Willmore超曲面的研究一直是微分几何的一个重要课题.

设$ x:M^{n}\hookrightarrow{R}^{n+1} $为$ n $维黎曼流形$ M^{n} $到$ n+1 $维黎曼流形$ N^{n+1} $的等距浸入超曲面, $ g_{ij} $是由浸入$ x $诱导的黎曼度量, $ h_{ij} $是$ M^{n} $的第二基本形式.特征方程$ det(h_{ij}-\lambda g_{ij})=0 $的根$ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} $称为$ M^{n} $在点$ x $的主曲率, $ M^{n} $在点$ x $的第$ r $个平均曲率$ \sigma_{r} $定义为:

$ \begin{align} \sigma_{r}=\frac{1}{C_{n}^{r}}\sum\limits_{i_{1}<\cdots<i_{r}}\lambda_{1}\cdots\lambda_{r}\text{, }r=1, \cdots, n \end{align} $

(1.1)

其中$ C_{n}^{r} $是二项式系数.规定$ \sigma_{0}=1 $.

1923年G.Thomsen发现$ R^3 $中的紧定向曲面$ M $的泛函$ W(M)=\int_{M}\sigma_{1}^2dM $是共形不变的(W.Blaschke也研究过这一问题).1965年, T.J.Willmore研究了上述泛函, 他提出了著名的Willmore猜想^[1].由于Willmore的巨大贡献, 后来称$ W $为Willmore泛函, 称上述泛函的极值曲面为Willmore曲面.对一般维数$ n $, 1974年Chen. B.Y. 在文献[2]中证明了泛函：

$ W(M)=\int_{M}(\sigma_{1}^{2}-\sigma_{2})^{\frac{n}{2}}dM $

是共形不变的，也称为Willmore泛函.

后来, 郭震教授对Willmore问题做了进一步的研究, 在文献[3]中证明了: 若$ M^{n} $为黎曼流形$ N^{n+1} $中的等距浸入超曲面, 那么对任何整数$ r, 2\leq r \leq n $, 泛函:

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} W_{r}(M)=\int_{M}Q_{r}^{\frac{n}{r}}dM, r<n\text{且r为奇数};\\ W_{r}(M)=\int_{M}|Q_{r}|^{\frac{n}{r}}dM, r<n\text{且r为偶数};\\ W_{r}(M)=\int_{M}Q_{r}dM, r=n \end{matrix} \right. \end{align} $

(1.2)

是$ M^n $在$ N^{n+1} $中的共形不变量.其中$ Q_{r}=\sum_{k=0}^{r}(-1)^{k+1}C_{r}^{k}\sigma_{1}^{r-k}\sigma_{k} $.并且称上述泛函$ W_{r}(M) $为广义Willmore型泛函.郭震对(1.1)式在$ Q_{r} $半定时的泛函$ W_{r}(M) $变分后，得到了该泛函极值的Euler-Lagrange方程^[3].特别的, $ r=2 $时, 便是Pedit和Willmore^[4]的结果:

$ \begin{align} 2(n-1)\Delta(\rho^{n-2}\sigma_{1})-2T_{1ij}\rho^{n-2}_{, ij} +(n-1)\rho^{n-2}[2n(n-1)\sigma_{1}^{3}-n(3n-4)\sigma_{1}\sigma_{2}+n(n-2)\sigma_{3}]=0 \end{align} $

(1.3)

2008年, 郭震和林丽妙在文献[5]中用旋转群轨道的观点解释了空间形式中的旋转子流形; 同年, 郭震教授在文献[6]中找到了$ R^{4} $中三类$ 3 $阶Willmore超曲面, 并且提出了一个重要猜想: 4维欧氏空间中的3阶Willmore超曲面必定共形等价于$ S^{3}, P^{3} $或$ T^{3} $. 后来李建祥分别在文献[7]和[8]中找到了$ R^{n+1} $中的$ n $阶Willmore超曲面以及$ R^{5} $中的$ 4 $阶Willmore超曲面.

