欧拉函数和Smarandache函数在数论的学习和研究中应用十分广泛. 对于正整数$ n $, 伪Smarandache函数定义为最小的正整数$ m $, 使得$ 1+2+\dots+m $能被$ n $整除^[1], 即

$ Z(n)=\mbox{min}\{m:m\in{Z^+}, n\vert{\frac{m(m+1)}{2}}\}. $

Smarandache LCM函数被定义为最小的正整数$ m $, 使得$ 1, 2, 3, \dots, m $的最小公倍数能被$ n $整除^[2], 即

$ \mbox{SL}(n)=\mbox{min}\{m:m\in{Z^+}, n\vert{\mbox{lcm}[1, 2, 3, \dots, m]}\}. $

蔡天新等人把广义欧拉函数这样来定义, 即对于任意的正整数$ e $, 正整数$ n $的广义Euler函数$ \varphi_{e}(n) $定义为序列$ 1, 2, 3, \dots, [\frac{n}{e}] $中与$ n $互素的个数^[3], 即

$ \varphi_{e}(n)=\sum\limits_{i=1, \text{gcd}(i, n)=1}^{[\frac{n}{e}]}1. $

易证明:

$ \varphi_{e}(n)=\sum\limits_{\frac{d}{n}}\mu(\frac{n}{d})[\frac{d}{e}], $

其中$ \mu(n) $为麦比乌斯函数.

许多学者研究了广义欧拉函数, 比如邓桂林等^[4]研究了方程$ \varphi_{e}(n)=p^{t\omega(n)} $($ p $为奇素数)的可解性问题; 赵贤等^[5]研究了广义欧拉方程$ \varphi_{5}(n)=\frac{d}{n} $($ d $是$ n $的正因子)的正整数解问题.

近年来, 蔡天新等人利用雅可比符号和勒让德公式得到了$ \varphi_{e}(n)(e=3, 4, 6) $的计算公式, 有许多学者利用这几个公式, 将以上定义的三类函数结合起来, 例如, 张文鹏教授^[6]研究了F.Smarandache函数的两个问题, 证明了方程$ Z(n)=S(n) $以及$ Z(n)+1=S(n) $存在无穷多个正整数解, 并且也给出了解的具体形式; 郭梦媛, 高丽等^[7]研究了数论函数方程$ S(\mbox{SL}(n^2))=\varphi_{2}(n) $问题的可解性, 并得出全部正整数解; 杨张媛等^[8]研究了方程$ S(\mbox{SL}(n))=\varphi^{2}(n) $的可解性, 并给出该方程仅有两个正整数解$ n=1 $和$ 4 $. 近几年来, 有众多的学者将这三种不同的数论函数结合起来研究, 并从中获取了不少研究成果. 例如, 朱杰等^[9]研究了方程$ Z(n)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n)) $的可解性问题和正整数解问题, 并得到该方程没有正整数解; 张利霞等^[10]人研究了$ Z(\mbox{SL(}n))=\varphi_{e}(n), e\in\{1, 2\} $时的可解性问题, 并给出了其所有正整数解; 杜珊^[11]在其硕士论文中研究了数论函数方程$ Z(n^2)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n)) $的可解性, 并得出当$ e=1 $时方程$ Z(n^2)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n)) $有唯一的正整数解$ n=1 $, 而当$ e\in\{2, 3, 4, 6\} $方程$ Z(n^2)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n)) $没有正整数解; 王慧莉等^[12]讨论了数论函数方程$ \mbox{SL}(n)=\varphi_{e}(n) $的可解性的问题, 并得到了该方程全部的正整数解.

本文进一步对数论函数方程进行研究, 将伪Smarandache函数以及广义Euler函数结合起来, 讨论当$ e=6 $时, 方程$ Z(n^2)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n^2)) $的可解性, 主要得到以下结果:

定理函数方程

$ \begin{align} Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) \end{align} $

(1.1)

无正整数解.

为后文叙述方便, 设$ n $为正整数, 记$ \Omega(n) $为$ n $的素因子个数(重复计数), $ \omega(n) $为$ n $的不同素因子的个数, 并规定$ \Omega(1)=\omega(1)=0. $

引理2.1^[13]  设正整数$ n $的标准分解式为$ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_s^{\alpha_s}, $则有

$ \mbox{SL}(n)=\mbox{max}\{p_i^{\alpha_i}\vert{i=1, 2, 3, \dots, s}\} $

特别的, 当$ p $为素数及$ \alpha\geq1 $时, 有$ \mbox{SL}(p^\alpha)=p^\alpha. $

引理2.2^[14]  对任意素数$ p\geq3 $及$ k\geq1 $, 有$ Z(p^\alpha)=p^\alpha-p^{\alpha-1}. $当$ p=2 $时, 则有$ Z(2^k)=2^{k+1}-1. $

