v, k, 1) $设计的自同构群$ G $是区本原的, 则$ G $一定是几乎单型或仿射型本原群. 之后关于自同构群为区本原的研究结果大都集中在2-$ (v, k, 1) $设计上, 详细可参考文献[5-7].

1985年, Kantor^[8]对自同构群为2-传递的对称设计完成了分类. 2001到2004年期间Dempwolff^{[9, 10]}完成自同构群为本原秩3几乎单型或仿射型对称设计的分类. 2010年Brai$ \acute{c} $^[11]等四人给出了点数为素数次幂且小于2500的所有点本原对称设计, 紧接着在2011年他们^[12]又给出了点数不为素数次幂且小于2500的所有点本原对称设计. 近期Alavi^[13]对基柱为散在单群的旗传递对称设计进行了分类, 并得到了一个点非本原的旗传递对称设计.

本文将从另外一个角度来研究具有高度对称性2-设计的分类, 并给出了点数不超过200的区本原对称设计的分类, 得到如下结果:

定理1.1 设$ \cal D $=($ \cal P, \cal B $) 是一个非平凡的区本原对称2-$ (v, k, \lambda) $设计, 若$ G\leq Aut(\cal D) $不是仿射型且$ v\leq200 $, 则存在54个两两不同构的设计. 特别地, 当$ k\leq \frac{v}{2} $时, $ \cal D $为下列情形之一:

(1) $ \cal D $是射影几何$ PG(n, q) $中的点-超平面设计, 即2-$ (\frac{q^{n+1}-1}{q-1}, \frac{q^{n}-1}{q-1}, \frac{q^{n-1}-1}{q-1}) $设计. 其中$ (n, q) $为下表17种情况之一:

表 1 射影几何$ PG(n, q) $中的17个点-超平面设计

(2) $ \cal D $是一个$ 2-(\frac{3^{m}(3^{m}+1)}{2}, \frac{3^{m-1}(3^{m}-1)}{2}, \frac{3^{m-1}(3^{m-1}-1)}{2}) $对称设计, 其中$ m=2 $, 即$ \cal D $是一个2-(45, 12, 3)设计;

(3) $ \cal D $是一个2-$ (4t-1, 2t-1, t-1) $设计(Hadamard设计), 其中$ t=3 $或$ t=9 $, 即$ \cal D $是一个2-(11, 5, 2) 设计、2-(35, 17, 8) 设计;

(4) $ \cal D $是一个2-$ (4t^{2}, 2t^{2}-t, t^{2}-t) $设计(Menon设计), 其中$ t=3 $或$ t=6 $, 即$ \cal D $是一个2-(36, 15, 6) 设计、2-(144, 66, 30) 设计;

(5) $ \cal D $是一个2-(56, 11, 2) 设计(Biplane);

(6) $ \cal D $是一个2-(176, 50, 14) 设计(Higman设计).

注当设计的自同构群具有区本原性时, 在同构意义下, 存在两个不同的2-(36, 15, 6) 设计、两个不同的2-(40, 13, 4) 设计和两个不同的2-(63, 31, 15) 设计; 其余设计在同构意义下均只有一个.

推论1.1 设$ \cal D $是一个2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, $ G\leq Aut(\cal D) $是区本原的, 当$ v\leq200 $时, 除了唯一一个2-(144, 66, 30) 设计, 其他设计的自同构群$ G $都是点本原的.

推论1.2 设$ \cal D $是一个2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, $ G\leq Aut(\cal D) $是区本原的, 当$ v\leq200 $时, 则$ G $只能是仿射型或几乎单型.

推论1.3 设$ \cal D $是一个2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, $ G\leq Aut(\cal D) $是区本原的, 当$ v\leq200 $时, 除了下面12种情形之外, 其余42个设计的自同构群只能是旗传递的.