本文运用上述思想, 首先在第二部分给出空间形式中的2-型旋转超曲面的一些基本量; 第三部分是本文的主要结果, 在这部分构造了空间形式中具有三个不同主曲率的极小Willmore的旋转超曲面(定理3.5), 并用共形几何的观点说明本文构造的空间形式中的三类极小Willmore旋转超曲面是共形等价的(推论3.6).

郭震和林丽妙在文献[5]中建立了由空间形式的子流形生成的旋转浸入的概念, 并给出了浸入的表达式。结果表明.旋转子流形有多种类型, 它们取决于轮廓子流形的维数和空间形式等距群的子群的作用.

定义2.1 ^[5]   令$ \Phi=(\phi^1, \cdots, \phi^p):M^k\rightarrow R^p $是一个等距浸入, 且$ \xi_{i}:S^{m_{i}}\rightarrow R^{m_{i}+1} $是标准嵌入, 这里$ m>p, m_{i}\geq0 $且$ \sum_im_{i}=m-p $.以下定义的映射$ x $称为$ \Phi $生成的旋转浸入$ R^{m} $:

$ (i) $如果$ m_{i}>0 $且$ \phi_{i}>0(1\leq i \leq p) $, 则

$ \begin{align} x=(\phi^1\xi_{1}, \cdots, \phi^p\xi_{p}):M^k\times S^{m_{1}}\times\cdots\times S^{m_{p}}\rightarrow R^m \end{align} $

(2.1)

$ (ii) $如果$ m_{r+1}=\cdots=m_{p}=0, m_{\lambda}>0 $且$ \phi^\lambda>0(1\leq \lambda \leq r<p) $, 则

$ \begin{align} x=(\phi^1\xi_{1}, \cdots, \phi^r\xi_{r}, \phi^{r+1}, \cdots, \phi^{p}):M^k\times S^{m_{1}}\times\cdots\times S^{m_{r}}\rightarrow R^m \end{align} $

(2.2)

基于定义2.1, 郭震和林丽妙考虑了球空间中的旋转浸入.

定义2.2^[5]   在定义2.1中, 如果$ \sum_{i}(\phi_{i}^2)=1 $, 则$ \Phi:M^k\rightarrow S^{p-1} $是等距浸入(这里$ k<p-1 $).

$ (i) $如果$ m_{i}>0, \sum_{i}m_{i}=m-p $且$ \phi^{i}>0(1\leq i\leq p) $, 则

$ \begin{align} x=(\phi^1\xi_{1}, \cdots, \phi^p\xi_{p}):M^k\times S^{m_{1}}\times\cdots\times S^{m_{p}}\rightarrow S^{m-1}\subset R^m; \end{align} $

(2.3)

$ (ii) $如果$ m_{r+1}=\cdots=m_{p}=0, m_{\lambda}>0, \sum_{\lambda}m_{\lambda}=m-p $且$ \phi^\lambda>0(1\leq \lambda \leq r<p) $, 则

$ \begin{align} x=(\phi^1\xi_{1}, \cdots, \phi^r\xi_{r}, \phi^{r+1}, \cdots, \phi^{p}):M^k\times S^{m_{1}}\times\cdots\times S^{m_{r}}\rightarrow S^{m-1}\subset R^m \end{align} $

(2.4)

称为$ \Phi $生成的旋转浸入$ S^{m-1} $的子流形.

注2.3^[5]   通过(2.2)(或(2.4))定义的旋转浸入称为通过$ \Phi $诱导的到$ R^m $(或$ S^{m-1} $)的$ r- $型旋转浸入.特别的, 我们将(2.1)(或(2.3))定义的浸入称为等距$ \Phi $生成的$ p- $型旋转浸入.此外, 一个等距浸入$ \Phi:M^k\rightarrow H^p(-1)(p<m) $可以用同样的方式定义一个到$ H^p(-1) $的旋转浸入.在这种情况下, 我们可以用$ Lorentz $群$ SO(1, m+1) $去描述旋转的几何意义.

