在有限维向量空间中, 很多线性代数的问题可以归结为$n$子空间系统的分类. 当$n=1, 2, 3$时, $n$子空间的不可分解系统的分类很简单. 但存在很多种类$4$子空间的不可分解系统. Gelfand和Ponomarev给出$4$子空间的不可分解系统的完全分类^[1]. Gabriel说明可以用延拓Dynkin图表示的分类来描述$4$子空间系统的分类^[2].

在可分无穷维Hilbert空间中, 很多学者也研究$n$子空间的相对位置. $n=1, 2$的情形已有完整的结果^[3-5]. Enomoto和Watatani研究$n=3, 4$甚至更一般的$n$子空间相对位置, 得到了丰硕的成果^[6-8]. 特别地, [6]中引入了有界算子系统的概念, 并研究它们的性质. 本文将Hilbert空间中有界算子$4$子空间系统的结果推广到Banach空间上去, 得到了类似的结果, 即给出有界算子$4$子空间系统同构的等价刻画, 利用强不可约算子给出有界算子系统不可分解的等价刻画, 并说明存在不可数多个两两不同构的不可分解的有界算子$4$子空间系统.

下面说明一些记号.

设$X, Y$是Banach空间, 以$B(X, Y)$表示$X$到$Y$中的所有有界线性算子, 简记$B(X)=B(X, X)$. 以$I_X$表示$X$上的恒等算子, 也简记为$I$. 设$T\in B(X)$, $T'\in B(Y)$, 若存在可逆算子$A\in B(Y, X)$, 使得$T'=A^{-1}TA$, 则称$T$与$T'$相似.

本节给出有界算子系统的定义, 及其上的同态集、自同态集与幂等自同态集的等价刻画.

设$X$是Banach空间, $E_1, \cdots, E_n$是$X$的$n$个子空间, 称$\mathcal{S}=(X; E_1, \cdots, E_n)$是$X$中的$n$子空间系统. 若$X\neq 0$, 则称$\mathcal{S}$是非零$n$子空间系统. 设$\mathcal{T}=(Y; F_1, \cdots, F_n)$是Banach空间$Y$中的$n$子空间系统. 记$\mathcal{S}$与$\mathcal{T}$的直和为

$\mathcal{S}\bigoplus \mathcal{T}=(X\bigoplus Y; E_1\bigoplus F_1, \cdots, E_n\bigoplus F_n)$,

它是Banach空间$X\bigoplus Y$中的$n$子空间系统. 若$A\in B(X, Y)$满足$A(E_i)\subseteq F_i$, $i=1, \cdots, n$, 则称$A$是$\mathcal{S}$到$\mathcal{T}$中的同态, 也记为$A: \mathcal{S}\rightarrow \mathcal{T}$. 记同态集、自同态集与幂等自同态集为:

$Hom(\mathcal{S}, \mathcal{T})=\{A: A 是 \mathcal{S} 到 \mathcal{T} 中的同态 \} ,$

$End(\mathcal{S})=Hom(\mathcal{S}, \mathcal{S}) , Idem(\mathcal{S})=\{A\in End(\mathcal{S}): A^2=A\} .$

若$A\in B(X, Y)$是可逆的, 且满足$A(E_i)=F_i$, $i=1, \cdots, n$, 则称$A$是$\mathcal{S}$到$\mathcal{T}$上的同构. 若存在同构$A: \mathcal{S}\rightarrow \mathcal{T}$, 则称$\mathcal{S}$与$\mathcal{T}$同构. 若Banach空间$X$中的$n$子空间系统$\mathcal{S}=(X; E_1, \cdots, E_n)$与两个非零$n$子空间系统的直和同构, 则称$\mathcal{S}$是可分解的, 否则称$\mathcal{S}$是不可分解的. 记摄动映射

