1940年Ulam ^[1]提出了一个关于同态泛函方程稳定性的问题, 一年后Hyers ^[2]首次做出回答, 而后Rassias ^[3]提出并证明了Hyers-Ulam稳定性的一般情况, 此后, 众多研究者的积极贡献促进了Ulam型稳定性理论的进步 ^[4-7]. 1998年, Alsina和Ger ^[8]首次将Ulam型稳定性的研究范围从泛函方程扩展到了微分方程领域, 引入了微分方程Hyers-Ulam稳定性的概念.

近二十年来, 微分方程的Hyers-Ulam稳定性研究成为一个非常活跃的研究方向, 很多学者在该领域做了大量富有成效的工作, 将Hyers-Ulam稳定性陆续推广到各种线性微分方程、微分算子、差分方程和动力系统等方向上 ^{[9, 10]}. 这些工作不仅推动了Hyers-Ulam稳定性研究的发展, 同时也丰富了微分方程(包括微分系统）的研究内容, 该方向的研究也被应用到了很多实际问题中.

对于一阶线性微分方程$ y^{\prime}-\lambda(x) y=0 $, 我们知道, 若$ \lambda(x) \equiv 0 $, 那么它在$ \mathbb{R} $上不是Hyers-Ulam稳定的^[11], 但$ \lambda(x) \not\equiv0 $是更为普遍的情况. Fukutaka和Onitsuka^[12]在该方程系数$ \lambda(x) $是连续周期函数的情况下, 获得了该方程在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的充分条件, 并进一步阐明了其Hyers-Ulam稳定性的最佳常数. 之后, Fukutaka和Onitsuka ^[13]又建立了具有周期系数的一阶齐次线性微分方程Hyers-Ulam稳定的充要条件.

与此同时, 学者们研究了二阶线性微分方程的Ulam稳定性. 2010年, Li ^[14]研究了简单二阶线性微分方程$ y^{\prime \prime}=\lambda^2 y $的Ulam型稳定性. 之后, 这一研究被推广到更一般的常系数微分方程 ^[15-17]. 此外, 关于二阶变系数线性微分方程的研究也很多^[18-21]. 然而, 目前对具有周期系数的二阶线性微分方程的Ulam稳定性的研究较少. Akbar Zada等人 ^[22]在一定条件下研究了一类具有周期系数的线性微分系统Hyers-Ulam稳定性与一致指数稳定的关系, Bakht Zada ^[23]对一类具有周期系数的时变线性系统的Hyers-Ulam稳定性进行了研究. Fukutaka和Onitsuka ^[24]建立了一类具有周期系数的Hill方程$ y^{\prime \prime}-\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) y=0 $在$ \mathbb{R} $上Hyers-Ulam稳定的充分必要条件并在[25]中得到了Hill方程Hyers-Ulam稳定的最佳常数. 受其启发, 本文将该理论推广至更一般的具有周期系数的线性微分方程Hyers-Ulam稳定性的研究中.

本文首先研究具有周期系数的一阶非齐次线性微分方程

$ \begin{equation} y^{\prime}-\lambda(x) y=f(x), \quad x \in \mathbb{R}, \end{equation} $

(1.1)

其中$ \lambda(x), f(x) $为$ \mathbb{R} $上的连续函数. 在得到该方程Hyers-Ulam稳定的充要条件的基础上, 研究具有周期系数的二阶齐次线性微分方程

$ \begin{equation} y^{\prime \prime}+m \lambda(x) y^{\prime}-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) y=0, \quad x \in \mathbb{R}, \end{equation} $

(1.2)

其中$ \lambda(x) $为$ \mathbb{R} $上以$ \omega\, (> 0) $为周期的连续函数, $ m \in \mathbb{R} $. 进而, 我们研究相应的二阶非齐次线性微分方程

$ \begin{equation} y^{\prime \prime}+m \lambda(x) y^{\prime}-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) y=f(x), \quad x \in \mathbb{R}, \end{equation} $

(1.3)

其中$ f(x) $为$ \mathbb{R} $上的连续函数.

本文中, $ I=(a, b), -\infty \leq a < b \leq \infty $.

定义2.1 ^[26]  假设$ K > 0 $, 任给$ \varepsilon > 0 $, 若对于满足

$ \left|\varphi^{\prime}(x)-\lambda(x) \varphi(x)-f(x)\right| \leq \varepsilon, \quad x \in I $

的连续可微函数$ \varphi(x) $, 存在方程(1.1)的一个解$ y(x): I \rightarrow \mathbb{R} $, 使得

$ |\varphi(x)-y(x)| \leq K \varepsilon $

对一切$ x \in I $都成立, 则称方程(1.1)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的, $ K $为方程(1.1)在$ I $上的一个Ulam常数(HUS常数).