下面我们在空间形式中去详细计算$ 2- $型旋转超曲面的基本量.

定理2.4   假设

$ (1) \gamma=(f(s), g(s), h(s)):I\rightarrow S^2 $中一条光滑曲线, 其中$ s $为曲线的弧长参数; $ \xi_1, \xi_2 $是$ S^k $和$ S^l $在$ R^{k+1} $和$ R^{l+1} $中的位置向量, 则$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(f\xi_1, g\xi_2, h):R^1\times S^k \times S^l \rightarrow s^{k+l+2} $的旋转超曲面.

$ (2) \gamma=(h(s), f(s), g(s)):I\rightarrow H^2 $中一条光滑曲线, 其中$ s $为曲线的弧长参数; $ \xi_1, \xi_2 $是$ S^k $和$ S^l $在$ R^{k+1} $和$ R^{l+1} $中的位置向量, 则$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(h, f\xi_1, g\xi_2):R^1\times S^k \times S^l \rightarrow H^{k+l+2} $的旋转超曲面.

$ (3) \gamma=(f(s), g(s)):I\rightarrow R^2 $中一条光滑曲线, 其中$ s $为曲线的弧长参数; $ \xi_1, \xi_2 $是$ S^k $和$ S^l $在$ R^{k+1} $和$ R^{l+1} $中的位置向量, 则$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(f\xi_1, g\xi_2):R^1\times S^k \times S^l \rightarrow R^{k+l+2} $是旋转超曲面.

则对$ (1)(2) $有

$ \begin{align} &I=ds^{2}+f^{2}\sum\limits_{i}\theta_{i} \otimes \theta_{i}+g^{2}\sum\limits_{\alpha} \theta_{\alpha} \otimes \theta_{\alpha}, \end{align} $

(2.5)

$ \begin{align} &II=\lambda ds^{2}+\mu f^{2}\sum\limits_{i}\theta_{i} \otimes \theta_{i}+\varepsilon g^{2}\sum\limits_{\alpha} \theta_{\alpha} \otimes \theta_{\alpha}. \end{align} $

(2.6)

对$ (3) $有

$ \begin{align} &I=ds^{2}+f^{2}\sum\limits_{i}\theta_{i} \otimes \theta_{i}+g^{2}\sum\limits_{\alpha} \theta_{\alpha} \otimes \theta_{\alpha}, \end{align} $

(2.7)

$ \begin{align} &II=\tilde{\lambda} ds^{2}+\tilde{\mu} f^{2}\sum\limits_{i}\theta_{i} \otimes \theta_{i}+\tilde{\varepsilon} g^{2}\sum\limits_{\alpha} \theta_{\alpha} \otimes \theta_{\alpha}. \end{align} $

(2.8)

其中{$ \theta_{i} $}和{$ \theta_{\alpha} $}分别是$ S^{k} $和$ S^{l} $的标准正交标架.

$ \lambda=\left |\begin{array}{cccc} f &g & h \\ \dot f &\dot g & \dot h \\ \ddot f & \ddot g &\ddot h \\ \end{array}\right|, \mu=\frac{\dot gh-g\dot h}{f}, \varepsilon=\frac{\dot hf-h\dot f}{g}, $

$ \tilde{\lambda}=\dot f\ddot g-\dot g\ddot f, \tilde{\mu}=\frac{\dot g}{f}, \tilde{\varepsilon}=-\frac{\dot f}{g}. $

证   $ (1) $由于$ \gamma=(f(s), g(s), h(s)):I\rightarrow S^2 $中一条光滑曲线, 所以$ f^{2}+g^{2}+h^{2}=1, \dot f^{2}+\dot g^{2}+\dot h^{2}=1 $, 即$ |\dot \gamma|=1 $

