著名的Szasz-Mirakyan-Kantorovich算子为$ T_n(f;x)=:n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-nx}\frac{{(nx)}^k}{k!} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t) \mathrm{d} t, $其中$ x\in R_0=[0, +\infty) $，$ n\in N $. 参考文献[1]和[2]对于该算子在勒贝格可积函数空间内的逼近问题已有详细研究. 之后参考文献[3]中给出了一个修正的Szasz-Mirakyan-Kantorovich算子

$ \begin{equation*} T_n(f;a_n, b_n;x)=:b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{{(a_nx)}^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}f(t) \mathrm{d} t, x\in R_0, n\in N, \end{equation*} $

其中$ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} $和$ \{b_n\}_{n=1}^{\infty} $是递增的无界数列，并且$ a_n\geq1 $，$ b_n\geq1 $，同时$ \{\frac{a_n}{b_n}\}_{n=1}^{\infty} $是不减数列且

$ \frac{a_n}{b_n}=1+o(\frac{1}{b_n}), \; \; \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{b_n}}=0. $

同时，ZBIGNIEW WALCZAK在参考文献[3]中研究了这一算子在勒贝格可积函数空间中的相关逼近问题. 本文将函数空间放大为Orlicz空间，并在这一空间内研究修正的Szasz-Mirakyan-Kantorovich算子的加权逼近，同时给出相应的逼近正定理以及收敛定理.

结合参考文献[4]，并仿照修正的一元Szasz-Mirakyan-Kantorovich算子，我们定义修正的二元Szasz-Mirakyan-Kantorovich算子如下

$ \begin{align*} &T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\\ =:&b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{{(a_nx)}^k}{k!}\frac{{(c_my)}^j}{j!} \int_{\frac{j}{d_m}}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}f(u_1, u_2) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2, \end{align*} $

其中$ u_1, \; u_2\in R_0, \; \; n\in N, \; \; \{a_n\}_{n=1}^{\infty}, \; \; \{b_n\}_{n=1}^{\infty}, \; \; \{c_m\}_{m=1}^{\infty}, \; \; \{d_m\}_{m=1}^{\infty} $是递增的无界数列，并且满足

$ \frac{a_n}{b_n}=1+o(\frac{1}{b_n}), \; \; \lim\limits_{n\rightarrow \infty}{\frac{1}{b_n}}=0;\; \; \frac{c_m}{d_m}=1+o(\frac{1}{d_m}), \; \; \lim\limits_{m\rightarrow \infty}{\frac{1}{d_m}}=0. $

之后我们证明了加权$ Orlicz $空间内的Korovkin型定理，并在此基础上研究了这个二元算子在加权Orlicz空间内的收敛问题.

我们以$ L_M^*[0, +\infty) $(简记为$ L_M^* $)表示定义在$ [0, +\infty) $上由$ N $函数$ M(u) $生成的Orlicz空间，$ N(v) $是$ M(u) $的余$ N $函数，对于任意的$ f\in L_M^* $，定义Orlicz范数为

$ \begin{equation*} \|f\|_{M}=\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^{+\infty}f(x)v(x) \mathrm{d} x\right|, \end{equation*} $

其中$ \rho(v;N)=\int_0^{+\infty}N(v(x)) \mathrm{d} x $是$ v(x) $关于$ N(v) $的模. 由参考文献[5]知，上述Orlicz范数还可以用如下方式计算

$ \begin{equation*} \|f\|_{M}=\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_0^{+\infty}M(\alpha f(x)) \mathrm{d} x). \end{equation*} $

记$ w_n(x_1, x_2, \cdots, x_n) $是$ n $元权函数，对$ f\in L_{M, w_n}^* $($ f $是$ n $元函数，且每一个自变量的取值范围均是$ [0, +\infty) $)，定义其加权Orlicz范数如下

$ \begin{align*} &\|f\|_{M, w_n}\\ =&\sup\limits_{\rho(v(x_1, x_2, \cdots, x_n);N)\leq1}|\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}f(x_1, x_2, \cdots;x_n)v(x_1, x_2, \cdots;x_n)\\ &\times w_n(x_1, x_2, \cdots, x_n) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2\cdots \mathrm{d} x_n|, \end{align*} $

其中$ \rho(v(x_1, x_2, \cdots, x_n);N)= \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}N(v(x_1, x_2, \cdots, x_n)) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2\cdots \mathrm{d} x_n $表示$ v(x_1, x_2, \cdots, x_n) $关于$ N(v) $的模. 还可以用如下方式计算加权Orlicz范数

$ \begin{align*} &\|f\|_{M, w_n}\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\cdots\int_0^{\infty}M(\alpha f(x_1, x_2, \cdots, x_n)w_n(x_1, x_2, \cdots, x_n)) \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2\cdots \mathrm{d} x_n). \end{align*} $

定义Orlicz空间内的连续模为

$ \omega(f;t)_M=:\sup\limits_{0\leq h\leq t}\|\Delta_hf(\cdot)\|_M(t\geq0), \; $

其中$ \Delta_hf(x)=:f(x+h)-f(x). $

注  本文中C在不同处表示不同的正常数.