定义2.2  假设$ K > 0 $, 任给$ \varepsilon > 0 $, 若对于满足

$ \left|\eta^{\prime \prime}(\mathrm{x})+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)-f(x)\right| \leq \varepsilon, \quad x \in I $

的二阶连续可微函数$ \eta(x) $, 存在方程(1.3)在$ I $上的解$ y(x) $, 使得

$ |\eta(x)-y(x)| \leq K \varepsilon, \quad x \in I $

成立, 则称方程(1.3)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的, $ K $为方程(1.3)在$ I $上的一个Ulam常数(HUS常数). 若$ f(x)=0 $, 则方程(1.2) 在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的, $ K $为方程(1.2)在$ I $上的一个Ulam常数(HUS常数).

引理2.1 ^[12]  假设$ \lambda(x) $为$ \mathbb{R} $上以$ \omega > 0 $为周期的连续函数, $ A(x) $为$ \lambda(x) $在$ \mathbb{R} $上的不定积分, 则

$ A(x+\omega)-A(x)=\displaystyle{\int}_0^\omega \lambda(s) {\rm d } s $

在$ \mathbb{R} $上成立. 特别地, 当$ \int_0^\omega \lambda(s) {\rm d } s=0 $时, $ A(x+\omega)-A(x)=0 $在$ \mathbb{R} $上恒成立.

进而, 恒有

$ \begin{equation} \min\limits_{x \in(0, \omega]} A(x) \leq A(x) \leq \max\limits_{x \in(0, \omega]} A(x), \quad\forall x \in \mathbb{R}. \end{equation} $

(2.1)

本文中, 恒假设方程(1.1), (1.2)和(1..3)中的系数$ \lambda(x) $是$ \mathbb{R} $上以$ \omega (> 0) $为周期的连续函数, 并记$ A(x), \Gamma^{+}(x), \Gamma^{-}(x) $分别为$ \lambda(x), {\rm e}^{A(x)}, {\rm e}^{-A(x)} $在$ \mathbb{R} $上的不定积分.

本节考虑具有周期系数的一阶线性微分方程(1.1). 首先给出方程(1.1)在$ I $上Hyers-Ulam稳定的必要条件.

定理3.1  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.1)在$ I $上不是Hyers-Ulam稳定的.

证  令$ A(x) $为$ \lambda(x) $在$ \mathbb{R} $上的不定积分, 由于$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0 $, 根据引理2.1, 我们有

$ \min\limits_{x \in(0, \omega]} A(x) \leq A(x) \leq \max\limits_{x \in(0, \omega]} A(x), \quad\forall x \in \mathbb{R}. $

任给$ \varepsilon > 0 $, 定义函数

$ \Phi(x)=\left(\varepsilon \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{-A(s)} {\rm d} s+c_1\right) {\rm e}^{A(x)}, $

$ x \in I, c_1 \in \mathbb{R} $. 显然$ \Phi(x) $是方程$ \Phi^{\prime}(x)-\lambda(x) \Phi(x)=\varepsilon $的解, 则$ \left|\Phi^{\prime}(x)-\lambda(x) \Phi(x)\right|=\varepsilon, x \in I $.

假设$ u(x) $为方程(1.1)所对应的齐次微分方程$ y^{\prime}-\lambda(x) y=0 $在$ \mathbb{R} $上的任意一个解, 令$ \eta(x)=\Phi(x)+u(x) $. 于是对$ \forall x \in I $, 有

$ \begin{aligned} \varepsilon & =\left|\Phi^{\prime}(x)-\lambda(x) \Phi(x)\right| \\ & =\left|\eta^{\prime}(x)-u^{\prime}(x)-\lambda(x)[\eta(x)-u(x)]\right| \\ & =\left|\eta^{\prime}(x)-\lambda(x) \eta(x)-u^{\prime}(x) \lambda(x) u(x)\right| \\ & =\left|\eta^{\prime}(x)-\lambda(x) \eta(x)-f(x)\right| \end{aligned} $

成立.

假设$ c_2 \in \mathbb{R} $为任意常数, 则$ v(x)=c_2 {\rm e}^{A(x)} $为方程$ y^{\prime}-\lambda(x) y=0 $在$ \mathbb{R} $上的通解.