$\pi_{i, j}: (X; E_1, \cdots, E_i, \cdots, E_j, \cdots E_n)\mapsto (X; E_1, \cdots, E_j, \cdots, E_i, \cdots E_n) , 1\leq i<j\leq n .$

定义1   设$\mathcal{S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的$4$子空间系统, 如果存在$X$的闭子空间$X_1$与$X_2$, 以及$T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$使得$X=X_1\bigoplus X_2$, 且

$E_1=X_1\bigoplus 0 , E_2=0\bigoplus X_2 , E_3=\{(x, Tx): x\in X_1\} , E_4=\{(Sy, y): y\in X_2\} ,$

则称$\mathcal{S}$是个有界算子系统, 记为$\mathcal{S}_{T, S}$.

特别地, 如果上述中的$S$取为$I$, 即存在$X$的闭子空间$X_1$, 以及$T\in B(X_1)$使得$X=X_1\bigoplus X_1$, 且

$E_1=X_1\bigoplus 0 , E_2=0\bigoplus X_1 , E_3=\{(x, Tx): x\in X_1\} , E_4=\{(y, y): y\in X_1\} ,$

则记$\mathcal{S}_{T, I}=\mathcal{S}_{T}$.

下面给出有界算子系统的同态集、自同态集与幂等自同态集的等价刻画.

命题2   $\mathcal{S}_{T, S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$, $\mathcal{S}_{T', S'}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$分别是Banach空间$X, Y$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_2$, $T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$, $Y=Y_1\bigoplus Y_2$, $T'\in B(Y_1, Y_2)$, $S'\in B(Y_2, Y_1)$, 则

(1) $Hom(\mathcal{S}_{T, S}, \mathcal{S}_{T', S'})=\{A_1\bigoplus A_2\in B(X, Y): A_1\in B(X_1, Y_1), A_2\in B(X_2, Y_2)$,

$A_1S=S'A_2 , A_2T=T'A_1\} .$

(2) $End(\mathcal{S}_{T, S})=\{A_1\bigoplus A_2\in B(X): A_1\in B(X_1), A_2\in B(X_2),$

$A_1S=SA_2, A_2T=TA_1\} .$

(3) $Idem(\mathcal{S}_{T, S})=\{A_1\bigoplus A_2\in B(X): A_1\in B(X_1), A_2\in B(X_2)$,

$A_1S=SA_2, A_2T=TA_1, A_1^2=A_1, A_2^2=A_2\} .$

证   设$A=A_1\bigoplus A_2\in B(X, Y)$满足$A_1\in B(X_1, Y_1)$, $A_2\in B(X_2, Y_2)$, $A_1S=S'A_2$, $A_2T=T'A_1$. 显然$A(E_i)\subseteq F_i$, $i=1, 2$. 对任意$(x, Tx)\in E_3$, 有

$A((x, Tx))=(A_1x, A_2Tx)=(A_1x, T'A_1x)\in F_3 ,$

即$A(E_3)\subseteq F_3$. 对任意$(Sy, y)\in E_4$, 有

$A((Sy, y))=(A_1Sy, A_2y)=(S'A_2y, A_2y)\in F_4 ,$

即$A(E_4)\subseteq F_4$. 故$A\in Hom(\mathcal{S}_{T, S}, \mathcal{S}_{T', S'})$.

设$A\in Hom(\mathcal{S}_{T, S}, \mathcal{S}_{T', S'})$. 由于$A(E_i)\subseteq F_i$, $i=1, 2$, 则$A=A_1\bigoplus A_2$, 其中$A_1\in B(X_1, Y_1)$, $A_2\in B(X_2, Y_2)$. 对任意$y\in X_2$, 则$(Sy, y)\in E_4$. 由于$A(E_4)\subseteq F_4$, 则

$A((Sy, y))=(A_1Sy, A_2y)\in F_4 ,$

故$A_1Sy=S'A_2y$, 即$A_1S=S'A_2$. 对任意$x\in X_1$, 则$(x, Tx)\in E_3$. 由于$A(E_3)\subseteq F_3$, 则

$A((x, Tx))=(A_1x, A_2Tx)\in F_3 ,$

故$A_2Tx=T'A_1x$, 即$A_2T=T'A_1$.

