不动点和不动点定理是非线性分析和很多研究领域的基本工具, 如微分方程、拓扑学、泛函分析、最优控制和博弈论等. 较早的不动点定理是1910年Brouwer[1]提出的, 即$ R^n $中非空有界闭凸集上的连续自映射存在一个不动点. 后来许多学者将Brouwer不动点定理推广到集值映射, 取得了较多成果. 如Kakutani不动点定理[2]、Fan-Browder不动点定理[3]和Fan-Glicksberg不动点定理[4, 5]等. 关于不动点定理的推广的另一个角度是空间凸结构的推广. 1987年, Horvath[6]用可缩性代替了原有的线性凸, 提出了$ H- $空间（或$ C- $空间）并研究了集值映射的不动点定理. 此后涌现出大量的凸结构以及在具有这些凸结构的拓扑空间中推广的不动点定理及其在非线性分析方面的应用. 例如在$ G- $凸空间、$ FC- $空间、半格凸空间、抽象凸空间等空间上推广不动点定理及其应用（见文献[7-21]）.
2009年, Agarwal[22]等人提出了关于其他集值映射是广义KKM映射的概念. 并利用这个概念在局部凸Hausdorff拓扑线性空间中建立了几个公共不动点定理, 并应用于证明Ky Fan型极大极小不等式. 2010年, Balaj[23]利用Brouwer不动点定理在拓扑线性空间中研究了广义等度KKM集值映射族的一个公共不动点定理. 作为这一结果的应用, 得到了关于平衡问题和极大极小不等式的一些重要结果. 这些平衡问题的存在性结果不同于经典的平衡存在性结果. 更多细节见文献[23]. 此后, 公共不动点定理以及其在变分不等式、向量平衡问题和Ky Fan型极大极小不等式等方面的应用得到了深入的研究, 取得了一些研究成果[24-27].
不动点的稳定性在非线性分析中也是一个非常重要的主题. 1950年, Fort[28]提出了连续映射的本质不动点的概念, 证明了每一个连续映射都可以由任意一个不动点都是本质的映射来逼近. 1962年, Jiang[29]给出了集值映射的本质不动点的概念并证明了相应的逼近定理. 不动点的本质概念是一个稳定性性质. 文献[28] 和[29] 研究了映射上具有扰动的不动点的稳定性. 2011年, Mishra[30]等人利用新的收敛性概念证明了Hausdorff一致空间中的一族映射序列及其公共不动点的稳定性. 此后, Mishra[31]等人根据$ G- $收敛和$ H- $收敛的定义在2-度量空间中研究了公共不动点的稳定性. 2013年, Alotaibi[32]等人引入新的混合迭代算法并根据拟压缩算子对公共不动点的稳定性进行了研究. 2022年, Maldar[33]等人在复值巴拿赫空间中利用新的Jungck型迭代方法证明了迭代序列收敛于复值映射的公共不动点并研究了稳定性. 2023年, Pant[34]给出了一类集值映射在度量空间中的不动点定理并研究了集值映射不动点集的稳定性和良定性. 更多关于不动点稳定性的结果可见文献[30-32, 35]及其中的文献.
在上述研究的基础上, 本文利用一个已知的公共不动点定理, 首先构造了一个由存在公共不动点的集值映射组成的“问题空间”并证明了这个空间是完备度量空间; 其次证明了解映射是一个上半连续且具有紧值的集值映射; 然后利用Fort定理证明了存在一个稠密剩余子集, 使得存在公共不动点的集值映射都是本质的, 从而公共不动点集是稳定的.
我们用符号$ 2^X $、$ \langle X \rangle $分别表示集合$ X $的一切子集和一切非空有限子集构成的集族.
定义2.1[23] 设$ Y $是一个任意非空集, $ X $是拓扑向量空间$ E $的一个非空凸子集, 集值映射族$ \Gamma = \left\{ {T|T:Y \to {2^X}} \right\} $. 如果对任意非空有限子集$ \left\{ {{y_1}\, , \, \, {y_2}\, , \ldots , \, \, {y_n}} \right\} \in \langle Y \rangle $, 存在$ \left\{ {{x_1}\, , \, \, {x_2}\, , \ldots , \, \, {x_n}} \right\} \in \langle X \rangle $, 使得对每个非空子集$ I \subset \left\{ {1, 2, \ldots , n} \right\} $, 每个$ T \in \Gamma $, 有$ co\left\{ {{x_i}:i \in I} \right\} \subset \bigcup\limits_{i \in I} {T\left( {{y_i}} \right)} $, 则称集值映射族$ \Gamma $是广义等度KKM映射族.