令$ y(x)=u(x)+v(x), x \in \mathbb{R} $. 根据叠加原理可知, $ y(x) $为方程(1.1)的通解. 从而对$ \forall x \in I $, 有

$ \begin{equation} \begin{aligned} |\eta(x)-y(x)| & =|\Phi(x)+u(x)-u(x)-v(x)| \\ & =|\Phi(x)-v(x)| \\ & =\left|\varepsilon \int_0^x {\rm e}^{-A(s)} {\rm d} s+c_1-c_2\right| {\rm e}^{A(x)} \\ & =\left|\int_0^x {\rm e}^{-A(s)} {\rm d} s+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon}\right| {\rm e}^{A(x)} \varepsilon \end{aligned} \end{equation} $

(3.1)

成立.

现在考虑$ b=\infty $的情况, 利用不等式(2.1), 可知当$ x \geq 0 $时,

$ \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{-A(s)} {\rm d} s+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon} \geq x {\rm e}^{- \max\limits_{x \in[0, \omega]} A(x)}+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon}, $

且存在$ x_1 > \max \{0, a\} $, 使得当$ x \geq x_1 $时,

$ x {\rm e}^{- \max\limits_{x \in(0, \omega]} A(x)}+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon}>0 . $

因此, 利用式(2.1)和(3.1), 可知当$ x \geq x_1 $时,

$ \begin{aligned} |\eta(x)-y(x)| &\geq\left(x {\rm e}^{- \max\limits_{x \in[0, \omega]} A(x)}+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon}\right) {\rm e}^{A(x)} \varepsilon\\ &\geq\left(x {\rm e}^{- \max\limits_{x \in(0, \omega]} A(x)}+\frac{c_1-c_2}{\varepsilon}\right) {\rm e}^{- \max\limits_{x \in(0, \omega]} A(x)} \varepsilon \end{aligned} $

成立.

从而, $ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}|\eta(x)-y(x)|=\infty $, 即方程(1.1)在$ I=(a, \infty) $上不是Hyers-Ulam稳定的.

同理可证$ a=-\infty $的情况.

推论3.1  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.1)在$ \mathbb{R} $上不是Hyers-Ulam稳定的.

在文献[24]中, 作者给出了方程(1.1)在$ I $上Hyers-Ulam稳定的充分条件.

定理3.2 ^[24]  若$ \lambda(x) $为$ \mathbb{R} $上以$ \omega > 0 $为周期的连续函数, 假设$ A(x), \Gamma^{-}(x) $分别为$ \lambda(x), {\rm e}^{-A(x)} $在$ \mathbb{R} $上的不定积分. 则:

(ⅰ) 若$ b=\infty $且$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x > 0 $, 则方程(1.1)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)\right)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right] ; $

(ⅱ) 若$ a=-\infty $且$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x < 0 $, 则方程(1.1)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\left(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right)\right) {\rm e}^{A(x)}\right] . $

将这两个定理结合起来, 就得到了方程(1.1)在$ \mathbb{R} $上Hyers-Ulam稳定的充要条件.

定理3.3  方程(1.1)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的当且仅当$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x \neq 0 $.

本节考虑具有周期系数的二阶齐次线性微分方程(1.2).

本节及以后, 我们进一步假设$ \lambda(x) $是$ \mathbb{R} $上以$ \omega > 0 $为周期的连续可微函数, $ m \in \mathbb{R} $, 此时$ (m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) $也是$ \mathbb{R} $上以$ \omega > 0 $为周期的连续函数. 特别地, 当$ m=0 $时, 方程(1.2)为Hill方程.

定理4.1

(ⅰ) 若$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x > 0 $, 则方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} ; $

(ⅱ) 若$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x < 0 $, 则方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{+}(x)-\Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} . $

证  令$ I=\mathbb{R} $, 即$ a=-\infty, b=\infty $. 任给$ \varepsilon > 0 $, 假设对$ \forall x \in \mathbb{R} $, 存在二阶连续可微函数$ \eta(x) $, 满足

$ \mid \eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x) \mid \leq \varepsilon . $

在$ \mathbb{R} $上定义$ \psi(x)=\eta^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) \eta(x) $, 由于$ \lambda(x) $和$ \eta^{\prime}(x) $都是$ \mathbb{R} $上连续可微的函数, 则$ \psi(x) $也是一个在$ \mathbb{R} $上连续可微的函数. 于是对$ \forall x \in \mathbb{R} $, 有

