设$ X $为无限维Banach空间, $ \mathcal{B}(X) $表示$ X $上全体有界线性算子构成的Banach代数. 任取$ A, \; B, \; C $和$ D\in\mathcal{B}(X) $. 经典的Jacobson引理体现了$ AB $和$ BA $的谱在零点外是相等的:

$ \begin{equation} \begin{aligned} \sigma{(AB)}\backslash\{0\}=\sigma{(BA)}\backslash\{0\}. \end{aligned} \end{equation} $

(1.1)

近年来, 许多学者致力于研究Jacobson引理以及将等式(1.1)推广到其他谱上. 1998年, Barnes^[1]进一步研究了$ AB $和$ BA $关于零空间和值域的共同性质，并证明了它们的点谱、近似点谱也有形似(1.1)式的结论. 在文献[2, 3]中, 当$ A $和$ B $满足算子等式

$ \begin{equation} \begin{aligned} ABA=A^2\; \text{和}\; BAB=B^2 \end{aligned} \end{equation} $

(1.2)

Duggal和Schmoeger证明了$ A $和$ BA $的点谱、近似点谱及本性谱等各类谱集是相同的. 2013年, Corach, Duggal和Harte^[4]在条件$ ABA=ACA $下研究了元素乘积$ AC $和$ BA $的谱在零点外是相等的. 随后, Zeng和Zhong^[5]从正则集的角度进一步研究了它们共同的谱性质. 在文献[6, 7]中, Yan引入了新条件

$ \begin{equation} \left\{\begin{aligned} &ACD=DBD\\ &DBA=ACA \end{aligned}, \right. \end{equation} $

(1.3)

在有界线性算子的范畴内, 将文献[4, 5]中的结论推广到了$ AC $和$ BD $上. 在本文中, 我们引入了一个新的算子等式

$ \begin{equation} \left\{\begin{aligned} &C^kBC^k=AC^k\\ &C^kBA^k=A^{k+1} \end{aligned}, \right. \end{equation} $

(1.4)

并研究了在其成立时$ A $和$ BC^k $的谱性质. 1996年, Kordula和Müller^[8]引入了正则集的概念, 给出了一个谱理论公理化的描述. 接下来, 介绍正则集的定义及相关记号.

对$ T\in\mathcal{B}(X) $, $ \mathcal{R}(T) $和$ \mathcal{N}(T) $分别表示$ T $的值域和零空间. 定义$ T $的超值域和超零空间如下:

$ \mathcal{R}(T^{\infty}):=\cap_{n=1}^{\infty}{\mathcal{R}(T^{n})}\; \text{和}\; \mathcal{N}(T^{\infty}):=\cup_{n=1}^{\infty}{\mathcal{N}(T^{n})}. $

定义1.1 非空子集$ R\subseteq\mathcal{B}(X) $称为正则集, 若满足以下两点:

$ (1) $ 对任意的$ A\in\mathcal{B}(X) $和任意的正整数$ n $, 有

$ A\in\mathcal{B}(X)\iff A^{n}\in\mathcal{B}(X), $

$ (2) $ 对于两两之间均可交换的算子$ A, \; B, \; C, \; D\in\mathcal{B}(X) $, 并且满足$ AC+BD=I $, 有

$ AB\in{R}\iff A\in{R}, B\in{R}. $

对任意的$ T\in\mathcal{B}(X) $, $ T $关于正则集$ R $的正则谱$ \sigma_{R}(T) $定义为

$ {\sigma}_{R}(T)=\{\lambda\in{\mathbb{C}}:\; \lambda-T\notin{R}\}. $

对任意的非负整数$ n $, 令

$ c_{n}(T)=\text{dim}\mathcal{R}(T^{n})/\mathcal{R}(T^{n+1}), \; c'_{n}(T)=\text{dim}\mathcal{N}(T^{n+1})/\mathcal{N}(T^{n}). $

