Markov链的收敛性在Markov链蒙特卡洛(MCMC)方法和非线性时间序列分析中有广泛的应用. 耦合方法(coupling method) 在随机过程中有广泛的应用, 耦合方法已成为研究$ Markov $过程稳定性的一个重要工具. 陈木法([1])对概率距离和耦合方法做了一些总结, 同时研究了全变差范数意义下时齐马氏链的收敛性. 文献[2, 3, 4]用耦合方法研究非时齐马氏链的收敛性和时齐马氏链$ f $指数遍历.文献[5]系统地研究了离散时间时齐马氏链的随机稳定性.

为了更进一步研究了时齐马氏链的收敛性, 本文先证得一个关于基本耦合和$ f $范数的等式, 然后利用该等式和耦合方法, 在$ f- $范数的意义下, 研究离散时间一般状态空间下时齐马氏链的收敛性. 得到了一个时齐马氏链的收敛的充分条件.

设$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $是波兰空间. 为叙述方便, 先引入几个记号. 设$ g $是$ X $上的可测函数, $ \mu $是$ \mathscr{B}(X) $上的符号测度, $ K $是$ (X, \mathscr{B}(X)) $上的可测核. 记

$ \mu(g):=\displaystyle{\int}{gd\mu}, $

$ Kg(x):=\displaystyle{\int}{K(x, dy)g(y)}, $

定义1 设$ \mu $是$ \mathscr{B}(X) $上的符号测度, $ g, f $是$ \mathscr{B}(X) $上的可测函数, 定义$ \mu $的全变差范数为

$ \|\mu\|:=\sup\{|\mu(g)|:|g|\leq 1\}, $

定义$ \mu $的$ f $范数为

$ \|\mu\|_{f}:=\sup\{|\mu(g)|:|g|\leq f\}, \; \; f\geq1. $

说明: $ \mu $可以是测度, 也可以是函数, 还可以是点.

设$ \Phi=\{\Phi_0, \Phi_1, \cdot \cdot \cdot, \Phi_n, \cdot \cdot \cdot\} $是$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的时齐马氏链, 设$ P(x, dy) $(或简记为$ P $)是$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的概率核, 递推地定义$ P $的第$ n $步转移概率为$ P $的$ n $次幂$ P^{n} $.

$ P^{n}(x, A): =\displaystyle{\int} P(x, dy)P^{n-1}(y, A)\; \; (x\in X, A\in \mathscr{B}(X), n\in N). $

设$ \mathscr{P}(X) $为$ X $上的全体概率测度, $ x_{0} $为$ X $上某个给定的点(等价地任意给定的点$ x_{0} $). 设$ \mu\in\mathscr{P}(X) $, 定义

$ \mu P(A):=\displaystyle{\int} \mu(dx)P(x, A)\; \; (A\in \mathscr{B}(X). $

记

$ \mathscr{M}=\{\mu\in\mathscr{P}(X):\displaystyle{\int}\rho(x_{0}, x)\mu(dx)<\infty\}. $

定义2 设$ \mu_1, \mu_2 $是$ \mathscr{B}(X) $上的任意概率测度, $ \widetilde{\mu} $是$ \mathscr{B}(X)\times \mathscr{B}(X) $上的概率测度, 称$ \widetilde{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的耦合, 若满足边缘性:

$ \widetilde{\mu}(A_1\times X)=\mu_1(A_1), \; \; A_1\in \mathscr{B}(X), $

$ \widetilde{\mu}(X\times A_2)=\mu_2(A_2), \; \; A_2\in \mathscr{B}(X). $

记$ K(\mu_1, \mu_2) $为$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的全体耦合.

陈木法([1])、Lindvall([6])、张绍义([7])研究过时齐$ Markov $链的收敛性, 不过他们都是从全变差范数角度研究的. 本文将推导得出更加一般的$ f $范数角度时齐$ Markov $链的收敛性的一个充分条件.