$ \begin{align*} dx&=(\dot fds\xi_{1}+fd\xi_{1}, \dot gds\xi_{2}+gd\xi_{2}, \dot hds), \\ I=<dx, dx>&=(\dot f^{2}+\dot g^{2}+\dot h^{2})ds^{2}+f^2<d\xi_{1}, d\xi_{1}>+g^2<d\xi_{2}, d\xi_{2}> \\&=ds^{2}+f^{2}\sum\limits_{i}\theta_{i} \otimes \theta_{i}+g^{2}\sum\limits_{\alpha} \theta_{\alpha} \otimes \theta_{\alpha}. \end{align*} $

取超曲面的单位法向量为$ \vec{n}=((g\dot h-\dot gh)\xi_{1}, (h\dot f-\dot hf)\xi_{2}, f\dot g-\dot fg) $

再由$ <\xi_{j}, \xi_{j}>=1, <d\xi_{j}, \xi_{j}>=0, 1\leq j\leq 2 $计算得到

$ \begin{align*} II=-<dx, d\vec{n}>=\lambda ds^{2}+\mu f^2<d\xi_{1}, d\xi_{1}>+\varepsilon g^2<d\xi_{2}, d\xi_{2}> \end{align*} $

其中$ \lambda=\left |\begin{array}{cccc} f & g & h \\ \dot f &\dot g & \dot h \\ \ddot f & \ddot g &\ddot h \\ \end{array}\right|, \mu=\frac{\dot gh-g\dot h}{f}, \varepsilon=\frac{\dot hf-h\dot f}{g}. $

$ (2) $取超曲面的单位法向量为$ \vec{n}=(-(f\dot g-\dot fg), (g\dot h-\dot gh)\xi_{1}, (h\dot f-\dot hf)\xi_{2}) $, 由$ f^{2}+g^{2}-h^{2}=-1, \dot f^{2}+\dot g^{2}-\dot h^{2}=1 $, 仿$ (1) $的过程即证.

$ (3) $取$ \vec{\eta}=(-\dot g\xi_{1}, \dot f\xi_{2}) $为超曲面的单位法向量.用$ \dot f^{2}+\dot g^{2}=1 $同样仿照$ (1) $的过程即证.

如果我们令$ \omega_{1}=ds, \omega_{i}=f\theta_{i}, \omega_{\alpha}=g\theta_{\alpha} $, 可以看出{$ \omega_{1}, \omega_{i}, \omega_{\alpha}, 2\leq i\leq k+1, k+2\leq\alpha \leq n $}构成了超曲面$ x $的一组标准正交标架. 以后我们默认这些记号以及指标范围.

引理2.5   对引理2.4$ (1), (2) $的假设, 有

$ \begin{align*} \lambda=\frac{\ddot f+cf}{\sqrt{1-cf^2-\dot f^2}}=-\frac{\ddot g+cg}{\sqrt{1-cg^2-\dot g^2}}, \mu=-\frac{\sqrt{1-cf^2-\dot f^2}}{f}, \varepsilon=\frac{\sqrt{1-cg^2-\dot g^2}}{g}, \end{align*} $

其中$ c $是外部空间的曲率, $ c $取$ 1 $或$ -1 $.

证   $ c=1 $时, 做变换

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} g=\sqrt{1-f^2}\cos \phi(s)\\ h=\sqrt{1-f^{2}}\sin \phi(s) \end{matrix} \right.. \end{align} $

(2.9)

代入$ \dot f^2+\dot g^2+\dot h^2=1 $, 计算得到

$ \begin{align} \phi=\int_{0}^{s}\frac{\sqrt{1-f^2-\dot f^2}}{1-f^2}ds. \end{align} $

(2.10)

将$ (2.9), (2.10) $式代入$ \lambda $和$ \mu $的表达式, 有

$ \lambda=\frac{\ddot f+f}{\sqrt{1-f^2-\dot f^2}}, \mu=-\frac{\sqrt{1-f^2-\dot f^2}}{f}. $

