众所周知, 对称空间在微分几何研究当中扮演着重要的角色, 其中局部对称流形是常截面曲率流形的推广, 定义如下.

定义1.1  一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $满足条件

$ \begin{equation} \nabla R=0, \end{equation} $

(1.1)

则称$ M $为局部对称流形^[1], 这里的$ R $是黎曼曲率张量.

文献[2]给出了弱对称流形的概念如下.

定义1.2  一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $的$ (0, 4) $型黎曼曲率$ R $满足条件

$ \begin{equation} \nabla _{i}R_{jklm}=A_{i}R_{jklm}+D_{j}R_{iklm}+E_{k}R_{jilm}+G_{l}R_{jkim}+J_{m}R_{jkli}, \end{equation} $

(1.2)

则称$ M $为弱对称流形. $ A $, $ D $, $ E $, $ G $, $ J $都为非零的1-形式, 且这种流形可用符号$ (WS)_{n} $表示.

1993年, Tamassy^[3]引入弱里奇对称流形的概念.

定义1.3  如果一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $的里奇曲率满足

$ \begin{equation} \nabla _{k}\text{Ric}_{jl}=A_{k}\text{Ric}_{jl}+D_{j}\text{Ric}_{lk}+E_{l}\text{Ric}_{kj}. \end{equation} $

(1.3)

则称$ M $为弱里奇对称流形, 简记为$ (WRS)_{n} $, 这里的$ A $, $ D $, $ E $称为非零相关联的1形式. 如果$ A=D=E=0 $, 那么这个流形称为里奇对称流形.

如果一个对称的$ (0, 2) $型张量$ Z $满足

$ \begin{equation} Z_{ij}=\text{Ric}_{ij}+\phi g_{ij}, \end{equation} $

(1.4)

则称为广义$ Z $张量, 这里的$ \phi $是任意的标量函数. 将$ g^{ij} $作用(1.4)两边, 可以得到标量

$ \begin{equation} Z=Z_{ij}g^{ij}=r+n\phi . \end{equation} $

(1.5)

在$ 2012 $年, Mantica和Molinari^[4]给出了广义$ Z $张量的定义和$ n $维弱$ Z $对称流形的定义, 可简记为$ (WZS)_{n} $, 这种流形是弱里奇对称流形的推广. Mallick和De^[5]在$ N(k) $拟爱因斯坦流形中研究带有$ Z $张量的曲率限制条件. De^[6]给出了弱$ Z $对称时空的曲率特征. 更多关于广义$ Z $张量的研究可查看文献[7-12].

如果一个对称的$ (0, 2) $型张量满足

$ \begin{equation} B_{ij}=a\text{Ric}_{ij}+brg_{ij}, \end{equation} $

(1.6)

则称为$ B $张量, 这里的$ a $和$ b $都为非零的标量函数, $ r $是标量曲率. $ B $张量是广义$ Z $张量的推广形式.

在2017年, Suh等学者引入伪$ B $对称流形并给出了这种流形的几何性质.

定义1.4  如果一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $中非零的$ (0, 2) $型$ B $张量满足条件

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=2A_{k}B_{ij}+A_{i}B_{jk}+A_{j}B_{ki}, \end{equation} $

(1.7)

则称$ M $为伪$ B $对称流形^[13], 这里的$ A $是非零的1-形式. 伪$ B $对称流形是伪$ Z $对称流形^[14]的推广. 将$ g^{ij} $作用到(1.6)两边, 可以得到标量

$ \begin{equation} B=(a+bn)r. \end{equation} $

(1.8)

2021年, Mantica和De给出了弱$ B $对称流形的定义.

定义1.5  一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $ $ (n>2) $中, $ (0, 2) $型$ B $张量满足

$ \begin{equation} {\nabla }_{j}B_{kl}=A_{j}B_{kl}+D_{k}B_{lj}+E_{l}B_{jk}, \end{equation} $

(1.9)

则$ M $称为弱$ B $对称流形^[15], 简记为$ (WBS)_{n} $, 这里的$ A $, $ D $, $ E $都为非零的1-形式. 根据弱$ B $对称流形的定义, Singh和Khatri^[16]引入弱循环$ B $对称流形, 并给出这种流形在物理中的应用.

如果一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $中非零的对称$ (0, 2) $型里奇张量$ \text{Ric} $满足条件

$ \begin{equation} \nabla _{k}\text{Ric}_{ij}+\nabla _{i}\text{Ric}_{jk}+\nabla _{j}\text{Ric}_{ki}=0, \end{equation} $

(1.10)

则称里奇张量满足循环平行^[17]. 如果里奇张量$ \text{Ric} $满足条件

$ \begin{equation} \nabla _{k}\text{Ric}_{ij}=\nabla _{i}\text{Ric}_{kj}, \end{equation} $

(1.11)

则称里奇张量满足$ Codazzi $形式^[17].

受到文献[15]的启发, 本文对$ (WBS)_{n} $进行进一步的研究. 根据$ B $张量的对称性, 通过指标轮换给出$ (WBS)_{n} $的基本性质, 并用分量的形式证明$ (WBS)_{n} $是一个拟爱因斯坦流形. 从$ (WBS)_{n} $的定义和$ B $张量的表达式出发, 给出两个1-形式是闭的充要条件. 最后考虑满足$ Einstein $度量条件的$ (WBS)_{n} $的情形.

论文组织结构如下: 在第二节中, 根据$ B $张量的对称性进行指标的轮换, 给出$ (WBS)_{n} $的曲率性质和$ B $张量满足$ Codazzi $形式的充要条件, 继而证明张量$ B $满足循环平行条件当且仅当相关联1-形式的和为零, 同时也证明满足条件$ (P\cdot B)_{ijlm}=0 $的流形是一个射影里奇半对称流形. 接着给出满足条件$ B^{2}+fB=0 $的黎曼流形是2阶爱因斯坦流形的证明过程. 在第三节中, 给出了$ (WBS)_{n} $在满足条件$ \eta\ne 0 $下是拟爱因斯坦流形的证明过程, 也证明了共形平坦的$ (WBS)_{n} $是一个拟常曲率流形. 接着在第四节中, 在考虑$ B $张量是非奇异的前提下, 给出了1-形式$ K $和$ \omega $是闭形式的充要条件. 在第五节中, 我们考虑满足$ Einstein $度量条件的$ (WBS)_{n} $, 证明这是一个$ B $-递归$ (recerrent) $流形, 也是一个广义的里奇递归流形. 最后我们给出一个$ (WBS)_{n} $的例子.