引理2.1   $ \{T_n(f;a_n, b_n;x)\} $是$ L_M^* $到$ L_M^* $的有界正线性算子序列，且$ \|T_n(f;a_n, b_n;x)\|_M\leq\frac{b_1}{a_1}\|f\|_M. $

证  因为

$ T_n(f;a_n, b_n;x)=:b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{{(a_nx)}^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}f(t) \mathrm{d} t, $

其中

$ \begin{align*} \sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{{(a_nx)}^k}{k!}=1, \qquad \int_{0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{{(a_nx)}^k}{k!} \mathrm{d} x=\frac{1}{a_n}. \end{align*} $

故利用Jensen不等式，有

$ \begin{align*} &\|T_n(f;a_n, b_n;x)\|_{M}\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_0^{\infty}M(\alpha T_n(f;a_n, b_n;x)) \mathrm{d} x)\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_0^{\infty}M(\alpha b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}f(t) \mathrm{d} t) \mathrm{d} x)\\ \leq&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_{0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!}M(\alpha b_n\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}f(t) \mathrm{d} t) \mathrm{d} x)\\ \leq&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\int_{0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!}b_n \int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}M(\alpha f(t)) \mathrm{d} t \mathrm{d} x)\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!} \mathrm{d} x\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}M(\alpha f(t)) \mathrm{d} t)\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\frac{b_n}{a_n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}M(\alpha f(t)) \mathrm{d} t)\\ =&\inf\limits_{\alpha>0}\frac{1}{\alpha}(1+\frac{b_n}{a_n}\int_{{0}}^{{\infty}}M(\alpha f(t)) \mathrm{d} t)\\ \leq&\frac{b_n}{a_n}\|f\|_{M}. \end{align*} $

因为$ \{\frac{b_n}{a_n}\}_{n=1}^{\infty} $是不增数列且趋于1，从而有

$ \begin{align*} \|T_n(f;a_n, b_n;x)\|_{M} \leq\frac{b_n}{a_n}\|f\|_{M} \leq\frac{b_1}{a_1}\|f\|_{M}. \end{align*} $

引理2.2^[3]   令

$ \begin{equation*} y_x(t)=: \left\{ \begin{aligned} 1&, \; \; t\leq x\; \; \; \\ 0&, \; \; t>x\; \; \; \end{aligned} \right. (x\in R_0), \end{equation*} $

再令$ w(x)=\frac{1}{1+x} $，则存在与$ a_1 $和$ b_1 $有关的正常数$ M_1(a_1, b_1) $，使得

$ \begin{align*} R_n(t)=: \int_0^{\infty}\left|T_n(y_x(t);a_n, b_n;x)-y_x(t)\right|w(x) \mathrm{d} x \leq M_1(a_1, b_1)\frac{1}{\sqrt{b_n}}. \end{align*} $

引理2.3   设$ f\in L_M^* $，且$ f'\in L_M^* $，则存在与$ a_1 $和$ b_1 $有关的正常数$ M_2(a_1, b_1) $，使得

$ \begin{align*} \|(T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x))w(x)\|_M\leq M_2(a_1, b_1)\|f'\|_M\frac{1}{\sqrt{b_n}}. \end{align*} $

证   因为$ f(x)-f(0)= \int_0^xf'(t) \mathrm{d} t=\int_0^{\infty}f'(t)y_x(t) \mathrm{d} t, $并且

$ \begin{align*} T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x)=\int_0^{\infty}f'(t)\{T_n(y_x(t);a_n, b_n;x)-y_x(t)\} \mathrm{d} t. \end{align*} $

根据引理2.2有

$ \begin{align*} &\|[T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x)]w(x)\|_{M}\\ =&\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^{\infty}(T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x))w(x)v(x) \mathrm{d} x\right|\\ \leq&C\left|\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}f'(t)\{T_n(y_x(t);a_n, b_n;x)-y_x(t)\} \mathrm{d} tw(x) \mathrm{d} x\right|\\ \leq&C\left|\int_0^{\infty}f'(t)\int_0^{\infty}\{|T_n(y_x(t);a_n, b_n;x)-y_x(t)|\}w(x) \mathrm{d} x \mathrm{d} t\right|\\ =&C\left|\int_0^{\infty}f'(t)R_n(t) \mathrm{d} t\right|\\ \leq&C\|f'\|_{M}\|R_n(t)\|_{N}\\ =&C\|f'\|_{M}\sup\limits_{\rho(u;M)\leq1}\left|\int_0^{\infty}R_n(t)u(t) \mathrm{d} t\right|\\ \leq&C\|f'\|_{M}M_1(a_1, b_1)\frac{1}{\sqrt{b_n}}\sup\limits_{\rho(u;M)\leq1}|\int_{0}^{\infty}u(t) \mathrm{d} t| \end{align*} $