表 2 自同构群具有反旗传递性的对称设计

情形	$ (v, k, \lambda ) $	$ G $	次级数	传递性
1	(15, 7, 3)	$ A_6 $	1, 6, 8	反旗传递
		$ S_6 $	1, 6, 8	反旗传递
		$ A_7 $	7, 8	旗传递
		$ PSL(4, 2) $	7, 8	旗传递
2	(35, 17, 8)	$ A_7 $	1, 4, 12, 18	反旗传递
		$ S_7 $	1, 4, 12, 18	反旗传递
		$ A_8 $	1, 16, 18	反旗传递
		$ S_8 $	1, 16, 18	反旗传递
3	(36, 15, 6)	$ P\Gamma U(3, 3) $	1, 14, 21	反旗传递
		$ PSp(4, 3) $	1, 15, 20	旗传递
		$ PSp(4, 3):2 $	1, 15, 20	旗传递
4	(36, 21, 12)	$ P\Gamma U(3, 3) $	1, 14, 21	旗传递
		$ PSp(4, 3) $	1, 15, 20	反旗传递
		$ PSp(4, 3):2 $	1, 15, 20	反旗传递
5	(40, 13, 4)	$ PSp(4, 3) $	1, 12, 27	反旗传递
		$ PSp(4, 3):2 $	1, 12, 27	反旗传递
		$ PSL(4, 3) $	13, 27	旗传递
		$ PGL(4, 3) $	13, 27	旗传递
6	(45, 33, 24)	$ PSp(4, 3) $	1, 12, 32	反旗传递
6	(45, 33, 24)	$ PSp(4, 3):2 $	1, 12, 32	反旗传递
7	(56, 11, 2)	$ PSL(3, 4) $	1, 10, 45	反旗传递
		$ PSL(3, 4).2_{1} $	1, 10, 45	反旗传递
		$ PSL(3, 4).2_{2} $	1, 10, 45	反旗传递
		$ PSL(3, 4).2_{3} $	1, 10, 45	反旗传递
		$ PSL(3, 4).2^{2} $	1, 10, 45	反旗传递
8	(63, 31, 15)	$ PSU(3, 3) $	1, 6, 24, 32	反旗传递
		$ PSU(3, 3).2 $	1, 6, 24, 32	反旗传递
		$ PSp(6, 2) $	1, 30, 32	反旗传递
		$ PSL(6, 2) $	31, 32	旗传递
9	(85, 21, 5)	$ PSp(4, 4) $	1, 20, 64	反旗传递
		$ PSp(4, 4).2 $	1, 20, 64	反旗传递
		$ PSL(4, 4) $	21, 64	旗传递
		$ P\Sigma L(4, 4) $	21, 64	旗传递
10	(144, 78, 42)	$ M_{12} $	1, 11, 11, 55, 66	反旗传递
10	(144, 78, 42)	$ M_{12}.2 $	1, 22, 55, 66	反旗传递
11	(156, 31, 6)	$ PSp(4, 5) $	1, 30, 125	反旗传递
		$ PSp(4, 5).2 $	1, 30, 125	反旗传递
		$ PSL(4, 5) $	1, 30, 125	反旗传递
		$ PSL(4, 5).2 $	31, 125	旗传递
		$ PGL(4, 5) $	31, 125	旗传递
12	(176, 50, 14)	$ M_{22} $	15, 35, 126	反旗传递
12	(176, 50, 14)	$ HS $	50, 126	旗传递

表 2 自同构群具有反旗传递性的对称设计

2 相关引理

下面给出证明定理1.1的一些重要引理.

引理2.1 ^[14] 设$ \cal D $是一个2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, 则其参数$ (v, k, \lambda) $满足$ \lambda(v-1)=k(k-1) $.

引理2.2 ^[15] 若存在以$ G $为区本原自同构群的2-$ (v, k, \lambda) $设计$ \cal D $, 则区长$ k $一定是区稳定子群$ G_{B} $作用在点集$ \cal P $上的若干个轨道的长度之和.

证设$ G $是一个2-$ (v, k, \lambda) $设计的区本原自同构群, 对任意区组$ B $, 都有$ B^{G_{B}}=B $, 所以区组$ B $为$ G_{B} $作用在点集$ \cal P $上的若干个轨道的并, 即区长$ k $一定是区稳定子群$ G_{B} $作用在点集$ \cal P $上的若干个轨道的长度之和.

由2-设计的定义可知:

引理2.3 设$ G $是点集$ \cal P $上的2-传递群, 对$ \cal P $中任意$ k $-子集$ B $, 则关联结构($ \cal P $, $ B^G $) 是区传递2-设计.