在这一章中, 我们给出$ (WBS)_{n} $的基本性质, 继而考虑$ B $张量满足循环平行的情形以及$ (WBS)_{n} $满足条件$ (P\cdot B)_{ijlm}=0 $.

首先交换(1.9)中的指标$ k $和$ l $, 可得

$ \begin{equation} {\nabla }_{j}B_{lk}=A_{j}B_{lk}+D_{l}B_{kj}+E_{k}B_{jl}. \end{equation} $

(2.1)

从弱$ B $对称流形的定义及$ B $张量的对称性结合(1.9)和(2.1), 可以得到

$ \begin{equation} \eta _{k}B_{jl}=\eta _{l}B_{jk}, \end{equation} $

(2.2)

这里的$ \eta _{k}=D_{k}-E_{k} $. 根据式(1.9), 有

$ \begin{equation} {\nabla }_{k}B_{jl}-{\nabla }_{j}B_{kl}={\omega }_{k}B_{jl}-{\omega }_{j}B_{kl}, \end{equation} $

(2.3)

这里的$ \omega _{k}=A_{k}-D_{k} $.

命题2.1  在$ (WBS)_{n} $中, 如果$ B $张量是非奇异的, 那么$ \eta _{k}=0 $.

证  $ B $张量是非奇异的, 即存在一个$ (2, 0) $型$ B^{-1} $张量使得$ (B^{-1})^{kh}B_{kl}=\delta _{l}^{k} $. 将$ (B^{-1})^{jh} $作用到(2.2)两边, 可得

$ \begin{equation} \eta _{k}\delta _{l}^{h}=\eta _{l}\delta _{k}^{h}. \end{equation} $

(2.4)

在(2.4)中, 令$ h=l $并求和, 有

$ (n-2)\eta _{k}=0, $

由于$ n>2 $, 所以$ \eta _{k}=0 $.

命题2.2  如果$ (WBS)_{n} $中的非奇异的$ B $张量满足$ Codazzi $形式, 当且仅当1-形式$ A=D=E $.

证  根据命题2.1, 由$ B $张量是非奇异的, 可以得到$ 1 $形式$ D=E $. $ B $张量是满足$ Codazzi $形式的, 即满足条件$ \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{i}B_{kj} $和$ \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{j}B_{ik} $.

首先考虑第一种情况: 条件$ \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{i}B_{kj} $成立, 那么由(2.3), 有

$ \begin{equation} \omega _{k}B_{ij}=\omega _{i}B_{kl}. \end{equation} $

(2.5)

将$ (B^{-1})^{jh} $作用到(2.5)两边, 得

$ \begin{equation} \omega _{k}\delta _{i}^{h}=\omega _{i}\delta _{k}^{h}. \end{equation} $

(2.6)

令$ h=i $并求和$ (n-1)\omega _{k}=0, $即$ A_{k}=D_{k} $. 最后可以得到$ A=D=E $.

反之, $ A=D=E $成立. 根据(1.9), $ B $张量显然满足$ Codazzi $形式.

第二种情况: 条件$ \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{j}B_{ik} $成立, 那么由(1.9), 有$ A_{k}B_{ij}+D_{i}B_{jk}+E_{j}B_{ki}=A_{j}B_{ik}+D_{i}B_{kj}+E_{k}B_{ji}, $即

$ \begin{equation} (A_{k}-E_{k})B_{ij}=(A_{j}-E_{j})B_{ik}. \end{equation} $

(2.7)

将$ (B^{-1})^{ih} $作用到(2.5)两边, 得

$ \begin{equation} (A_{k}-E_{k})\delta _{j}^{h}=(A_{j}-E_{j})\delta _{k}^{h}. \end{equation} $

(2.8)

令$ h=j $并求和$ (n-1)(A_{k}-E_{k})=0, $可以得到$ A_{k}=E_{k}, $即$ A=D=E $.

反之是显然的.

$ Walier's $ 引理^[18]如果$ a_{ij} $, $ b_{k} $满足

$ \begin{equation} a_{ij}=a_{ji}, \quad a_{ij}b_{k}+a_{jk}b_{i}+a_{ki}b_{j}=0, \end{equation} $

(2.9)

$ i $, $ j $, $ k $ $ =1, 2, \cdot \cdot \cdot, n $, 那么所有的$ a_{ij}=0 $或者所有的$ b_{k}=0 $.

根据(1.10), 类似地给出$ B $张量满足循环平行的定义.

定义2.3  如果$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $非零的对称(0, 2)型$ B $张量满足条件

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}+\nabla _{i}B_{jk}+\nabla _{j}B_{ki}=0, \end{equation} $

(2.10)

则称$ B $张量满足循环平行的.

命题2.4  在$ (WBS)_{n} $中, 如果里奇曲率张量满足循环平行, 且$ a $, $ b $, $ r $是常值, 那么$ B $张量满足循环平行.

证  如果里奇曲率张量满足循环平行, 即满足等式(1.10). 根据(1.6), 有

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+a\nabla _{k}\text{Ric}_{ij}+\nabla _{k}(br)g_{ij}. \end{equation} $

(2.11)

对(2.11)轮换$ k $, $ i $, $ j $三个指标, 并将三式相加, 可以得到

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{k}B_{ij}+\nabla _{i}B_{jk}+\nabla _{j}B_{ki}=&\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+\nabla _{i}a\text{Ric}_{jk}+\nabla _{j}a\text{Ric}_{ki}\\ &+a(\nabla _{k}\text{Ric}_{ij}+\nabla _{i}\text{Ric}_{jk}+\nabla _{j}\text{Ric}_{ki})\\ &+(g_{ij}\nabla _{k}+g_{jk}\nabla _{i}+g_{ki}\nabla _{j})(br). \end{aligned} \end{equation} $

(2.12)

结合(1.10), (2.12)变为

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{k}B_{ij}+\nabla _{i}B_{jk}+\nabla _{j}B_{ki}=&\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+\nabla _{i}a\text{Ric}_{jk}+\nabla _{j}a\text{Ric}_{ki}\\ &+(g_{ij}\nabla _{k}+g_{jk}\nabla _{i}+g_{ki}\nabla _{j})(br). \end{aligned} \end{equation} $

(2.13)

如果$ a $, $ b $, $ r $是常值函数, 由(2.13)可得$ \nabla _{k}B_{ij}+\nabla _{i}B_{jk}+\nabla _{j}B_{ki}=0, $即$ B $张量满足循环平行.