定义2.2[24] 设$ X $, $ Y $是任意非空集合, $ T:X \times Y \to {2^X} $为一个集值映射, 如果对每个$ y \in Y $, 存在$ x_0 \in X $, 使得$ {x_0} \in T\left( {{x_0}, y} \right) $, 则称$ x_0 $是映射族$ {\left\{ {T\left( { \cdot \, , y} \right)} \right\}_{y \in Y}} $的公共不动点.
定义2.3[36] 设$ X $是一个拓扑空间, $ Q $是$ X $的非空子集, 如果$ Q $包含$ X $中一列稠密开集的交集, 则称$ Q $是$ X $中的一个剩余集. 如果$ X $是Baire空间, 则$ Q $在$ X $中稠密.
此外, 我们还需要集值映射连续性的基本知识以及一些已知结果. 参见[36].
定义2.4 设$ X $和$ Y $是两个拓扑空间, $ F:X \to {2^Y} $是一个集值映射.
(1) 如果对$ Y $中的任意开集$ G $, $ G \supset F\left( x \right) $(或$ G \cap F\left( x \right) \ne \emptyset $), 存在$ x \in X $的开邻域$ O \left( x \right) $, 使得对任意$ x' \in O\left( x \right) $, 有$ G \supset F\left( x' \right) $(或$ G \cap F\left( x' \right) \ne \emptyset $), 则称集值映射$ F $在$ x $上是上半连续的(简记为u.s.c.)(或下半连续的(简记为l.s.c.)).
(2) 如果对$ x \in X $, 集值映射$ F $在$ x $上既上半连续又下半连续, 则称$ F $在$ x $上是连续的.
(3) 如果对任意$ x \in X $, $ F $在$ x $上是连续的(或上半连续的, 或下半连续的), 则称集值映射$ F $在$ X $上是连续的(或上半连续的, 或下半连续的).
若集值映射$ F $是上半连续且具有紧值, 则称$ F $为一个usco映射.
引理2.1 设$ X $和$ Y $是两个Hausdorff拓扑空间, $ Y $是紧空间, 如果集值映射$ F:X \to {2^Y} $是闭的当且仅当$ F $在$ X $上是上半连续且是闭值的.
引理2.2 设$ \left( {X, d} \right) $是一个完备度量空间, $ K\left( X \right) $是$ X $中所有非空紧集的集合, 则$ \left( {K\left( X \right), h} \right) $也是一个完备度量空间. 其中$ h $是$ X $上的Hausdorff距离.
引理2.3 (Fort定理) 设$ X $是一个Baire空间, $ Y $是一个度量空间, $ F:X \to {2^Y} $是一个usco映射, 则存在$ X $中的一个稠密剩余集$ Q $, 使得对任意$ x \in Q $, $ F $在$ x $上是下半连续的, 从而是连续的.
在给出公共不动点集通有稳定性之前, 我们需要以下引理. 参见[23].
引理3.1 设$ X $是拓扑向量空间的一个非空凸子集, $ Y $是非空集合, 集值映射$ T:X \times Y \to {2^X} $具有紧值且满足以下条件:
(1) 对每个$ y \in Y $, 集合$ \left\{ {x \in X:x \in T\left( {x, y} \right)} \right\} $是闭的;
(2) 集值映射族$ {\left\{ {T\left( {x\, , \, \, \cdot } \right)} \right\}_{x \in X}} $是$ Y $上的广义等度KKM映射族.
则集值映射族$ {\left\{ {T\left( { \cdot \, , y} \right)} \right\}_{y \in Y}} $有一个公共不动点, 即存在$ x_0 \in X $, 使得$ {x_0} \in T\left( {{x_0}, y} \right) $.
以上引理给出了集值映射族公共不动点的存在性. 下面我们构造一个“问题”空间, 进而证明该空间中的公共不动点问题的通有稳定性.
设$ X $是Hausdorff拓扑向量空间$ E $中的完备凸紧集, $ Y $是非空集合, 令
对任意$ {T_1}, {T_2} \in \Xi $, 定义它们之间的距离如下:
定理3.1 $ \left( {\Xi , \, \rho } \right) $是一个完备度量空间.
证 设$ \left\{ {{T_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $是$ \Xi $中的任意Cauchy序列, 且$ {T_n} \to T $, 则对任意给定的$ \varepsilon > 0 $, 存在$ N\left( \varepsilon \right) $, 使得当$ m, \, \, n \ge N\left( \varepsilon \right) $时, 有
令$ m \to \infty $, 可以得到$ \mathop {\sup }\limits_{\left( {x, y} \right) \in X \times Y} h\left( {{T_n}\left( {x, y} \right), T\left( {x, y} \right)} \right) < \varepsilon $, 现证$ T \in \Xi $. 分三步证明:
(1) 因为$ X $是完备凸紧集, 由引理2.2, $ \forall x \in X $, $ \forall y \in Y $, $ T\left( {x, y} \right) $为一个非空紧集, 从而$ \left\{ {x \in X:x \in T\left( {x, y} \right)} \right\} $是闭的.
