我们要用到以下符号 ^[1]. 对$ \forall k>0 $

$ [k]_{q}:=\left\{ \begin{aligned} & \frac{1-q^{k}}{1-q}, &q>0, q\neq 1 \\ &k, & q=1 \end{aligned} \right. $

对$ \forall k\in \mathbb{N} $

$ [k]_{q}!:=[1]_{q}[2]_{q}\cdots[k]_{q}, [0]!=1. $

对整数$ 0\leq k\leq n, $ q-二项式系数定义为

$ {n\choose k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}. $

对固定$ q>1 $, q-导数定义为

$ D_{q}f(z)=\left\{ \begin{aligned} & \frac{f(qz)-f(z)}{(q-1)z}, &z\neq 0 \\ &f'(0), & z=0 \end{aligned} \right. $

若$ |q|>1 $或$ 0<|q|<1 $且$ |z|<\frac{1}{1-q} $, q-指数函数定义为

$ e_{q}(z):=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{[k]_{q}!}. $

当$ |q|>1 $时, $ e_{q}(z) $是整函数且有

$ e_{q}(z)=\prod\limits_{j=0}^{\infty}\biggl(1+(q-1)\frac{z}{q^{j+1}}\biggr), |q|>1. $

关于算子在紧圆盘的复逼近的相关研究已经有很多了, 如参考文献[2-4]分别研究了复Szász-Durrmeyer算子、复Baskakov-Stancu算子和复Baskakov-Kantorovich算子在紧圆盘上对解析函数的逼近性质, 参考文献[5,6]则分别研究了Bernstein-Durrmeyer算子和Durrmeyer型Bernstein-Stancu算子在移动圆盘上的逼近性质, 但关于q-算子在紧圆盘上逼近问题的相关研究则相对较少(参见文献[7-10]). 对$ q>1 $, 复q-szász-Mirakjan算子定义为

$ S_{n, q}(f;z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f\biggl(\frac{[k]_{q}}{[n]_{q}}\biggr)\frac{1}{q^{\frac{k(k-1)}{2}}}\frac{[n]_{q}^{k}z^{k}}{[k]_{q}!}e_{q}(-[n]_{q}q^{-k}z). $

上述算子在紧圆盘的逼近性质在文[9]中已研究. 2013年Gal S G等人在文[10]中给出了q-Szász-Kantorovich算子在紧圆盘的逼近性质. 2021年程文韬, 周晓玲在文[11]中给出了修正q-Szász-Kantorovich算子在连续函数空间的定义：若$ f\in [0, \infty), q>1, $对$ \forall n\in \mathbb{N} $

$ K_{n, q}(f;x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}s_{n, q}^{k}(x)\int_{0}^{1}f\biggl(\frac{[k]_{q}+t}{[n]_{q}}\biggr)\mathrm{d}_{q}t , $

其中$ s_{n, q}^{k}(x)=\frac{1}{q^{\frac{k(k-1)}{2}}}\frac{[n]_{q}^{k}x^{k}}{[k]_{q}!}e_{q}(-[n]_{q}q^{-k}x), (k=0, 1, 2, \cdots, \infty). $并得出以下结果：

定理1^[11]  若数列$ {q_{n}} $满足$ q_{n}>1 $, $ \lim_{n\rightarrow \infty}q_{n}=1 $, $ \lim_{n\rightarrow \infty}q_{n}^{n}=a \in [1, \infty) $, 则对$ \forall x\in [0, \infty), n\in \mathbb{N}, f\in C_{B}^{2}[0, \infty) $, 有$ \lim_{n\rightarrow \infty}[n]_{q_{n}}[K_{n, q_{n}}(f;x)-f(x)]=\frac{1}{2}f'(x)+\frac{1}{2}xf''(x) $.

定理2^[11]  当序列$ {q_{n}} $满足$ q_{n}\rightarrow 1(n\rightarrow \infty) $, 函数$ f\in C_{B}^{2}[0, \infty) $, 则$ \forall x\in [0, \infty), n\in \mathbb{N} $, 存在一个常数$ C>0 $, 有

$ |K_{n, q_{n}}(f;x)-f(x)|\leq 4C\omega_{2}(f;\sqrt{B_{q_{n}}(x)+A_{q_{n}}^{2}(x)})+\omega(f;|A_{q_{n}}(x)|), $

其中$ A_{q_{n}}(x)=K_{n, q_{n}}(t-x;x), B_{q_{n}}(x)=K_{n, q_{n}}((t-x)^{2};x) $.