由文献[9]中的引理3.2知

$ c_{n}(T)=\text{dim}X/(\mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{n})), \; c'_{n}(T)=\text{dim}\mathcal{N}(T)\cap{\mathcal{R}(T^{n})}. $

并且$ T $的stable defect $ c(T) $和stable nullity $ c'(T) $分别定义为

$ c(T)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_{n}(T)\; \text{和}\; c'(T)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c'_{n}(T). $

对于$ T\in\mathcal{B}(X) $以及任意的非负整数$ n $, 存在$ T $诱导的线性变化:

$ \mathcal{R}(T^{n})/\mathcal{R}(T^{n+1})\longrightarrow\mathcal{R}(T^{n+1})/\mathcal{R}(T^{n+2}), $

记$ k_{n}(T) $为该诱导线性变化的零空间的维数, 同时记

$ k(T)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}k_{n}(T). $

由文献[10]中的引理2.3可知, 对任意的非负整数$ n $, 有

$ \begin{aligned} k_{n}(T)&=\text{dim}(\mathcal{N}(T)\cap{\mathcal{R}(T^{n})})/(\mathcal{N}(T)\cap{\mathcal{R}(T^{n+1})})\\ &=\text{dim}(\mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{n+1}))/ (\mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{n})) \end{aligned} $

和

$ \begin{aligned} k(T)&=\text{dim}\mathcal{N}(T)/(\mathcal{N}(T)\cap{\mathcal{R}(T^{\infty})})=\text{dim}(\mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{\infty}))/\mathcal{R}(T). \end{aligned} $

下面我们给出19种具体的正则集$ R_{i}\subseteq\mathcal{B}(X) $, 其中0$ 1\leq{i\leq{19}} $, 详见文献[7, 11].

定义1.2 对任意的$ T\in\mathcal{B}(X) $,

$ (1) $ $ R_{1}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; c(T)=0\}, $

$ (2) $ $ R_{2}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; c(T)<\infty\}, $

$ (3) $ $ R_{3}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c_{d}(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (4) $ $ R_{4}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \text{对于}\; \forall{n\in\mathbb{N}}\; \text{有}\; c_{n}(T)<\infty\}, $

$ (5) $ $ R_{5}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c_{d}(T)<\infty\text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (6) $ $ R_{6}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; c'(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (7) $ $ R_{7}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; c'(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (8) $ $ R_{8}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c'_{d}(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (9) $ $ R_{9}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \text{对于}\; \forall{n\in{\mathbb{N}}}\; \text{有}c'_{n}(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (10) $ $ R_{10}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c'_{d}(T)<\infty \; \text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (11) $ $ R_{11}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; k(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (12) $ $ R_{12}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; k(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (13) $ $ R_{13}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}, \; \forall n\geq{d}\; \text{有}\; k_{n}(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (14) $ $ R_{14}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \forall{n\in{\mathbb{N}}}, \; k_{n}(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)\; \text{为闭集}\}, $

$ (15) $ $ R_{15}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}, \; \forall n\geq{d}\; \text{有}\; k_{n}(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T^{d+1})\; \text{为闭集}\}, $

$ (16) $ $ R_{16}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c_{d}(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{d})\; \text{为闭集}\}, $

$ (17) $ $ R_{17}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}\; \text{使得}\; c_{d}(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{d})\; \text{为闭集}\}, $

$ (18) $ $ R_{18}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}, \; \forall n\geq{d}\; \text{有}\; k_{n}(T)=0\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{d})\; \text{为闭集}\}, $

$ (19) $ $ R_{19}=\{T\in\mathcal{B}(X):\; \exists{d\in{\mathbb{N}}}, \; \forall n\geq{d}\; \text{有}\; k_{n}(T)<\infty\; \text{且}\; \mathcal{R}(T)+\mathcal{N}(T^{d})\; \text{为闭集}\}. $