引理2.4 (射影几何基本定理)$ G=P\Gamma L(n+1, q) $为射影几何$ PG(n, q) $中点-超平面设计的区本原且点本原的全自同构群.

引理2.5 若$ G $是对称设计$ \cal D $=($ \cal P, \cal B $) 上的区本原自同构群, 则$ G $也一定是其补设计$ \cal D^{\prime} $上的区本原自同构群.

证反证法, 设$ G\leq Aut(\cal D) $作用在$ \cal B^{\prime} $=$\{ \cal P\setminus \mathrm{B}|\mathrm B\in \cal B \}$ 是非本原的, 且$\{ \triangle_ {1}^{'}, \triangle_{2}^{'}, \cdots, \triangle_{t}^{'}\} $ 是区集$ \cal B^{\prime} $的非本原划分, 其中每个非本原块$ \triangle_{t}^{'} (1 \leq i \leq t) $的长为$ s $, 则有$ \cal B^{\prime} $=$ \triangle_ {1}^{'} \cup \triangle_{2}^{'} \cup \cdots \cup \triangle_{t}^{'} $且$ b=st $. 再令$ \triangle _ {i} $=$\{ \mathrm B | \cal P \setminus \mathrm B \in \triangle_{\mathrm t}^{'} \}$, 则$ \{\triangle_ {1}, \triangle_{2}, \cdots, \triangle_{t}\} $ 为$ \cal B $上的非本原划分, 即$ G $在区集$ \cal B $上存在非本原划分, 与$ G $是$ \cal D $上的区本原自同构群矛盾.

3 定理的证明

下面用3.1和3.2节来证明定理1.1, 在3.3节中用两个具体的实例来说明本文的方法.

3.1 参数的可能性

由于$ \cal D $的非平凡性及引理2.1可知, 对称设计$ \cal D $的参数$ (v, k, \lambda) $必须满足下面三个条件:

(1) $ v\leq200 $;

(2) $ 3\leq k \leq v-2 $;

(3) $ \lambda=\frac{k(k-1)}{v-1} $是一个整数.

根据这三个条件, 并借助代数软件Magma共得到了400组满足这些条件的参数$ (v, k, \lambda) $. 由引理2.5可知, 若$ \cal D $是一个区本原2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, 则其补设$ \cal D^{\prime} $也是区本原的. 因此不妨假定$ k\leq \frac{v}{2} $, 这时只需考虑200组参数$ (v, k, \lambda) $.

3.2 参数的分析

下面在这200组的$ (v, k, \lambda) $基础上筛选出符合设计条件的参数$ (v, k, \lambda, G) $.

易知当点数$ v\leq200 $时, 自同构群$ G $可以由Magma命令PrimitiveGroup(v, n) 得到, 且$ G $只能是仿射型、几乎单型或乘积型. 若只考虑自同构群为几乎单型或乘积型的情况, 此时共有598组$ (v, k, \lambda, G) $.

当$ Soc(G)=A_{v} $或$ S_{v} $时, $ G $是$ (v-2) $-传递作用在点集$ \cal P $上. 由引理2.3可知, 对$ \cal P $中任意$ k $-子集$ B $, 关联结构($ \cal P $, $ B^G $) 一定是区数$ b=\binom{v}{k} $的一个设计. 又由$ \cal D $的非平凡性可知$ b\neq v $, 与$ \cal D $是对称设计矛盾, 因此$ Soc(G)=A_{v} $或$ S_{v} $时的情况不予考虑. 剔除完这两种情况, 还剩下335组$ (v, k, \lambda, G) $.

根据引理2.4可知, 当$ v\leq 200 $时, 一定会存在17组点-超平面设计, 其中参数为$ (\frac{q^{n+1}-1}{q-1}, \frac{q^{n}-1}{q-1}, \frac{q^{n-1}-1}{q-1}) $, 即定理1.1中的情况(1). 此时有28组$ (v, k, \lambda, G) $, 其中$ G $的基柱为$ PSL(n, q) $. 因此, 下面对剩余的307组$ (v, k, \lambda, G) $进行分析.

设$ \cal D $=($ \cal P, \cal B $) 是一个2-$ (v, k, \lambda) $对称设计, $ G $是$ \cal D $的一个区本原自同构群. 则$ \cal D $和$ G $必须要依次满足下面3个条件:

(1) $ G_{B} $作用在点集$ \cal P $上某些轨道长之和等于$ k $ (引理2.2).