定理3^[11]  当函数$ f\in C_{B}[0, \infty), \gamma\in(0, 1] $, 对于$ \forall x\in[0, \infty), $有

$ |K_{n, q}(f;x)-f(x)|\leq \widetilde{\omega_{r}}(f;x)B_{q}^{\frac{\gamma}{2}}(x). $

定理4^[11]  令$ f\in C_{B}^{2}[0, \infty)\bigcap Lip_{M}(\gamma, E), \gamma\in(0, 1] $, 其中$ E $是区间$ [0, \infty) $上的任意有界子集, 则对于$ q>1, n\in \mathbb{N}, M>0 $, 有

$ |K_{n, q}(f;x)-f(x)|\leq M(B_{q}^{\frac{\gamma}{2}}(x)+2d^{\gamma}(x;E)), $

其中$ d(x;E) $是点$ x $与空间$ E $之间的距离, 即$ d(x;E)=inf\{|t-x|:t\in E\} $.

本文主要借鉴文献[10]的研究方法及思路研究修正q-Szász-Kantorovich算子在$ q>1 $时对复空间紧圆盘上解析函数的逼近性质. 首先根据修正的q-Szász-Kantorovich算子在连续函数空间的定义, 本文给出其在复空间的定义:

$ K_{n, q}(f;z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}s_{n, q}^{k}(z)\int_{0}^{1}f\biggl(\frac{[k]_{q}+t}{[n]_{q}}\biggr)\mathrm{d}_{q}t, $

其中$ s_{n, q}^{k}(z)=\frac{1}{q^{\frac{k(k-1)}{2}}}\frac{[n]_{q}^{k}z^{k}}{[k]_{q}!}e_{q}(-[n]_{q}q^{-k}z), (k=0, 1, 2, \cdots, \infty). $若$ f $为紧圆盘$ D_{r}:=\{z\in \mathbb{C}:|z|<r \} $上的解析函数, 有$ f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}c_{m}z^{m}. $

对$ 1<q<r', |z|<r' $定义$ L_{q}(f;z):=\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}}f'(z)+\frac{D_{q}f(z)-f'(z)}{q-1}, $则有

$ \begin{aligned} L_{q}(f;z) &= \sum\limits_{m=2}^{\infty}a_{m}\frac{[m]_{q}-m}{q-1}z^{m-1}+\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m}mz^{m-1}\\ &=\sum\limits_{m=2}^{\infty}a_{m}([1]_{q}+[2]_{q}+\cdots+[m-1]_{q})z^{m-1}+\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m}mz^{m-1}\\ &:=\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m}V_{m}^{(q)}(z), \end{aligned} $

其中$ V_{m}^{(q)}(z)=([1]_{q}+[2]_{q}+\cdots+[m-1]_{q})z^{m-1}+\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}}mz^{m-1}. $

主要结果如下:

定理1.1  令$ 1<q<\frac{r'}{4} $, $ f $为$ \overline{D_{r'}}\bigcup[r', +\infty)\rightarrow \mathbb{C} $的连续有界函数, 且在$ D_{r'} $内解析, 即$ f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}z^{m} $对$ \forall z\in D_{r'} $成立.

(i) 若$ 1\leq r<\frac{r'}{4q} $, 那么对$ \forall |z|\leq r, n\in \mathbb{N}, $有

$ |K_{n, q}(f;z)-f(z)|\leq \frac{C_{r}(f)}{[n]_{q}}, $

其中$ C_{r}(f)=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m(m+1)(4qr)^{m}. $

(ii) 若$ 1\leq r<r_{1}<\frac{r'}{4q} $, 则对$ \forall |z|\leq r $和$ n, p\in \mathbb{N} $, 有

$ |K_{n, q}^{(p)}(f;z)-f^{(p)}(z)|\leq \frac{C_{r_{1}}(f)}{[n]_{q}}\frac{p!r_{1}}{(r_{1}-r)^{p+1}}, $

其中$ C_{r_{1}}(f)=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m(m+1)(4qr_{1})^{m} $.