综上, (1)成立. (2)由(1)可得. (3)由(2)可得.

推论3   设$\mathcal{S}_{T}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$, $\mathcal{S}_{T'}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$分别是Banach空间$X, Y$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_1$, $T\in B(X_1)$, $Y=Y_1\bigoplus Y_1$, $T'\in B(Y_1)$, 则

(1) $Hom(\mathcal{S}_{T}, \mathcal{S}_{T'})=\{B\bigoplus B\in B(X, Y): B\in B(X_1, Y_1)$, $BT=T'B\}$.

(2) $End(\mathcal{S}_{T})=\{B\bigoplus B\in B(X): B\in B(X_1), BT=TB\}$.

(3) $Idem(\mathcal{S}_{T})=\{B\bigoplus B\in B(X): B\in B(X_1), BT=TB, B^2=B\}$.

本节讨论有界算子系统的同构性质, 首先给出有界算子系统同构的等价刻画.

命题4   设$\mathcal{S}_{T, S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$, $\mathcal{S}_{T', S'}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$分别是Banach空间$X, Y$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_2$, $T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$, $Y=Y_1\bigoplus Y_2$, $T'\in B(Y_1, Y_2)$, $S'\in B(Y_2, Y_1)$, 则$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{T', S'}$同构$\Leftrightarrow$存在可逆算子$A_1\in B(X_1, Y_1)$与$A_2\in B(X_2, Y_2)$使得$A_1S=S'A_2$, $A_2T=T'A_1$.

证   “$\Rightarrow$”由于$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{T', S'}$同构, 则存在可逆算子$A\in Hom(\mathcal{S}_{T, S}, \mathcal{S}_{T', S'})$使得$A(E_i)=F_i$, $i=1, 2, 3, 4$. 由命题2可得, $A=A_1\bigoplus A_2$, 其中$A_1\in B(X_1, Y_1)$, $A_2\in B(X_2, Y_2)$, $A_1S=S'A_2$, $A_2T=T'A_1$. 由于$A$可逆, 则$A_1, A_2$可逆.

“$\Leftarrow$”令$A=A_1\bigoplus A_2$, 由命题2, $A\in Hom(\mathcal{S}_{T, S}, \mathcal{S}_{T', S'})$, 则$A(E_i)\subseteq F_i$, $i=1, 2, 3, 4$. 由于$A_1, A_2$可逆, 则$A$可逆. 显然$A(E_i)=F_i$, $i=1, 2$. 对任意$(x', T'x')\in F_3$, 其中$x'\in Y_1$, 则存在$x\in X_1$, 使得$A_1x=x'$. 由于$(x, Tx)\in E_3$, 且

$A((x, Tx))=(A_1x, A_2Tx)=(A_1x, T'A_1x)=(x', T'x') ,$

即$F_3\subseteq A(E_3)$. 所以$A(E_3)=F_3$. 对任意$(S'y', y')\in F_4$, 其中$y'\in Y_2$, 则存在$y\in X_2$, 使得$A_2y=y'$. 由于$(Sy, y)\in E_4$, 且

$A((Sy, y))=(A_1Sy, A_2y)=(S'A_2y, A_2y)=(S'y', y') ,$

即$F_4\subseteq A(E_4)$. 所以$A(E_4)=F_4$. 综上可得$A: \mathcal{S}_{T, S}\rightarrow \mathcal{S}_{T', S'}$是同构, 故$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{T', S'}$同构.