由于文章讨论的是区本原对称设计, 利用命令PrimitiveGroup(v, n) 得到的是区集上的本原自同构群, 又由于$ |G:G_{B} | $=$ |G:G_{\alpha}| $, 其中$ B $是$ \cal D $的任一区, $ \alpha $是$ \cal P $的任一点, 因此$ G $中至少会存在一个指数为$ v $的子群$ H $. 利用陪集作用的命令F, G: =CosetAction(G, H) 可以得到群$ G $作用在$ v $个点上的传递置换群$ G $, 其中$ H $可由命令Subgroups(G: OrderEqual: =n) 得到, 且$ n=\frac{|G|}{b} $. 利用这两个命令并结合Orbits($ G_{B} $) 得到$ G_{B} $作用在点集$ \cal P $上的轨道.

利用上述结论可知有210组参数$ (v, k, \lambda, G) $不满足条件(1), 接下来只需考虑剩余的97组参数(详见下面的表 3)

表 3 可能存在的2-$ (v, k, \lambda, G) $设计和对应的自同构群$ G $

情形	$ (v, k, \lambda ) $	$ G $	设计/参考条件	说明
1	(11, 5, 2)	$ PSL(2, 11) $	$ D_1 $	Hadamard设计
2	(15, 7, 3)	$ A_{6} $	$ D_2 $	同构于点-超平面
3		$ S_{6} $	$ \cong D_{2} $	同构于点-超平面
4		$ A_{7} $	$ \cong D_{2} $	同构于点-超平面
5	(21, 5, 1)	$ PGL(2, 7) $	(3)
6	(25, 16, 10)	$ (A_{5}\times A_{5}):2 $	(3)
7		$ (A_{5}\times A_{5}):2^{2} $	(3)
8		$ (A_{5}\times A_{5}):4 $	(3)
9		$ (S_{5}\times S_{5}):2 $	(3)
10	(35, 17, 8)	$ A_{7} $	$ D_3 $	Hadamard设计
11		$ S_{7} $	$ \cong D_{3} $	Hadamard设计
12		$ A_{8} $	$ \cong D_{3} $	Hadamard设计
13		$ S_{8} $	$ \cong D_{3} $	Hadamard设计
14	(36, 15, 6)	$ PSL(2, 8) $	(3)
15		$ M_{10} $	(3)
16		$ PGL(2, 9) $	(3)
17		$ P\Gamma L(2, 9) $	(3)
18		$ P\Gamma L(2, 8) $	(3)
19		$ PSU(3, 3) $	(3)
20		$ P\Gamma U(3, 3) $	$ D_{4} $	Menon设计
21		$ PSp(4, 3) $	$ D_{5} $	Menon设计
22		$ PSp(4, 3):2 $	$ \cong D_{5} $	Menon设计
23		$ A_{9} $	(3)
24		$ S_{9} $	(3)
25	(40, 13, 4)	$ PSp(4, 3) $	$ D_{6} $	同构于点-超平面
26		$ PSp(4, 3):2 $	$ D_{7} $
27	(45, 12, 3)	$ M_{10} $	(3)
28		$ PGL(2, 9) $	(3)
29		$ P\Gamma L(2, 9) $	(3)
30		$ PSp(4, 3) $	$ D_{8} $
31		$ PSp(4, 3):2 $	$ \cong D_{8} $
32	(49, 16, 5)	$ (PSL(3, 2)\times PSL(3, 2)):2 $	(3)
33	(52, 18, 6)	$ PSL(3, 3).2 $	(3)
34	(55, 27, 13)	$ PSL(2, 11) $	(3)
35		$ PGL(2, 11) $	(3)
36	(56, 11, 2)	$ PSL(3, 4) $	$ D_{9} $	Biplane
37		$ PSL(3, 4).2_{1} $	$ \cong D_{9} $	Biplane
38		$ PSL(3, 4).2_{2} $	$ \cong D_{9} $	Biplane
39		$ PSL(3, 4).2_{3} $	$ \cong D_{9} $	Biplane
40		$ PSL(3, 4).2^{2} $	$ \cong D_{9} $	Biplane
41	(63, 31, 15)	$ PSU(3, 3) $	$ D_{10} $