命题2.5  在$ (WBS)_{n} $中, $ B $张量满足循环平行, 当且仅当相关联1-形式的和为零.

证  根据(1.9), 进行指标轮换可得

$ \begin{equation} {\nabla }_{k}B_{lj}=A_{k}B_{lj}+D_{l}B_{jk}+E_{j}B_{kl}, \end{equation} $

(2.14)

$ \begin{equation} {\nabla }_{l}B_{jk}=A_{l}B_{jk}+D_{j}B_{kl}+E_{k}B_{lj}. \end{equation} $

(2.15)

结合(1.9), (2.14), (2.15), 三式相加, 可得

$ \begin{equation} {\nabla }_{j}B_{kl}+{\nabla }_{k}B_{lj}+{\nabla }_{l}B_{jk}=H_{j}B_{kl}+H_{k}B_{lj}+H_{l}B_{jk}, \end{equation} $

(2.16)

这里的$ H_{j}=A_{j}+D_{j}+E_{j} $. 如果满足$ B $张量循环平行, 即满足(2.10). 那么根据(2.10)和(2.16), 有

$ \begin{equation} H_{j}B_{kl}+H_{k}B_{lj}+H_{l}B_{jk}=0. \end{equation} $

(2.17)

根据$ walke's $引理, 可以得到$ H_{j}=0 $或者$ B_{kl}=0 $. 但因为$ B $是非零的, 所以$ H_{j}=0 $, 即

$ \begin{equation} A_{j}+D_{j}+E_{j}=0. \end{equation} $

(2.18)

反之, 将(2.18)代入(2.16), 结果是显然的.

推论2.6  在$ (WBS)_{n} $中, 如果里奇曲率张量满足循环平行, 且$ a $, $ b $, $ r $是常值, 那么相关联1-形式的和为零.

定义2.7  一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $如果满足$ R\cdot \text{Ric}=0 $, 即

$ \begin{equation} (R(X, Y)\text{Ric})(U, V)=0, \end{equation} $

(2.19)

则称$ M $为里奇半对称流形.

(2.19)的局部形式可表示为$ (R\cdot \text{Ric})_{ijlm}=0, $这里的$ (R\cdot \text{Ric})_{ijlm}=\text{Ric}_{rj}R_{ilm}^{r}+\text{Ric}_{ri}R_{jlm}^{r} $. $ \text{Ric}_{ij} $和$ R_{ijk}^{l} $分别是$ (0, 2) $型里奇曲率$ \text{Ricci} $和$ (1, 3) $型黎曼曲率$ R $的局部形式. 射影曲率张量^[19]的局部形式为

$ \begin{equation} P_{rilm}=R_{rilm}-\frac{1}{n-1}[\text{Ric}_{il}g_{rm}-\text{Ric}_{rl}g_{im}], \end{equation} $

(2.20)

这里的$ P_{rilm}=g_{rk}P_{ilm}^{k} $. 根据(2.20)可知射影曲率张量满足

$ \begin{equation} P_{rilm}=-P_{irlm}. \end{equation} $

(2.21)

接下来考虑$ (M^{n}, g) $满足条件

$ \begin{equation} (P\cdot B)_{ijlm}=0. \end{equation} $

(2.22)

即射影$ B $半对称.

定理2.8  黎曼流形$ (M^{n}, g) $满足条件$ (P\cdot B)_{ijlm}=0 $当且仅当这个流形是射影里奇半对称流形.

证  根据$ (P\cdot B)_{ijlm}=B_{rj}P_{ilm}^{r}+B_{ri}P_{jlm}^{r} $, 由(2.22)可得

$ \begin{equation} B_{rj}P_{ilm}^{r}+B_{ri}P_{jlm}^{r}=0. \end{equation} $

(2.23)

再由(1.6), 有

$ \begin{equation} a(\text{Ric}_{rj}P_{ilm}^{r}+\text{Ric}_{ri}P_{jlm}^{r})+br(g_{rj}P_{ilm}^{r}+g_{ri}P_{jlm}^{r})=0. \end{equation} $

(2.24)

结合(2.21), 有

$ \begin{equation} a(\text{Ric}_{rj}P_{ilm}^{r}+\text{Ric}_{ri}P_{jlm}^{r})=0. \end{equation} $

(2.25)

由于$ a $是非零的, 所以

$ \begin{equation} \text{Ric}_{rj}P_{ilm}^{r}+\text{Ric}_{ri}P_{jlm}^{r}=0, \end{equation} $

(2.26)

即$ (P\cdot \text{Ric})_{ijlm}=0. $所以满足条件$ (P\cdot B)_{ijlm}=0 $的弱$ B $对称流形是射影里奇半对称流形.

反之, 如果(2.26)成立, 根据(2.23), (2.21)可以得到(2.22)成立. 里奇半对称流形满足条件$ (P\cdot B)_{ijlm}=0 $.

定义2.9  一个$ n $维非平坦黎曼流形$ (M^{n}, g) $, $ n>2 $, 如果满足条件

$ \begin{equation} {\text{Ric}}^{2}(X, Y)+\alpha \text{Ric}(X, Y)+\beta g(X, Y)=0, \end{equation} $

(2.27)

则$ M $称为2阶的爱因斯坦流形^[20], 简记$ Ein(2) $, $ \alpha $和$ \beta $为非零的标量函数.