$ \begin{aligned} & \left|\psi^{\prime}(x)-\lambda(x) \psi(x)\right| \\ = & \left|\left[\eta^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) \eta(x)\right]^{\prime}-\lambda(x)\left[\eta^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) \eta(x)\right]\right| \\ = & \left|\eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left[\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right] \eta(x)\right| \leq \varepsilon . \end{aligned} $

首先证明(ⅰ). 假设$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x > 0 $. 根据定理3.2, 存在方程

$ w^{\prime}(x)-\lambda(x) w(x)=0 $

的一个解$ w(x) $, 使得对$ \forall x \in \mathbb{R} $, 有

$ \begin{aligned} & \left|\eta^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) \eta(x)-w(x)\right| \\ = & |\psi(x)-w(x)| \\ \leq & \max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)\right)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right] \varepsilon . \end{aligned} $

根据定理3.2, $ a=-\infty $且$ \int_0^\omega-\lambda(x) {\rm d} x < 0 $, 存在方程

$ z^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) z(x)-w(x)=0 $

的一个解$ z(x) $, 使得对$ \forall x \in \mathbb{R} $有

$ \begin{aligned} &|\eta(x)-z(x)|\\ &\leq\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim _{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} \varepsilon . \end{aligned} $

由于$ \lambda(x) $和$ z(x) $都是可微函数, 所以$ z^{\prime}(x) $也是可微的. 于是对$ \forall x \in \mathbb{R} $有

$ \begin{aligned} & z^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) z^{\prime}(x)-(m+1)\left[\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right] z(x) \\ = & {\left[z^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) z(x)\right]^{\prime}-\lambda(x)\left[z^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) z(x)\right] } \\ = & w^{\prime}(x)-\lambda(x) w(x)=0 . \end{aligned} $

即$ z(x) $为方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上的一个解. 故此时方程(1.2)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的且存在一个Ulam常数为

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} . $

接下来证明(ⅱ). $ a=-\infty $且$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x < 0 $时, 对$ \forall x \in \mathbb{R} $有$ \left|\psi^{\prime}(x)-\lambda(x) \psi(x)\right| \leq \varepsilon $. 根据定理3.2, 存在方程

$ w^{\prime}(x)-\lambda(x) w(x)=0 $

的一个解$ w(x) $, 使得对$ \forall x \in \mathbb{R} $有

$ \begin{aligned} & \left|\eta^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) \eta(x)-w(x)\right| \\ = & |\psi(x)-w(x)| \\ \leq & \max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\lim _{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right] \varepsilon . \end{aligned} $

根据定理3.2, $ b=\infty $且$ \int_0^\omega-\lambda(x) d x > 0 $, 存在方程

$ z^{\prime}(x)+(m+1) \lambda(x) z(x)-w(x)=0 $

的一个解$ z(x) $, 使得对$ \forall x \in \mathbb{R} $有

$ \begin{aligned} &|\eta(x)-z(x)|\\& \leq\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \Gamma^{+}(x)-\Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\lim _{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} \varepsilon . \end{aligned} $

与(ⅰ) 中证明类似, 易得$ z(x) $为方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上的一个解. 故此时方程(1.2)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的且存在一个Ulam常数为

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{+}(x)-\Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} . $

定理4.2  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d}x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.2)在$ I $上不是Hyers-Ulam稳定的.

证  任给$ \varepsilon > 0 $, 定义函数

$ \eta(x)=\left\{\varepsilon \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} \displaystyle{\int}_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u {\rm d} s+\left(c_1 \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_2\right)\right\} {\rm e}^{-(m+1) A(x)}, $

$ c_1, c_2 \in \mathbb{R} $, 则$ \eta(x) $满足方程

$ \eta^{\prime \prime}(\mathrm{x})+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)=\varepsilon, $

于是,

$ \left|\eta^{\prime \prime}(\mathrm{x})+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)\right|=\varepsilon . $

显然方程(1.2)的通解为

$ v(x)=\left(c_3 \displaystyle{\int}_0^x e^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_4\right) {\rm e}^{-(m+1) A(x)}, $

其中$ c_3, c_4 $为任意常数. 于是对$ \forall x \in \mathbb{R} $, 有

$ \begin{equation} \begin{aligned} & |\eta(x)-v(x)| \\ = & \Big|\left[\varepsilon \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} \int_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u {\rm d} s+\left(c_1 \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_2\right)\right] {\rm e}^{-(m+1) A(x)} \\ - & \left(c_3 \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_4\right) {\rm e}^{-(m+1) A(x)}\Big| \end{aligned} \end{equation} $

(4.1)

成立.