下面定理给出了$ K_{n, q}(f;z) $在紧圆盘的Voronovskaja型结果.

定理1.2  $ f $为$ \overline{D_{r'}}\bigcup[r', +\infty)\rightarrow \mathbb{C} $的连续有界函数且在$ D_{r'} $上解析, 即$ f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}z^{m} $对$ \forall z\in D_{r'} $成立.

(i) 若$ 1\leq r<\frac{r'}{4q^{2}} $, 对$ \forall z\in D_{r}, n\in \mathbb{N} $有

$ |K_{n, q}(f;z)-f(z)-\frac{1}{[n]_{q}}L_{q}(f;z)|\leq \frac{6}{[n]_{q}^{2}}\sum\limits_{m=2}^{\infty}|a_{m}|m(m-1)^{3}(4q^{2}r)^{m}. $

(ii) 若$ 1<q<r' $, 则对$ 1\leq r<\frac{r'}{4q} $有

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}[n]_{q}\biggl(K_{n, q}(f;z)-f(z)\biggr)=L_{q}(f;z), $

其中

$ L_{q}(f;z)=\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m}V_{m}^{(q)}(z), z\in D_{r'}, $

$ V_{m}^{(q)}(z)=\biggl([1]_{q}+[2]_{q}+\cdots+[m-1]_{q}\biggr)z^{m-1}+\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}}mz^{m-1}. $

当$ m=1 $时, $ [1]_{q}+[2]_{q}+\cdots+[m-1]_{q}=0. $

作为定理1和定理2的应用, 我们得到算子逼近的精确估计.

定理1.3  假设$ f:\overline{D_{r'}}\bigcup[r', +\infty)\rightarrow \mathbb{C} $在$ \overline{D_{r'}}\bigcup[r', +\infty) $上连续有界且在$ D_{r'} $内解析, 令$ 1\leq r<\frac{r'}{4q} $, 若$ f $在$ D_{r'} $内不是常函数, 则$ \|K_{n, q}(f)-f\|_{r}\sim \frac{1}{[n]_{q}}, $其中等价中的常数取决于$ f, q $和$ r $, 但与$ n $无关.

为了证明上述定理, 先给出一些引理.

引理2.1   令$ q>1 $, 对$ \forall n\in \mathbb{N}, m\in \mathbb{N}\bigcup {0}, z\in \mathbb{C}, $有

$ K_{n, q}(e_{m};z)=\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z). $

证

$ \begin{aligned} K_{n, q}(e_{m};z)&=\sum\limits_{k=0}^{\infty}s_{n, q}^{k}(z)\int_{0}^{1}\biggl(\frac{[k]_{q}+t}{[n]_{q}}\biggr)^{m}\mathrm{d}_{q}t\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty}s_{n, q}^{k}(z)\int_{0}^{1}\frac{\sum_{j=0}^{m}{m\choose j}[k]_{q}^{j}t^{m-j}}{[n]_{q}^{m}}\mathrm{d}_{q}t\\ &=\sum\limits_{k=0}^{\infty}s_{n, q}^{k}(z)\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}[k]_{q}^{j}\frac{1}{[m-j+1]_{q}}\\ &=\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{[k]_{q}^{j}}{[n]_{q}^{j}}s_{n, q}^{k}(z)\\ &=\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z). \end{aligned} $

引理2.2   对$ \forall z\in \mathbb{C}, $有

$ |K_{n, q}(e_{m};z)|\leq (4qr)^{m}. $

证   由文献[9]得$ |S_{n, q}(e_{j};z)|\leq(2qr)^{j} $, 从而有

$ \begin{aligned} |K_{n, q}(e_{m};z)|&\leq\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}|S_{n, q}(e_{j};z)|\\ &\leq\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}|\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{[k]_{q}^{j}}{[n]_{q}^{j}}s_{n, q}^{k}(z)|\\ &\leq\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\biggl(1+[k]_{q}\biggr)^{m}}{[n]_{q}^{m}}s_{n, q}^{k}(z)\\ &\leq(4qr)^{m}. \end{aligned} $