引理2.3^[15]  对任意两个互素的正整数$ m $, $ n $, 有$ \varphi{(mn)}=\varphi{(m)}\varphi{(n)}. $

引理2.4^[16]  若$ n=2^{\alpha}3^{\beta}\prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{\alpha_i}>6, $其中$ \alpha, \beta, \alpha_{i}\geq0, $ $ p_i $是不同的奇素数且gcd$ (p_i, 6)=1(i=1, 2, \dots, s), $则

$ \varphi_{6}(n)=\left\{ \begin{aligned} & \frac{\varphi(n)}{6}+\frac{(-1)^{\Omega(n)}2^{\omega(n)+1-\beta}}{6}, \alpha=0, \beta\in\{0, 1\}\mbox{且}p_i\equiv{5(\mbox{mod}6)}; \\ & \frac{\varphi(n)}{6}+\frac{(-1)^{\Omega(n)}2^{\omega(n)-1-\beta}}{6}, \alpha=1, \beta\in\{0, 1\}\mbox{且}p_i\equiv{5(\mbox{mod}6)}; \\ & \frac{\varphi(n)}{6}+\frac{(-1)^{\Omega(n)}2^{\omega(n)-\beta}}{6}, \alpha\geq2, \beta\in\{0, 1\}\mbox{且}p_i\equiv{5(\mbox{mod}6)}; \\ & \frac{\varphi(n)}{6}, \mbox{其它}. \end{aligned} \right. $

引理2.5^[17]  若$ n=2^\alpha3^\beta>6, $则

$ \varphi_{6}(n)=\left\{ \begin{aligned} & \frac{2^{\alpha-2}+(-1)^{\alpha-1}}{3}, \alpha\geq3\mbox{且}\beta=0; \\ & \frac{2^{\alpha-1}+(-1)^{\alpha}}{3}, \alpha\geq2\mbox{且}\beta=1; \\ & \frac{\varphi(n)}{6}, \mbox{其它}. \end{aligned} \right. $

证

$ \begin{align*} &Z(1^2)=1, \varphi_{6}(\mbox{SL}(1^2))=\varphi_{6}(1)=0, Z(1^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(1^2))}. \\ &Z(2^2)=7, \varphi_{6}(\mbox{SL}(2^2))=\varphi_{6}(4)=0, Z(2^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(2^2))}. \\ &Z(3^2)=8, \varphi_{6}(\mbox{SL}(3^2))=\varphi_{6}(6)=1, Z(3^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(3^2))}. \\ &Z(4^2)=31, \varphi_{6}(\mbox{SL}(4^2))=\varphi_{6}(6)=1, Z(4^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(4^2))}. \\ &Z(5^2)=24, \varphi_{6}(\mbox{SL}(5^2))=\varphi_{6}(10)=1, Z(5^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(5^2))}. \\ &Z(6^2)=8, \varphi_{6}(\mbox{SL}(6^2))=\varphi_{6}(6)=1, Z(6^2)\neq{\varphi_{6}(\mbox{SL}(6^2))}. \end{align*} $

因此, $ n=1, 2, 3, 4, 5, 6 $均不是方程(1.1)的解.

1. 设$ n=2^\alpha3^\beta>6 $, $ \alpha, \beta\geq0. $

1) 若$ \beta=0 $且$ \alpha\geq3 $, 则$ n=2^\alpha, \mbox{SL}(n)=2^\alpha. $此时$ \mbox{SL}(n^2)=2^{2\alpha}. $根据引理2.5可得

$ \varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2))=\varphi_{6}(2^{2\alpha})=\frac{2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}}{3}. $

若$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $成立, 由$ Z(n) $的定义可得

$ 2^{2\alpha}\vert{\frac{\frac{2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}}{3}[\frac{2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}}{3}+1]}{2}}, $

即

$ 2^{2\alpha+1}3^2\vert[{2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}}][2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}+3], $

从而

$ 2^{2\alpha+1}\vert[{2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}}][2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}+3]. $

因为$ (2^{2\alpha+1}, 2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1})=1, $所以$ 2^{2\alpha+1}\vert[2^{2\alpha-2}+(-1)^{2\alpha-1}+3]. $显然这是不成立的.