现在考虑$ b=\infty $的情况. 利用不等式(2.1), 可知当$ x \geq 0 $时,

$ \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{-A(s)} {\rm d} s \geq {\rm e}^{-\max _{x \in(0, \omega]} A(x)} x \geq 0 $

且

$ {\rm e}^{(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}\geq {\rm e}^{(m+2)A(x)}\geq {\rm e}^{(m+2)\min\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}>0. $

进一步,

$ \begin{aligned} & {\rm e}^{(m+2) A(x)} \int_0^x {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u+\frac{c_1-c_3}{\varepsilon} {\rm e}^{(m+2) A(x)} \\ \geq & {\rm e}^{(m+2)\min\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)-(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}x-\frac{|c_{1}-c_{3}|}{\varepsilon}{\rm e}^{(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}. \\ & \end{aligned} $

于是,

$ \begin{aligned} & \int_0^x\left({\rm e}^{(m+2) A(s)} \int_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u+\frac{c_1-c_3}{\varepsilon} {\rm e}^{(m+2) A(x)}\right) {\rm d} s+\frac{c_2-c_4}{\varepsilon} \\ \geq & \frac{{\rm e}^{(m+2)\min\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)-(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}}{2}x^{2}-\frac{|c_{1}-c_{3}|}{\varepsilon}{\rm e}^{(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}x+\frac{c_{2}-c_{4}}{\varepsilon}, \\ & \end{aligned} $

且存在一个$ x_1 > \max \{0, a\} $, 使得当$ x \geq x_1 $时,

$ \frac{e^{(m+2)\min\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)-(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}}{2}x^{2}-\frac{|c_{1}-c_{3}|}{\varepsilon}{\rm e}^{(m+2)\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)}+\frac{c_{2}-c_{4}}{\varepsilon}>x . $

因此, 利用式(2.1)和(4.1), 有

$ |\eta(x)-v(x)| \geq x {\rm e}^{-A(x)} \varepsilon \geq x {\rm e}^{-\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)} \varepsilon, \quad x \geq x_1 . $

从而, $ \lim _{x \rightarrow \infty}|\eta(x)-v(x)|=\infty $, 即方程(1.2)在$ I=(a, \infty) $上不是Hyers-Ulam稳定的.

同理可证$ a=-\infty $的情况.

推论4.1  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上不是Hyers-Ulam稳定的.

定理4.3  方程(1.2)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的当且仅当$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x \neq 0 $.

本节考虑具有周期系数的二阶非齐次线性微分方程(1.3).

定理5.1

(ⅰ) 若$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x > 0 $, 则方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\}; $

(ⅱ) 若$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x < 0 $, 则方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的, 且存在一个Ulam常数

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{+}(x)-\Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{-}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\}. $

证  首先证明(ⅰ). 不妨设$ u(x) $为方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上的任意一个解. 在$ I $上$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x > 0 $, 并假设

$ \left|\eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)-f(x)\right| \leq \varepsilon, $

则

$ \begin{aligned} \varepsilon & \geq\left|\eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)-f(x)\right| \\ & =\mid \eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x) \\ & -\left[u^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) u^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) u(x)\right] \mid \\ & =\left|[\eta(x)-u(x)]^{\prime \prime}+m \lambda(x)[\eta(x)-u(x)]^{\prime}-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right)[\eta(x)-u(x)]\right| \end{aligned} $

成立.

根据定理4.1和以上不等式, 存在方程(1.2)的一个解$ v(x) $, 使得在$ I $上

$ \begin{equation} \begin{split}\nonumber &|[\eta(x)-u(x)]-v(x)|\\ \leq&\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim _{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} \varepsilon \end{split} \end{equation} $

成立.

记$ y(x)=u(x)+v(x), x \in \mathbb{R} $. 显然, $ y(x) $为方程(1.3)的解, 且在$ I $上

$ \begin{aligned} & |\eta(x)-y(x)| = |[\eta(x)-u(x)]-v(x)| \\ \leq & \left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim _{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max _{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim _{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} \varepsilon \end{aligned} $

成立. 此时方程(1.3)在$ I $上是Hyers-Ulam稳定的且存在一个Ulam常数为

$ \left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\Gamma^{+}(x)-\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \Gamma^{+}(x)\right) {\rm e}^{-A(x)}\right]\right\}\left\{\max\limits_{x \in(0, \omega]}\left[\left(\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \Gamma^{-}(x)-\Gamma^{-}(x)\right) {\rm e}^{A(x)}\right]\right\} . $

类似可证(ⅱ).