根据参考文献[5]中N函数的相关性质，我们有$ \lim\limits_{u\rightarrow \infty}\frac{M(u)}{u}=\infty, \; \; \lim\limits_{u\rightarrow0}\frac{M(u)}{u}=0. $从而有$ \sup\limits_{\rho(u;M)\leq1}\left| \int_0^{\infty}u(t) \mathrm{d} t\right|\leq C. $所以

$ \begin{align*} \|[T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x)]w(x)\|_{M} \leq C\|f'\|_{M}M_1(a_1, b_1)\frac{1}{\sqrt{b_n}} \leq M_2(a_1, b_1)\|f'\|_{M}\frac{1}{\sqrt{b_n}}. \end{align*} $

引理2.4    $ \{T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\} $是$ L_M^* $到$ L_M^* $的有界正线性算子序列，且

$ \|T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\|_{M}\leq\frac{b_1d_1}{a_1c_1}\|f\|_M. $

证    因为

$ \begin{align*} &e^{-a_nx}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(a_nx)^k}{k!}=1, \; \; e^{-c_my}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(c_my)^j}{j!}=1;\\ &\int_0^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!} \mathrm{d} x=\frac{1}{a_n}, \; \; \; \; \int_0^{\infty}e^{-c_my}\frac{(c_my)^j}{j!} \mathrm{d} y=\frac{1}{c_m}. \end{align*} $

从而

$ \begin{align*} &\|T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\|_{M}\\ =&\inf\limits_{\beta>0}\frac{1}{\beta}(1+\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}M(\beta b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\\ &\times \sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}\int_\frac{j}{d_m}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_\frac{k}{b_n}^{\frac{k+1}{b_n}}f(u_1, u_2) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2) \mathrm{d} x \mathrm{d} y)\\ \leq&\inf\limits_{\beta>0}\frac{1}{\beta}(1+\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-a_nx}e^{-c_my}\\ &\times\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}M(\beta b_nd_m\int_\frac{j}{d_m}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_\frac{k}{b_n}^{\frac{k+1}{b_n}}f(u_1, u_2) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2) \mathrm{d} x \mathrm{d} y)\\ =&\inf\limits_{\beta>0}\frac{1}{\beta}(1+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\int_0^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!} \mathrm{d} x\int_0^{\infty}e^{-c_my}\frac{(c_my)^j}{j!} \mathrm{d} y\\ &\times M(\beta b_nd_m\int_\frac{j}{d_m}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_\frac{k}{b_n}^{\frac{k+1}{b_n}}f(u_1, u_2) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2))\\ \leq&\inf\limits_{\beta>0}\frac{1}{\beta}(1+\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{j=0}^{\infty}\frac{b_nd_m}{a_nc_m}\int_\frac{j}{d_m}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_\frac{k}{b_n}^{\frac{k+1}{b_n}}M(\beta f(u_1, u_2)) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2)\\ \leq&\frac{b_nd_m}{a_nc_m}\inf\limits_{\beta>0}\frac{1}{\beta}(1+\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}M(\beta f(u_1, u_2)) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2)\\ =&\frac{b_nd_m}{a_nc_m}\|f\|_M. \end{align*} $

由于$ \frac{\{b_n\}}{\{a_n\}}, \; \frac{\{d_m\}}{\{c_m\}} $是非减数列，从而有$ \|T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\|_{M}\leq\frac{b_1d_1}{a_1c_1}\|f\|_M. $

定理3.1  设$ \{L_{n}\}_{n\in N} $是$ L_{M}^{*}\rightarrow L_{M}^{*} $的一致有界正线性算子序列, 对于$ w_n(x_1, x_2, \cdots, x_n)=e^{-(x_1+x_2+\cdots+x_n)} $，若

(1) $ \lim\limits _{n\rightarrow \infty}\|L_n(1;x)-1\|_{M, w_n}=0, $

(2) $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|L_n(t_{i};x)-x_{i}\|_{M, w_n}=0, \; (i=1, 2, \cdots, n) $

(3) $ \lim\limits _{n\rightarrow \infty}\|L_n(|t|^2;x)-|x|^2\|_{M, w_n}=0 $,

则对任意$ f\in L_{M}^{*} $，有

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|L_n(f)-f\|_{M, w_n}=0. $

其中$ x=(x_1, x_2, \cdots, x_n) $，$ t=(t_1, t_2, \cdots, t_n) $，且$ |t| $和$ |x| $表示$ n $维欧氏空间中的欧氏距离.