定理1 设$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $是波兰空间, 设$ \Phi=\{\Phi_0, \Phi_1, \cdot \cdot \cdot, \Phi_n, \cdot \cdot \cdot\} $是取值于$ X $上的时齐马氏链, $ P $是$ \Phi $的转移概率核. 如果满足：

$ (i) \forall x\in X, $有$ P(x, \cdot)\in\mathscr{M} $;

$ (ii) $ 存在耦合和与$ x, y $无关的常数$ 0\leq c< 1 $使得

$ \displaystyle{\int}\varphi(u, v)\widetilde{P}(x, y;du, dv)\leq c\varphi(x, y). $

其中$ \widetilde{P}(x, y;du, dv) $为$ {P}(x, du) $与$ {P}(y, dv) $的耦合.

那么, 存在$ \mathscr{M} $上唯一的平稳分布$ \pi $, 使得对$ \mathscr{M} $上的任意概率测度$ \mu $, 当$ n\rightarrow \infty $时有

$ \|\mu P^{n}-\pi\|_{f}\rightarrow0. $

注: 当$ f\equiv 1 $, 则$ f $范数变成了全变差范数.

引理1 [6] 设$ \mu_1, \mu_2 $是$ \mathscr{B}(X) $上的任意概率测度, 令$ \mu{'}=\mu_1+\mu_2 $记

$ g_1=\frac{d\mu_1}{d\mu{'}}, \; \; g_2=\frac{d\mu_2}{d\mu^{'}}, $

$ g=\text{min}{\{g_1, g_2\}}, \; \; \gamma=\displaystyle{\int} gd\mu{'}, $

$ v_1(A)=\displaystyle{\int}_A(g_1-g)d\mu{'}, \; \; A\in\mathscr{B}(X), $

$ v_2(A)=\displaystyle{\int}_A(g_2-g)d\mu{'}, \; \; A\in\mathscr{B}(X), $

$ Q(B)=\displaystyle{\int}_{B\cap{\{(x, y):x=y\}}}g(x)d\mu{'}(x), \; \; B\in\mathscr{B}(X)\times\mathscr{B}(X). $

易得$ 0\leq\gamma\leq1, v_1, v_2 $是$ \mathscr{B}(X) $上的两个测度, $ Q $是$ \mathscr{B}(X)\times\mathscr{B}(X) $上的测度. 令

$ \begin{eqnarray*} \overline\mu=\left\{ \begin{array}{ll} Q, \qquad &\gamma=1, \\ \frac{v_1\times v_2}{1-\gamma}+Q, \qquad &\gamma\neq1. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

则$ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的耦合, 称$ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的基本耦合.

点测度$ \delta_x $与概率测度$ \mu $的基本耦合记为$ \overline{\mu} $.

记$ \varphi(x, y):=d(x, y)[f(x)+f(y)], $可测函数$ f\geq 1 $, 其中

$ \begin{eqnarray*} d(x, y):=\left\{ \begin{array}{ll} 1, \qquad &x\neq y, \\ 0, \qquad &x=y. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

定理2 设$ \mu_1, \mu_2 $是任意概率测度, $ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的基本耦合. 则有

$ \begin{equation} \|\mu_1-\mu_2\|_{f}= \displaystyle{\int}\varphi(x, y)\overline{\mu}(dx, dy). \end{equation} $

(2.1)

证

$ \begin{eqnarray*} \begin{aligned} \|\mu_1-\mu_2\|_{f} &=\sup\limits_{|v|\leq f}|\int vd\mu_1-\int vd\mu_2|\\ &=\sup\limits_{|v|\leq f}|\int vg_1d\mu^{'}-\int vg_2d\mu^{'}|\\ &=\int_{\{g_1\geq g_2\}}f(g_1- g_2)d\mu^{'}-\int_{\{g_1< g_2\}}f(g_1- g_2)d\mu^{'}\\ &=\int f|g_1-g_2|d\mu^{'}\qquad (|g_1-g_2| \equiv(g_1-g)+(g_2-g))\\ &=\int f(g_1-g)d\mu^{'}+\int f(g_2-g)d\mu^{'}.\\ \end{aligned} \end{eqnarray*} $