定理5.2  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.3)在$ I $上不是Hyers-Ulam稳定的.

证  任给$ \varepsilon > 0 $, 定义函数

$ \eta(x)=\left\{\varepsilon \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} \displaystyle{\int}_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u {\rm d} s+\left(c_1 \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_2\right)\right\} {\rm e}^{-(m+1) A(x)}, $

$ c_1, c_2 \in \mathbb{R} $, 则$ \eta(x) $满足方程$ \eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)=\varepsilon, $于是, $ \left|\eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)\right|=\varepsilon$.

假设$ u(x) $为方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上的任意一个解, 且$ \varphi(x): =\eta(x)+u(x) $, 则有

$ \begin{aligned} \varepsilon & =\left|\eta^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \eta^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \eta(x)\right| \\ & =\left|\left[\varphi^{\prime \prime}(x)-u^{\prime \prime}(x)\right]+m \lambda(x)\left[\varphi^{\prime}(x)-u^{\prime}(x)\right]-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right)[\varphi(x)-u(x)]\right| \\ & =\left|\varphi^{\prime \prime}(x)+m \lambda(x) \varphi^{\prime}(x)-(m+1)\left(\lambda^2(x)-\lambda^{\prime}(x)\right) \varphi(x)-f(x)\right|, \quad x \in I . \end{aligned} $

由于方程(1.2)的通解为

$ v(x)=\left(c_3 \displaystyle{\int}_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_4\right) {\rm e}^{-(m+1) A(x)}, $

其中$ c_3, c_4 $为任意常数, 记$ y(x)=u(x)+v(x), x \in \mathbb{R} $, 显然$ y(x) $为方程(1.3)的通解. 于是对$ \forall x \in \mathbb{R} $, 有

$ \begin{equation} \begin{aligned} & |\Phi(x)-y(x)| = |\eta(x)-v(x)| \\ = & \Big|\left[\varepsilon \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} \int_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u {\rm d} s+\left(c_1 \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_2\right)\right] {\rm e}^{-(m+1) A(x)} \\ - & \left(c_3 \int_0^x {\rm e}^{(m+2) A(s)} {\rm d} s+c_4\right) {\rm e}^{-(m+1) A(x)} \Big |\\ =&\left|\int_0^x\left({\rm e}^{(m+2) A(s)} \int_0^s {\rm e}^{-A(u)} {\rm d} u+\frac{c_1-c_3}{\varepsilon} {\rm e}^{(m+2) A(x)}\right) {\rm d} s+\frac{c_2-c_4}{\varepsilon}\right| {\rm e}^{-A(x)} \varepsilon . \end{aligned} \end{equation} $

(5.1)

与定理4.2证明类似, 利用式(2.1)和(5.1), 有

$ |\varphi(x)-y(x)| \geq x {\rm e}^{-A(x)} \varepsilon \geq x {\rm e}^{-\max\limits_{x\in(0, \omega]}A(x)} \varepsilon, \quad x>\max \{0, a\} . $

从而, $ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}|\varphi(x)-y(x)|=\infty $, 即方程(1.3)在$ I=(a, \infty) $上不是Hyers-Ulam稳定的.

同理可证$ a=-\infty $的情况.

推论5.1  如果$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x=0, a=-\infty $或$ b=\infty $, 则方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上不是Hyers-Ulam稳定的.

推论5.2  方程(1.3)在$ \mathbb{R} $上是Hyers-Ulam稳定的当且仅当$ \int_0^\omega \lambda(x) {\rm d} x \neq 0 $.

本文研究了具有周期系数的线性微分方程的Hyers-Ulam稳定性. 首先, 我们建立了一阶非齐次线性微分方程Hyers-Ulam稳定的充分必要条件. 利用这一结果, 建立了一类具有周期系数的二阶齐次线性微分方程Hyers-Ulam稳定的充要条件. 当$ m=0 $时, 上述二阶微分方程为Hill方程. 最后, 将该理论推广到所对应的二阶非齐次微分方程. 特别地, 在定理中给出了精确的HUS常数. 如果系数是一个常数, 它就是最佳HUS常数. 这些结果可改进文献[24]中的结果. 应当指出, 关于此类具有周期系数的微分方程研究较少, 因此进一步的研究是非常重要的.