(2) 取$ {n_0} \ge N\left( \varepsilon \right) $, 则$ \forall x \in X $, $ \forall y \in Y $, $ h\left( {{T_{{n_0}}}\left( {x, y} \right), T\left( {x, y} \right)} \right) < \varepsilon $. 由$ {T_{{n_0}}} $在$ x $上是上半连续的, 存在$ x $的开邻域$ O \left( x \right) $, 使得$ \forall x' \in O\left( x \right) $, 有$ {T_{{n_0}}}\left( {x'} \right) \subset U\left( {\varepsilon , {T_{{n_0}}}\left( x \right)} \right) $, 于是$ T\left( {x'} \right) \subset U\left( {2\varepsilon , {T_{{n_0}}}\left( {x'} \right)} \right) \subset U\left( {3\varepsilon , {T_{{n_0}}}\left( x \right)} \right) \subset U\left( {5\varepsilon , T\left( x \right)} \right) $. 因$ \varepsilon $是任意的, 所以$ T $在$ x $上是上半连续的.
(3) 假设$ {\left\{ {T\left( {x\, , \, \, \cdot } \right)} \right\}_{x \in X}} $不是$ Y $上的广义等度KKM映射族, 则存在有限子集$ \left\{ {{y_1}, {y_2}, \ldots , {y_n}} \right\} $ $ \in \langle Y \rangle $, 对任意有限子集$ \left\{ {{z_1}\, , \, \, {z_2}\, , \ldots , \, \, {z_n}} \right\} \in \langle X \rangle $, 存在非空子集$ I \subset \left\{ {1, 2, \ldots , n} \right\} $, 使得$ co\left\{ {{z_i}:i \in I} \right\} \not\subset \bigcup\limits_{i \in I} {T\left( {{y_i}} \right)} $. 即存在$ z \in co\left\{ {{z_i}:i \in I} \right\} $, 使得$ z \notin \bigcup\limits_{i \in I} {T\left( {{y_i}} \right)} $. 又由$ {T_n} \to T $, 取$ {n_1} \ge N\left( \varepsilon \right) $, 则$ {T_{{n_1}}}\left( x \right) \subset U\left( {2\varepsilon , T\left( x \right)} \right) $, 从而有$ z \notin \bigcup\limits_{i \in I} {{T_n}\left( {{y_i}} \right)} $, 这与$ {\left\{ {{T_n}\left( {x\, , \, \, \cdot } \right)} \right\}_{x \in X}} $是$ Y $上的广义等度KKM映射族矛盾. 因此$ {\left\{ {T\left( {x\, , \, \, \cdot } \right)} \right\}_{x \in X}} $是$ Y $上的广义等度KKM映射族.
综上可得$ T \in \Xi $, 因此$ \left( {\Xi , \, \rho } \right) $是一个完备度量空间.
$ \forall T \in \Xi $, 由引理3.1, 集值映射族$ {\left\{ {T\left( { \cdot \, , y} \right)} \right\}_{y \in Y}} $存在公共不动点, 令$ F:\Xi \to {2^X} $, $ F \left( T \right) $表示$ T $在$ X $中的所有公共不动点的集合.
定理3.2 $ F $是$ \Xi $上的一个usco映射.
证 因为$ X $是紧集, 由引理2.1, 只需证明集值映射$ F $的图是闭的, 即要证明$ \forall {T_n} \in \Xi $, $ {T_n} \to T $, $ \forall {x_n} \in F\left( {{T_n}} \right) $, $ {x_n} \to x $, 则$ x \in F\left( {T} \right) $.
由$ {x_n} \in F\left( {{T_n}} \right) $, $ {x_n} \in \bigcap\limits_{y \in Y} {{T_n}\left( {{x_n}, y} \right)} $, 令$ {\varepsilon _n} = \mathop {\sup }\limits_{\left( {x, y} \right) \in X \times Y} h\left( {{T_n}\left( {x, y} \right), T\left( {x, y} \right)} \right) $, 则$ {\varepsilon_n} \to 0 $且$ h\left( {{T_n}\left( {{x_n}, y} \right), T\left( {{x_n}, y} \right)} \right) < {\varepsilon _n} $. 设$ E $上的距离函数为$ d $, 因$ \forall y \in Y $, $ {x_n} \in {T_n}\left( {{x_n}, y} \right) $, 存在$ x{'_n} \in T\left( {{x_n}, y} \right) $, 使$ d\left( {{x_n}, x{'_n}} \right) < {\varepsilon _n} $. 由$ d\left( {x{'_n}, x} \right) \le d\left( {x{'_n}, {x_n}} \right) + d\left( {{x_n}, x} \right) \to 0 $, 得$ x{'_n} \to {x_n} $. 因为$ T $在$ x $上是上半连续的且$ T\left( {X \times Y} \right) $是$ X $中的紧集. $ T $的图是闭的, 从而有$ x \in T\left( {x, y} \right) $, $ \forall y \in Y $, 即$ x \in F\left( {T} \right) $.