42		$ PSU(3, 3).2 $	$ D_{11} $	同构于点-超平面
43		$ PSp(6, 2) $	$ \cong D_{11} $	同构于点-超平面
44	(64, 28, 12)	$ PGL(2, 7)\wr S_{2} $	(3)
45		$ S_{8}\wr S_{2} $	(3)
46	(66, 26, 10)	$ PGL(2, 11) $	(3)
47	(78, 22, 6)	$ PSL(2, 13) $	(3)
48		$ PGL(2, 13) $	(3)
49	(81, 16, 3)	$ PSL(2, 8)\wr S_{2} $	(3)
50		$ PSL(2, 8)^{2}.S_{3} $	(3)
51		$ PSL(2, 8)^{2}.6 $	(3)
52		$ P\sum L(2, 8)\wr S_{2} $	(3)
53		$ A_{9}\wr S_{2} $	(3)
54		$ {A_{9}}^{2}.4 $	(3)
55		$ {A_{9}}^{2}.2^{2} $	(3)
56		$ S_{9}\wr S_{2} $	(3)
57	(85, 21, 5)	$ PSp(4, 4) $	$ D_{12} $	同构于点-超平面
58		$ PSp(4, 4).2 $	$ \cong D_{12} $	同构于点-超平面
59	(91, 36, 14)	$ PSL(2, 13) $	(3)
60		$ PGL(2, 13) $	(3)
61	(91, 10, 1)	$ PSL(2, 13) $	(3)
62	(91, 45, 22)	$ PSL(2, 13) $	(3)
63	(100, 45, 20)	$ S_{5}\wr S_{2} $	(3)
64		$ {A_{5}}^{2}.4 $	(3)
65		$ {A_{5}}^{2}.2^{2} $	(3)
66		$ S_{5}\wr S_{2} $	(3)
67	(105, 40, 15)	$ PSL(3, 4).2 $	(3)
68		$ PSL(3, 4).2^{2} $	(3)
69		$ PSL(3, 4).S_{3} $	(3)
70		$ PSL(3, 4).6 $	(3)
71		$ PSL(3, 4).D_{12} $	(3)
72	(117, 29, 7)	$ PSL(3, 3).2 $	(3)
73	(120, 35, 10)	$ PSL(2, 16) $	(3)
74		$ PSL(2, 16).2 $	(3)
75		$ P\sum L(2, 16) $	(3)
76	(121, 25, 5)	$ PSL(2, 11)\wr S_{2} $	(3)
77	(121, 40, 13)	$ PSL(2, 11)\wr S_{2} $	(3)
78	(136, 55, 22)	$ PSL(2, 17) $	(3)
79		$ PGL(2, 17) $	(3)
80		$ PSL(2, 16).2 $	(3)
81		$ P\sum L(2, 16) $	(3)
82	(144, 66, 30)	$ PSL(3, 3) $	(3)
83		$ PSL(3, 3).2 $	(3)
84		$ M_{12} $	$ D_{13} $	Menon设计
85		$ M_{12}.2 $	$ \cong D_{13} $	Menon设计
86	(153, 57, 21)	$ PSL(2, 17) $	(3)
87		$ PGL(2, 17) $	(3)
88	(156, 31, 6)	$ PSp(4, 5) $	$ D_{14} $	同构于点-超平面
89		$ PSp(4, 5).2 $	$ \cong D_{14} $	同构于点-超平面
90	(171, 35, 7)	$ PSL(2, 19) $	(3)
91	(171, 51, 15)	$ PSL(2, 19) $	(3)
92		$ PGL(2, 19) $	(3)
93	(171, 85, 42)	$ PSL(2, 19) $	(3)
94	(176, 50, 14)	$ M_{22} $	$ D_{15} $	Higman设计
95		$ HS $	$ \cong D_{15} $	Higman设计
96	(190, 28, 4)	$ PSL(2, 19) $	(3)
97		$ PGL(2, 19) $	(3)

表 3 可能存在的2-$ (v, k, \lambda, G) $设计和对应的自同构群$ G $

(2) 由(1) 得到的那些轨道中至少存在一个轨道或者某些轨道的并满足$ |B^{G}|=b $.