2) 若$ \beta=1, \alpha\geq2, $则$ \mbox{SL}(n)= $max$ \{2^\alpha, 3^\beta\}=2^{\alpha}, $此时$ \mbox{SL}(n^2)=2^{2\alpha} $. 由引理2.5可得

$ \varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2))=\varphi_{6}(2^{2\alpha})=\frac{2^{2\alpha-1}+(-1)^{2\alpha}}{3}. $

若$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $成立, 由$ Z(n) $的定义可得

$ 2^{2\alpha}\vert{\frac{[\frac{2^{2\alpha-1}+(-1)^{2\alpha}}{3}][\frac{2^{2\alpha-1}+(-1)^{2\alpha}}{3}+1]}{2}}, $

即

$ 2^{2\alpha+1}3^2\vert[{2^{2\alpha-1}+1}][2^{2\alpha-1}+4], $

从而

$ 2^{2\alpha+1}\vert[{2^{2\alpha-1}+1}][2^{2\alpha-1}+4]. $

因为$ (2^{2\alpha+1}, 2^{2\alpha-1}+1)=1, $所以$ 2^{2\alpha+1}\vert2^{2\alpha-1}+4. $显然这是不成立的.

2. 设$ n=2^{\alpha}3^{\beta}\prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{\alpha_i}>6, $ $ \alpha, \beta, \alpha_i\geq0. $ $ p_i $是不同的素数且gcd$ (p_i, 6)=1. $

1) $ p_i\equiv{1(\mbox{mod}6)}. $由引理2.4可以得到

$ \varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2))=\varphi_{6}(p_s^{2\alpha_s})=\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1). $

若$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $成立, 由$ Z(n) $的定义可得

$ 2^{2\alpha}3^{2\beta}p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\dots p_s^{2\alpha_s}\vert{\frac{[\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)][\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+1]}{2}}, $

即

$ 2^{2\alpha+3}3^{2\beta+2}p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\dots p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)][p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+6]}. $

特别的, 当$ i=s $时

$ p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)][p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+6]}, $

从而

$ p_s\vert{(p_s-1)[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+6]}. $

因为$ \mbox{gcd}(p_s, p_s-1)=1, $所以$ p_s\vert[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+6], $即$ p_s\vert(p_s^{2\alpha_s-1}+6). $当$ \alpha_s=1 $时, $ p_s=2 $或$ 3 $, 与$ p_s\equiv{1(\mbox{mod}6)} $矛盾. 当$ \alpha_s>1 $时, $ p_s\nmid{p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+6}. $此时方程(1.1) 无解.

2) $ p_i\equiv{5(\mbox{mod}6)}. $由引理2.4可以得到

$ \varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2))=\varphi_{6}(p_s^{2\alpha_s})=\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+\frac{4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}}{6}. $

若$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $成立, 由$ Z(n) $的定义可得

$ 2^{2\alpha}3^{2\beta}p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\dots p_s^{2\alpha_s}\vert{\frac{[\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+\frac{4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}}{6}][\frac{1}{6}p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+\frac{4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}}{6}+1]}{2}}, $

即

$ 2^{2\alpha+3}3^{2\beta+2}p_1^{2\alpha_1}p_2^{2\alpha_2}\dots p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}][p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}+6]}. $

特别的, 当$ i=s $时

$ p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}][p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}+6]}, $

即

$ \begin{align} p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}]}, \end{align} $

(3.1)

或

$ \begin{align} p_s^{2\alpha_s}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}+6]}, \end{align} $

(3.2)

或存在$ r(1\leq{r}\leq{\alpha_s}) $, 使得

$ \begin{align} \Bigg\{\begin{aligned} & p_s^r\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}]}; \\ & p_s^{\alpha_s-r}\vert{[p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}+6]}. \end{aligned} \end{align} $

(3.3)

对于(3.1)式成立, 若$ \alpha_s=1, $则有$ p_s=1. $若$ \alpha_s>1, $则$ p_s^{2\alpha_s}\nmid{p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}}. $对于(3.2)式成立, 若$ \alpha_s=1, $则有$ p_s=1 $或$ 2. $若$ \alpha_s>1, $则$ p_s^{2\alpha_s}\nmid{p_s^{2\alpha_s-1}(p_s-1)+4\cdot{(-1)^{\alpha_s}}+6}. $因此(3.3)式也不成立. 此时方程(1.1)无解.

综上所述, 方程$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $无正整数解.

本文基于伪Smarandache函数, Smarandache LCM函数以及广义Euler函数的基本性质, 结合$ \varphi_{6}(n) $的准确计算公式, 研究了方程$ Z(n^2)=\varphi_{6}(\mbox{SL}(n^2)) $的可解性问题, 并得出其没有正整数解. 关于广义Euler函数$ \varphi_{e}(n)(e=8, 12) $的公式也已得出, 因此后续可研究$ Z(n^2)=\varphi_{e}(\mbox{SL}(n^2))(e=8, 12) $的问题.