引理2.3   对$ \forall n, m\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{C}, q>1, $有

$ \begin{aligned} K_{n, q}(e_{m};z)=&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+zK_{n, q}(e_{m-1};z)\\ &+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z). \end{aligned} $

证   由文献[9]得$ S_{n, q}(e_{k+1};z)=\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}S_{n, q}(e_{k};z)+zS_{n, q}(e_{k};z) $, 从而

$ \begin{aligned} \frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)=&\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j-1}[m-j]_{q}}\biggl(S_{n, q}(e_{j+1};z)-zS_{n, q}(e_{j};z)\biggr)\\ =&\sum\limits_{j=1}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j-1}[m-j]_{q}}S_{n, q}(e_{j+1};z)\\ &-\sum\limits_{j=1}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{z}{[n]_{q}^{m-j-1}[m-j]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)\\ =&\sum\limits_{j=1}^{m}{m-1\choose j-1}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)-zK_{n, q}(e_{m-1};z). \end{aligned} $

由上式及引理2.1有

$ \begin{aligned} K_{n, q}(e_{m};z)=&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+zK_{n, q}(e_{m-1};z)\\ &+\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)\\ &-\sum\limits_{j=1}^{m}{m-1\choose j-1}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)\\ =&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+zK_{n, q}(e_{m-1};z)\\ &+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z). \end{aligned} $

记$ E_{n, m}(z)=K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}mz^{m-1}-\sum_{k=1}^{m-1}[k]_{q}\frac{z^{m-1}}{[n]_{q}}. $

引理2.4   令$ n, m\in \mathbb{N}, q>1, $有

$ \begin{aligned} E_{n, m}(z)=&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}\biggl[K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr]+zE_{n, m-1}(z)\\ &-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}z^{m-1}+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z). \end{aligned} $

证

$ \begin{aligned} &E_{n, m}(z)\\=&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+zK_{n, q}(e_{m-1};z) +\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &-e_{m}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}mz^{m-1}-\sum\limits_{k=1}^{m-1}[k]_{q}\frac{z^{m-1}}{[n]_{q}}\\ =&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+z\biggl[E_{n, m-1}(z)+e_{m-1}(z)+\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}(m-1)z^{m-2}\\ &+\sum\limits_{k=1}^{m-2}[k]_{q}\frac{z^{m-2}}{[n]_{q}}\biggr]+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &-e_{m}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}mz^{m-1}-\sum\limits_{k=1}^{m-1}[k]_{q}\frac{z^{m-1}}{[n]_{q}}\\ =&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+zE_{n, m-1}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}z^{m-1}\\ &+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)-[m-1]_{q}\frac{z^{m-1}}{[n]_{q}}\\ =&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}\biggl[K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr]+zE_{n, m-1}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}z^{m-1}\\ &+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z).\\ \end{aligned} $

定理1.1的证明

(i) 由引理2.3

$ \begin{aligned} K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)=&\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)+z\biggl(K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr)\\ &+\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z), \end{aligned} $

其中

$ \begin{aligned} &|\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)|\\ =&|\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{m}{m-j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j+1]_{q}}\frac{m-j}{m}S_{n, q}(e_{j};z)|\\ \leq&|\frac{1}{[n]_{q}^{m}}\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)|\\ \leq&\frac{[n]_{q}^{m-1}}{[n]_{q}^{m}}|\frac{1}{[n]_{q}^{m-1}}\sum\limits_{j=0}^{m-1}{m-1\choose j}\frac{[n]_{q}^{j}}{[m-j]_{q}}S_{n, q}(e_{j};z)|\\ \leq&\frac{|K_{n, q}(e_{m-1};z)|}{[n]_{q}}\leq\frac{(4qr)^{m-1}}{[n]_{q}}. \end{aligned} $

由$ |P_{m}'(z)|\leq\frac{m}{qr}\|P_{m}\|_{qr}, $对$ \forall |z|\leq qr, r\geq1. $这里$ \|P_{m}\|_{qr}=\max\{|P_{m}(z)|:|z|\leq qr\}. $