于是, 只需证

$ \displaystyle{\int}\varphi(x, y)\overline{\mu}(dx, dy)=\displaystyle{\int} f(g_1-g)d\mu{'}+\displaystyle{\int} f (g_2-g)d\mu{'}. $

往证之. $ (a) $当$ \gamma=1 $时,

$ \begin{eqnarray*} \begin{aligned} \int d(x, y)\overline{\mu}(dx, dy) &=\int d(x, y)Q(dx, dy)\\ &=\int d(x, y)\int_{\{(x, y):x=y\}}g(x)\mu{'}d(x) \\ &=\int\int_{\{(x, y):x=y\}} d(x, y)g(x)\mu{'}d(x) \\ &=0. \end{aligned} \end{eqnarray*} $

从而有

$ \displaystyle{\int} d(x, y)\overline{\mu}(dx, dy)=0=1-\gamma. $

$ (b) $当$ \gamma<1 $时, 当$ x=y $时,

$ \begin{eqnarray*} \begin{aligned} \int d(x, y)\overline{\mu}(dx, dy)=0. \end{aligned} \end{eqnarray*} $

所以有

$ \begin{eqnarray*} \begin{aligned} \int d(x, y)\overline{\mu}(dx, dy) &=\int d(x, y)\frac{v_1(dx)\times v_2(dy)}{1-\gamma}+\int d(x, y)Q(dx, dy)\\ &=\int d(x, y)\frac{v_1(dx)\times v_2(dy)}{1-\gamma}+0 \qquad \\ &=\int d(x, y)\frac{(1-\gamma)\times (1-\gamma)}{1-\gamma}\\ &=\int d(x, y)(1-\gamma)\\ &= 1-\gamma. \end{aligned} \end{eqnarray*} $

定理获证.

引理2 设$ \mu_1, \mu_2 $是任意概率测度, $ P $是波兰空间$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的概率核, $ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的基本耦合, $ \widetilde{P}(x, y;du, dv) $为$ {P}(x, du) $与$ {P}(y, dv) $的耦合. 则有

$ \begin{equation} \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}\leq\displaystyle{\int}\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v). \end{equation} $

(2.2)

证 要证明$ (2.2) $式成立, 先证明$ \overline{\mu}\widetilde{P} $是$ \mu_1P $与$ \mu_2P $的耦合. 下面验证边缘性条件:

$ \begin{eqnarray*} \overline{\mu}\widetilde{P}(A\times X)&=&\int\overline{\mu}(dx, dy)\widetilde{P}(x, y;A\times X)\\ &=&\int\overline{\mu}(dx, dy)P(x, A)\\ &=&\int\mu_1(dx)P(x, A)\\ &=&\mu_1P(A). \end{eqnarray*} $

同理可证$ \overline{\mu}\widetilde{P}(X\times B)=\mu_2P(B) $. 故$ \overline{\mu}\widetilde{P} $是$ \mu_1P $与$ \mu_2P $的耦合.

令$ |g|\leq f $, 则有$ g(u)-g(v)\leq\varphi(u, v) $.于是

$ \begin{eqnarray*} \int gd\mu_1P-\int gd\mu_2P &=&\int\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)[g(u)-g(v)]\\ &\leq&\int\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v). \end{eqnarray*} $

同理:

$ \displaystyle{\int} gd\mu_2P-\displaystyle{\int} gd\mu_1P\leq\displaystyle{\int}\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v), $

于是有

$ \left|\displaystyle{\int} gd\mu_1P-\displaystyle{\int} gd\mu_2P\right|\leq\displaystyle{\int}\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v). $

在上面不等式中, 对$ |g|\leq f $求上确界, 得

$ \|\mu_1P-\mu_2P\|_{f}\leq\displaystyle{\int}\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v). $

(2.2)式得证.