证   类似于参考文献[6][7][8]的证明思路，对任何一个正数$ A $，设$ \chi_1^{A}(t) $是$ n $维欧氏空间中球体$ 0\leq|t|\leq A $上的特征函数.

令$ \chi_2^{A}(t)=1-\chi_1^{A}(t) $，则由于$ \chi_2^{A}(t)\rightarrow0(A \rightarrow +\infty) $，从而对任意$ \varepsilon>0 $，当$ A $充分大时，有$ |\chi_2^{A}(t)|<\varepsilon $. 而

$ \begin{align*} \|f\chi_2^{A}\|_{M} =&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n);N)\leq1)}|\int_0^\infty\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty f(t_1, t_2, \cdots, t_n)\\ &\times\chi_2^{A}(t_1, t_2, \cdots, t_n)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n| <\varepsilon. \end{align*} $

另一方面，由于$ \{L_n\} $是$ L_{M}^{*}\rightarrow L_{M}^{*} $的一致有界正线性算子，故有

$ \|L_n(f)\|_{M}\leq K\|f\|_{M}. $

因为

$ \begin{align*} &\|L_n(f)-f\|_{M, w_n}\\ =&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n);N)\leq1}|\int_0^\infty\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty (L_nf-f)v(t_1, t_2, \cdots, t_n)\\ &\times e^{-(t_1+t_2+\cdots+t_n)} \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n|\\ \leq&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n);N)\leq1}\left|\int_0^\infty\int_0^\infty\cdots\int_0^\infty (L_nf-f)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\\ =&\|L_nf-f\|_M\\ =&\|L_n[(\chi_1^{A}+\chi_2^{A})f]-(\chi_1^{A}+\chi_2^{A})f\|_{M}\\ =&\|L_n(\chi_1^{A}f)+L_n(\chi_2^{A}f)-\chi_1^{A}f-\chi_2^{A}f\|_{M}\\ \leq&\|L_n(\chi_1^{A}f)-\chi_1^{A}f\|_{M}+\|L_n(\chi_2^{A}f)-\chi_2^{A}f\|_{M}\\ =:&I_{n}^{'}+I_{n}^{''}. \end{align*} $

先讨论$ I_{n}^{''} $，由线性算子$ \{L_n\} $的一致有界性，有$ \|L_n(\chi_2^{A}f)-\chi_2^{A}f\|_{M}\leq(K+1)\varepsilon. $

因为连续函数类在$ L_{M}^*[0, A] $中稠密，故对任意$ \varepsilon_{1}>0 $，存在$ [0, A] $上的连续函数$ \varphi(t) $(当$ t>A $时，令$ \varphi(t)=0) $，使得

$ \begin{equation*} \|(f-\varphi)\chi_1^{A}\|_{M}<\frac{\varepsilon_1}{(K+1)}. \end{equation*} $

从而

$ \begin{align} I_{n}^{'}=& \|L_n(\chi_1^{A}f)-\chi_1^{A}f\|_{M}\\ \leq&\|L_n[\chi_1^{A}(f-\varphi)]\|_{M}+\|L_n(\varphi\chi_1^{A})-\varphi\chi_1^{A}\|_{M}+\|(f-\varphi)\chi_1^{A}\|_{M}\\ \leq&\|L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}\|_{M}+(K+1)\|(f-\varphi)\chi_1^{A}\|_{M}\\ <&\|L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}\|_{M}+\varepsilon_{1}. \end{align} $

(3.1)

又因为对于$ A_1>A $，有$ \chi_{2}^{A_1}\chi_{1}^{A}\varphi=0 $，所以

$ \begin{align} \|L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}\|_{M} \leq&\|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_1^{A_1}\|_{M}+\|\chi_2^{A_1}L_n(\varphi\chi_1^{A})\|_{M}+\|\varphi\chi_1^{A}\chi_2^{A_1}\|_{M}\\ =&\|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_1^{A_1}\|_{M}+\|\chi_2^{A_1}L_n(\varphi\chi_1^{A})\|_{M}. \end{align} $

(3.2)

我们选定$ A_1 $，使

$ |\int_{0}^\infty\int_{0}^\infty\cdots\int_{0}^\infty\chi_2^{A_1}(t_1, t_2, \cdots, t_n)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n|<\frac{\varepsilon_{1}}{M_{\varphi}}, $

其中$ M_{\varphi}=\max\limits_{t\in R_0^n}|\varphi(t)|\chi_{1}^{A_1}(t) $.

