令$ M_n $是复数域上$ n\times n $阶矩阵的集合. 设$ \|\cdot\| $为$ M_n $上的范数, 若对所有$ n $阶矩阵$ A $和酉矩阵$ U, V\in M_n $, 都有$ \|UAV\|=\|A\| $成立, 则称$ \|\cdot\| $为酉不变范数. 矩阵$ A\in M_n $的奇异值定义为$ A^ *A $的特征值的非负平方根, 用$ s_1(A)\geq s_2(A)\geq \cdots \geq s_n(A) $表示$ A\in M_n $的奇异值. 其中, 有两类重要的酉不变范数, 第一类是Ky Fan $ k $-范数$ \|A\|_{(k)} $, 即

$ \|A\|_{(k)} = \sum\limits_{j=1}^ks_j(A), k=1, \cdots, n, $

第二类是Schatten $ p $-范数$ \|A\|_{p} $, 即

$ \|A\|_{p}= \left(\sum\limits_{j=1}^ns_j^p(A)\right)^{\frac{1}{p}}= ({\rm{tr}}|A|^p)^{\frac{1}{p}}, 1\leq p < \infty. $

设$ A, B, X\in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, Bhatia和Davis在文献[1]证明了：若$ 0 \leq v \leq 1 $, 则

$ \begin{align} ||A^\frac{1}{2}XB^\frac{1}{2}||\leq ||\frac{A^vXB^{1-v}+ A^{1-v}XB^v}{2}||\leq ||\frac{AX + XB}{2}||, \end{align} $

(1.1)

令$ \varphi(v)=||A^vXB^{1-v}+ A^{1-v}XB^v|| $, 则不等式(1.1)可简写为:

$ \varphi(\frac{1}{2})\leq \varphi(v)\leq \varphi(0). $

设$ A, B, X\in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, 函数$ \varphi(v) $在区间$ [0, 1] $上是凸函数, 当$ v=\frac{1}{2} $时取最小值(见文献[2]).

2012年, Zou和He在文献[3]中改进了不等式(1.1)得到

$ \begin{align} \varphi\left(\frac{1}{2}\right)+2\left(\int_{0}^{1}\varphi(v)dv-\varphi\left(\frac{1}{2}\right)\right)\leq \varphi(0), 0\leq v\leq 1. \end{align} $

(1.2)

若$ A, B\in M_n $为半正定矩阵, Bhatia和Kittaneh在文献[4]中证明了：

$ \begin{align} ||AB||\leq \frac{1}{4}||(A+B)^{2}||. \end{align} $

(1.3)

Zou和He在文献[3]中改进了不等式(1.3)得到

$ \begin{align} ||AB||+\left(\int_{0}^{1}\psi(v)dv-2||AB||\right)\leq \frac{1}{4}||(A+B)^{2}||, \end{align} $

(1.4)

其中

$ \psi(v)=||A^{\frac{1}{2}+v}B^{\frac{3}{2}-v}+ A^{\frac{3}{2}-v}B^{\frac{1}{2}+v}||. $

近年来, 有很多文献[5-9]对酉不变范数不等式进行了研究. 本文将继续研究矩阵的酉不变范数不等式, 利用函数的凸性, 对不等式(1.2)和(1.4)进行推广.

下面我们首先给出两个引理, 它们将在本文定理证明过程中起到重要作用.

引理2.1 ^[10]   设$ A, B, X\in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, 则

$ \varphi(v)\leq (1-r_0)\varphi(0)+r_0\varphi(\mu), $

其中$ 0\leq v\leq 1 $, $ 0< \mu< 1 $, $r_0 = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{v}{\mu }, 0 \le v \le \mu , } \\ {\frac{{1 - v}}{{1 - \mu }}, \mu < v \le 1.} \\ \end{array}} \right.\\$