其中, $ R_{1} $、$ R_{2} $、$ R_{3} $、$ R_{4} $和$ R_{5} $中的算子分别称为满射算子、下半Browder算子、右Drazin可逆算子、下半Fredholm算子和右本质Drazin可逆算子. $ R_{6} $、$ R_{7} $、$ R_{8} $、$ R_{9} $和$ R_{10} $中的算子分别称为下有界算子、上半Browder算子、左Drazin可逆算子、上半Fredholm算子和左本质Drazin可逆算子. $ R_{11} $、$ R_{12} $、$ R_{13} $和$ R_{18} $中的算子分别称为半正则算子、本质半正则算子、拟Fredholm算子和具有最终拓扑均匀下降性质的算子.

本文主要参考了文献[7, 12]中的方法, 在有界线性算子全体组成的Banach代数内，研究了满足新条件(1.4)的$ A $和$ BC^k $关于19类正则谱的共同性质, 进一步证明了$ A $是广义Drazin-Riesz可逆的当且仅当$ BC^k $是广义Drazin-Riesz可逆的.

本节采用了文献[7]中的方法, 在条件(1.4)成立的前提下, 通过建立一些商空间的同构关系, 证明了$ A $和$ BC^k $的19类正则谱相同, 即$ \sigma_{R_i}{(A)}=\sigma_{R_i}{(BC^k)} $, 其中$ 1\leq i\leq 19 $. 根据上述19类正则集的定义, 我们需要给出如下(引理2.1)有关$ A $和$ BC^k $的零空间与值域的基本关系.

引理2.1 若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则

(1) $ C^k\mathcal{R}(BC^k-I)^{n}\subseteq \mathcal{R}(A-I)^{n}, $

(2) $ C^k\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}\subseteq \mathcal{N}(A-I)^{n}, $

(3) $ BA^k\mathcal{R}(A-I)^{n}\subseteq \mathcal{R}(BC^k-I)^{n}, $

(4) $ BA^k\mathcal{N}(A-I)^{n}\subseteq \mathcal{N}(BC^k-I)^{n}. $

证  (1) 任取$ y\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n} $, 则存在$ x\in X $使得$ y=(BC^k-I)^{n}x $. 由$ C^kBC^k=AC^k $可得

$ C^ky=C^k(BC^k-I)^{n}x=(A-I)^nC^kx\in\mathcal{R}(A-I)^{n}. $

因此, $ C^k\mathcal{R}(BC^k-I)^{n}\subseteq \mathcal{R}(A-I)^{n}. $

(2) 任取$ x\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $, 根据$ C^kBC^k=AC^k $可知

$ (A-I)^{n}C^kx=C^k(BC^k-I)^nx=0. $

因此, $ C^k\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}\subseteq \mathcal{N}(A-I)^{n}. $

(3) 任取$ y\in\mathcal{R}(A-I)^{n} $, 则存在$ x\in X $使得$ y=(A-I)^{n}x $. 由$ C^kBA^k=A^{k+1} $可得

$ BA^ky=BA^k(A-I)^{n}x=(BC^k-I)^{n}BA^kx\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n}. $

因此, $ BA^k\mathcal{R}(A-I)^{n}\subseteq \mathcal{R}(BC^k-I)^{n}. $

(4) 任取$ x\in\mathcal{N}(A-I)^{n} $, 根据$ C^kBA^k=A^{k+1} $可知

$ (BC^k-I)^{n}BA^kx=BA^k(A-I)^{n}x=0. $

因此, $ BA^k\mathcal{N}(A-I)^{n}\subseteq \mathcal{N}(BC^k-I)^{n}. $

引理2.2 若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ c_n'(A-I)=c_n'(BC^k-I) $. 进而有$ c'(A-I)=c'(BC^k-I). $

证  为了证明商空间$ \mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1}/\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $与商空间$ \mathcal{N}(A-I)^{n+1}/\mathcal{N}(A-I)^{n} $的维数相等, 我们定义由$ C^k $诱导的线性映射$ f $:

$ \mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1}/\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}\longrightarrow\mathcal{N}(A-I)^{n+1}/\mathcal{N}(A-I)^{n} $

以及由$ BA^k $诱导的线性映射$ g $:

$ \mathcal{N}(A-I)^{n+1}/\mathcal{N}(A-I)^{n}\longrightarrow\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1}/\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}. $

根据引理2.1  (2)和(4)可知上述两个映射均是良定义的. 因此只需要证明$ f $和$ g $都是单射. 一方面, 任取$ x\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1} $满足$ C^kx\in\mathcal{N}(A-I)^{n} $. 根据引理2.1  (4)知$ BA^kC^kx\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 由$ C^kBC^k=AC^k $可得$ BA^kC^k=(BC^k)^{k+1} $, 进而有

$ \begin{aligned} x&=x-BA^kC^kx+BA^kC^kx=BA^kC^kx+x-(BC^k)^{k+1}x\\&=BA^kC^kx-[(BC^k)^k+\cdots+BC^k+I](BC^k-I)x\in \mathcal{N}(BC^k-I)^{n}. \end{aligned} $

这说明$ f $是单射, 故$ c_n'(A-I)\geq c_n'(BC^k-I) $. 另一方面, 任取$ x\in\mathcal{N}(A-I)^{n+1} $满足$ BA^kx\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 根据引理2.1  (2)知$ C^kBA^kx\in\mathcal{N}(A-I)^{n} $. 由于$ C^kBA^k=A^{k+1} $可知$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=x-C^kBA^kx+C^kBA^kx=C^kBA^kx+x-A^{k+1}x\\&=C^kBA^kx-(A^k+\cdots+A+I)(A-I)x\in\mathcal{N}(A-I)^{n}. \end{aligned} $

这说明$ g $是单射, 故$ c_n'(A-I)=c_n'(BC^k-I) $.

引理2.3 若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ c_n(A-I)=c_n(BC^k-I) $. 进而有$ c(A-I)=c(BC^k-I). $

证  为了证明商空间$ \mathcal{R}(BC^k-I)^{n}/\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1} $与商空间$ \mathcal{R}(A-I)^{n}/\mathcal{R}(A-I)^{n+1} $的维数相等, 我们定义由$ C^k $诱导的线性映射$ f $:

$ \mathcal{R}(BC^k-I)^{n}/\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1}\longrightarrow\mathcal{R}(A-I)^{n}/\mathcal{R}(A-I)^{n+1} $

以及由$ BA^k $诱导的线性映射$ g $:

$ \mathcal{R}(A-I)^{n}/\mathcal{R}(A-I)^{n+1}\longrightarrow\mathcal{R}(BC^k-I)^{n}/\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1}. $

根据引理2.1  (1)和(3)可知上述两个映射均是良定义的. 接下来我们只需要证明$ f $和$ g $都是单射. 一方面, 任取$ x\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n} $满足$ C^kx\in\mathcal{R}(A-I)^{n+1} $. 由引理2.1  (3)知$ BA^kC^kx\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1} $. 根据引理2.2  中的证明过程可知$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=BA^kC^kx-(BC^k-I)((BC^k)^k+\cdots+BC^k+I)x\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1}. \end{aligned} $

这说明$ f $是单射, 故$ c_n(A-I)\geq c_n(BC^k-I) $. 另一方面, 任取$ x\in\mathcal{R}(A-I)^{n} $满足$ BA^kx\in\mathcal{R}(BC^k-I)^{n+1} $. 由引理2.1  (1)知$ C^kBA^kx\in\mathcal{R}(A-I)^{n+1} $. 又根据引理2.2  中的证明过程可知$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=C^kBA^kx-(A^k+\cdots+A+I)(A-I)x\in \mathcal{R}(A-I)^{n+1}. \end{aligned} $

这说明$ g $是单射, 故$ c_n(A-I)=c_n(BC^k-I) $.