从而

$ \begin{align*} &\|\chi_{2}^{A_1}L_n(\varphi\chi_{1}^{A})\|_{M}\\ =&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}(1-\chi_1^{A_1})L_n(\varphi\chi_1^A)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\nonumber\\ \leq&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{A_1}^{\infty}\int_{A_1}^{\infty}\cdots\int_{A_1}^{\infty}L_n(\varphi\chi_1^A)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\\ \leq&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}L_n(\varphi\chi_1^A)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\nonumber\\ \leq&\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}M_{\varphi}L_n(1;x)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\nonumber\\ \leq&M_{\varphi}\left\{\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}(L_n(1;x)-1)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\right\}\\ &+ M_{\varphi}\left\{\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}\chi_2^{A_1}v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\right\}\\ \leq&M_{\varphi}\left\{\sup\limits_{\rho(v(t_1, t_2, \cdots, t_n;N)\leq1)}\left|\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\int_{0}^{\infty}(L_n(1;x)-1)v(t_1, t_2, \cdots, t_n) \mathrm{d} t_1 \mathrm{d} t_2\cdots \mathrm{d} t_n\right|\right\}\\&+\varepsilon_{1}. \end{align*} $

因此得

$ \begin{align} \|\chi_{2}^{A_1}L_n(\varphi\chi_1^{A})\|_{M}\leq M_{\varphi}\|L_n(1;x)-1\|_{M}+\varepsilon_{1}. \end{align} $

(3.3)

再将(3.3)代入(3.2)得

$ \begin{align} \|L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}\|_{M}\leq\|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_1^{A_1}\|_{M} +M_{\varphi}\|L_n(1;x)-1\|_{M}+\varepsilon_{1}. \end{align} $

(3.4)

最后将(3.4)代入(3.1)得

$ \begin{equation} I_n^{'}\leq2\varepsilon_{1}+M_{\varphi}\|L_n(1;x)-1\|_{M}+\|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_1^{A_1}\|_{M}. \end{equation} $

(3.5)

根据定理的条件，对于充分大的$ n $，有$ \|L_n(1;x)-1\|_{M}<\frac{\varepsilon_{1}}{M_{\varphi}}. $又因为$ \varphi\chi_1^{A} $在$ [0, A] $上为连续函数，所以对于上述$ \varepsilon_{1}>0 $，存在$ \delta>0 $，当$ \; x, \; t\in R_0^n $，且$ |t-x|<\delta $时，有

$ |\varphi(t)\chi_1^{A}(t)-\varphi(x)\chi_1^{A}(x)|<\varepsilon_{1}+2 M_{\varphi}\frac{(t-x)^2}{\delta^2}. $

从而

$ \begin{align} &\|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_{1}^{A_1}\|_{M}\\ \leq&\|[L_n(|\varphi(t)\chi_1^{A}(t)-\varphi(x)\chi_1^{A}(x)|);x)]\chi_1^{A_1}\|_{M}+\|\varphi(x)\chi_1^{A_1}(x)(L_n(1;x)-1)\|_{M}\\ \leq&\|[L_n|\varepsilon_{1}+2M_{\varphi}\frac{(t-x)^2}{\delta^2}|;x]\chi_1^{A_1}\|_{M}+\|\varphi(x)\chi_1^{A_1}(x)(L_n(1;x)-1)\|_{M}\\ \leq&\varepsilon_{1}\|L_n(1;x)\|_{M}+ \frac{2M_{\varphi}}{\delta^2}\|L_n(|t-x|^2;x)\|_{M}+M_{\varphi}\|L_n(1;x)-1\|_{M}\\ \leq&\varepsilon_{1}K\|1\|_{M}+ \frac{2M_{\varphi}}{\delta^2}\|L_n(|t-x|^2;x)\|_{M}+\varepsilon_{1}. \end{align} $

(3.6)

下面只对$ \|L_n(|t-x|^2;x)\|_{M} $进行研究. 根据已知条件，当$ n $充分大时，对于上述$ \varepsilon_1>0 $，有

$ \begin{align*} \text{max}\left\{\|L_n(|t|^2;x)-|x|^2\|_{M}, \sum\limits_{i=1}^{n}\|L_n(t_i;x)-x_i\|_{M}, \|L_n(1;x)-1\|_{M}\right\}<\frac{\varepsilon_1\delta^2}{2M_\varphi(1+A)^2}. \end{align*} $

故

$ \begin{align} &\|L_n(|t-x|^2;x)\|_{M}\\ =&\|L_n(t^2+x^2-2tx;x)\|_{M}\\ \leq&\|L_n(t^2;x)-x^2\|_{M}+x^2\|L_n(1;x)-1\|_{M}+2\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i\|x_i-L_n(t_i;x_i)\|_{M}\\ \leq&\|L_n(t^2;x)-x^2\|_{M}+2A\sum\limits_{i=1}^{\infty}\|x_i-L_n(t_i;x_i)\|_{M}+A^2\|L_n(1;x)-1\|_{M}\\ \leq&(1+A)^2max\left\{\|L_n(|t|^2;x)-|x|^2\|_{M}, \sum\limits_{i=1}^{n}\|L_n(t_i;x)-x_i\|_{M}, \|L_n(1;x)-1\|_{M}\right\}\\ <&\frac{\varepsilon_1\delta^2}{2M_{\varphi}}. \end{align} $