引理3 设$ P $是波兰空间$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的概率核, $ \mu_1, \mu_2 $是任意概率测度, 若存在耦合和与$ x, y $无关的常数$ 0\leq c\leq 1 $使得

$ \begin{equation} \displaystyle{\int}\varphi(u, v)\widetilde{P}(x, y;du, dv)\leq c\varphi(x, y), \end{equation} $

(2.3)

其中, $ \widetilde{P}(x, y;du, dv) $为$ {P}(x, du) $与$ {P}(y, dv) $的耦合.

则对任意概率测度$ \mu_1, \mu_2 $有

$ \begin{equation} \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}\leq c\|\mu_1-\mu_2\|_{f}. \end{equation} $

(2.4)

证 设$ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的基本耦合, 由$ (2.2)(2.3) $式可得

$ \begin{eqnarray*} \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}&\leq&\int\overline{\mu}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v)\\ &=&\int\overline{\mu}(dx, dy)\int\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v)\\ &\leq&\int\overline{\mu}(dx, dy)c\varphi(x, y)\\ &=&c\int\overline{\mu}(dx, dy)\varphi(x, y)\\ &=&c\|\mu_1-\mu_2\|_{f}. \end{eqnarray*} $

引理4 在满足引理$ 3 $的条件下, 若$ P\in \mathscr{M} $, 任意概率测度$ \mu\in \mathscr{M} $, 则$ \mu P\in \mathscr{M} $.

证 设$ \overline{\mu} $是点测度$ \delta_x $与概率测度$ \mu $的基本耦合, 由$ (1) $式可得

$ \|{\delta_x}-{\mu}\|_{f}=\displaystyle{\int}\overline{\mu}(du, dv)\varphi(u, v)=\displaystyle{\int}\mu(dv)\varphi(x, v). $

因为$ \mu\in \mathscr{M}, P\in \mathscr{M}, $故有

$ \|{\delta_{x_{0}}}-{\mu}\|_{f}=\displaystyle{\int}\mu(dy)\varphi(x_{0}, y)<\infty. $

$ \|{\delta_{x_{0}}}-{\delta_{x_{0}}P}\|_{f}=\displaystyle{\int} P(x_{0}, dy)\varphi(x_{0}, y)<\infty. $

注意到, 在满足引理$ 3 $的条件下, 有

$ \|{\delta_{x_{0}}P}-{\mu P}\|_{f}\leq c\|{\delta_{x_{0}}}-{\mu }\|_{f}. $

所以

$ \begin{eqnarray*} \int\mu P(x_{0}, dy)\varphi(x_{0}, y) &=&\|{\delta_{x_{0}}}-{\mu P}\|_{f}\\ &\leq&\|{\delta_{x_{0}}}-{\delta_{x_{0}}P}\|_{f}+\|{\delta_{x_{0}}P}-{\mu P}\|_{f}\\ &\leq&\|{\delta_{x_{0}}}-{\delta_{x_{0}}P}\|_{f}+c\|{\delta_{x_{0}}}-{\mu }\|_{f}\\ &<&\infty. \end{eqnarray*} $

从而$ \mu P\in \mathscr{M} $.

引理5 设$ \mu_1, \mu_2 $是任意概率测度, 若$ \mu_1, \mu_2\in\mathscr{M} $, 则$ \|\mu_1-\mu_2\|_{f}< \infty. $

证 由于$ \mu_1, \mu_2\in\mathscr{M} $, 从而有

$ \begin{eqnarray*} \|\mu_1-\mu_2\|_{f} &=&\int\varphi(x, y)\overline{\mu}(dx, dy)\\ &\leq&\int\varphi(x, x_0)\overline{\mu}(dx, dy)+\int\varphi(x_0, y)\overline{\mu}(dx, dy)\\ &=&\int\varphi(x, x_0)\mu_1(dx)+\int\varphi(x_0, y)\mu_2(dy)\\ &<& \infty. \end{eqnarray*} $