$ \begin{aligned} |K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|&=\frac{z}{[n]_{q}}|D_{q}K_{n, q}(e_{m-1};z)|+z|K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)|+\frac{(4qr)^{m-1}}{[n]_{q}}\\ &\leq\frac{r}{[n]_{q}}\frac{m-1}{qr}\|K_{n, q}(e_{m-1})\|_{qr}+r|K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)|+\frac{(4qr)^{m-1}}{[n]_{q}}\\ &\leq r|K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)|+\frac{m-1}{q[n]_{q}}(4qr)^{m-1}+\frac{(4qr)^{m-1}}{[n]_{q}}\\ &\leq r|K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)|+\frac{m}{[n]_{q}}(4qr)^{m-1}. \end{aligned} $

通过数学归纳法可得

$ |K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|\leq \frac{m(m+1)(4qr)^{m-1}}{2[n]_{q}}\leq\frac{m(m+1)}{2[n]_{q}}(4qr)^{m}. $

由于$ K_{n, q}(f;z) $在$ D_{r'} $内解析, 我们可以写$ K_{n, q}(f;z)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}a_{m}K_{n, q}(e_{m};z), z\in D_{r}. $事实上, 为了这个目的, 对任意$ m\in \mathbb{N}, $我们定义$ f_{m}(z)=\sum\limits_{j=0}^{m}c_{j}z^{j} $, 若$ |z|\leq r; $ $ f_{m}(x)=f(x), $若$ x\in(r, \infty). $从$ f $的假设可知对任意$ m\in \mathbb{N}, $有$ |f_{m}(x)|\leq C_{m, r} $对所有$ x\in [0, \infty) $成立. 这导致对每一固定的$ n, m\in \mathbb{N} $和$ z $有

$ |K_{n, q}(f_{m};z)|\leq C_{m, r}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{1}{q^{\frac{j(j-1)}{2}}}\frac{[n]_{q}^{j}z^{j}}{[j]_{q}!}e_{q}(-[n]_{q}q^{-j}z)<\infty. $

现在定义$ f_{m, k}(z)=c_{k}e_{k}(z) $, 若$ |z|\leq r; $ $ f_{m, k}(x)=\frac{f(x)}{m+1}, $若$ x\in(r, \infty). $显然$ f_{m, k} $在$ [0, \infty) $是有界的且$ f_{m}(z)=\sum\limits_{k=0}^{m}f_{m, k}(z). $由$ K_{n, q} $的线性, 我们有$ K_{n, q}(f_{m})(z)=\sum\limits_{k=0}^{m}c_{k}K_{n, q}(e_{k})(z), $对$ \forall |z|\leq r $成立.通过

$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}\|f_{m}-f\|_{r}=0, \|f_{m}-f\|_{B[0, +\infty)}\leq \|f_{m}-f\|_{r} $

和不等式

$ |K_{n, q}(f_{m})(z)-K_{n, q}(f)(z)|\leq M_{r, n}\cdot\|f_{m}-f\|_{B[0, +\infty)}\leq M_{r, n}\cdot\|f_{m}-f\|_{r} $

对任意$ |z|\leq r $成立, 足以证明$ \lim_{m\rightarrow \infty}K_{n, q}(f_{m})(z)=K_{n, q}(f)(z) $对每一固定$ n\in \mathbb{N} $和$ |z|\leq r $成立. 这里$ \| \cdot \|_{B[0, +\infty)} $定义为在$ C[0, \infty) $上的一致范数, $ C[0, \infty) $表示所有在$ [0, \infty) $上的实值有界的函数所构成的空间.

对$ \forall|z|\leq r $, 有

$ \begin{aligned} |K_{n, q}(f;z)-f(z)|&\leq \sum\limits_{m=0}^{\infty}|a_{m}||K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)| \leq\frac{1}{2[n]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m(m+1)(4qr)^{m} :=\frac{C_{r}f}{[n]_{q}}, \end{aligned} $

其中$ C_{r}(f)=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m(m+1)(4qr)^{m}. $

(ii) 定义$ \gamma $为圆心为$ o $半径为$ r_{1}>r $的圆, 对每一$ |z|\leq r $和$ v\in \gamma $, 我们有$ |v-z|\geq r_{1}-r. $