在命题4中取$S=I$, $S'=I$, 可得

定理5   设$\mathcal{S}_{T}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$, $\mathcal{S}_{T'}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$分别是Banach空间$X, Y$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_1$, $T\in B(X_1)$, $Y=Y_1\bigoplus Y_1$, $T'\in B(Y_1)$, 则$\mathcal{S}_{T}$与$\mathcal{S}_{T'}$同构$\Leftrightarrow$$T$与$T'$相似.

注   定理5说明有界线性算子的相似分类可归结为相应有界算子$4$子空间系统的同构分类.

设$\mathcal{S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的$4$子空间系统, 记$\mathcal{S}^*=(X^*; E_1^{\perp}, E_2^{\perp}, E_3^{\perp}, E_4^{\perp})$, 其中$X^*$是$X$的共轭空间, $E_i^{\perp}=\{f\in X^*: f(x)=0, x\in E_i\}$表示闭子空间$E_i$的上零化子, $i=1, 2, 3, 4$, 则$\mathcal{S}^*$是$X^*$中的$4$子空间系统.

命题6   设$\mathcal{S}_{T, S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_2$, $T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$, 则$\mathcal{S}_{T, S}^*$与$\pi_{1, 2}\pi_{3, 4}\mathcal{S}_{-S^*, -T^*}$同构, 其中$S^*, T^*$分别表示$S, T$的共轭算子.

证   由于$-S^*\in B(X_1^*, X_2^*)$, $-T^*\in B(X_2^*, X_1^*)$, 则$\mathcal{S}_{-S^*, -T^*}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$是Banach空间$Y$中的有界算子系统, 其中$Y=X_1^*\bigoplus X_2^*$. 此时

$\pi_{1, 2}\pi_{3, 4}\mathcal{S}_{-S^*, -T^*}=(Y; F_2, F_1, F_4, F_3) .$

由于$X=X_1\bigoplus X_2$, 令

$A: X^*\rightarrow X_1^*\bigoplus X_2^*=Y: A(f)=(f|_{X_1}, f|_{X_2}) , f\in X^* ,$

其中$f|_{X_i}$表示$f\in X^*$在$X$的闭子空间$X_i$上的限制, $i=1, 2$. 易得$A\in B(X^*, Y)$是同构, 且对任意$(x, y)\in X$, $x\in X_1$, $y\in X_2$, 及任意$f\in X^*$, 有

$((x, y), f)=f|_{X_1}(x)+f|_{X_2}(y) .$

显然$A(E_1^{\perp})=0\bigoplus X_2^*=F_2$, $A(E_2^{\perp})=X_1^*\bigoplus 0=F_1$.

对任意$f\in E_3^{\perp}\subseteq X^*$, 记$g=f|_{X_2}\in X_2^*$. 对任意$x\in X_1$, 则$(x, Tx)\in E_3$, 故

$0=((x, Tx), f)=f|_{X_1}(x)+f|_{X_2}(Tx)=f|_{X_1}(x)+g(Tx)=f|_{X_1}(x)+(T^*g)(x) .$

因此$f|_{X_1}=-T^*g$. 所以$A(f)=(f|_{X_1}, f|_{X_2})=(-T^*g, g)\in F_4$. 即$A(E_3^{\perp})\subseteq F_4$. 反之, 对任意$(-T^*g, g)\in F_4$, $g\in X_2^*$, 则$-T^*g\in X_1^*$. 令$f=A^{-1}(-T^*g, g)\in X^*$, 即$f|_{X_1}=-T^*g$, $f|_{X_2}=g$. 对任意$(x, Tx)\in E_3$, $x\in X_1$, 有

$((x, Tx), f)=f|_{X_1}(x)+f|_{X_2}(Tx)=(-T^*g)(x)+g(Tx)=-g(Tx)+g(Tx)=0 .$

即$f\in E_3^{\perp}$, 且$A(f)=(-T^*g, g)$. 即$F_4\subseteq A(E_3^{\perp})$. 因此$A(E_3^{\perp})=F_4$.