引理6 设$ P $是波兰空间$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的概率核, 若存在$ 0\leq c < 1 $使得对任意概率测度$ \mu_1, \mu_2 $有

$ \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}\leq c\|\mu_1-\mu_2\|_{f}, $

则对$ \forall m\in Z_{+}, \mu\in \mathscr{M} $, 有

$ \begin{equation} \|{\mu P^{m}}-{\mu}\|_{f}\leq \frac{1}{1-c}\|{\mu P}-{\mu}\|_{f}. \end{equation} $

(2.5)

证 由三角不等式得

$ \begin{eqnarray*} \|{\mu P^{m}}-{\mu}\|_{f} &\leq&\sum\limits_{k=1}^{m}\|{\mu P^{k}}-{\mu P^{k+1}}\|_{f}\\ &\leq&\|{\mu P}-{\mu}\|_{f}\sum\limits_{k=0}^{m-1}c^{k}\\ &\leq&\|{\mu P}-{\mu}\|_{f}\sum\limits_{k=0}^{\infty}c^{k}\\ &=&\frac{1}{1-c}\|{\mu P}-{\mu}\|_{f}. \end{eqnarray*} $

引理7 设$ P $是波兰空间$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $上的概率核, 若存在$ 0\leq c < 1 $使得对任意概率测度$ \mu_1, \mu_2 $有

$ \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}\leq c\|\mu_1-\mu_2\|_{f}. $

则对$ \forall\mu\in \mathscr{M}, \; \; \{\mu P^{n}:n\geq 1\} $是$ Cauchy $列.

证 对$ \forall n, m\in Z_{+}, \mu\in \mathscr{M} $, 应用引理3和引理6有

$ \begin{eqnarray*} \|{\mu P^{n+m}}-{\mu P^{n}}\|_{f} \leq c^{n}\|{\mu P^{m}}-{\mu}\|_{f}\\ \leq \frac{c^{n}}{1-c}\|{\mu P}-{\mu}\|_{f}\\ \rightarrow 0, (n\rightarrow \infty). \end{eqnarray*} $

故$ \{\mu P^{n}:n\geq 1\} $是$ Cauchy $列.

引理8 设$ (X, \rho, \mathscr{B}(X)) $是波兰空间, $ \mu_1, \mu_2 $是任意概率测度, 定义

$ W(\mu_1, \mu_2)=\|\mu_1-\mu_2\|_{f} $

则$ (\mathscr{M}, W) $是完备的度量空间.

证 证明见文献[8]第28–29页.

为了证明定理$ 1 $, 下面分三步来进行:

(a) 先证明存在概率测度$ \pi\in\mathscr{M} $, 使得当$ n\rightarrow \infty $时有$ \|\mu P^{n}-\pi\|_{f}\rightarrow 0; $

(b) 再证明$ \pi $是平稳分布;

(c) 最后证明$ \pi $的唯一性.

证 $ (a) $任取$ \mu\in \mathscr{M} $, 由引理$ 4 $可归纳地证明$ \{\mu P^{n}:n\geq 1\}\subseteq\mathscr{M} $. 由引理$ 7 $和引理$ 8 $知: $ \{\mu P^{n}:n\geq 1\} $是完备的度量空间$ (\mathscr{M}, W) $上的$ Cauchy $列. 于是存在概率测度$ \pi\in\mathscr{M} $, 使得当$ n\rightarrow \infty $时有

$ \|\mu P^{n}-\pi\|_{f}\rightarrow 0. $

$ (b) $在定理条件$ (ii) $下, 由引理$ 3 $有

$ \|{\pi P}-{\mu P^{n}}\|_{f}\leq c\|{\pi}-{\mu P^{n-1}}\|_{f}. $

又由$ (a) $得,

$ \|{\pi}-{\mu P^{n-1}}\|_{f}\rightarrow0, \; \; n\rightarrow \infty, $

$ \|{\mu P^{n}}-{\pi}\|_{f}\rightarrow0, \; \; n\rightarrow \infty. $

从而有

$ \begin{eqnarray*} \|{\pi P}-{\pi}\|_{f} &\leq&\|{\pi P}-{\mu P^{n}}\|_{f}+\|{\mu P^{n}}-{\pi}\|_{f}\\ &\leq&c\|{\pi}-{\mu P^{n-1}}\|_{f}+\|{\mu P^{n}}-{\pi}\|_{f}\\ &\rightarrow &0, \; \; n\rightarrow \infty. \end{eqnarray*} $