为了进一步讨论公共不动点集的稳定性, 我们需要以下定义.
定义3.1 设$ T \in \Xi $, 如果对$ x \in F\left( {T} \right) $的任意开邻域$ U\left( x \right) \subset X $, 存在$ T $的开邻域$ O \left( T \right) $, 使得对任意$ T' \in O\left( T \right) $, 存在$ x' \in U\left( x \right) $, 有$ x' \in F\left( {T'} \right) $, 则称$ x $为$ T $的本质公共不动点. 如果对任意$ x \in F\left( {T} \right) $, $ x $都是$ T $的本质公共不动点, 则称$ T $是本质的.
引理3.2 设$ T \in \Xi $, $ T $是本质的当且仅当$ F $在$ T $处是下半连续的.
证 必要性: 设$ T \in \Xi $, 如果对$ X $中的任意开集$ G $, $ G \cap F\left( T \right) \ne \emptyset $, 取$ x \in G \cap F\left( T \right) $, 则$ G $是$ x $的开邻域. 因为$ T $是本质的, 所以$ x \in F\left( {T} \right) $是本质的, 从而存在$ T $的开邻域$ O \left( T \right) $, 使得对任意$ T' \in O\left( T \right) $, 存在$ x' \in G $, 有$ x' \in F\left( {T'} \right) $, 这表明$ G \cap F\left( T' \right) \ne \emptyset $, 因此$ F $在$ T $处是下半连续的.
充分性: 设$ T \in \Xi $, $ \forall x \in F\left( {T} \right) $, 对$ x $的任意开邻域$ U\left( x \right) $, 则$ F\left( T \right) \cap U\left( x \right) \ne \emptyset $. 因为$ F $在$ T $处是下半连续的, 存在$ T $的开邻域$ O \left( T \right) $, 使得对任意$ T' \in O\left( T \right) $, 有$ F\left( T' \right) \cap U\left( x \right) \ne \emptyset $, 取$ x' \in F\left( {T'} \right) \cap U\left( x \right) $. 因此$ x $是本质的, 从而$ T $是本质的.
定理3.3 设$ T \in \Xi $, 如果$ F\left( T \right) = \left\{ x \right\} $, 则$ T $是本质的.
证 对$ x $的任意开邻域$ G $, 且$ G \cap F\left( T \right) \ne \emptyset $. 由$ F\left( T \right) = \left\{ x \right\} $, $ x \in G $, 从而$ F\left( T \right) \subset G $. 根据定理3.2, $ F $在$ T $处是上半连续的, 存在$ T $的开邻域$ O \left( T \right) $, 对任意$ T' \in O\left( T \right) $, 有$ F\left( T' \right) \subset G $, 显然$ G \cap F\left( T' \right) \ne \emptyset $. 因此$ F $在$ T $处是下半连续的, 由引理3.2, $ T $是本质的.
定理3.4 $ \Xi $中存在一个稠密剩余子集$ Q $, 使得对每个$ T \in Q $, $ T $是本质的.
证 由定理3.1知, $ \left( {\Xi , \, \rho } \right) $是一个完备度量空间. 根据定理3.2, $ F $是$ \Xi $上的一个usco映射, 则由Fort定理, 存在一个稠密剩余子集$ Q \in \Xi $, 使得对每一个$ T \in Q $, $ F $在$ T $处是下半连续的. 又由引理3.2, 对每一个$ T \in Q $, $ T $是本质的.
由于$ Q $是第二纲集, 因此可以说, 在Baire分类意义下, 对大多数的$ T \in Q $, 与$ T $相关的公共不动点集$ F \left( T \right) $是稳定的.
本文利用一个已知的公共不动点定理, 构造了一个“问题空间”并证明了这个空间是完备度量空间; 其次证明了解映射是一个usco集值映射; 然后利用Fort定理证明了存在一个稠密剩余子集, 使得存在公共不动点的集值映射都是本质的, 从而公共不动点集是稳定的. 即在Baire分类意义下, 大多数的公共不动点集是稳定的. 目前还没有文献对集值映射公共不动点集的本质连通区的存在性进行讨论分析. 因此, 可以把讨论公共不动点集本质连通区的存在性作为下一步的研究工作.
2024, Vol. 44 Issue (6): 545-550
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