令$ Q $是在切空间每一点处对应于里奇曲率$ \text{Ric} $的对称自同态, $ L $是对应于$ B $张量的对称自同态, 即满足

$ \begin{equation} \text{Ric}(X, Y)=g(QX, Y), B(X, Y)=g(LX, Y). \end{equation} $

(2.28)

令$ d^{2} $为里奇曲率张量长度的平方, $ t^{2} $为$ B $张量长度的平方, 即

$ \begin{equation} d^{2}=\text{Ric}(Qe_{i}, e_{i}), t^{2}=B(Le_{i}, e_{i}), \end{equation} $

(2.29)

这里的$ \left\{ {{e}_{i}} \right\} $, $ (i=1, 2, \cdot \cdot \cdot, n) $是每一点处切空间的正交基底.

命题2.10  在$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $中, $ t^{2} $为$ B $张量长度的平方, 那么$ ab<\frac{t^{2}}{2r^{2}} $.

证  根据(1.6)和(2.28), 有

$ \begin{equation} B(Le_{i}, e_{i})=a^{2}\text{Ric}(Qe_{i}, e_{i})+2abr\text{Ric}(e_{i}, e_{i})+b^{2}r^{2}g(e_{i}, e_{i}). \end{equation} $

(2.30)

结合(2.29), (2.30)变为

$ \begin{equation} t^{2}=a^{2}d^{2}+2abr^{2}+b^{2}r^{2}n. \end{equation} $

(2.31)

即

$ \begin{equation} t^{2}>2abr^{2}. \end{equation} $

(2.32)

所以$ ab<\frac{t^{2}}{2r^{2}} $.

定理2.11  在$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $中, 如果$ B $张量满足$ B^{2}+fB=0 $, $ f $是非零的标量函数, 那么$ M $是2阶的爱因斯坦流形.

证  根据(2.28), 可以得到

$ \begin{equation} LX=aQX+brX. \end{equation} $

(2.33)

利用$ B^{2}(X, Y)=B(LX, Y) $, 进一步可以得到

$ \begin{equation} B^{2}_{ij}=a^{2}\text{Ric}_{ij}+2abr\text{Ric}_{ij}+b^{2}r^{2}g_{ij}. \end{equation} $

(2.34)

假设$ B $张量满足

$ \begin{equation} B^{2}+fB=0, \end{equation} $

(2.35)

这里的$ f $是非零的标量函数. 那么由(2.35)可以得到

$ \begin{equation} a^{2}\text{Ric}^{2}_{ij}+(2abr+fa)\text{Ric}_{ij}+(b^{2}r^{2}+fbr)g_{ij}=0. \end{equation} $

(2.36)

由于$ a $是非零的, 所以

$ \begin{equation} \text{Ric}^{2}+\lambda _{1}\text{Ric}+\lambda _{2}g=0, \end{equation} $

(2.37)

这里的$ \lambda _{1}=\frac{2br+f}{a} $, $ \lambda _{2}=\frac{b^{2}r^{2}+fbr}{a^{2}} $.

定义3.1  $ (M^{n}, g) $ $ (n>2) $是一个非平坦的$ n $维黎曼流形, 如果非零的$ (0, 2) $型里奇曲率张量$ \text{Ric} $满足以下条件

$ \begin{equation} \text{Ric}(X, Y)=\alpha g(X, Y)+\beta \eta (X)\eta (Y), \end{equation} $

(3.1)

$ \eta $是非零的1-形式且对任意$ X $满足

$ \begin{equation} \eta (X)=g(X, \xi ), \end{equation} $

(3.2)

则称$ M $为拟爱因斯坦流形^[21], 简记为$ (QE)_{n} $. 这里的$ \xi $是单位向量场, $ \alpha $和$ \beta $是非零的标量函数.

共形平坦的黎曼流形$ (M^{n}, g) $, 如果$ (0, 4) $型的曲率张量$ R $满足条件

$ \begin{equation} \begin{aligned} R(X, Y, Z, W)=&p[g(Y, Z)g(X, W)-g(X, Z)g(Y, W)]\\ &+q[g(X, W)H(Y)H(Z)+g(Y, Z)H(X)H(W)\\ &-g(X, Z)H(Y)H(W)-g(Y, W)H(X)H(Z)], \end{aligned} \end{equation} $

(3.3)

则称$ M $为拟常曲率流形^[22]. 这里$ R(X, Y, Z, W)=g(R(X, Y)Z, W) $, $ p $和$ q $是标量函数且$ q\ne 0 $. $ H $是非零的1-形式满足$ H(X)=g(X, \xi _{1} $), 这里$ \xi _{1} $是单位向量场. $ p $和$ q $称为相关联的标量, $ H_{i} $称为相关联的1-形式, $ \xi $称为流形的生成元. 在1956年, Chern^[23]研究一种黎曼流形, 它的$ (0, 4) $型黎曼曲率张量$ R $满足

$ \begin{equation} R(X, Y, Z, W)=I(Y, Z)I(X, W)-I(X, Z)I(Y, W), \end{equation} $

(3.4)

这里的$ I $是对称的$ (0, 2) $型张量. 这种流形称为带有关联对称张量$ I $的特殊流形, 简记为$ \psi (I)_{n} $.

命题3.2  满足$ \eta _{k}\ne 0 $的$ (WBS)_{n} $是$ (QE)_{n} $.

证  将$ \eta ^{l} $作用到(2.2)两边, 有

$ \begin{equation} \eta ^{l}\eta _{k}B_{jl}=\eta ^{l}\eta _{l}B_{jk}. \end{equation} $

(3.5)

类似地, 将$ g^{jk} $作用到(2.2)两边, 可以得到

$ \begin{equation} \eta ^{j}B_{jl}=\eta _{l}B, \end{equation} $

(3.6)

这里的$ B=B_{jk}g^{jk} $. 结合(3.5)和(3.6), 有

$ \begin{equation} B_{jk}=B\frac{\eta {j}\eta {k}}{\eta ^{l}\eta _{l}}. \end{equation} $

(3.7)

根据式(1.6), (3.7), 有

$ \begin{equation} \text{Ric}_{jk}=\alpha g_{jk}+\beta T_{j}T_{k}, \end{equation} $

(3.8)

这里的$ \alpha =-\frac{br}{a} $, $ \beta =\frac{B}{a} $, $ T_{j}=\frac{\eta {j}}{\left\| \eta \right\|} $是一个非零的1-形式. 存在单位向量场$ \rho $, 使得$ g(X, \rho )=T(X) $. 这个流形是一个拟爱因斯坦流形.