同理, 做变换

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} f=\sqrt{1-g^2}\cos\phi(s)\\ h=\sqrt{1-g^2}\sin\phi(s) \end{matrix} \right.. \end{align} $

(2.11)

解得

$ \lambda=-\frac{\ddot g+g}{\sqrt{1-g^2-\dot g^2}}, \varepsilon=\frac{\sqrt{1-g^2-\dot g^2}}{g}. $

$ c=-1 $时, 做变换

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} g=\sqrt{1+f^2}\cosh \phi(s)\\ h=\sqrt{1+f^{2}}\sinh \phi(s) \end{matrix} \right. \end{align} $

(2.12)

和

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} f=\sqrt{1+g^2}\cosh\phi(s)\\ h=\sqrt{1+g^2}\sinh\phi(s) \end{matrix} \right.. \end{align} $

(2.13)

仿照上述过程过程, 即证.

引理3.1   对定理$ (2.4) $中的$ (1)(2)(3) $, 有

$ \begin{align} &\omega_{1i}=\frac{\dot f}{f}\omega_{i}, \omega_{i\alpha}=0, \omega_{ij}=\theta_{ij}; \end{align} $

(3.1)

$ \begin{align} &\omega_{1\alpha}=\frac{\dot g}{g}\omega_{\alpha}, \omega_{\alpha\beta}=\theta_{\alpha\beta}; \end{align} $

(3.2)

证   由于对定理$ {2.4} $中的$ (1)(2)(3) $来讲, 超曲面的第一基本形式是一样的, 故可以一起讨论.

$ \begin{align} \omega_{1}=ds, \omega_{i}=f\theta_{i}, \omega_{\alpha}=g\theta_{\alpha}, \end{align} $

(3.3)

外微分(3.3)式, 结合Cartan结构方程即证.

引理3.2   假若$ \psi(s) $是定义在$ R^1\times S^k\times S^l $上的光滑函数, 则有

$ \begin{align*} \psi_{1, 1}&=\ddot \psi;\psi_{1, i}=\psi_{1, \alpha}=\psi_{i, \alpha}=0, \\ \psi_{i, i}&=\frac{\dot f\dot\psi}{f};\psi_{\alpha, \alpha}=\frac{\dot g\dot \psi}{g}; \vartriangle\psi=\ddot\psi+k\frac{\dot f\dot\psi}{f}+l\frac{\dot g\dot\psi}{g}. \end{align*} $

证   由

$ \begin{align} d\psi=\sum\limits_{A}\psi_{A}\omega_{A}, \sum\limits_{A}\psi_{B, A}\omega_A =d\psi_B+\sum\limits_{A}\psi_A\omega_{AB}, \Delta\psi=\sum\limits_A\psi_{A, A}, \end{align} $

(3.4)

结合引理3.1即证.

引理3.3   $ (i) $$ 2- $型旋转超曲面$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(f\xi_1, g\xi_2, h):R^1\times S^k \times S^l \rightarrow N^{k+l+1}(c) $是极小Willmore超曲面, 如果满足$ k=l, f=g $; 其中$ c $取$ +1 $或$ -1 $.

$ (ii) $$ 2- $型旋转超曲面$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(f\xi_1, g\xi_2):R^1\times S^k \times S^l \rightarrow R^{k+l+1} $是极小Willmore超曲面, 如果满足$ k=l, f=g $.

证   $ (i) $由定理$ 2.4 $看到, 若$ f=g, k=l $, 则有$ \lambda=0, \mu=-\varepsilon $, 所以此时超曲面$ x $是极小的. 将$ f=g, k=l, \lambda=0, \mu=-\varepsilon $代入(1.1)式有

$ \begin{align} \sigma_1=0, \sigma_2=-k^2\mu^2, \sigma_3=0 \end{align} $

(3.5)