所以

$ \begin{align} \|L_n(|t-x|^2;x)\|_{M}\leq\frac{\varepsilon_{1}\delta^2}{2M_\varphi}. \end{align} $

(E3.7)

将(3.7)代入(3.6)得

$ \begin{equation} \|[L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_{1}^{A_1}\|_{M}<\varepsilon_{1}(2+K||1||_{M}). \end{equation} $

(3.8)

最后将(3.8)代入(3.5)得

$ \begin{align*} I_n^{'}\leq&2\varepsilon_{1}+M_{\varphi}\|L_n(1;x)-1\|_{M}+\| [L_n(\varphi\chi_{1}^{A})-\varphi\chi_{1}^{A}]\chi_1^{A_1}\|_{M}\\ \leq&5\varepsilon_{1}+K\|1\|_{M}\varepsilon_{1}. \end{align*} $

从而

$ \|L_n(f)-f\|_{M, w_n}\leq I_n^{'}+I_n^{''} \leq (K+1)\varepsilon+(5+K\|1\|_{M})\varepsilon_{1}. $

所以由$ \varepsilon $和$ \varepsilon_{1} $的任意性，有

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|L_n(f)-f\|_{M, w_n}=0. $

定理3.2  设$ w(x)=\frac{1}{1+x} $，则对任意$ f\in L_M^* $，存在与$ a_1, b_1 $有关的常数$ M_3(a_1, b_1) $，使得

$ \begin{align*} \|(T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x))w(x)\|_{M}\leq M_3(a_1, b_1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M. \end{align*} $

证   利用Steklov平均函数

$ \begin{align*} f_h(x)=\frac{1}{h}\int_0^hf(x+u) \mathrm{d} u, x\in R_0, h>0. \end{align*} $

对于$ f_h $我们有

$ \begin{align*} \|(f-f_h)w\|_M=&\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty(f-f_h)w(x)v(x) \mathrm{d} x\right|\\ =&\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty(f-\frac{1}{h}\int_0^hf(x+u) \mathrm{d} u)w(x)v(x) \mathrm{d} x\right|\\ \leq&\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\frac{1}{h}\left|\int_0^\infty\int_0^h\left|f(x+u)-f(x)\right|w(x)v(x) \mathrm{d} x \mathrm{d} u\right|\\ =&\frac{1}{h}\int_0^h\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty\left|f(x+u)-f(x)\right|v(x)w(x) \mathrm{d} x\right| \mathrm{d} u\\ \leq&\frac{1}{h}\int_0^h\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty\left|f(x+u)-f(x)\right|v(x) \mathrm{d} x\right| \mathrm{d} u\\ \leq&\frac{1}{h}\int_0^h\omega(f;h)_M \mathrm{d} u\\ =&\omega(f;h)_M. \end{align*} $

又因为$ f'_h(x)=h^{-1}\Delta_hf(x) $，所以

$ \begin{align*} \|f'_h(x)\|_M=&\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty h^{-1}\Delta_hf(x)v(x) \mathrm{d} x\right|\\ =&h^{-1}\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty \Delta_hf(x)v(x) \mathrm{d} x\right|\\ \leq&h^{-1}\omega(f;h)_M. \end{align*} $

故根据引理2.3，有

$ \begin{align*} \|(T_n(f_h)-f_h)w(x)\|_M \leq M_2(a_1, b_1)\frac{1}{\sqrt{b_n}}\|f'_h\|_M \leq M_2(a_1, b_1)\frac{1}{\sqrt{b_n}}h^{-1}\omega(f;h)_M. \end{align*} $

当取$ h=\frac{1}{\sqrt{b_n}} $时，有$ \|(T_n(f_h)-f_h)w(x)\|_M\leq M_2(a_1, b_1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M. $利用插项逼近法，有

$ \begin{align*} \|(T_n(f)-f)w(x)\|_M =&\|T_n(f-f_h)w\|_M+\|(T_n(f_h)-f_h)w\|_M+\|(f_h-f)w\|_M\\ \leq&\frac{b_1}{a_1}\|(f-f_h)w\|_M+M_2(a_1, b_1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M+\|(f_h-f)w\|_M\\ \leq&(\frac{b_1}{a_1}+1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M+M_2(a_1, b_1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M\\ \leq& M_3(a_1, b_1)\omega(f;\frac{1}{\sqrt{b_n}})_M. \end{align*} $

定理3.3  设$ \{T_n(f;a_n, b_n;x)\} $是$ L_M^* $到$ L_M^* $一致有界正线性算子序列，$ w_1(x)=e^{-x} $，则对任意$ f\in L_M^* $，有