引理2.4 若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ k_n(A-I)=k_n(BC^k-I) $. 进而有$ k(A-I)=k(BC^k-I). $

证  为了证明商空间$ (\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}) $与商空间$ (\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n}) $的维数相等, 我们定义由$ C^k $诱导的从商空间

$ (\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}) $

到商空间

$ (\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n}) $

的线性映射$ f $以及由$ BA^k $诱导的从商空间

$ (\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n}) $

到商空间

$ (\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1})/(\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}) $

的线性映射$ g $. 根据引理2.1  可知上述两个映射均是良定义的. 接下来我们只需要证明$ f $和$ g $都是单射. 一方面, 任取$ x\in\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n+1} $满足$ C^kx\in\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n} $, 则存在$ y\in X $以及$ z\in \mathcal{N}(A-I)^{n} $使得$ C^kx=(A-I)y+z $, 从而$ y=Ay+z-C^kx $. 由引理2.1  (4)可知$ BC^kBA^kz\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 由$ C^kBC^k=AC^{k} $可知$ BC^kBA^kC^k=(BC^k)^{k+2} $, 进而得到$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=x-BA^kC^kx+BA^kC^kx=x-BA^kC^kx+BA^k(A-I)y+BA^kz\\&=x-BA^kC^kx+(BC^k-I)BA^k(Ay+z-C^kx)+BA^kz\\&=x-BC^kBA^kC^kx+(BC^k-I)BA^{k+1}y+BC^kBA^kz\\&=(BC^k-I)(BA^{k+1}y-[(BC^k)^{k+1}+\cdots+BC^k+I]x)+BC^kBA^kz\\&\in\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}. \end{aligned} $

这说明$ f $是单射, 故$ k_n(A-I)\geq k_n(BC^k-I) $. 另一方面, 任取$ x\in\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n+1} $满足$ BA^kx\in\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $, 则存在$ y\in X $和$ z\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $使得$ BA^kx=(BC^k-I)y+z $, 从而$ y=BC^ky-BA^kx+z $. 根据引理2.1  (2)知$ AC^kz\in\mathcal{N}(A-I)^{n} $. 由$ C^kBA^k=A^{k+1} $可知$ C^kBC^kBA^k=A^{k+2} $, 进而有

$ \begin{aligned} x&=x-C^kBA^kx+C^kBA^kx=x-C^kBA^kx+C^k(BC^k-I)y+C^kz\\&=x-C^kBA^kx+C^k(BC^k-I)(BC^ky-BA^kx+z)+C^kz\\&=x+C^k(BC^k-I)BC^ky-C^kBC^kBA^kx+C^kBC^kz\\&=(A-I)[AC^ky-(A^{k+1}+\cdots+A+I)x]+AC^kz\\&\in\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n}. \end{aligned} $

这说明$ g $是单射, 故$ k_n(A-I)=k_n(BC^k-I) $.

引理2.5 若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ \mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^n $是闭的当且仅当$ \mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $是闭的.

证  假设$ \mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^n $是闭的. 任取序列$ \{x_j\}\subseteq\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $满足$ x_j $收敛于$ x $, 则存在$ y_j\in\mathcal{R}(BC^k-I) $和$ z_j\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $使得$ x_j=y_j+z_j $. 从而

$ C^kx=\lim\limits_{j\to\infty}C^kx_j=\lim\limits_{j\to\infty}(C^ky_j+C^kz_j). $

由引理2.1  (1)和(2)可知$ C^ky_j\in\mathcal{R}(A-I) $和$ C^kz_j\in\mathcal{N}(A-I)^n $. 因为$ \mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^n $是闭的, 所以存在$ y\in X $和$ z\in\mathcal{N}(A-I)^n $使得$ C^kx=(A-I)y+z $, 从而$ y=Ay+z-C^kx $. 由引理2.1  (4)可知$ BC^kBA^kz\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 根据引理2.4  中的证明可知$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=(BC^k-I)[BA^{k+1}y-((BC^k)^{k+1}+\cdots+BC^k+I)x]+BC^kBA^kz\\&\in\mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n}). \end{aligned} $

因此, $ \mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $是闭的.