利用Magma命令$ B^{\wedge} G $可以得到$ B $在$ G $作用下的轨道长, 易知满足条件(1) 的所有可能的区组$ B $都有$ |B^{G}|=b $.

(3) $ \cal P $中任意的2-元子集都要包含在$ B^{G} $中的$ \lambda $个区组中.

利用Magma命令Design$ <2, v|B^{\wedge} G> $可验证以$ B^{G} $作为区集的关联结构是否为一个2- 设计, 在这一步可剔除66组参数.

经过最后一步的验证, 共得到了31组符合设计条件的参数. 最后通过命令IsIsomorphic$ ( D_{i}, D_{j}) $验证同一个参数$ (v, k, \lambda) $下的设计是否同构, 因此在同构意义下共得到了54个对称设计, 即17个点-超平面设计和表 3中10个非点- 超平面设计以及它们的补设计.

3.3 实例证明

实例1: 区本原2-(144, 66, 30)对称设计

本节将以(144, 66, 30) 和(176, 50, 14) 这两组参数为例子来说明如何得到满足条件的设计.

当$ v=144 $时, 由Magma命令PrimitiveGroups(144, n) 可得到144次本原群$ G $有16个, 其中乘积型有10个, 除去$ G=A_{144} $和$ G=S_{144} $这两种情形外, 还剩14个本原群需考虑(详细见表 4).

表 4 可能存在的2-(144, 66, 30)设计及自同构群$ G $

首先, 利用命令Subgroups(G: OrderEqual: =n), 其中$ n=|G|/b $, 可知情形1-5和7-12都有一个指数为$ v $的子群共轭类, 情形6和13-14都有两个指数为$ v $的子群共轭类.

在情形1中, 记$ H $为这个子群共轭类的代表元, 利用陪集作用的命令F, G: =CosetAction(G, H) 可以得到区本原自同构群$ G $作用在144个点上的传递置换表示.

由区传递性可知, 对任意的$ B\in \cal B $, 区稳定子群$ G_{B} $必共轭与$ H $, 因此存在其中一个区组$ B $是$ H $作用在点集$ \cal P $上的某一个轨道或者是某些轨道的并, 但$ H $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 1, 22, 121 $

而$ |B| $=$ k $=66, 矛盾.

类似地, 情形2-10都不满足至少存在一个长为$ k $的轨道或者存在某些轨道长之和为$ k $, 给予排除.

在情形11中, 易知子群共轭类的代表$ H $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 1, 13, 13, 13, 13, 13, 39, 39 $

显然, 存在某些轨道长之和为66, 由命令$ B^{\wedge} G $可知这些轨道作为基区在$ G $的作用下都满足$ |B^{G}|=b $. 接下来利用命令Design$ <2, v|B^{\wedge} G> $可知以$ B^{G} $作为区集的关联结构都不是一个2-设计, 因此给予排除.

类似地, 在情形12中会存在某些轨道长之和为66, 并且这些轨道作为基区在$ G $的作用下都满足$ |B^{G}|=b $. 但是以$ B^{G} $作为区集的关联结构都不是一个2-设计, 因此给予排除.

在情形13中, 不妨记$ H_{1} $、$ H_{2} $为这两个子群共轭类的代表元, 利用陪集作用可以得到群$ M_{12} $作用在144个点上的置换表示$ G_{1} $和$ G_{2} $, 再由命令IsPrimitive(Gi); (i=1, 2) 可判断出其中一个是本原置换群, 而另一个是非本原置换群. 对任一区组$ B\in \cal B $, 区稳定子群$ G_{B} $必共轭与$ H_{1} $或$ H_{2} $.

若$ G_{B} $共轭与$ H_ {1} $, 即$ G_{B} $=$ H_ {1} $, 此时$ H_ {1} $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 12, 132 $

而$ |B| $=$ k $=66, 矛盾.