定理3.3  满足$ \eta _{k}\ne 0 $的共性平坦$ (WBS)_{n} $ $ (n>3) $是拟常曲率流形.

证  共性平坦的$ n $维黎曼流形中, $ (0, 4) $型的黎曼曲率满足

$ \begin{equation} \begin{aligned} R_{ijkl}=&\frac{1}{n-2}[\text{Ric}_{jk}g_{il}-\text{Ric}_{ik}g_{jl}+\text{Ric}_{il}g_{jk}-\text{Ric}_{jl}g_{ik}]\\ &-\frac{r}{(n-1)(n-2)}[g_{jk}g_{il}-g_{ik}g_{jl}], \end{aligned} \end{equation} $

(3.9)

这里的$ R_{ijkl}=g_{im}R_{jkl}^{m} $, $ r $是标量曲率. 将(3.8)代入(3.9), 可以得到

$ \begin{equation} R_{ijkl}=p[g_{jk}g_{jl}-g_{ik}g_{jl}]+q[g_{il}T_{j}T_{k}-g_{jl}T_{i}T_{k}+g_{jk}T_{i}T_{l}-g_{ik}T_{j}T_{l}], \end{equation} $

(3.10)

定理3.4  一个共形平坦$ (WBS)_{n} $ $ (n>3) $是一个$ \psi (I)_{n} $特殊流形.

证  假设

$ \begin{equation} I_{ij}=\sqrt{p}g_{ij}+\frac{q}{\sqrt{p}}T_{i}T_{j}, \end{equation} $

(3.11)

这里的$ T_{i} $是非零的1-形式. 显然$ I_{ij} $满足$ I_{ij}=I_{ji}. $ $ I $是一个对称的$ (0, 2) $型张量. 那么根据(3.9), 有

$ R_{ijkl}=I_{jk}I_{il}-I_{ik}I_{jl}. $

在这一章, 我们给出了$ K $和$ \omega $两个1-形式是闭形式的充要条件, 这里的$ K_{i}=nA_{i}+D_{i}+E_{i} $, $ \omega _{i}=A_{i}-D_{i} $.

命题4.1  在$ (WBS)_{n} $中, $ B $张量是非奇异的. 那么$ K $是闭形式, 当且仅当

$ \nabla _{s}\nabla _{k}B_{ij}-\nabla _{k}\nabla _{s}B_{ij}=0. $

证  由(1.9), 有

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=A_{k}B_{ij}+D_{i}B_{jk}+E_{j}B_{ki}. \end{equation} $

(4.1)

对(4.1)两边协变微分, 可以得到

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{s}\nabla _{k}B_{ij}=&\nabla _{s}A_{k}B_{ij}+A_{k}(A_{s}B_{ij}+D_{i}B_{js}+E_{j}B_{si})\\ &+\nabla _{s}D_{i}B_{kj}+D_{i}(A_{s}B_{kj}+D_{k}B_{js}+E_{j}B_{sk})\\ &+\nabla _{s}E_{j}B_{ik}+E_{j}(A_{s}B_{ik}+D_{i}B_{ks}+E_{k}B_{si}). \end{aligned} \end{equation} $

(4.2)

交换(4.2)中的指标$ s $, $ k $并两式相减, 得到

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{s}\nabla _{k}B_{ij}-\nabla _{k}\nabla _{s}B_{ij}=&(\nabla _{s}A_{k}-\nabla _{k}A_{s})B_{ij}+(\nabla _{s}D_{i}-D_{i}D_{s})B_{kj}\\ &+(\nabla _{s}E_{j}-E_{s}E_{j})B_{ik}-(\nabla _{k}D_{i}-D_{i}D_{k})B_{sj}\\ &-(\nabla _{k}E_{j}-E_{j}E_{k})B_{is}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.3)

如果上式等号左边为零, 根据$ B $张量是非奇异的, 将$ (B^{-1})^{ij} $作用到(4.3)两边, 可以得到

$ \begin{equation} \begin{aligned} 0=&(\nabla _{s}A_{k}-\nabla _{k}A_{s})\delta _{j}^{j}+(\nabla _{s}D_{i}-D_{i}D_{s})\delta _{k}^{i}\\ &+(\nabla _{s}E_{j}-E_{s}E_{j})\delta _{k}^{j}-(\nabla _{k}D_{i}-D_{i}D_{k})\delta _{s}^{i}-(\nabla _{k}E_{j}-E_{j}E_{k})\delta _{s}^{j}, \end{aligned} \end{equation} $

(4.4)

对(4.4)指标求和, 有

$ \begin{equation} n(\nabla _{s}A_{k}-\nabla _{k}A_{s})+(\nabla _{s}D_{k}-\nabla _{k}D_{s})+(\nabla _{s}E_{k}-\nabla _{k}E_{s})=0. \end{equation} $

(4.5)

令$ K_{k}=nA_{k}+D_{k}+E_{k} $, 那么(4.5)可以表示为

$ \begin{equation} \nabla _{s}K_{k}-\nabla _{k}K_{s}=0, \end{equation} $

(4.6)

即$ K $是闭的1-形式.

反之, 将$ (B^{-1})^{ij} $作用到(4.3)两边并结合$ K $是闭的1-形式, 那么可以得到

$ (\nabla _{s}\nabla _{k}B_{ij}-\nabla _{k}\nabla _{s}B_{ij})(B^{-1})^{ij}=0. $

由于$ B $张量是非奇异的, $ (B^{-1})^{ij}\ne 0 $, 即$ \nabla _{s}\nabla _{k}B_{ij}-\nabla _{k}\nabla _{s}B_{ij}=0 $.