由参考文献(12)有: 对任意$ |z|\leq r $和$ n\in \mathbb{N} $

$ \begin{aligned} |K_{n, q}^{(P)}(f;(z)-f^{(P)}(z)|&\leq\frac{P!}{2\pi}|\int_{\gamma}\frac{K_{n, q}(f;v)-f(v)}{(v-z)^{p+1}}\mathrm{d}v|\\ &\leq\frac{1}{2[n]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m(m+1)(4qr)^{m}\frac{P!}{2\pi}\frac{2\pi r_{1}}{(r_{1}-r)^{p+1}}\\ &:=\frac{C_{r_{1}}f}{[n]_{q}}\frac{P!r_{1}}{(r_{1}-r)^{p+1}}. \end{aligned} $

定理1.2的证明

(i) 由引理2.4

$ \begin{aligned} E_{n, m}(z)&=\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}\biggl[K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr]+zE_{n, m-1}(z)-\frac{1+\frac{[2]_{q}}{z}}{[2]_{q}[n]_{q}}z^{m-1}\\ & +\sum\limits_{j=0}^{m}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &=\frac{z}{[n]_{q}}D_{q}\biggl[K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr]+zE_{n, m-1}(z)\\ & +\frac{1}{[2]_{q}[n]_{q}}\biggl(S_{n, q}(e_{m-1};z)-z^{m-1}\biggr)-\frac{1}{[n]_{q}}\biggl(z^{m-2}-S_{n, q}(e_{m-2};z))\biggr)\\ & +\frac{1}{[n]_{q}}\biggl(\frac{m-1}{[n]_{q}[3]_{q}}-1\biggr)S_{n, q}(e_{m-2};z)\\ & +\sum\limits_{j=0}^{m-3}{m\choose j}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &:=\sum\limits_{i=1}^{6}I_{i}. \end{aligned} $

由文献[9]可得$ |z^{m}-S_{n, q}(e_{m};z)|\leq\frac{2(m-1)}{[n]_{q}}(2qr)^{m-1} $, 从而

$ |I_{3}|\leq\frac{2(m-2)}{[2]_{q}[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}\leq\frac{(m-2)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}; $

$ |I_{4}|\leq\frac{2(m-3)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-3}; $

$ |I_{5}|\leq\frac{(m-1)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}. $

即

$ |I_{3}|+|I_{4}|+|I_{5}|\leq\frac{m-2+2(m-3)+(m-1)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}\leq\frac{4(m-2)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}, $

$ \begin{aligned} |I_{6}|&=\sum\limits_{j=0}^{m-3}{m-3\choose j}\frac{(m-2)(m-1)m}{(m-j-2)(m-j-1)(m-j)}\frac{1}{[n]_{q}^{m-j}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &=\frac{1}{[n]_{q}^{3}}\sum\limits_{j=0}^{m-3}{m-3\choose j}\frac{(m-3)(m-2)(m-1)}{(m-j-3)(m-j-2)(m-j-1)}\\ & \cdot\frac{1}{[n]_{q}^{m-j-3}[m-j+1]_{q}}\biggl(1-\frac{j}{m-3}\biggr)S_{n, q}(e_{j};z)\\ &\leq\frac{(m-3)(m-2)(m-1)}{[n]_{q}^{3}}(4qr)^{m-3}. \end{aligned} $

所以有

$ \begin{aligned} E_{n, m}(z)&\leq\frac{r}{[n]_{q}}D_{q}\biggl[K_{n, q}(e_{m-1};z)-e_{m-1}(z)\biggr]+r|E_{n, m-1}(z)|\\ & +\frac{4(m-2)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}+\frac{(m-3)(m-2)(m-1)}{[n]_{q}^{3}}(4qr)^{m-3}\\ &\leq\frac{r}{[n]_{q}}\frac{m-1}{qr}\frac{m(m-1)}{2[n]_{q}}(4qr)^{m-1}+r|E_{n, m-1}(z)|\\ & +\frac{4(m-2)}{[n]_{q}^{2}}(2qr)^{m-2}+\frac{(m-3)(m-2)(m-1)}{[n]_{q}^{3}}(4qr)^{m-3}\\ &\leq\frac{m(m-1)^{2}}{2[n]_{q}^{2}}(4q^{2}r)^{m-1}+r|E_{n, m-1}(z)|\\ & +\frac{4(m-2)}{[n]_{q}^{2}}(4qr)^{m-1}+\frac{(m-3)(m-2)(m-1)}{[n]_{q}^{3}}(4qr)^{m-1}\\ &\leq r|E_{n, m-1}(z)|+\frac{m(m-1)^{2}+8(m-2)+2(m-3)(m-2)(m-1)}{2[n]_{q}^{2}}(4q^{2}r)^{m-1}\\ &\leq r|E_{n, m-1}(z)|+\frac{6m(m-1)^{2}}{[n]_{q}^{2}}(4q^{2}r)^{m-1}.\\ \end{aligned} $