于是$ \|{\pi P}-{\pi}\|_{f}=0 $, 即$ \pi P=\pi $. 证明了$ \pi $是平稳分布.

$ (c) $下面证明$ \pi $的唯一性: 设$ \pi_{0}\in\mathscr{M} $也是$ P $的平稳分布, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|{\pi_{0}}-{\pi}\|_{f} = \|{\pi_{0}P^{n}}-{\pi P^{n}}\|_{f} \leq c^{n}\|{\pi_{0}}-{\pi}\|_{f} \rightarrow 0, \; \; n\rightarrow \infty. \end{eqnarray*} $

表明了$ \|{\pi_{0}}-{\pi}\|_{f}=0 $, 即$ \pi_{0}=\pi $.

定理1的说明

说明1: 条件$ (ii) $可改为, 存在常数$ 0\leq c<1 $使得$ \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f}\leq c\|\mu_1-\mu_2\|_{f}. $

说明2: 条件$ (ii) $可改为, 存在与$ x, y $无关的常数$ c $且$ 0\leq c<1 $使得$ \|P(x, du)-P(y, dv)\|_{f}\leq c\varphi(x, y). $

说明2的证明: 由定理$ 2 $知$ \|P(x, du)-P(y, dv)\|_{f}= \displaystyle{\int}\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v) $其中$ \widetilde{P}(x, y;du, dv) $为$ {P}(x, du) $与$ {P}(y, dv) $的基本耦合. 易于验证$ \overline{\mu}\widetilde{P} $也是$ \mu_1P $与$ \mu_2P $的耦合. 再由引理3有:

$ \begin{eqnarray*} \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f} &\leq&\int\overline{\mu}(dx, dy)\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v)\\ &=&\int\overline{\mu}(dx, dy)\int\widetilde{P}(x, y;du, dv)\varphi(u, v)\\ &=&\int\overline{\mu}(dx, dy)\|P(x, dx)-P(y, dy)\|_{f}\\ &\leq&\int\overline{\mu}(dx, dy)c\varphi(x, y)\\ &=&c\int\overline{\mu}(dx, dy)\varphi(x, y)\\ &=&c\|{\mu_1}-{\mu_2}\|_{f}. \end{eqnarray*} $

说明3: 条件$ (ii) $可改为, 对任意函数$ |g|\leq f $, 存在与$ x, y $无关的常数$ c $且$ 0\leq c<1 $使得$ |Pg(x)-Pg(y)|\leq c\varphi(x, y). $

说明3的证明: 设$ \overline{\mu} $是$ \mu_1 $与$ \mu_2 $的$ \varphi $最优耦合,

$ \begin{eqnarray*} \|{\mu_1P}-{\mu_2P}\|_{f} &=&\sup\limits_{|g|\leq f}\left|\int \mu_{1}(dx)P(x, du)g(u)-\int \mu_{2}(dy)P(y, dv)g(v)\right|\\ &=&\sup\limits_{|g|\leq f} \left|\int\overline{\mu}(dx, dy)\left[\int P(x, du)g(u)-\int P(y, dv)g(v)\right]\right|\\ &\leq&\sup\limits_{|g|\leq f} \int\overline{\mu}(dx, dy)c\varphi(x, y)\\ &=& \int\overline{\mu}(dx, dy)c\varphi(x, y)\\ &=&c\int\overline{\mu}(dx, dy)\varphi(x, y)\\ &=&c\|{\mu_1}-{\mu_2}\|_{f}. \end{eqnarray*} $