$ Lovelock's $ 微分恒等式^[24]在一个$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $中, 以下等式是成立的

$ \begin{equation} \nabla _{i}\nabla _{m}R_{jkl}^{m}+\nabla _{j}\nabla _{m}R_{kil}^{m}+\nabla _{k}\nabla _{m}R_{ijl}^{m}=-\text{Ric}_{im}R_{jkl}^{m}-\text{Ric}_{jm}R_{kil}^{m}-\text{Ric}_{km}R_{ijl}^{m}. \end{equation} $

(4.7)

定理4.2  在$ (WBS)_{n} $中, 如果$ B $张量是非奇异的, 那么$ \omega _{k} $是闭的1-形式当且仅当

$ \begin{equation} \text{Ric}_{im}R_{jkl}^{m}+\text{Ric}_{jm}R_{kil}^{m}+\text{Ric}_{km}R_{ijl}^{m}=0. \end{equation} $

(4.8)

证  根据$ Bianchi $第二恒等式, 有

$ \begin{equation} \nabla _{m}R_{jkl}^{m}=\nabla _{k}\text{Ric}_{jl}-\nabla _{j}\text{Ric}_{kl}. \end{equation} $

(4.9)

结合(2.11)和(4.9), 有

$ \begin{equation} a\nabla _{m}R_{jkl}^{m}=\nabla _{k}B_{jl}-\nabla _{j}B_{kl}+\nabla _{j}(br)g_{kl}-\nabla _{k}(br)g_{jl}+\nabla _{j}a\text{Ric}_{kl}-\nabla _{k}a\text{Ric}_{jl}. \end{equation} $

(4.10)

根据(2.3), 那么(4.10)可以表示为

$ \begin{equation} a\nabla _{m}R_{jkl}^{m}=\omega _{k}B_{jl}-\omega _{j}B_{kl}+\nabla _{j}(br)g_{kl}-\nabla _{k}(br)g_{jl}+\nabla _{j}a\text{Ric}_{kl}-\nabla _{k}a\text{Ric}_{jl}. \end{equation} $

(4.11)

对(4.11)两边协变微分

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{i}a\nabla _{m}R_{jkl}^{m}+a\nabla _{i}\nabla _{m}R_{jkl}^{m}=&\nabla _{i}\omega _{k}B_{jl}+\omega _{k}\nabla _{i}B_{jl}-\nabla _{i}\omega _{j}B_{kl}-\omega _{j}\nabla _{i}B_{kl}\\ &+\nabla _{i}\nabla _{j}(br)g_{kl}-\nabla _{i}\nabla _{k}(br)g_{jl}+\nabla _{i}\nabla _{j}a\text{Ric}_{kl}\\ &+\nabla _{j}a\nabla _{i}\text{Ric}_{kl}-\nabla _{i}\nabla _{k}a\text{Ric}_{jl}-\nabla _{k}a\nabla _{i}\text{Ric}_{jl}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.12)

根据(4.12), 对指标$ i $, $ j $, $ k $进行轮换, 可得

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{k}a\nabla _{m}R_{ijl}^{m}+a\nabla _{k}\nabla _{m}R_{ijl}^{m}=&\nabla _{k}\omega _{j}B_{il}+\omega _{j}\nabla _{k}B_{il}-\nabla _{k}\omega _{i}B_{jl}-\omega _{i}\nabla _{k}B_{jl}\\ &+\nabla _{k}\nabla _{i}(br)g_{jl}-\nabla _{k}\nabla _{j}(br)g_{il}+\nabla _{k}\nabla _{i}a\text{Ric}_{jl}\\ &+\nabla _{i}a\nabla _{k}\text{Ric}_{jl}-\nabla _{k}\nabla _{j}a\text{Ric}_{il}-\nabla _{j}a\nabla _{k}\text{Ric}_{il}, \end{aligned} \end{equation} $

(4.13)

$ \begin{equation} \begin{aligned} \nabla _{j}a\nabla _{m}R_{kil}^{m}+a\nabla _{j}\nabla _{m}R_{kil}^{m}=&\nabla _{j}\omega _{i}B_{kl}+\omega _{i}\nabla _{j}B_{kl}-\nabla _{j}\omega _{k}B_{il}-\omega _{k}\nabla _{j}B_{il}\\ &+\nabla _{j}\nabla _{k}(br)g_{il}-\nabla _{j}\nabla _{i}(br)g_{kl}+\nabla _{j}\nabla _{k}a\text{Ric}_{il}\\ &+\nabla _{k}a\nabla _{j}\text{Ric}_{il}-\nabla _{j}\nabla _{i}a\text{Ric}_{kl}-\nabla _{i}a\nabla _{j}\text{Ric}_{kl}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.14)

由(4.12), (4.13), (4.14)三式相加, 有

$ \begin{equation} \begin{aligned} &\nabla _{i}a\nabla _{m}R_{jkl}^{m}+\nabla _{k}a\nabla _{m}R_{ijl}^{m}+\nabla _{j}a\nabla _{m}R_{kil}^{m}+a[\nabla _{i}\nabla _{m}R_{jkl}^{m}+\nabla _{k}\nabla _{m}R_{ijl}^{m}+\nabla _{j}\nabla _{m}R_{kil}^{m}]\\ =&(\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})B_{jl}+(\nabla _{j}\omega _{i}-\nabla _{i}\omega _{j})B_{kl}+(\nabla _{k}\omega _{j}-\nabla _{j}\omega _{k})B_{il}\\ &+\nabla _{i}a(\nabla _{k}\text{Ric}_{jl}-\nabla _{j}\text{Ric}_{kl})+\nabla _{k}a(\nabla _{j}\text{Ric}_{il}-\nabla _{i}\text{Ric}_{jl})+\nabla _{j}a(\nabla _{i}\text{Ric}_{kl}-\nabla _{k}\text{Ric}_{il}). \end{aligned} \end{equation} $

(4.15)

又根据(4.9), 那么(4.15)变为

$ \begin{equation} \begin{aligned} &a[\nabla _{i}\nabla _{m}R_{jkl}^{m}+\nabla _{k}\nabla _{m}R_{ijl}^{m}+\nabla _{j}\nabla _{m}R_{kil}^{m}]\\ =&(\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})B_{jl}+(\nabla _{j}\omega _{i}-\nabla _{i}\omega _{j})B_{kl}+(\nabla _{k}\omega _{j}-\nabla _{j}\omega _{k})B_{il}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.16)

结合$ Lovelock's $微分恒等式,

$ \begin{equation} \begin{aligned} &a(-\text{Ric}_{im}R_{jkl}^{m}-\text{Ric}_{jm}R_{kil}^{m}-\text{Ric}_{km}R_{ijl}^{m})\\ =&(\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})B_{jl}+(\nabla _{j}\omega _{i}-\nabla _{i}\omega _{j})B_{kl}+(\nabla _{k}\omega _{j}-\nabla _{j}\omega _{k})B_{il}. \end{aligned} \end{equation} $

(4.17)

如果$ \omega _{k} $是闭的1-形式, 则满足等式(4.8).