若$ G_{B} $共轭与$ H_ {2} $, 即$ G_{B} $=$ H_ {2} $, 此时$ H_ {2} $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 1, 11, 11, 55, 66 $

记这五个轨道为$ O_{1} $、$ O_{2} $、$ O_{3} $、$ O_{4} $、$ O_{5} $, 显然由$ |B| $=$ k $=66可知, 基区$ B $可能是$ O_{2}\cup O_{4} $、$ O_{3}\cup O_{4} $或$ O_{5} $, 并且都满足$ |(O_{2}\cup O_{4})^{G}| $=$ |(O_{3}\cup O_{4})^{G}| $=$ | O_{5}^{G}| $=$ b $=144. 类似地, 可知以$ (O_{2}\cup O_{4})^{G} $和$ (O_{3} \cup O_{4})^{G} $作为区集的关联结构都不是一个2-设计, 但是以$ O_{5}^{G} $作为区集的关联结构能构成一个2-设计, 并且($ \cal P $, $ O_{5}^G $) 是一个旗传递区本原但点非本原的2-(144, 66, 30) 对称设计.

同上面的论证一样, 还得到了一个对应于情形14的以$ M_{12}.2 $为自同构群的区本原且点本原的2-(144, 66, 30) 设计. 并且最后通过命令IsIsomorphic$ ( D_{1}, D_{2}) $验证了这两个设计是同构的.

实例2: 区本原2-(176, 50, 14) 对称设计

当$ v=176 $时, 由Magma命令PrimitiveGroups(176, n) 可得到176次本原群$ G $有6个, 都是几乎单型, 除去$ G=A_{176} $和$ G=S_{176} $这两种情形外, 还剩4个几乎单型的本原群需考虑(详细见表 5).

表 5 可能存在的2-(176, 50, 14)设计及自同构群$ G $

首先, 易知情形1和情形4各有两个指数为$ v $的子群共轭类, 情形2和情形3各有一个指数为$ v $的子群共轭类.

在情形1中, 两个子群共轭类都同构于$ M_{22} $, 不妨记$ H_{1} $、$ H_{2} $为这两个子群共轭类的代表元, 利用陪集作用得到群$ M_{22} $作用在176个点上的本原置换表示$ G_{1} $和$ G_{2} $. 对任一$ B\in \cal B $, 区稳定子群$ G_{B} $必共轭与$ H_{1} $或$ H_{2} $.

若$ G_{B} $共轭与$ H_ {1} $, 即$ G_{B} $=$ H_ {1} $, 此时$ H_ {1} $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 1, 70, 105 $

而$ |B| $=$ k $=50, 矛盾.

若$ G_{B} $共轭与$ H_ {2} $, 即$ G_{B} $=$ H_ {2} $, 此时$ H_ {2} $作用在点集$ \cal P $上的轨道长度是:

$ 15, 35, 126 $

记这五个轨道为$ O_{1} $、$ O_{2} $、$ O_{3} $, 并令$ B=O_{1}\cup O_{2} $, 显然有$ |B| $=$ k $=50且$ |B^{G}|=b=176 $, 经过验证, 得到了一个以$ B $为基区的2-(176, 50, 14) 设计$ \cal D $. 此外令$ B=O_{3} $, 还可以得到一个以$ B $为基区的2-(176, 126, 90) 设计, 该设计是$ \cal D $的补设计, 因此由定义可知2-(176, 50, 14) 设计是一个以$ M_{22} $为自同构群的区本原且反旗传递的对称设计.

同上面的论证一样, 还存在一个对应于情形4的以$ HS $为自同构群的旗传递区本原2-(176, 50, 14) 设计, 并且通过验证可知这两个设计是同构的.

在情形2和情形3中, 都不满足至少存在一个长为$ k $的轨道或者存在某些轨道长之和为$ k $, 因此给予排除.

至此, 可类似地完成定理1的证明.

4 结束语

目前关于旗传递2-$ (v, k, \lambda) $设计的研究已经有了非常丰富的学术成果, 当设计的自同构群的旗传递性减弱成区本原时, 研究起来愈加困难. 近年来关于区本原2-$ (v, k, \lambda) $设计的研究结果大都集中在限制$ \lambda=1 $的设计上. 本文从点数不大于200的条件入手去进行探究, 最终找到了54个两两不同构的区本原对称设计, 并且存在唯一一个区本原但点非本原的对称设计. 那么, 当点数大于200时, 是否还会存在区本原但点非本原的设计呢? 对于区本原与点本原之间的关系仍存在很大的研究空间.

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