所以$ (1.3) $式的第一项和第三项都是$ 0 $, 利用引理$ 3.2 $我们有

$ \begin{align*} -\sum\limits_{A, B}T_{1AB}(\rho^{n-2})_{A, B}&=(\lambda-nH)(\rho^{n-2})_{1, 1}+\sum\limits_ik(\mu-nH)(\rho^{n-2})_{i, i}+\sum\limits_\alpha k(\varepsilon-nH)(\rho^{n-2})_{\alpha, \alpha}\\ &=k\mu\frac{\dot f}{f}\frac{d\rho^{n-2}}{ds}+k\varepsilon\frac{\dot g}{g}\frac{d\rho^{n-2}}{ds}=0, \end{align*} $

所以可看出, Willmore方程$ (1.3) $成立.

$ (ii) $$ f=g, k=l $时, 由定理$ 2.4 $可看到, $ \tilde{\lambda}=0, \tilde{\mu}=-\tilde{\varepsilon} $之后的过程重复$ (i) $的证明即可.

推论3.4   $ N^{4} $中具有三个不同主曲率的$ 2- $型极小旋转超曲面的Willmore方程为

$ \begin{align} \lambda&[(\dot\lambda^2+\dot\mu^2+\dot\varepsilon^2+\lambda\ddot\lambda+\mu\ddot\mu +\varepsilon\ddot\varepsilon)-\frac{(\lambda\dot\lambda+\mu\dot\mu +\varepsilon\dot\varepsilon)^2}{\lambda^2+\mu^2+\varepsilon^2}]\\ &+(\mu\frac{\dot\mu}{\lambda-\mu}+\varepsilon\frac{\dot\varepsilon}{\lambda-\varepsilon}) (\lambda\dot\lambda+\mu\dot\mu+\varepsilon\dot\varepsilon)+3(\lambda^2 +\mu^2+\varepsilon^2)\lambda\mu\varepsilon=0, \end{align} $

(3.6)

其中$ \lambda, \mu, \varepsilon $为超曲面的三个不同主曲率.

证   由于$ \lambda+\mu+\varepsilon=0 $, 所以$ \lambda^2+\mu^2+\varepsilon^2=-2(\lambda\mu+\lambda\varepsilon+\mu\varepsilon) $, 于是得

$ \begin{align} \rho^2&=-\sigma_2=\frac{1}{6}(\lambda^2+\mu^2+\varepsilon^2), \\ \dot\rho&=\frac{1}{\sqrt{6}}\frac{\lambda\dot\lambda+\mu\dot\mu +\varepsilon\dot\varepsilon}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2+\varepsilon^2}}. \end{align} $

(3.7)

$ n=3 $时, 将上述所有关系及$ \sigma_1=0, \sigma_3=\lambda\mu\varepsilon $代入Willmore方程$ (1.3) $有

$ \begin{align} \lambda&[(\dot\lambda^2+\dot\mu^2+\dot\varepsilon^2+\lambda\ddot\lambda+\mu\ddot\mu +\varepsilon\ddot\varepsilon)-\frac{(\lambda\dot\lambda+\mu\dot\mu +\varepsilon\dot\varepsilon)^2}{\lambda^2+\mu^2+\varepsilon^2}]\\ &+(\mu\frac{\dot f}{f}+\varepsilon\frac{\dot g}{g}) (\lambda\dot\lambda+\mu\dot\mu+\varepsilon\dot\varepsilon)+3(\lambda^2 +\mu^2+\varepsilon^2)\lambda\mu\varepsilon=0. \end{align} $

(3.8)

无论$ N^4=S^4 $(或$ H^4, R^4 $), 直接计算$ \dot\mu $和$ \dot\varepsilon $可知

$ \begin{align} \left \{\begin{matrix} \dot\mu&=\frac{f}{f}(\lambda-\mu)\\ \dot\varepsilon&=\frac{\dot g}{g}(\lambda-\varepsilon) \end{matrix} \right.. \end{align} $

(3.9)

将$ (3.9) $代入$ (3.8) $即证.