反之, 假设等式(4.8)成立, 那么(4.17)变为

$ \begin{equation} (\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})B_{jl}+(\nabla _{j}\omega _{i}-\nabla _{i}\omega _{j})B_{kl}+(\nabla _{k}\omega _{j}-\nabla _{j}\omega _{k})B_{il}=0. \end{equation} $

(4.18)

如果$ B $张量是非奇异的, 即存在一个$ (2, 0) $型$ (B^{-1})^{km} $张量, 使得$ (B^{-1})^{km}B_{kl}=\delta _{l}^{m} $. 将$ (B^{-1})^{hl} $作用到(4.18)两边,

$ \begin{equation} (\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})\delta _{j}^{h}+(\nabla _{j}\omega _{i}-\nabla _{i}\omega _{j})\delta _{h}^{k}+(\nabla _{k}\omega _{j}-\nabla _{j}\omega _{k})\delta _{h}^{i}=0. \end{equation} $

(4.19)

令$ h=j $并求和, 得到

$ \begin{equation} (n-2)(\nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i})=0. \end{equation} $

(4.20)

由于$ n>2 $, 所以$ \nabla _{i}\omega _{k}-\nabla _{k}\omega _{i}=0, $即$ \omega _{k} $是闭形式.

如果存在一个非零单位向量场$ \rho $, 对任意的向量场$ X $满足$ g(X, \rho )=\omega (X) $. 假设$ \omega $是闭形式, 那么就有$ d\omega (X, Y)=0 $, i.e.,

$ \begin{equation} (\nabla _{X}\omega )(Y)-(\nabla _{Y}\omega )(X)=0. \end{equation} $

(4.21)

(4.21)可进一步变为

$ \begin{equation} g(Y, \nabla _{X}\rho )=g(X, \nabla _{Y}\rho ). \end{equation} $

(4.22)

令$ Y=\rho $代入(4.22), 有

$ \begin{equation} g(\nabla _{X}\rho , \rho )=g(\nabla _{\rho }\rho , X). \end{equation} $

(4.23)

由于$ g(\nabla _{X}\rho , \rho )=0 $, 所以

$ g(\nabla _{\rho }\rho , X)=0. $

由$ X $的任意性, 得到$ \nabla _{\rho }\rho =0, $即向量场$ \rho $的积分曲线是测地线.

推论4.3  在$ (WBS)_{n} $中, 如果$ B $张量是非奇异的且存在一个非零单位向量场$ \rho $, 使得对任意的向量场$ X $满足$ g(X, \rho )=\omega (X) $, 那么向量场$ \rho $的积分曲线是测地线当且仅当

$ \text{Ric}(X, R(Y, Z)W)+\text{Ric}(Y, R(Z, X)W)+\text{Ric}(Z, R(X, Y)W)=0. $

在这一章中, 我们考虑$ (WBS)_{n} $是$ Einstein $流形, 即里奇曲率满足

$ \begin{equation} \text{Ric}_{ij}=\frac{r}{n}g_{ij}. \end{equation} $

(5.1)

定理5.1  如果$ n $维黎曼流形$ (M^{n}, g) $是$ B $-递归流形, 那么$ M $是广义的里奇递归流形.

证  $ M $是$ B $-递归流形, 即$ B $张量满足

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=\lambda _{k}B_{ij}, \end{equation} $

(5.2)

这里的$ \lambda _{k} $是非零的1-形式. 根据(1.6), 有

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+a\nabla _{k}\text{Ric}_{ij}+\nabla _{k}(br)g_{ij}. \end{equation} $

(5.3)

结合(1.6), (5.2), (5.3), 可以得到

$ \begin{equation} \nabla _{k}\text{Ric}_{ij}=\mu _{1}\text{Ric}_{ij}+\mu _{2}g_{ij}, \end{equation} $

(5.4)

即$ M $是一个广义里奇递归流形, 这里的$ \mu _{1}=\lambda _{k}-\frac{\nabla _{k}a}{a} $, $ \mu _{2}=\frac{br\lambda _{k}}{a}-\frac{\nabla _{k}(br)}{a} $.

定理5.2  满足$ Einstein $度量条件的$ (WBS)_{n} $, 是$ B $-递归流形.

证  $ (WBS)_{n} $是$ Einstein $流形, 所以$ B $张量可以表示为

$ \begin{equation} B_{ij}=\frac{r}{n}(a+nb)g_{ij}. \end{equation} $

(5.5)

标量函数$ r $是常值, 所以

$ \begin{equation} \nabla _{i}r=0, \nabla _{k}\text{Ric}_{ij}=0. \end{equation} $

(5.6)

根据(1.6), 有

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+a\nabla _{k}\text{Ric}_{ij}+\nabla _{k}brg_{ij}+b\nabla _{k}rg_{ij}. \end{equation} $

(5.7)

结合(5.6), (5.7)变为

$ \begin{equation} \nabla _{k}B_{ij}=\nabla _{k}a\text{Ric}_{ij}+\nabla _{k}brg_{ij}=\frac{r}{n}g_{ij}\nabla _{k}(a+nb). \end{equation} $

(5.8)

将(5.5)和(5.8)代入(2.1), 有

$ \begin{equation} \frac{r}{n}g_{ij}\nabla _{k}(a+nb)=A_{k}B_{ij}+D_{i}B_{jk}+E_{j}B_{ki}=\frac{r}{n}(a+nb)[A_{k}g_{ij}+D_{i}g_{jk}+E_{j}g_{ki}]. \end{equation} $

(5.9)

由于$ r $是非零的, 所以

$ \begin{equation} g_{ij}\nabla _{k}(a+nb)=(a+nb)[A_{k}g_{ij}+D_{i}g_{jk}+E_{j}g_{ki}]. \end{equation} $