应用数学归纳法可得

$ |E_{n, m}(z)|\leq\frac{6m(m-1)^{3}}{[n]_{q}^{2}}(4q^{2}r)^{m}. $

所以

$ |K_{n, q}(f;z)-f(z)-\frac{1}{[n]_{q}}L_{q}(f;z)|\leq \frac{6}{[n]_{q}^{2}}\sum\limits_{m=2}^{\infty}|a_{m}|m(m-1)^{3}(4q^{2}r)^{m}. $

(ii) 令$ 1\leq r<\frac{r'}{4q}, $当$ t\rightarrow 0 $时, $ \frac{r'}{4q^{1+t}}\rightarrow \frac{r'}{4q}, $显然当$ 1\leq r<\frac{r'}{4q} $时, 存在$ t\in(0, 1) $使得$ 4q^{1+t}r<r' $. 因为$ f $在$ D_{r'} $内解析, 所以有

$ \sum\limits_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m^{4}q^{(1+t)m}(4r)^{m}=\sum\limits_{m=1}^{\infty}|a_{m}|m^{4}\biggl(4q^{(1+t)}r\biggr)^{m}<\infty, $

对$ \forall z\in\overline{D_{r}} $成立.

同样有序列$ \sum_{m=1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}, $对任意$ \varepsilon>0 $, 存在$ n_{0} $使得$ \sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}<\varepsilon. $因为$ q^{2m}\leq q^{2}[m]_{q}^{2} $, 对$ \forall z\in\overline{D_{r}}, n>n_{0} $有

$ \begin{aligned} &|[n]_{q}\biggl(K_{n, q}(f;z)-f(z)\biggr)-L_{q}(f;z)|\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^{n_{0}}|a_{m}||[n]_{q}\biggl(K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)\biggr)-V_{m}^{q}(z)|\\ &+\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl([n]_{q}|K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|+|V_{m}^{q}(z)|\biggr)\\ \leq&\sum\limits_{m=0}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{6m(m-1)^{3}}{[n]_{q}}(4q^{2}r)^{m}+\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl([n]_{q}|K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|+|V_{m}^{q}(z)|\biggr)\\ \leq& q^{2}\sum\limits_{m=0}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{6m(m-1)^{3}[m]_{q}^{2}}{[n]_{q}}(4r)^{m} +\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl([n]_{q}|K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|+|V_{m}^{q}(z)|\biggr).\\ \end{aligned} $

因为$ |K_{n, q}(e_{m}, z)-z^{m}|\leq\frac{m(m+1)}{2[n]_{q}}(4qr)^{m} $对$ \forall z\in\overline{D_{r}} $成立, 由$ [1]_{q}+[2]_{q}+\cdots+[m-1]_{q}\leq(m-1)[m-1]_{q} $可得

$ \begin{aligned} |V_{m}^{q}(z)|&\leq(m-1)[m-1]_{q}r^{m-1}+\frac{3}{2}mr^{m-1}\\ &\leq(m-1)^{2}(qr)^{m-1}+\frac{3}{2}mr^{m-1}, \end{aligned} $

所以对$ \forall z\in\overline{D_{r}} $有

$ \begin{aligned} & \sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl([n]_{q}|K_{n, q}(e_{m};z)-e_{m}(z)|+|V_{m}^{q}(z)|\biggr)\\ &\leq\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl[\frac{m(m+1)}{2}(4qr)^{m}+(m-1)^{2}(qr)^{m-1}+\frac{3}{2}mr^{m}\biggr]\\ &\leq\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|\biggl[\frac{m(m+1)}{2}+(m-1)^{2}+\frac{3}{2}m\biggr](4qr)^{m}\\ &\leq \frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}. \end{aligned} $