定理3.5   $ (1) $超曲面$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(s)\xi_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(s)\xi_2, \sin(s))\hookrightarrow S^{2+2k} $是极小Willmore的, 其中$ k\in N^*, s\in(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.

$ (2) $超曲面$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(\cosh(s), \frac{1}{\sqrt{2}}\sinh(s)\xi_1, \frac{1}{\sqrt{2}}\sinh(s)\xi_2)\hookrightarrow H^{2+2k} $是极小Willmore的, 其中$ k\in N^*, s\in(0, +\infty) $.

$ (3) $超曲面$ x(s, \xi_1, \xi_2)=(\frac{1}{\sqrt{2}}s\xi_1, \frac{1}{\sqrt{2}}s\xi_2)\hookrightarrow R^{1+2k} $是极小Willmore的, 其中$ k\in N^*, s\in(0, +\infty) $.

证   (1)由引理$ 2.5 $, 令$ \lambda=\frac{\ddot f+f}{\sqrt{1-f^2-\dot f^2}}=0 $, 解得一特解

$ f=a\cos(s). $

令$ f=g $, 由引理2.5有

$ a=\frac{1}{\sqrt{2}}, h=\sin(s). $

再由引理$ 2.5 $计算得

$ \lambda=0, \mu=-\frac{1}{\cos(s)}, \varepsilon=\frac{1}{\cos(s)}. $

由引理$ 3.3 $, 定理证完.

(2) 由引理$ 2.5 $, 令$ \lambda=\frac{\ddot f-f}{\sqrt{1+f^2-\dot f^2}}=0 $, 解得一特解

$ f=a\sinh(s). $

令$ f=g $, 由引理2.5有

$ a=\frac{1}{\sqrt{2}}, h=\cosh(s). $

再由引理$ 2.5 $计算得

$ \lambda=0, \mu=-\frac{1}{\sinh(s)}, \varepsilon=\frac{1}{\sinh(s)}. $

由引理$ 3.3 $, 定理证完.

(3) 令$ f=g=\frac{1}{\sqrt{2}}s $, 此时$ \tilde{\lambda}=0, \tilde{\mu}=\frac{1}{s}, \tilde{\varepsilon}=-\frac{1}{s}. $

由引理3.3, 定理证完.

推论3.6   定理3.5中的极小Willmore超曲面是共形等价的.

证   令$ \sigma(u)=(\frac{2u}{1+\|u\|^2}, \frac{\|u\|^2-1}{\|u\|^2+1}):R^m\rightarrow S^{m+1}, u\in R^m, $令$ \tau(y_0, y_1)=(\frac{1}{y_0}, \frac{y_1}{y_0}):H^m\rightarrow S^{m}, y_0\in R, y_1\in R^{m} $, 其中$ -y_0^2+<y_1, y_1>=-1 $可以看到, $ \sigma $和$ \tau $是两个经典的球极投影, 我们知道这是两个共形变换.

$ \begin{align*} \sigma(\frac{1}{\sqrt{2}}s(\xi_1, \xi_2))&=(\frac{2\frac{s}{\sqrt{2}}(\xi_1, \xi_2)}{1+s^2}, \frac{s^2-1}{s^2+1})\\ &=(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\theta)(\xi_1, \xi_2), -\cos(\theta))\\ &=(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\varphi)(\xi_1, \xi_2), \sin(\varphi)), \end{align*} $

其中$ \tan(\frac{\theta}{2})=s, \theta=\varphi+\frac{\pi}{2} $.

$ \begin{align*} \tau(\cosh s, \sinh s(\xi_1, \xi_2))&=\tau(\sec \theta, \frac{1}{\sqrt{2}}\tan \theta(\xi_1, \xi_2))\\ &=(\cos\theta, \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\theta)(\xi_1, \xi_2))\\ &=(\sin\varphi, \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\varphi(\xi_1, \xi_2)), \end{align*} $

其中$ \cosh(s)=\sec\theta, \theta=\frac{\pi}{2}-\varphi $. 综上, 定理得证.