对任意$f\in E_4^{\perp}\subseteq X^*$, 记$g=f|_{X_1}\in X_1^*$. 对任意$y\in X_2$, 则$(Sy, y)\in E_4$, 故

$0=((Sy, y), f)=f|_{X_1}(Sy)+f|_{X_2}(y)=g(Sy)+f|_{X_2}(y)=(S^*g)(y)+f|_{X_2}(y) .$

因此$f|_{X_2}=-S^*g$. 所以$A(f)=(f|_{X_1}, f|_{X_2})=(g, -S^*g)\in F_3$. 即$A(E_4^{\perp})\subseteq F_3$. 反之, 对任意$(g, -S^*g)\in F_3$, $g\in X_1^*$, 则$-S^*g\in X_2^*$. 令$f=A^{-1}(g, -S^*g)\in X^*$, 即$f|_{X_1}=g$, $f|_{X_2}=-S^*g$. 对任意$(Sy, y)\in E_4$, $y\in X_2$, 有

$((Sy, y), f)=f|_{X_1}(Sy)+f|_{X_2}(y)=g(Sy)+(-S^*g)(y)=g(Sy)-g(Sy)=0 .$

即$f\in E_4^{\perp}$, 且$A(f)=(g, -S^*g)$. 即$F_3\subseteq A(E_4^{\perp})$. 因此$A(E_4^{\perp})=F_3$.

综上可得$A$是$\mathcal{S}_{T, S}^*$到$\pi_{1, 2}\pi_{3, 4}\mathcal{S}_{-S^*, -T^*}$上的同构, 即$\mathcal{S}_{T, S}^*$与$\pi_{1, 2}\pi_{3, 4}\mathcal{S}_{-S^*, -T^*}$同构.

命题7   设$\mathcal{S}_{T, S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_2$, $T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$.

(1) 若$T$可逆, 则$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{I, TS}$同构.

(2) 若$S$可逆, 则$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{ST, I}$同构.

证   (1) 由于$TS\in B(X_2)$, 则$\mathcal{S}_{I, TS}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$是Banach空间$Y$中的有界算子系统, 其中$Y=X_2\bigoplus X_2$. 令

$A: X=X_1\bigoplus X_2\rightarrow Y=X_2\bigoplus X_2: A((x, y))=(Tx, y), \quad x\in X_1, y\in X_2.$

则$A\in B(X, Y)$. 由于$T$可逆, 则$A$可逆. 首先

$A(E_1)=A(X_1\bigoplus 0)=T(X_1)\bigoplus 0=X_2\bigoplus 0=F_1,$

$A(E_2)=A(0\bigoplus X_2)=0\bigoplus X_2=F_2.$

对任意$(x, Tx)\in E_3$, $x\in X_1$, 有$A((x, Tx))=(Tx, Tx)$, 则

$A(E_3)=\{(Tx, Tx): x\in X_1\}=\{(y, y): y\in X_2\}=F_3.$

对任意$(Sy, y)\in E_4$, $y\in X_2$, 有$A((Sy, y))=(TSy, y)$, 则

$A(E_4)=\{(TSy, y): y\in X_2\}=F_4.$

综上可得$A$是$\mathcal{S}_{T, S}$到$\mathcal{S}_{I, TS}$上的同构, 即$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{I, TS}$同构.

(2) 由于$ST\in B(X_1)$, 则$\mathcal{S}_{ST, I}=(Y; F_1, F_2, F_3, F_4)$是Banach空间$Y$中的有界算子系统, 其中$Y=X_1\bigoplus X_1$. 令

$A: X=X_1\bigoplus X_2\rightarrow Y=X_1\bigoplus X_1: A((x, y))=(x, Sy) , x\in X_1, y\in X_2 .$