另一方面, 假设$ \mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $是闭的. 任取序列$ \{x_n\}\subseteq\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^n $满足$ x_n $收敛于$ x $, 则存在$ y_n\in\mathcal{R}(A-I) $和$ z_n\in\mathcal{N}(A-I)^n $使得$ x_n=y_n+z_n $. 从而

$ BA^kx=\lim\limits_{n \to \infty}BA^kx_n=\lim\limits_{n \to \infty}(BA^ky_n+BA^kz_n). $

由引理2.1  (3)和(4)可知$ BA^ky_n\in\mathcal{R}(BC^k-I) $和$ BA^kz_n\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 因为$ \mathcal{R}(BC^k-I)+\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $是闭的, 所以存在$ y\in X $和$ z\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $使得$ BA^kx=(BC^k-I)y+z $, 从而$ y=BC^ky+z-BC^kx $. 由引理2.1  (4)可知$ BC^kBA^kz\in\mathcal{N}(BC^k-I)^{n} $. 由引理2.1  (2)可知$ AC^kz\in\mathcal{N}(A-I)^{n} $. 根据引理2.4  中的证明可知$ x $有以下分解:

$ \begin{aligned} x&=(A-I)[AC^ky-(A^{k+1}+\cdots+A+I)x]+AC^kz\in\mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^{n}. \end{aligned} $

因此, $ \mathcal{R}(A-I)+\mathcal{N}(A-I)^n $是闭的.

当引理2.5  中的$ n=0 $时, 可以得到以下推论:

推论2.6  若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ \mathcal{R}(A-I) $是闭的当且仅当$ \mathcal{R}(BC^k-I) $是闭的.

推论2.7  若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ \mathcal{R}(A-I)^n $是闭的当且仅当$ \mathcal{R}(BC^k-I)^n $是闭的.

证  对于任意的正整数$ n $, 设

$ A_n=\sum\limits_{j=1}^n\binom{n}{j}(-1)^{j-1}A^j=I-(I-A)^n\; \text{和}\; B_n=\sum\limits_{j=1}^n\binom{n}{j}(-1)^{j-1}B(C^kB)^{j-1}. $

因为$ C^kB_n=C^k\sum_{j=1}^n\binom{n}{j}(-1)^{j-1}B(C^kB)^{j-1}=I-(I-C^kB)^n $以及$ (C^kB)^nC^k=A^nC^k $, 所以直接计算可知

$ \begin{aligned} C^kB_nC^k&=(I-(I-C^kB)^n)C^k=C^k-(I-C^kB)^nC^k\\&=C^k-C^k(I-BC^k)^n=C^k-(I-A)^nC^k\\&=(I-(I-A)^n)C^k=A_nC^k. \end{aligned} $

又因为利用$ (I-C^kB)^nA^k=A^k(I-A)^n $可得

$ \begin{aligned} C^kB_nA_n^k&=(I-(I-A)^n)^k-(I-C^kB)^n(I-(I-A)^n)^k\\&=(I-(I-A)^n)^k-(I-C^kB)^{n}A^k(\sum\limits_{j=1}^n\binom{n}{j}(-1)^{j-1}A^{j-1})^k\\&=(I-(I-A)^n)^k-(I-A)^nA^k(\sum\limits_{j=1}^n\binom{n}{j}(-1)^{j-1}A^{j-1})^k\\&=(I-(I-A)^n)^k-(I-A)^n(I-(I-A)^n)^k=A_n^{k+1}. \end{aligned} $

所以$ C^kB_nC^k=A_nC^k $以及$ C^kB_nA_n^k=A_n^{k+1} $. 根据引理  (2)可知$ \mathcal{R}(A_n-I)=\mathcal{R}(A-I)^n $是闭的当且仅当$ \mathcal{R}(B_nC^k-I)=\mathcal{R}(BC^k-I)^n $是闭的.