(5.10)

将$ g^{ij} $作用到(5.10)两边, 可以得到

$ \begin{equation} n\nabla _{k}(a+nb)=(a+nb)[nA_{k}+D_{k}+E_{k}]. \end{equation} $

(5.11)

将$ g^{kj} $作用到(5.10)两边, 可得

$ \nabla _{i}(a+nb)=(a+nb)[A_{i}+nD_{i}+E_{i}]. $

指标$ i $变为$ k $, 即

$ \begin{equation} \nabla _{k}(a+nb)=(a+nb)[A_{k}+nD_{k}+E_{k}]. \end{equation} $

(5.12)

将$ g^{ki} $作用到(5.10)两边, 可以得到

$ \nabla _{j}(a+nb)=(a+nb)[A_{j}+D_{j}+nE_{j}]. $

指标$ j $变为$ k $, 即

$ \begin{equation} \nabla _{k}(a+nb)=(a+nb)[A_{k}+D_{k}+nE_{k}]. \end{equation} $

(5.13)

(5.11), (5.12), (5.13)三式相加, 可得

$ \begin{equation} \nabla _{k}(a+nb)=(a+nb)[A_{k}+D_{k}+E_{k}]. \end{equation} $

(5.14)

将(5.14)代入(5.10), 由于$ a $和$ b $是非零的, 所以

$ \begin{equation} g_{ij}[A_{k}+D_{k}+E_{k}]=A_{k}g_{ij}+D_{i}g_{jk}+E_{j}g_{ki}. \end{equation} $

(5.15)

将$ g^{kj} $作用到(5.15)两边, 得

$ \begin{equation} D_{k}\delta _{i}^{k}+E_{k}\delta _{i}^{k}=nD_{i}+E_{j}\delta _{i}^{j}. \end{equation} $

(5.16)

对(5.16)令$ k=i $并求和, 有

$ (n-1)D_{i}=0, $

即$ D_{i}=0. $同样地, 将$ g^{ki} $作用到(5.15)两边, 可以得到$ E_{j}=0. $那么$ B $张量变为$ \nabla _{k}B_{ij}=A_{k}B_{ij} $.

推论5.3  满足$ Einstein $条件的$ (WBS)_{n} $是一个广义的里奇递归流形.

考虑一个黎曼流形$ (M^{4}, g) $, 其中黎曼度量$ g $如下

$ \begin{equation} ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=e^{x^{4}}[(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}]+(dx^{4})^{2}, \end{equation} $

(6.1)

这里的$ i $, $ j $$ =1, 2, 3, 4 $.

非零的联络系数分量如下

$ \Gamma _{14}^{1}=\Gamma _{24}^{2}=\Gamma _{34}^{3}=\frac{1}{2}, \Gamma _{11}^{4}=\Gamma _{22}^{4}=\Gamma _{22}^{4}=-\frac{e^{x^{4}}}{2}. $

非零的黎曼曲率张量分量如下

$ R_{1212}=R_{1313}=R_{2323}=-\frac{(e^{x^{4}})^{2}}{4}, R_{1414}=R_{2424}=R_{3434}=-\frac{e^{x^{4}}}{4}. $

非零的里奇曲率张量分量如下

$ \text{Ric}_{11}=\text{Ric}_{22}=\text{Ric}_{33}=\frac{3e^{x^{4}}}{4}, \text{Ric}_{44}=\frac{3}{4}. $

根据上述分量, 可以求出非零的标量曲率为$ r=3 $.

令非零标量函数$ a $和$ b $的值如下

$ a=4(e^{x^{4}})^{2}, b=e^{x^{4}}. $

那么$ B $张量的分量及其协变导数如下

$ B_{11}=B_{22}=B_{33}=3(e^{x^{4}})^{3}+3(e^{x^{4}})^{2}, B_{44}=3(e^{x^{4}})^{2}+3e^{x^{4}}, $

$ B_{11, 4}=B_{22, 4}=B_{33, 4}=9(e^{x^{4}})^{3}+6(e^{x^{4}})^{2}, B_{44, 4}=6(e^{x^{4}})^{2}+3e^{x^{4}}. $

令1-形式如下

$ {{A}_{i}}(x)=\left\{ \begin{aligned} & 2x^{4}, \quad\quad\quad\, \, for\, i=1, 2 \\ & \frac{2}{x^{4}}, \quad\, \, \quad\quad\, \, for\, i=3 \\ & \frac{3e^{x^{4}}+2}{e^{x^{4}}+1}, \, \quad for\, i=4 \end{aligned} \right., $

$ {{D}_{i}}(x)=\left\{ \begin{aligned} & x^{3}x^{4}, \quad\quad\quad\quad for\, i=1, 2 \\ & \frac{x^{4}}{3}, \quad\quad\quad\, \, \, \quad\, for\, i=3 \\ & -\frac{e^{x^{4}}-1}{e^{x^{4}}-2}, \, \, \, \quad for\, i=4 \end{aligned} \right., $

$ {{E}_{i}}(x)=\left\{ \begin{aligned} & (x^{4})^{2}, \quad\quad\quad for\, i=1, 2 \\ & x^{4}, \quad\quad\quad\quad\, for\, i=3 \\ & \frac{1}{e^{x^{4}}-2}, \quad\quad for\, i=4 \end{aligned} \right.. $

根据上述条件可以得到

$ \begin{equation} B_{11, 4}=A_{4}B_{11}+D_{1}B_{41}+E_{1}B_{14}, \end{equation} $

(6.2)

$ \begin{equation} B_{22, 4}=A_{4}B_{22}+D_{2}B_{42}+E_{2}B_{24}, \end{equation} $

(6.3)

$ \begin{equation} B_{33, 4}=A_{4}B_{33}+D_{3}B_{43}+E_{3}B_{34}, \end{equation} $

(6.4)

$ \begin{equation} B_{44, 4}=A_{4}B_{44}+D_{4}B_{44}+E_{4}B_{44}, \end{equation} $

(6.5)

通过验证(6.2), (6.3), (6.4), (6.5)是成立的. 流形$ (M^{4}, g) $满足(1.9), 即$ M $是一个$ (WBS)_{4} $.