引理2.2 ^[4]   设$ A, B\in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, 则

$ ||A^{\frac{1}{2}}(A+B)B^{\frac{1}{2}}||\leq \frac{1}{2}||(A+B)^2||. $

定理2.1    设$ A, B, X \in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, 则

$ \begin{align} \varphi\left(\mu\right)+2\left(\int_{0}^{1}\varphi(v)dv-\varphi(\mu)\right)\leq \varphi(0), 0\leq v\leq 1, 0<\mu<1 , \end{align} $

(2.1)

其中$ \varphi(v)=||A^{v}XB^{1-v}+A^{1-v}XB^{v}||. $

证    当$ 0\leq v\leq \mu $时, 由引理2.1可得

$ \varphi(v)\leq (1-\frac{v}{\mu})\varphi(0)+\frac{v}{\mu}\varphi(\mu). $

于是

$ \int_{0}^{\mu}\varphi(v)dv\leq \varphi(0)\int_{0}^{\mu}(1-\frac{v}{\mu})dv+\varphi(\mu)\int_{0}^{\mu}\frac{v}{\mu}dv. $

则有

$ \begin{align} \int_{0}^{\mu}\varphi(v)dv\leq \frac{\mu}{2}\left(\varphi(0)+\varphi(\mu)\right). \end{align} $

(2.2)

当$ \mu < v\leq 1 $时, 由引理2.1可得

$ \varphi(v)\leq (1-\frac{1-v}{1-\mu})\varphi(0)+\frac{1-v}{1-\mu}\varphi(\mu). $

于是

$ \int_{\mu}^{1}\varphi(v)dv\leq \varphi(0)\int_{\mu}^{1}(1-\frac{1-v}{1-\mu})dv+\varphi(\mu)\int_{\mu}^{1}\frac{1-v}{1-\mu}dv, $

则有

$ \begin{align} \int_{\mu}^{1}\varphi(v)dv\leq \frac{1-\mu}{2}\left(\varphi(0)+\varphi(\mu)\right). \end{align} $

(2.3)

由不等式(2.2)和(2.3), 有

$ \begin{align} \int_{0}^{1}\varphi(v)dv=\int_{0}^{\mu}\varphi(v)dv+\int_{\mu}^{1}\varphi(v)dv\leq \frac{1}{2}(\varphi(0)+\varphi(\mu)). \end{align} $

(2.4)

不等式(2.4)可写成

$ 2\int_{0}^{1}\varphi(v)dv\leq \varphi(0)+\varphi(\mu), $

故

$ \varphi\left(\mu\right)+2\left(\int_{0}^{1}\varphi(v)dv-\varphi(\mu)\right)\leq \varphi(0). $

注2.1    在定理2.1中, 当$ \mu=\frac{1}{2} $时, 可得不等式(1.2).

定理2.2    设$ A, B\in M_n $且$ A, B $是半正定矩阵, 则

$ \begin{align} \frac{1}{2}||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||+&\left(\int_{0}^{1}\psi(v)dv-||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+ A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||\right) \\ &\leq \frac{1}{4}||(A+B)^2||, \end{align} $

(2.5)

其中$ 0\leq v\leq 1, 0<\mu<1 , \psi(v)=||A^{\frac{1}{2}+v}B^{\frac{3}{2}-v}+ A^{\frac{3}{2}-v}B^{\frac{1}{2}+v}|| $.

证    在不等式$ (2.1) $, 令$ X=A^{\frac{1}{2}}B^{\frac{1}{2}} $, 可得

$ \begin{align} ||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+ A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||+&2\left(\int_{0}^{1}\psi(v)dv-||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+ A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||\right) \\ &\leq ||A^{\frac{1}{2}}(A+B)B^{\frac{1}{2}}||. \end{align} $

(2.6)

由引理2.2, 不等式(2.6)可写成

$ ||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+ A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||+2\left(\int_{0}^{1}\psi(v)dv-||A^{\frac{1}{2}+\mu}B^{\frac{3}{2}-\mu}+ A^{\frac{3}{2}-\mu}B^{\frac{1}{2}+\mu}||\right)\leq \frac{1}{2}||(A+B)^2||. $

注2.2    在定理2.2中, 当$ \mu=\frac{1}{2} $时, 可得不等式(1.4).