则$A\in B(X, Y)$. 由于$S$可逆, 则$A$可逆. 首先

$A(E_1)=A(X_1\bigoplus 0)=X_1\bigoplus 0=F_1,$

$A(E_2)=A(0\bigoplus X_2)=0\bigoplus S(X_2)=0\bigoplus X_1=F_2.$

对任意$(x, Tx)\in E_3$, $x\in X_1$, 有$A((x, Tx))=(x, STx)$, 则

$A(E_3)=\{(x, STx): x\in X_1\}=F_3.$

对任意$(Sy, y)\in E_4$, $y\in X_2$, 有$A((Sy, y))=(Sy, Sy)$, 则

$A(E_4)=\{(Sy, Sy): y\in X_2\}=\{(x, x): x\in X_1\}=F_4.$

综上可得$A$是$\mathcal{S}_{T, S}$到$\mathcal{S}_{ST, I}$上的同构, 即$\mathcal{S}_{T, S}$与$\mathcal{S}_{ST, I}$同构.

下面讨论有界算子$4$子空间系统不可分解的充要条件. 首先给出$n$子空间系统不可分解的等价刻画.

命题8   设$\mathcal{S}=(X; E_1, \cdots, E_n)$是Banach空间$X$中的$n$子空间系统, 则$\mathcal{S}$是不可分解的$\Leftrightarrow$ $Idem(\mathcal{S})=\{0, I\}$.

证   “$\Rightarrow$”若不然, 存在$P\in Idem(\mathcal{S})$, 使得$P\neq 0$且$P\neq I$. 记$X_1=P(X)\neq 0$, $X_2=(I-P)(X)\neq 0$, $E_i'=P(E_i)$, $E_i''=(I-P)(E_i)$, $i=1, 2, \cdots, n$. 由于$P$是幂等算子, 则$X=X_1\bigoplus X_2$, $E_i=E_i'\bigoplus E_i''$, $i=1, 2, \cdots, n$. 记$\mathcal{S}'=(X_1; E_1', \cdots, E_n')$, $\mathcal{S}''=(X_2; E_1'', \cdots, E_n'')$, 则$\mathcal{S}', \mathcal{S}''$分别是Banach空间$X_1, X_2$中的非零$n$子空间系统, 且$\mathcal{S}=\mathcal{S}'\bigoplus\mathcal{S}''$. 这与$\mathcal{S}$是不可分解的矛盾, 故$Idem(\mathcal{S})=\{0, I\}$.

“$\Leftarrow$”若$\mathcal{S}$是可分解的, 即存在非零$n$子空间系统$\mathcal{S}'=(X_1; E_1', \cdots, E_n')$与$\mathcal{S}''=(X_2; E_1'', \cdots, E_n'')$, 使得$\mathcal{S}$与$\mathcal{S}'\bigoplus\mathcal{S}''=(X_1\bigoplus X_2; E_1'\bigoplus E_1'', \cdots, E_n'\bigoplus E_n'')$同构. 故存在可逆算子$A\in B(X, X_1\bigoplus X_2)$使得$A(E_i)=E_i'\bigoplus E_i''$, $i=1, 2, \cdots, n$. 令$Q\in B(X_1\bigoplus X_2)$满足$Q(x_1, x_2)=(x_1, 0)$, $x_1\in X_1, x_2\in X_2$, 则$Q(E_i'\bigoplus E_i'')=E_i'\bigoplus 0$, $i=1, 2, \cdots, n$. 令$P=A^{-1}QA\in B(X)$, 则$P\neq 0$且$P\neq I$. 由于

$P(E_i)=A^{-1}QA(E_i)=A^{-1}Q(E_i'\bigoplus E_i'')=A^{-1}(E_i'\bigoplus 0)\subseteq E_i , i=1, 2, \cdots, n .$

则$P\in End(\mathcal{S})$. 又

$P^2=A^{-1}QAA^{-1}QA=A^{-1}Q^2A=A^{-1}QA=P ,$

则$P\in Idem(\mathcal{S})$. 这与$Idem(\mathcal{S})=\{0, I\}$矛盾. 所以$\mathcal{S}$是不可分解的.