综上, 对$ \forall z\in\overline{D_{r}} $且$ n>n_{0} $, 我们有

$ \begin{aligned} & |[n]_{q}\biggl(K_{n, q}(f;z)-f(z)\biggr)-L_{q}(f;z)|\\ &\leq q^{2}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{6m(m-1)^{3}[m]_{q}^{2}}{[n]_{q}}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}\\ &\leq 6q^{2}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{m^{4}[m]_{q}^{2}}{[n]_{q}}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}\\ &\leq \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{m^{4}[m]_{q}^{2}}{[n]_{q}^{1-t}}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}\\ &\leq \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|\frac{m^{4}[m]_{q}^{2}}{[m]_{q}^{1-t}}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}\\ &\leq \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|m^{4}[m]_{q}^{1+t}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\sum\limits_{m=n_{0}+1}^{\infty}|a_{m}|(m+1)^{2}(4qr)^{m}\\ &\leq \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}(q-1)^{1+t}}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|m^{4}q^{(1+t)m}(4r)^{m}+\frac{3}{2}\varepsilon, \end{aligned} $

当$ n\rightarrow \infty $时$ \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}(q-1)^{1+t}}\rightarrow0 $,

$ \sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|m^{4}q^{(1+t)m}(4r)^{m}=\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|m^{4}(4q^{1+t}r)^{m}<\infty, $

所以对给定$ \varepsilon>0 $, 存在$ n_{1} $使得当$ n>n_{1} $时, 有

$ \frac{6q^{2}}{[n]_{q}^{t}(q-1)^{1+t}}\sum\limits_{m=1}^{n_{0}}|a_{m}|m^{4}q^{(1+t)m}(4r)^{m}<\frac{\varepsilon}{2}, $

即对任意$ n>\max{(n_{0}, n_{1})}, z\in \overline{D_{r}}, $有

$ |[n]_{q}\biggl(K_{n, q}(f;z)-f(z)\biggr)-L_{q}(f;z)|\leq 2\varepsilon. $

定理1.3的证明

假设由对$ \forall z\in D_{r'} $有$ f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}z^{m} $的$ f $是$ K_{n, q}(f) $近似逼近阶比$ \frac{1}{[n]_{q}} $更好的函数, 有对$ \forall n\in \mathbb{N}, \|K_{n, q}(f)-f\|_{r}\leq M\frac{S_{n}}{[n]_{q}}, $当$ n\rightarrow \infty $时, $ S_{n}\rightarrow 0 $. 这意味着

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}[n]_{q}\|K_{n, q}(f)-f\|_{r}=0. $

由定理2(ii)立即有$ L_{q}(f;z)=0 $对$ \forall z\in \overline{D_{r}} $成立. 但若$ L_{q}(f;z)=0 $, 则有

$ \frac{1}{[2]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}ma_{m}z^{m-1}+\sum\limits_{m=2}^{\infty}ma_{m}z^{m-2}+\sum\limits_{m=2}^{\infty}a_{m}\sum\limits_{k=1}^{m-1}[k]_{q}z^{m-1}=0, $

$ \frac{1}{[2]_{q}}\sum\limits_{m=1}^{\infty}ma_{m}z^{m-1}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}(m+1)a_{m+1}z^{m-1}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m+1}\sum\limits_{k=1}^{m}[k]_{q}z^{m}=0, $

$ \sum\limits_{m=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{[2]_{q}}(m+1)a_{m+1}+(m+2)a_{m+2}\biggr)z^{m}+\sum\limits_{m=1}^{\infty}a_{m+1}\sum\limits_{k=1}^{m}[k]_{q}z^{m}=0, $

对$ \forall z\in\overline{D_{r'}}\backslash\{0\} $成立. 因此我们有$ a_{m}=0, m=1, 2, 3, \cdots, $可知$ f $是一个常数与假设矛盾. 所以若$ f $不是一个常函数, 则逼近阶不可能比$ \frac{1}{[n]_{q}} $更好. 结合定理1得证.