上述在引理2.2, 2.3, 2.4, 2.5和推论2.7已经分析了19类正则集的基础组成部分, 则以下定理成立:

定理2.8  若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ \sigma_{R_i}{(A)}\{0\}=\sigma_{R_i}{(BC^k)}\{0\} $, 其中$ 1\leq i\leq 19 $.

1958年, Drazin^[13]在结合环和半群中首次引入了Drazin逆的概念. 下面我们将在有界线性算子的框架内阐述Drazin逆的定义. 若对于$ T\in \mathcal{B}(X) $, 存在$ S\in\mathcal{B}(X) $和正整数$ n $满足:

$ TS=ST, \; STS=S, \; T^{n+1}S=T^n, $

则称$ T $是Drazin可逆的, 记$ T^D=S $. 我们将满足上述等式的最小正整数$ n $称为$ T $的Drazin指数. 通过将上述定义中的第三个条件替换为$ T $是拟幂零的, Koliha在Banach代数上引入并研究了广义Drazin逆, 详见文献[14]. 进一步地, 通过将谱半径为零的算子推广为Fredholm谱半径为零(即: Fredholm谱$ \sigma_{{R_4}\cap{R_9}}(T)=\{0\} $)的算子, Živković-Zlatanović S Č和Cvetković在Banach空间上定义了广义Drazin-Riesz逆, 并探讨了相关等价刻画. 对于$ T\in\mathcal{B}(X) $, 若存在一个$ S\in\mathcal{B}(X) $满足:

$ TS=ST, \; STS=S, \; TST-T\; \text{是Riesz算子}, $

则称$ S $是$ T $的广义Drazin-Riesz逆, 详见文献[15].

设$ A, \; B, \; C, \; D $为含幺结合环内的元素. Cline^[16]在1965年证明了: 若$ AB $是Drazin可逆的, 则$ BA $也是Drazin可逆的且$ (BA)^D=B[(AB)^D]^2A $. 这个等式被称为Cline公式. 近年来, 许多学者对Cline公式进行了研究. Liao等人^[17]和Wang等人^[18]分别研究了广义Drazin逆、伪Drazin逆的Cline公式. 随后, Zeng, Wu和Wen^[19]在条件(1.3)下推广了上述结论. 接下来, 我们将给出一个形似广义Drazin-Riesz逆Cline公式的新推广.

推论3.1  若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ A $是Riesz算子当且仅当$ BC^k $是Riesz算子.

证  由定理2.8  可知$ \sigma_{{R_4}\cap{R_9}}(A)\{0\}=\sigma_{{R_4}\cap{R_9}}(BC^k)\{0\} $, 故$ A $是Riesz算子当且仅当$ BC^k $是Riesz算子.

定理3.2  若对于某个非负整数$ k $且$ A, \; B, \; C\in\mathcal{B}(X) $满足$ C^kBC^k=AC^k $和$ C^kBA^k=A^{k+1} $, 则$ A $是广义Drazin-Riesz可逆的当且仅当$ BC^k $是广义Drazin-Riesz可逆的.

证  假设$ A $是广义Drazin-Riesz可逆的, 那么存在$ S $满足以下条件: $ AS=SA $, $ SAS=S $以及$ A-ASA $是Riesz算子. 设$ T=BS^2C^k $, 接下来我们只需证明$ BC^kT=TBC^k, \; TBC^kT=T\; \text{以及}\; BC^k-BC^kTBC^k\; \text{是Riesz算子}. $