下面用强不可约算子来刻画有界算子$4$子空间系统的不可分解性.

定义9^[9]   设$X$是Banach空间, $T\in B(X)$. 如果不存在$X$的非平凡闭子空间$M$与$N$, 使得$X=M\bigoplus N$, 且$TM\subseteq M$, $TN\subseteq N$, 则称$T$是强不可约的.

注  设$X$是Banach空间, 则$T\in B(X)$是强不可约的$\Leftrightarrow$若$P\in B(X)$满足$P^2=P$且$PT=TP$, 则必有$P=0$或$P=I$.

定义10   设$X, Y$是Banach空间, $T\in B(X, Y)$, $S\in B(Y, X)$. 称$(T, S)$是强不可约算子对, 若$P\in B(X)$, $Q\in B(Y)$满足$PS=SQ$, $QT=TP$, $P^2=P$, $Q^2=Q$, 则必有$(P=0, Q=0)$或$(P=I, Q=I)$.

设$X$是Banach空间, $M\subseteq B(X)$, 记$M'=\{T\in B(X): TS=ST, S\in M\}$为$M$的换位子.

命题11   设$X$是Banach空间, $T\in B(X)$, $S\in \{T\}''$. 若$(T, S)$是强不可约算子对, 则$T$是强不可约的.

证   若$P\in B(X)$满足$P^2=P$且$PT=TP$, 即$P\in \{T\}'$. 由于$S\in \{T\}''$, 则$PS=SP$. 由于$(T, S)$是强不可约算子对, 则$P=0$或$P=I$, 即$T$是强不可约的.

由于对任意$T\in B(X)$, 有$I\in \{T\}''$. 根据定义9后的注与命题11可得

命题12   设$X$是Banach空间, $T\in B(X)$, 则$(T, I)$是强不可约算子对$\Leftrightarrow$$T$是强不可约的.

由命题2, 命题8和定义10可得

命题13   设$\mathcal{S}_{T, S}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_2$, $T\in B(X_1, X_2)$, $S\in B(X_2, X_1)$, 则$\mathcal{S}_{T, S}$是不可分解的$\Leftrightarrow$$(T, S)$是强不可约算子对.

在命题13中取$S=I$, 结合命题12可得

定理14  设$\mathcal{S}_{T}=(X; E_1, E_2, E_3, E_4)$是Banach空间$X$中的有界算子系统, 其中$X=X_1\bigoplus X_1$, $T\in B(X_1)$, 则$\mathcal{S}_{T}$是不可分解的$\Leftrightarrow$$T$是强不可约的.

最后给出本文的主要结果.

定理15  设$X$是Banach空间, $X^*$ $w^*$可分, 则$X\bigoplus X$中存在不可数多个两两不同构的不可分解的有界算子$4$子空间系统.

证  由[10]的定理2.1可知, $X$上存在强不可约算子$T\in B(X)$. 对任意$\alpha\in \mathbf{C}$, 令$T_\alpha=T+\alpha I\in B(X)$, 显然$T_\alpha$也是强不可约的. 令$\mathcal{S}_{T_\alpha}=(X\bigoplus X; E_{1, \alpha}, E_{2, \alpha}, E_{3, \alpha}, E_{4, \alpha})$是Banach空间$X\bigoplus X$中相应于$T_\alpha$的有界算子系统. 由定理14可知$\mathcal{S}_{T_\alpha}$是不可分解的. 当$\alpha\neq\beta$时, 显然$T_\alpha$与$T_\beta$有不相同的谱集, 故$T_\alpha$与$T_\beta$不相似. 由定理5, $\mathcal{S}_{T_\alpha}$与$\mathcal{S}_{T_\beta}$不同构. 因此$\{\mathcal{S}_{T_\alpha}: \alpha\in \mathbf{C}\}$是不可数多个两两不同构的不可分解的有界算子$4$子空间系统.