$ \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x)\|_{M, w_1}=0. \end{align*} $

证   因为

$ \begin{align*} T_n(1;a_n, b_n;x)=&b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}1\; \; \mathrm{d} t =\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!} =1.\; \; \; \; \; \; \; \\ T_n(t;a_n, b_n;x)=&b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}t\; \; \mathrm{d} t =b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!}\frac{2k+1}{2b_n^2}\\ =&\frac{a_nx}{b_n}\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^{k-1}}{(k-1)!}+\frac{1}{2b_n} =\frac{a_nx}{b_n}+\frac{1}{2b_n}. \end{align*} $

$ \begin{align*} T_n(t^2;a_n, b_n;x)=&b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}t^2\; \; \mathrm{d} t\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ =&b_n\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_n x)^k}{k!}\frac{3k^2+3k+1}{3b_n^3}\\ =&\frac{a_nx}{b_n^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^{k-1}}{(k-1)!}k+\frac{a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}\\ =&\frac{a_nx}{b_n^2}\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^{k}}{k!}(k+1)+\frac{a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}\\ =&\frac{(a_nx)^2}{b_n^2}\sum\limits_{k=1}^{\infty}e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^{k-1}}{(k-1)!}+\frac{2a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}\\ =&\frac{(a_nx)^2}{b_n^2}+\frac{2a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}. \end{align*} $

所以

$ \begin{align*} \|T_n(1;a_n, b_n;x)-1\|_{M, w_1} =&\|1-1\|_{M, w_1}=0.\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \|T_n(t;a_n, b_n;x)-x\|_{M, w_1} =&\|\frac{a_nx}{b_n}+\frac{1}{2b_n}-x\|_{M, w_1}\\ \leq&(\frac{a_n}{b_n}-1)\|x\|_{M, w_1}+\|\frac{1}{2b_n}\|_{M, w_1}\\ =&(\frac{a_n}{b_n}-1)\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty xv(x)e^{-x} \mathrm{d} x\right|+\frac{1}{2b_n}\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty v(x)e^{-x} \mathrm{d} x\right|\\ \leq&C(\frac{a_n}{b_n}-1)\int_0^\infty xe^{-x} \mathrm{d} x+\frac{C}{2b_n}\int_0^\infty e^{-x} \mathrm{d} x\\ =&C(\frac{a_n}{b_n}-1)+\frac{C}{2b_n}.\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \|T_n(t^2;a_n, b_n;x)-x^2\|_{M, w_1} =&\|\frac{(a_nx)^2}{b_n^2}+\frac{2a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}-x^2\|_{M, w_1}\\ \leq&(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)\|x^2\|_{M, w_1}+\frac{2a_n}{b_n^2}\|x\|_{M, w_1}+\frac{1}{3b_n^2}\|1\|_{M, w_1}\\ \leq&(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)\sup\limits_{\rho(v;N)\leq1}\left|\int_0^\infty x^2e^{-x}v(x) \mathrm{d} x\right|+C\frac{2a_n}{b_n^2}+\frac{C}{3b_n^2}\\ =&C(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)+C\frac{2a_n}{b_n^2}+\frac{C}{3b_n^2}. \end{align*} $

从而有

$ \begin{align*} &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|T_n(1;a_n, b_n;x)-1\|_{M, w_1}=0;\\ &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|T_n(t;a_n, b_n;x)-x\|_{M, w_1}=0;\\ &\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|T_n(t^2;a_n, b_n;x)-x^2\|_{M, w_1}=0. \end{align*} $

故利用定理3.1得，对任意$ f\in L_M^* $，有

$ \begin{align*} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|T_n(f;a_n, b_n;x)-f(x)\|_{M, w_1}=0. \end{align*} $

定理3.4   设$ \{T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\} $是$ L_M^* $到$ L_M^* $的一致有界正线性算子序列，$ w_2(x, y)=e^{-(x+y)} $，则对任意的$ f\in L_M^* $，有

$ \begin{align*} \lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-f(x, y)\|_{M, w_2}=0. \end{align*} $

证   因为

$ \begin{align*} &T_{n, m}(1;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\\ =&b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}\int_{\frac{j}{d_m}}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}} 1 \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2 =1.\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{align*} $

$ \begin{align*} &T_{n, m}(u_1;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\\ =&b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!} \int_{\frac{j}{d_m}}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}}u_1 \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\\ =&b_n(e^{-a_nx}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{2k+1}{2b_n^2}\sum\limits_{j=0}^\infty e^{-c_my}\frac{(c_my)^j}{j!}) =b_n\sum\limits_{k=0}^\infty e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{2k+1}{2b_n^2}\\ =&\frac{a_nx}{b_n}\sum\limits_{k=1}^{\infty} e^{-a_nx}\frac{(a_nx)^{k-1}}{(k-1)!}+\frac{1}{2b_n} =\frac{a_n}{b_n}x+\frac{1}{2b_n}. \end{align*} $