首先, $ BC^kT=BC^kBS^2C^k=B(C^kBA^k)S^{k+2}C^k=BS^2(AC^k)=BS^2C^kBC^k=TBC^k. $

其次, $ TBC^kT=BS^2(C^kBC^k)BS^2C^k=BS^2A(C^kBA^k)S^{k+2}C^k=BS^2C^k=T. $

最后, 设幂等算子$ Q=I-AS $, $ A'=AQ=QA $以及$ B'=BQ $, 那么$ A-ASA=A' $是Riesz算子. 直接计算可知

$ \begin{aligned} C^kB'C^k&=C^kB(I-AS)C^k=C^kBC^k-C^kB(AS)C^k\\&=AC^k-(C^kBA^k)S^kC^k=AC^k-A^2SC^k\\&=(I-AS)AC^k=QAC^k=A'C^k \end{aligned} $

以及

$ \begin{aligned} C^kB'(A')^k=C^kBQA^k=(C^kBA^k)Q=A^{k+1}Q=(A')^{k+1}. \end{aligned} $

对于$ C^kB'C^k=A'C^k $和$ C^kB'(A')^k=(A')^{k+1} $, 由推论3.1可知

$ \begin{aligned} BC^k-BC^kTBC^k&=BC^k-BC^kBS^2(C^kBC^k)=BC^k-BC^kBS^2AC^k\\&=BC^k-B(C^kBA^k)S^{k+1}C^k=BC^k-B(A^{k+1}S^{k+1})C^k\\&=B(I-AS)C^k=B'C^k \end{aligned} $

是Riesz算子. 因此, $ BC^k $是广义Drazin-Riesz可逆的.

另一方面, 假设$ BC^k $是广义Drazin-Riesz可逆的. 那么存在$ U $满足以下条件: $ BC^kU=UBC^k $, $ UBC^kU=U $以及$ BC^k-BC^kUBC^k $是Riesz算子. 设$ V=C^kU^{k+2}BA^k $, 接下来我们只需证明$ AV=VA, \; VAV=V\; \text{以及}\; A-AVA\; \text{是Riesz算子}. $首先, $ AV=(AC^k)U^{k+2}BA^k=C^kU^{k+2}B(C^kBA^k)=C^kU^{k+2}BA^{k+1}=VA. $其次, 由$ C^kBC^k=AC^k $可知$ BA^{k+1}C^k=(BC^k)^{k+2} $, 则$ VAV=C^kU^{k+2}(BA^{k+1}C^k)U^{k+2}BA^k=C^kU^{k+2}(BC^k)^{k+2}U^{k+2}BA^k $ $ =V. $最后, 设$ Q=I-C^kU^{k+1}BA^k $, $ A'=AQ $以及$ B'=BQ $, 那么

$ \begin{aligned} QA&=A-C^kU^{k+1}BA^{k+1}=A-C^kU^{k+1}BC^kBA^k\\&=A-C^kBC^kU^{k+1}BA^k=A-AC^kU^{k+1}BA^k=AQ. \end{aligned} $

由于$ BC^k-BC^kUBC^k=BC^k-BC^kU^{k+1}(BC^k)^{k+1}=BC^k-BC^kU^{k+1}BA^kC^k=B'C^k, $则$ B'C^k $是Riesz算子. 由$ C^kBC^k=AC^k $可知$ (BC^k)^{k+2}=BA^{k+1}C^k $, 从而

$ \begin{aligned} C^kB'C^k&=C^kB(I-C^kU^{k+1}BA^k)C^k=C^kBC^k-C^kBC^kU^{k+1}BA^kC^k\\&=AC^k-AC^kU^{k+1}BA^kC^k=A(I-C^kU^{k+1}BA^k)C^k\\&=AQC^k=A'C^k \end{aligned} $

以及$ C^kB'(A')^k=C^kBQA^k=C^kBA^kQ=A^{k+1}Q=(A')^{k+1}. $对于$ C^kB'C^k=A'C^k $和$ C^kB'(A')^k=A'^{k+1} $, 由推论3.1可知$ A-AVA=A' $是Riesz算子. 因此, $ A $是广义Drazin-Riesz可逆的.