同理可求得

$ \begin{align*} T_{n, m}(u_2;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y) =\frac{c_m}{d_m}y+\frac{1}{2d_m}. \end{align*} $

且

$ \begin{align*} &T_{n, m}(u_1^2+u_2^2;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)\\ =&b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}\int_{\frac{j}{d_m}}^{\frac{j+1}{d_m}}\int_{\frac{k}{b_n}}^{\frac{k+1}{b_n}} (u_1^2+u_2^2) \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\\ =&b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}\frac{3k^2+3k+1}{3b_n^3 d_m}\\&+ b_nd_me^{-a_nx}e^{-c_my}\sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^\infty\frac{(a_nx)^k}{k!}\frac{(c_my)^j}{j!}\frac{3j^2+3j+1}{3d_m^3 b_n}\\ =&\frac{(a_nx)^2}{b_n^2}+\frac{2a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}+\frac{(c_my)^2}{d_m^2}+\frac{2c_my}{d_m^2}+\frac{1}{3d_m^2}.\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{align*} $

对于

$ \begin{align*} \|1\|_{M, w_2}=&\sup\limits_{\rho(v(x, y);N)\leq1}\left|\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x+y)}v(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right|\\ \leq &C\left|\int_0^\infty e^{-x} \mathrm{d} x\right|\left|\int_0^\infty e^{-y} \mathrm{d} y\right| =C.\\ \|x\|_{M, w_2}=&\sup\limits_{\rho(v(x, y);N)\leq1}\left|\int_0^\infty\int_0^\infty xe^{-(x+y)}v(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right|\\ \leq &C\left|\int_0^\infty xe^{-x} \mathrm{d} x\right|\left|\int_0^\infty e^{-y} \mathrm{d} y\right| =C.\\ \|x^2\|_{M, w_2}=&\sup\limits_{\rho(v(x, y);N)\leq1}\left|\int_0^\infty\int_0^\infty x^2e^{-(x+y)}v(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\right|\\ \leq&C\left|\int_0^\infty x^2e^{-x} \mathrm{d} x\right|\left|\int_0^\infty e^{-y} \mathrm{d} y\right| =C. \end{align*} $

同理我们可以求得

$ \|y\|_{M, w_2}\leq C, \; \; \; \|y^2\|_{M, w_2}\leq C. $

所以

$ \begin{align*} &\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(1;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-1\|_{M, w_2}=0;\\ &\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(u_1;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-x\|_{M, w_2}\\ =&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|\frac{a_n}{b_n}x+\frac{1}{2b_n}-x\|_{M, w_2} \leq\lim\limits_{n\rightarrow \infty}[(\frac{a_n}{b_n}-1)\|x\|_{M, w_2}+\frac{1}{2b_n}\|1\|_{M, w_2}]\\ \leq&\lim\limits_{n\rightarrow \infty}[C(\frac{a_n}{b_n}-1)+\frac{C}{2b_n}] =0. \end{align*} $

同理可得

$ \begin{align*} &\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(u_2;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-y\|_{M, w_2}=0. \end{align*} $

且

$ \begin{align*} &\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(u_1^2+u_2^2;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-(x^2+y^2)\|_{M, w_2}\\ =&\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)x^2+\frac{2a_nx}{b_n^2}+\frac{1}{3b_n^2}+(\frac{c_m^2}{d_m^2}-1)y^2+\frac{2c_my}{d_m^2}+\frac{1}{3d_m^2}\|_{M, w_2}\\ \leq&\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\{(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)\|x^2\|_{M, w_2}+(\frac{c_m^2}{d_m^2}-1)\|y^2\|_{M, w_2}+ \frac{2a_n}{b_n^2}\|x\|_{M, w_2}\\&+\frac{2c_m}{d_m^2}\|y\|_{M, w_2}+(\frac{1}{3b_n^2}+\frac{1}{3d_m^2})\|1\|_{M, w_2}\}\\ \leq&\lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}C\{(\frac{a_n^2}{b_n^2}-1)+(\frac{c_m^2}{d_m^2}-1)+ \frac{2a_n}{b_n^2}+\frac{2c_m}{d_m^2}+(\frac{1}{3b_n^2}+\frac{1}{3d_m^2})\}\\ =&0. \end{align*} $

从而根据定理3.1得，对任意的$ f\in L_M^* $，有

$ \begin{align*} \lim\limits_{n, m\rightarrow \infty}\|T_{n, m}(f;a_n, b_n, c_m, d_m;x, y)-f(x, y)\|_{M, w_2}=0. \end{align*} $